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江西省抚州市南城县2023-2024学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．（2024八下·南城期中）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·南城期中） 已知三角形平移后得到三角形，且，，，已知，则，的原坐标分别为
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024八下·南城期中）等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为9 cm，则它的周长为（　　）
A．13 cm B．17 cm C．22 cm D．17 cm或22 cm
4．（2024八下·南城期中） 在下列数学式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2024八下·南城期中） 如果不等式组的解集是，那么a取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·南城期中） 如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2024八下·南城期中） 若，那么　 　（填“>””<”或“=”）
8．（2024八下·南城期中） 若某三角形的三边长分别为，则该三角形的面积是　 　．
9．（2024八下·南城期中） 如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，若的周长为27，则的长为　 　．
10．（2024八下·南城期中） 若Q为等边三角形内一点，绕点B旋转，使与边重合，则　 　
11．（2024八下·南城期中）直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为　 　．
12．（2024八下·南城期中） 如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　 　s时，△POQ是等腰三角形．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2024八下·南城期中）
（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（2）如图，是的平分线，于点D，，则点P到的距离是多少？
14．（2024八下·南城期中） 已知是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不等式．
15．（2024八下·南城期中） 如图，将绕点B顺时针旋转到处，连接，已知，求证：．
16．（2024八下·南城期中） 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形（顶点是网格线的交点）．
（1）先将竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到，点A、B、C对应点分别是、、，请画出；
（2）将绕点顺时针旋转，得，点、对应点分别是、，请画出；
（3）连接，直接写出的长　 　．
17．（2024八下·南城期中） 如图，，E是上的一点，且，，问：与全等吗？请说明理由．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2024八下·南城期中） 下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母得，第步 去括号得，第步 移项得，第步 合并同类项得，第步 两边都除以，得第步
任务一：填空：
（1）以上运算步骤中，第步去括号依据的运算律是　 　；
（2）任务二：请写出正确的解答过程．
19．（2024八下·南城期中） 等腰三角形一条腰上的中线将三角形的周长分成15和21两部分，求该三角形的腰长和底边的长.
20．（2024八下·南城期中） 某校九年级（21）班对半学期考试成绩优秀的学生进行奖励，颁发奖品，班主任安排生活委员到某文具店购买甲、乙两种奖品，若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
（2）因奖品数量的需要和班费的限制，现要求本次购买甲种奖品的数量是乙种奖品的数量的2倍还少10个，而且购买这两种奖品的总金额不超过320元，请问最多购进乙种奖品多少个？
五、（本大题共2小题，共18分）
21．（2024八下·南城期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）若AO＝12，求OE的长．
22．（2024八下·南城期中） 如图
（1）课本再现
如图1，是的外角，平分，，则　 　．（填“>”“=”或“<”）
（2）类比迁移
如图2，在中，是的一条角平分线，过点作交于点，求证：．
（3）拓展运用
如图3，在中，，是角平分线上一点，延长至点，使，过点作交于点，猜想与的数量关系，并进行证明．
六、（本大题共12分）
23．（2024八下·南城期中） 问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得；再连接，把，，集中在中；利用上述方法求出的取值范围是．
（1）问题：请利用图1说明与的位置关系；
感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）类比分析：如图2，和都是等腰直角三角形，，是的中线，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
（3）学以致用：如图3，已知为直角三角形，，D为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边与的延长线交于点F，另一直角边与边交于点E，若，，求出的长是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的含义进行判断即可。
2．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵平移后的对应点是
又∵
∴
即
∵
∴
即
故答案为：D.
【分析】由于三角形A'B'C'是三角形ABC平移得到的，那么三角形三个顶点的移动规律是一样的，从点和的坐标可得到三角形ABC向右移动3个单位，向上移动2个单位，得到三角形A'B'C'，再根据A'和B'的坐标即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】等腰三角形的一边长为 ，另一边长为
则第三边的长可能是： 或
4、4、9 构不成三角形.
4、9、9 可以构成三角形.
周长为：
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三边的关系，可得出可能的三条边的边长，得出周长。
4．【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解： ①，②，⑤，⑥是不等式.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的定义： 用纯粹的大于号“>”（或“≥”）、小于号“<”（或“≤”）表示大小关系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。 ③ 为等式， ④ 为代数式。
5．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵的解集为x＞-1
∴a≤-1
故答案为：C.
【分析】根据不等式组解的规律：同大取大，即可得到答案。
6．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵AH⊥BC，EF∥BC
∴AH⊥EF
①正确
②∵BF平方∠ABC
∴∠ABF=∠CBF
∵EF∥BC
∴∠EFB=∠CBF
∴∠ABF=∠EFB
②正确
③∵BE⊥BF
∴∠E+∠EFB=90°，∠ABE+∠ABF=90°
∵∠ABF=∠EFB
∴∠E=∠ABE
③正确
④∵BE⊥BF，但∠BAC不一定是直角
∴BE不一定平行于AC
∴和不一定全等
∴AF不一定等于BE
④错误
故答案为：A.
【分析】①利用直线垂直的判定定理可得；
②利用BF平方∠ABC和EF∥BC即可得到答案；
③根据等角的余角相等即可得到答案；
④AF=BE的条件不足.
7．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜b
∴-4a＞-4b
∴-4a+8＞-4b+8
故答案为：＞.
【分析】根据不等式基本性质可得到答案.
8．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵52+122=132 ∴三角形为直角三角形 ∴三角形面积= 12×5×12=30
故答案为：30.
【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形，再利用三角形面积公式得到结果.
9．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的中垂线
∴AD=BD
∵
∴BD+CD+BC=27
∴AC+BC=27
∵AB=15
∴BC=12
故答案为：12.
【分析】根据中垂线的性质得到AD=BC，再利用周长的公式，即可得到结果.
10．【答案】或60度
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵是由旋转得到的
∴
∴∠ABQ=∠CBP
∴∠ABQ+∠CBQ=∠CBP+∠CBQ
即∠ABC=∠QBP
∵三角形ABC为等边三角形
∴∠ABC=60°
∴∠QBP=60°
故答案为：60°.
【分析】根据旋转得到，从而得到∠ABC=∠QBP，在根据等边三角形内角为60°，即可得到答案.
11．【答案】x≥1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，
从图中直接看出，在P点右侧时，直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方，
即当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
【分析】利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
12．【答案】2或6或6或2
【知识点】三角形-动点问题；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解：∵△POQ是等腰三角形
又∵∠AOB=60°
∴OP=OQ
根据题意可得，，OQ=t
∴
6-2t=t 解得 t=2
或6-2t=-t 解得 t=6
故答案为：2或6.
【分析】根据∠AOB=60°和△POQ是等腰三角形得到△POQ为顶角是钝角的等腰三角形或者是等边三角形，所以OP=OQ，再用t把OP和OQ表示出来，建立方程解答即可.
13．【答案】（1）解：
移项，合并同类项得，
数轴表示如下：
（2）解：如图，过点P作，
∵是的平分线，点P在上，且，，
∴．
∴点P到的距离是5．
【知识点】角平分线的性质；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据不等式基本性质把不等式解出来即可；
（2）作PE⊥OB，点P到OB的距离就是PE，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得到PE=PD，即可.
14．【答案】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
解得或，
当时，不等式为，解集为．
当时，不等式为，解得．
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式
【解析】【分析】根据一元一次不等式定义：未知数的最高次数为1，未知数的系数不为0，可得到关于b的方程，可解出b的值，代入原不等式中，解出即可.
15．【答案】证明：将绕点B顺时针旋转到，
，，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【分析】根据是由绕点B得到的，得出觉CBE为旋转角和BC=BE，根据三角形内角和可到∠BCE=50°，由于∠ACB=40°，即可得到∠ACE=90°.
16．【答案】（1）解：见解析；如图，为所作；
（2）解：见解析；如图，为所求，
（3）
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：
【分析】（1）将点A、B、C分别向上移动6个单位，向右移动3个单位，得到A1、B1、C1，依次连接即可；
（2）将A1、C1绕点B1顺时针旋转90°，分别得到对应点A2、C2，依次连接即可；
（3）利用虚线将CA2作为斜边画一个直角三角形，再根据勾股定理计算即可.
17．【答案】解：全等，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据等角对等边得到DE=CE，再根据全等三角形判定定理（HL）即可得证.
18．【答案】（1）乘法分配律
（2）去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1） 第步去括号依据的运算律是：乘法分配律；
（2） 在第步 的时候就错了，右边的2漏乘了6，后面根据不等式基本性质解即可.
19．【答案】解：如图，设AD=CD=x，则AB=2x，
∴AB+AD=3x，BC+CD=BC+x.
若AB+AD=15，则BC+CD=21，可得x=5，
∴腰长AB=10，底边BC=16；
若AB+AD=21，则BC+CD=15，可得x=7，
∴腰长AB=14，底边BC=8.
∴该三角形的腰长和底边的长分别为10，16或14，8.
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】运用分类讨论，腰和腰长的一半的和可能等于15，也可能等于21，分别求出腰长，再求出底边长，再根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，来判定两种结果是否都可以形成三角形.
20．【答案】（1）解：设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，
根据题意得：
解得：
答：甲种奖品的单价为3元，乙种奖品的单价为5元．
（2）解：设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为个．
根据题意得：
解得：
又∵为正整数，
∴最多购进乙种奖品31个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据“若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元” 可得到关于x、y的二元一次方程组；
（2）设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为个，根据“两种奖品的总金额不超过320元 ”和利用总价=单价×数量，可得到关于a的不等式，解出来可得到答案.
21．【答案】（1）解：△CDE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠C＝60°，CE＝BC，CD＝AC；而BC＝AC，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：∵ △ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，
∴AE、BD分别是△ABC中BC与AC边上的中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴AO＝2OE，
∵AO＝12，
∴OE＝AO＝6．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得∠C=60°，CD＝CE，从而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△CDE是等边三角形；
（2）根据三角形重心的性质得到：进行计算即可求解.
22．【答案】（1）=
（2）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：连接．
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得∠EAD=∠CAD，再由AD∥BC可得∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，所以∠B=∠C，所以AB=AC；
（2）由角平分线性质可得∠BAD=∠CAD，由DE∥AB可得∠ADE=∠BAD，所以∠CAD=∠ADE，即可得证；
（3）由角平分线可得，即可证明，可得到OC=OM，由，可得，由刚刚证明的三角形全等可得，得到，由前面证得的OC=OM，得到，所以，即可得到.
23．【答案】（1）解：由题知：∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：，，理由如下：
如图2，延长到点Q，使，连接，延长交于P，
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，；
（3）解：延长到点G，使，连接，，
∵为斜边得中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
在中，，则
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）证明，得到，即可得到结果；
（2）延长到点Q，使，连接，延长交于P，利用和都是等腰直角三角形，证明，得到，，即可得到结果；
（3）延长到点G，使，连接，，利用D为斜边的中点， 可证明，可得到，，从而得到垂直平分，所以，，在中，利用勾股定理可求出FE的长度.
1 / 1江西省抚州市南城县2023-2024学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．（2024八下·南城期中）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的含义进行判断即可。
2．（2024八下·南城期中） 已知三角形平移后得到三角形，且，，，已知，则，的原坐标分别为
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵平移后的对应点是
又∵
∴
即
∵
∴
即
故答案为：D.
【分析】由于三角形A'B'C'是三角形ABC平移得到的，那么三角形三个顶点的移动规律是一样的，从点和的坐标可得到三角形ABC向右移动3个单位，向上移动2个单位，得到三角形A'B'C'，再根据A'和B'的坐标即可得到答案.
3．（2024八下·南城期中）等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为9 cm，则它的周长为（　　）
A．13 cm B．17 cm C．22 cm D．17 cm或22 cm
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】等腰三角形的一边长为 ，另一边长为
则第三边的长可能是： 或
4、4、9 构不成三角形.
4、9、9 可以构成三角形.
周长为：
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三边的关系，可得出可能的三条边的边长，得出周长。
4．（2024八下·南城期中） 在下列数学式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解： ①，②，⑤，⑥是不等式.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的定义： 用纯粹的大于号“>”（或“≥”）、小于号“<”（或“≤”）表示大小关系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。 ③ 为等式， ④ 为代数式。
5．（2024八下·南城期中） 如果不等式组的解集是，那么a取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵的解集为x＞-1
∴a≤-1
故答案为：C.
【分析】根据不等式组解的规律：同大取大，即可得到答案。
6．（2024八下·南城期中） 如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵AH⊥BC，EF∥BC
∴AH⊥EF
①正确
②∵BF平方∠ABC
∴∠ABF=∠CBF
∵EF∥BC
∴∠EFB=∠CBF
∴∠ABF=∠EFB
②正确
③∵BE⊥BF
∴∠E+∠EFB=90°，∠ABE+∠ABF=90°
∵∠ABF=∠EFB
∴∠E=∠ABE
③正确
④∵BE⊥BF，但∠BAC不一定是直角
∴BE不一定平行于AC
∴和不一定全等
∴AF不一定等于BE
④错误
故答案为：A.
【分析】①利用直线垂直的判定定理可得；
②利用BF平方∠ABC和EF∥BC即可得到答案；
③根据等角的余角相等即可得到答案；
④AF=BE的条件不足.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2024八下·南城期中） 若，那么　 　（填“>””<”或“=”）
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜b
∴-4a＞-4b
∴-4a+8＞-4b+8
故答案为：＞.
【分析】根据不等式基本性质可得到答案.
8．（2024八下·南城期中） 若某三角形的三边长分别为，则该三角形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵52+122=132 ∴三角形为直角三角形 ∴三角形面积= 12×5×12=30
故答案为：30.
【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形，再利用三角形面积公式得到结果.
9．（2024八下·南城期中） 如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，若的周长为27，则的长为　 　．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的中垂线
∴AD=BD
∵
∴BD+CD+BC=27
∴AC+BC=27
∵AB=15
∴BC=12
故答案为：12.
【分析】根据中垂线的性质得到AD=BC，再利用周长的公式，即可得到结果.
10．（2024八下·南城期中） 若Q为等边三角形内一点，绕点B旋转，使与边重合，则　 　
【答案】或60度
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵是由旋转得到的
∴
∴∠ABQ=∠CBP
∴∠ABQ+∠CBQ=∠CBP+∠CBQ
即∠ABC=∠QBP
∵三角形ABC为等边三角形
∴∠ABC=60°
∴∠QBP=60°
故答案为：60°.
【分析】根据旋转得到，从而得到∠ABC=∠QBP，在根据等边三角形内角为60°，即可得到答案.
11．（2024八下·南城期中）直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为　 　．
【答案】x≥1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，
从图中直接看出，在P点右侧时，直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方，
即当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
【分析】利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
12．（2024八下·南城期中） 如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　 　s时，△POQ是等腰三角形．
【答案】2或6或6或2
【知识点】三角形-动点问题；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解：∵△POQ是等腰三角形
又∵∠AOB=60°
∴OP=OQ
根据题意可得，，OQ=t
∴
6-2t=t 解得 t=2
或6-2t=-t 解得 t=6
故答案为：2或6.
【分析】根据∠AOB=60°和△POQ是等腰三角形得到△POQ为顶角是钝角的等腰三角形或者是等边三角形，所以OP=OQ，再用t把OP和OQ表示出来，建立方程解答即可.
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2024八下·南城期中）
（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（2）如图，是的平分线，于点D，，则点P到的距离是多少？
【答案】（1）解：
移项，合并同类项得，
数轴表示如下：
（2）解：如图，过点P作，
∵是的平分线，点P在上，且，，
∴．
∴点P到的距离是5．
【知识点】角平分线的性质；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据不等式基本性质把不等式解出来即可；
（2）作PE⊥OB，点P到OB的距离就是PE，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得到PE=PD，即可.
14．（2024八下·南城期中） 已知是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不等式．
【答案】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
解得或，
当时，不等式为，解集为．
当时，不等式为，解得．
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式
【解析】【分析】根据一元一次不等式定义：未知数的最高次数为1，未知数的系数不为0，可得到关于b的方程，可解出b的值，代入原不等式中，解出即可.
15．（2024八下·南城期中） 如图，将绕点B顺时针旋转到处，连接，已知，求证：．
【答案】证明：将绕点B顺时针旋转到，
，，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【分析】根据是由绕点B得到的，得出觉CBE为旋转角和BC=BE，根据三角形内角和可到∠BCE=50°，由于∠ACB=40°，即可得到∠ACE=90°.
16．（2024八下·南城期中） 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形（顶点是网格线的交点）．
（1）先将竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到，点A、B、C对应点分别是、、，请画出；
（2）将绕点顺时针旋转，得，点、对应点分别是、，请画出；
（3）连接，直接写出的长　 　．
【答案】（1）解：见解析；如图，为所作；
（2）解：见解析；如图，为所求，
（3）
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：
【分析】（1）将点A、B、C分别向上移动6个单位，向右移动3个单位，得到A1、B1、C1，依次连接即可；
（2）将A1、C1绕点B1顺时针旋转90°，分别得到对应点A2、C2，依次连接即可；
（3）利用虚线将CA2作为斜边画一个直角三角形，再根据勾股定理计算即可.
17．（2024八下·南城期中） 如图，，E是上的一点，且，，问：与全等吗？请说明理由．
【答案】解：全等，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据等角对等边得到DE=CE，再根据全等三角形判定定理（HL）即可得证.
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2024八下·南城期中） 下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母得，第步 去括号得，第步 移项得，第步 合并同类项得，第步 两边都除以，得第步
任务一：填空：
（1）以上运算步骤中，第步去括号依据的运算律是　 　；
（2）任务二：请写出正确的解答过程．
【答案】（1）乘法分配律
（2）去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1） 第步去括号依据的运算律是：乘法分配律；
（2） 在第步 的时候就错了，右边的2漏乘了6，后面根据不等式基本性质解即可.
19．（2024八下·南城期中） 等腰三角形一条腰上的中线将三角形的周长分成15和21两部分，求该三角形的腰长和底边的长.
【答案】解：如图，设AD=CD=x，则AB=2x，
∴AB+AD=3x，BC+CD=BC+x.
若AB+AD=15，则BC+CD=21，可得x=5，
∴腰长AB=10，底边BC=16；
若AB+AD=21，则BC+CD=15，可得x=7，
∴腰长AB=14，底边BC=8.
∴该三角形的腰长和底边的长分别为10，16或14，8.
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】运用分类讨论，腰和腰长的一半的和可能等于15，也可能等于21，分别求出腰长，再求出底边长，再根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，来判定两种结果是否都可以形成三角形.
20．（2024八下·南城期中） 某校九年级（21）班对半学期考试成绩优秀的学生进行奖励，颁发奖品，班主任安排生活委员到某文具店购买甲、乙两种奖品，若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
（2）因奖品数量的需要和班费的限制，现要求本次购买甲种奖品的数量是乙种奖品的数量的2倍还少10个，而且购买这两种奖品的总金额不超过320元，请问最多购进乙种奖品多少个？
【答案】（1）解：设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，
根据题意得：
解得：
答：甲种奖品的单价为3元，乙种奖品的单价为5元．
（2）解：设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为个．
根据题意得：
解得：
又∵为正整数，
∴最多购进乙种奖品31个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据“若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元” 可得到关于x、y的二元一次方程组；
（2）设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为个，根据“两种奖品的总金额不超过320元 ”和利用总价=单价×数量，可得到关于a的不等式，解出来可得到答案.
五、（本大题共2小题，共18分）
21．（2024八下·南城期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）若AO＝12，求OE的长．
【答案】（1）解：△CDE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠C＝60°，CE＝BC，CD＝AC；而BC＝AC，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：∵ △ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，
∴AE、BD分别是△ABC中BC与AC边上的中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴AO＝2OE，
∵AO＝12，
∴OE＝AO＝6．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得∠C=60°，CD＝CE，从而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△CDE是等边三角形；
（2）根据三角形重心的性质得到：进行计算即可求解.
22．（2024八下·南城期中） 如图
（1）课本再现
如图1，是的外角，平分，，则　 　．（填“>”“=”或“<”）
（2）类比迁移
如图2，在中，是的一条角平分线，过点作交于点，求证：．
（3）拓展运用
如图3，在中，，是角平分线上一点，延长至点，使，过点作交于点，猜想与的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）=
（2）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：连接．
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得∠EAD=∠CAD，再由AD∥BC可得∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，所以∠B=∠C，所以AB=AC；
（2）由角平分线性质可得∠BAD=∠CAD，由DE∥AB可得∠ADE=∠BAD，所以∠CAD=∠ADE，即可得证；
（3）由角平分线可得，即可证明，可得到OC=OM，由，可得，由刚刚证明的三角形全等可得，得到，由前面证得的OC=OM，得到，所以，即可得到.
六、（本大题共12分）
23．（2024八下·南城期中） 问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得；再连接，把，，集中在中；利用上述方法求出的取值范围是．
（1）问题：请利用图1说明与的位置关系；
感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）类比分析：如图2，和都是等腰直角三角形，，是的中线，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
（3）学以致用：如图3，已知为直角三角形，，D为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边与的延长线交于点F，另一直角边与边交于点E，若，，求出的长是多少？
【答案】（1）解：由题知：∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：，，理由如下：
如图2，延长到点Q，使，连接，延长交于P，
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，；
（3）解：延长到点G，使，连接，，
∵为斜边得中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
在中，，则
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）证明，得到，即可得到结果；
（2）延长到点Q，使，连接，延长交于P，利用和都是等腰直角三角形，证明，得到，，即可得到结果；
（3）延长到点G，使，连接，，利用D为斜边的中点， 可证明，可得到，，从而得到垂直平分，所以，，在中，利用勾股定理可求出FE的长度.
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