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专题11.2 整式的乘法
基础知识夯实
知识点01 单项式与单项式相乘
1.单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式
2.单项式与单项式相乘的步骤
(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积;(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加;(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数
写在积里
3.单项式与单项式相乘的法则的实质是乘法交换律,乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用
注意：
1.单项式与单项式相乘的结果仍为单项式
2.只在一个单项式里含有的字母，写积时不要遗漏3.单项式与单项式相乘的法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用
知识点02 单项式与多项式相乘
1．单项式与多项式相乘的法则 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。用字母表示为 ．
2．单项式与多项式相乘的几何解释
如图，大长方形的面积可以表示为 ，也可以视为三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为 ．所以 ．
注意：
1.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同
2.单项式与多项式相乘的实质是利用乘法分配律，把单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式
知识点03 多项式与多项式相乘
1．多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
用字母表示为 ．
2．多项式与多项式相乘的几何解释释 如图，大长方形的面积可以表示为 ，也可以将大长方形的面积看成 4 个小长方形的面积之和，即 ，所以 ．
注意：
1.多项式与多项式相乘的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式.
2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式,在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积
典型案例探究
知识点01 单项式与单项式相乘
例1.（24-25八年级上·广西河池·期末）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了积的乘方和单项式乘以单项式的计算，先计算积的乘方和单项式乘以单项式，再合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
．
【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期末）下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂相除法则、积的乘方法则、单项式乘以单项式法则，完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B． ，原计算正确，符合题意；
C． ，原计算错误，不符合题意；
D． ，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
【变式2】（24-25八年级上·河南漯河·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，单项式乘单项式，幂的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解决此题的关键．利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：、，故不符合题意；
，故不符合题意；
、，故符合题意；
，故不符合题意；
故选：．
【变式3】（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了合并同类项，单项式乘单项式，零次幂，幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
知识点02 单项式与多项式相乘
例1.（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘以多项式的各项，再把所得积相加，即可求解．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【变式1】（23-24八年级上·福建漳州·期末）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据单项式乘多项式法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为： ．
【变式2】（24-25八年级上·北京朝阳·期末）已知，求的值．
【答案】13
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式，单项式乘以多项式是解题的关键．
根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行化简，再将已知代数式变形代入求解即可．
【详解】解：
．
，
．
原式．
【变式3】（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为；．
【变式4】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式的乘法以及代数式求值，根据已知得出，，整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即
∴
故答案为：．
知识点03 多项式与多项式相乘
例1.（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知长方形的面积是，且，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了解一元一次不等式的应用．根据题意得到，则，即可求出k的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
由得：
则，
由，得：
解得
故选：C
【变式1】（24-25八年级上·广东湛江·期末）计算：__________．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式、合并同类项是解题关键．
根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式2】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）若多项式有一个因式为，那么 ．
【答案】2
【分析】本题考查了因式分解的意义，由多项式有一个因式为，可设另一个因式为，可得．掌握因式分解的意义是解题关键．
【详解】解：设另一个因式为，
则，
即，
解得．
故答案为：2．
【变式3】（24-25八年级上·北京·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
（1 ）先算积的乘方和幂的乘方，再算同底数幂的除法即可求解；
（2 ）先根据多项式乘以多项式法则计算，再去括号合并同类项即可得到结果．
【详解】（1）解：
（2）解：
课后作业
A
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了单项式乘法，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方法则，熟知以上知识是解答本题的关键．
分别根据幂的乘方法则、单项式乘法、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答即可．
【详解】解：
A、，故计算错误，不符合题意；
B、，故计算正确，符合题意；
C、，故计算错误，不符合题意；
D、，故计算错误，不符合题意．
故选：B．
2．三个连续偶数，若中间一个数为n，则它们的积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列代数式，整式的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意另外两个数为，，然后将它们乘起来即可得出答案．
【详解】解：三个连续偶数，若中间一个数为n，那么另外两个数为，，
那么它们的积为：，
故选：C．
3．若的乘积中不含与项，则的值为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，解题的关键是根据题意将式子展开再让不含该项的系数为0．
根据多项式乘多项式的法则，计算展开后，合并同类项，让与项的系数分别为 0 即可求解．
【详解】解：
，
∵乘积中不含与项，
，
解得：，
，
故选：A．
4．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查列代数式，单项式乘以多项式的应用，用代数式表示所拼成的长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可．
【详解】解：拼成的长方形的长为，宽为，
所以面积为．
故选：D．
二、填空题
5．的计算结果是 次多项式．
【答案】五
【分析】本题考查了单项式与多项式相乘，多项式的有关概念，根据单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即可得出，然后通过多项式的次数即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
因此是五次多项式，
故答案为：五．
6．若梯形的上底长为，下底长为，高为，则梯形的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，熟练掌握是多项式乘以多项式法则解本题的关键．
根据梯形的面积公式列式求解即可．
【详解】解：∵梯形的上底长为，下底长为，高为，
∴
．
故答案为：．
7．若，则 ， ．
【答案】 1
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，首先根据多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，求得结果后，即可得到P和q的值．
【详解】解：，
∴，，
故答案为：1，．
8．定义新运算“”：，则 ，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算，单项式乘多项式，解一元一次方程，根据新定义计算即可得出的值，再根据新定义列出方程，解方程即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
整理可得：，
故答案为：，．
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算积的乘方和幂的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可求解；
（2）首先计算积的乘方和幂的乘方，然后计算单项式乘以单项式，最后合并即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
10．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
11．关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值；
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据不含有项和常数项得到，解之即可得到答案．
【详解】解：
，
∵关于的代数式化简后不含有项和常数项，
∴，
∴．
12．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）．
(1)用含，的代数式表示花园的面积；
(2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积；
(3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)元
【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则．
（1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可；
（2）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可；
（3）代数求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：当，时，，
（元），
所以购买所需地砖需要元．
B
一、单选题
1．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，单项式乘以单项式，根据积的乘方，合并同类项，单项式乘以单项式运算法则分别计算即可，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
2．若计算的结果中不含项，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则．
【详解】解：
，
∵计算的结果中不含项，
∴，
解得：，
即常数的值为．
故选：A．
3．使乘积中不含与项的的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘以多项式的法则．根据多项式乘多项式把式子展开，合并同类项后，令和项的系数分别为，列式求解即可．
【详解】解：
∵乘积中不含与项，
∴，，
∴，．
故选：D．
4．若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
【答案】C
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小．
【详解】解：∵，，
∴
，
因为，即，
所以
故选：C．
二、填空题
5．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查整式的乘法运算，去括号，运用单项式乘多项式即可求值．
【详解】解：
故答案为：.
6．若，则 .
【答案】
【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得，由可求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
7．若，则代数式的值为 ．
【答案】4
【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
将代数式，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：
；
，
．
把代入，得
．
所以，代数式的值为4．
故答案为：4．
8．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律可得展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】32
【分析】本题考查了规律型：数字的变化规律，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．通过观察“杨辉三角”与右侧的等式图，可以发现展开的多项式中各项系数之和为
【详解】解：观察“杨辉三角”与右侧的等式图，可以发现，
当时，展开的多项式中各项系数之和为2，即；
当时，展开的多项式中各项系数之和为4，即；
当时，展开的多项式中各项系数之和为8，即；
当时，展开的多项式中各项系数之和为16，即；…
可以发现，展开的多项式中各项系数之和为
因此，展开的多项式中各项系数之和为
故答案为：
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，正确运用相关运算法则计算是解题关键．
（1）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可；
（2）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
10．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式乘法的混合运算以及代数求值，正确的计算是解题的关键．
根据多项式的乘法进行化简，然后将字母的值代入即可求解．
【详解】解：
，
∵
∴原式．
11．某学校举办火箭模型制作比赛．如图是同学们制作的一种火箭模型的截面图，该图下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形．
(1)用含a，b的式子表示该截面的面积S；
(2)当时，求这个截面的面积．
【答案】(1)
(2)这个截面的面积为
【分析】本题主要考查了三角形、长方形、梯形的面积公式以及代数式的求值，熟练掌握各图形的面积公式是解题的关键．
（1）分别计算三角形、长方形、梯形的面积，再将它们相加得到截面的总面积．
（2）把，代入（1）中所求的面积表达式，计算出具体数值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：把，代入得：
12．周长相等的长方形和正方形，按如图所示的方式叠放在一起（其中点D在上，点B在的延长线上，和相交于点G），正方形的边长为m，长方形的宽为x，长为．
(1)写出x，y，m之间的等量关系；
(2)若长方形的周长记作，长方形的周长记作．
①求的值（用含y、m的代数式表示）；
②若关于y的不等式的正整数解只有1个，求m的取值范围；
(3)若长方形的面积记作，长方形的面积记作，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②．
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了长方形和正方形的性质，列代数式，整式的运算，解含有参数的一元一次不等式和解不等式组，用求差法比较大小，熟练根据题意列出式子是解题的关键．
（1）根据长方形与正方形的周长相等，构建关系式即可解决问题；
（2）①用，，表示表示出矩形的周长，相加即可；
②把的值代入得到关于的不等式解得求出的取值范围，其正整数解只有1个，得到关于的不等式组，解出即可得到的取值范围；
（3）利用求差法比较大小即可．
【详解】（1）解：长方形和正方形的周长相等，
，
；
（2）解：①由题意，得，，，
∴，，
长方形的周长记作，
长方形的周长记作，
；
②，
，
的正整数解只有1个，
，
，
的取值范围是．
（3）解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
．
C
1．【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式，
代数式的值与的取值无关，
，解得．
【理解应用】
（1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值；
（2）已知，，且的值与的取值无关，求的值.
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则．
（1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令x的系数为0，即可求出的值；
（2）根据整式的混合运算法则，先将A、B的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值；
（3）设，由图可得，，即可得到关于x的代数式，根据其值不变，令x的系数为0 ，即可求得与的关系．
【详解】解：（1）
，
多项式的值与的取值无关，
∴，
解得；
（2）∵，，
∴
，
∵的值与的取值无关，
∴，
解得；
（3）设，由图可知，，
∴，
，
∵当的长变化时，的值始终保持不变．
∴取值与x无关，
∴，
∴．
2．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘．
【核心概念】
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：
【任务规划】
（1）任务：请根据素材1和素材2直接写出：
①展开式中的系数是______；
②展开式中所有项的系数和为______；
【项目成效】
（2）成果展示：
若，求的值．
【拓展应用】
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值．
【答案】（1）① 4 ② 1024（2）2（3）
【分析】（1）① 根据，解答即可．
② 根据已知可得，展开式中所有项的系数和为，的展开式中所有项的系数之和为，展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的系数和为，根据此规律，得展开式中所有项的系数和为，解答即可．
（2）当时，得，当时，得，变形计算即可．
（3）根据得到，，代入计算即可．
本题主要考查多项式乘多项式、规律型：图形的变化，找到规律是解题的关键．
【详解】解：（1）① 根据，
得展开式中的系数是4，
故答案为：4．
② 解：根据题意，得 展开式中所有项的系数和为，
的展开式中所有项的系数之和为，
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为，
根据此规律，得展开式中所有项的系数和为，
故答案为：．
（2）解：根据，
当时，得，
当时，得，
故．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
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专题11.2 整式的乘法
基础知识夯实
知识点01 单项式与单项式相乘
1.单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式
2.单项式与单项式相乘的步骤
(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积;(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加;(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数
写在积里
3.单项式与单项式相乘的法则的实质是乘法交换律,乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用
注意：
1.单项式与单项式相乘的结果仍为单项式
2.只在一个单项式里含有的字母，写积时不要遗漏3.单项式与单项式相乘的法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用
知识点02 单项式与多项式相乘
1．单项式与多项式相乘的法则 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。用字母表示为 ．
2．单项式与多项式相乘的几何解释
如图，大长方形的面积可以表示为 ，也可以视为三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为 ．所以 ．
注意：
1.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同
2.单项式与多项式相乘的实质是利用乘法分配律，把单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式
知识点03 多项式与多项式相乘
1．多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
用字母表示为 ．
2．多项式与多项式相乘的几何解释释 如图，大长方形的面积可以表示为 ，也可以将大长方形的面积看成 4 个小长方形的面积之和，即 ，所以 ．
注意：
1.多项式与多项式相乘的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式.
2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式,在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积
典型案例探究
知识点01 单项式与单项式相乘
例1.（24-25八年级上·广西河池·期末）计算：
【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期末）下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25八年级上·河南漯河·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 单项式与多项式相乘
例1.（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： ．
【变式1】（23-24八年级上·福建漳州·期末）计算： ．
【变式2】（24-25八年级上·北京朝阳·期末）已知，求的值．
【变式3】（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： ．
【变式4】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则的值为 ．
知识点03 多项式与多项式相乘
例1.（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知长方形的面积是，且，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级上·广东湛江·期末）计算：__________．
【变式2】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）若多项式有一个因式为，那么 ．
【变式3】（24-25八年级上·北京·期中）计算：
(1)
(2)
课后作业
A
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．三个连续偶数，若中间一个数为n，则它们的积是（ ）
A． B． C． D．
3．若的乘积中不含与项，则的值为（ ）
A． B． C． D．8
4．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．的计算结果是 次多项式．
6．若梯形的上底长为，下底长为，高为，则梯形的面积为 ．
7．若，则 ， ．
8．定义新运算“”：，则 ，若，则 ．
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)．
10．先化简，再求值：，其中．
11．关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值；
12．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）．
(1)用含，的代数式表示花园的面积；
(2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积；
(3)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元？
B
一、单选题
1．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若计算的结果中不含项，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．使乘积中不含与项的的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
二、填空题
5．计算： ．
6．若，则 .
7．若，则代数式的值为 ．
8．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律可得展开的多项式中各项系数之和为 ．
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)．
10．先化简，再求值：，其中．
11．某学校举办火箭模型制作比赛．如图是同学们制作的一种火箭模型的截面图，该图下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形．
(1)用含a，b的式子表示该截面的面积S；
(2)当时，求这个截面的面积．
12．周长相等的长方形和正方形，按如图所示的方式叠放在一起（其中点D在上，点B在的延长线上，和相交于点G），正方形的边长为m，长方形的宽为x，长为．
(1)写出x，y，m之间的等量关系；
(2)若长方形的周长记作，长方形的周长记作．
①求的值（用含y、m的代数式表示）；
②若关于y的不等式的正整数解只有1个，求m的取值范围；
(3)若长方形的面积记作，长方形的面积记作，试比较与的大小，并说明理由．
C
1．【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式，
代数式的值与的取值无关，
，解得．
【理解应用】
（1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值；
（2）已知，，且的值与的取值无关，求的值.
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
2．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘．
【核心概念】
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：
【任务规划】
（1）任务：请根据素材1和素材2直接写出：
①展开式中的系数是______；
②展开式中所有项的系数和为______；
【项目成效】
（2）成果展示：
若，求的值．
【拓展应用】
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值．

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