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4.3角的平分线青岛版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
2.浙江温州校级质检，中如图，在四边形中，，，连接，，若是边上一动点，则长的最小值为 ( )
A. B. C. D.
3.如图，点在内，且到三边的距离相等．若，则( )
A. B. C. D.
4.如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为( )
A. B. C. D.
6.在中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，是中的平分线，于点，，，，则的长是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，平分交于点，则等于( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；：：，其中正确的有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
11.如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点不与点重合，连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为( )
A.
B.
C.
D.
12.甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，正确的作图是( )
问题：如图所示，某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则的面积是__________．
14.如图，的外角和的平分线相交于点，连接若，则 ．
15.如图，，和分别平分和，过点，且与垂直若，则点到的距离是 ．
16.如图，在四边形中，，，连接、，若平分，，，则 ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，利用尺规确定可供选择的位置。
18.本小题分
如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．
在图中作的角平分线；
在图中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
19.本小题分
如图，在的两边、上分别取点、，连接若平分，平分．
求证：平分．
若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和．
20.本小题分
如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
求证：平分．
求证：平分．
若，，，，求的面积．
21.本小题分
如图，在中，．
尺规作图：求作的平分线，与交于点不写作法，保留作图痕迹；
若，求各角的度数．
22.本小题分
已知：线段，，
求作：，使，，高．
求作：，使，，角平分线．
要求：作一个即可，用直尺和圆规作图；
保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
23.本小题分
如图，在中，．
尺规作图：作的平分线交于点，再作，使得圆心在边上，且过点、点请保留图痕迹，标明相应的字母，不写作法；
在的条件下，若，，求的半径．
24.本小题分
如图，在边长为的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的．
的面积是______；
利用网格线画，使它与关于直线对称；
求作一格点，使点到、的距离相等，且点到点和点的距离相等，在图中用没有刻度的直尺作出点不写作法，保留作图痕迹；
在上找一点，使的周长最小．
如图所示，已知，请用直尺不带刻度和圆规，按下列要求作图：在边上确定一点，使得不要求写作法，但要保留作图痕迹
25.本小题分
如图，在中，，平分，于点，点在上，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：延长与交于点，如图：
于，平分，
，，
，
为中点，，
，
，
，
当时，面积最大，
此时面积最大，
，
故选：．
延长，构造等腰三角形，与垂直时三角形的面积最大．
本题考查角分线定义、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，解题关键是通过作辅助线找出与面积相关的面积最大的条件．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，解答本题的关键是掌握角平分线的性质定理；首先证明，然后根据“垂线段最短”得出当时，的长度最小，再根据角平分线的性质进行解答，即可求解．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
，
当时，的长度最小，
，
，
长的最小值与长相等，
，
长的最小值是．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：到三角形三边距离相等，
是的内心，即三条角平分线交点，
，，都是角平分线，
，，
，
，
，
故选：．
根据到三角形三边距离相等，即可得是内心，再利用三角形内角和定理即可求出的度数．
此题主要考查了角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．
过作于，由角平分线的性质推出，而，即可求出的面积．
【解答】
解：过作于，
平分，于点，
，
，
的面积．
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了含角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角性质得到是解题的关键．
首先证明是等边三角形，则；然后在直角中，利用含角的直角三角形的性质求的长度，从而得到的长度；最后利用计算即可．
【解答】
解：在中，，，
．
又是的平分线，
，
即，，
．
又，
，即，
则，
，即
为等边三角形，则，
在直角中，，则，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质有关知识，过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等则，再根据列出方程求解即可．
【解答】
解：过作，垂足为，如图，
是中的角平分线，，
，
由题意可知：，
，
解得，
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题关键．
解答此题可过作，连接，然后根据角平分线的性质和三角形的面积可得结论．
【解答】
解：点为与的平分线的交点，
点到三边的距离相等，
过作，连接，
则，
又，，为直角三角形，
，
，
解得：．
故选A．
9.【答案】
【解析】利用等腰三角形的性质求出，再利用角平分线的定义求出，可得结论．
解：，
，
平分，
，
，
故选：．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，平分，
，故正确；
由得，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，故正确；
由得：≌，
，
平分，故正确；
由，
，
，
：：，故正确，
故选：．
由角平分线的性质可以判断；证明≌可以判断；由同角的余角相等可以判断；由≌，根据全等三角形的性质可以判断；利用三角形面积和角平分线的性质可以判断．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，作于，于，于，连接，
平分，，，
，
同理可得：，
，
平分，即点在的平分线上，
，
，
，
如图，作于，则，
即的最小值为，此时点与重合，
，
，
当线段取最小值时，的度数为．
故选：．
作于，于，于，连接，由角平分线性质定理得，再由角平分线的判定知，点在的平分线上，则可求得；当于，则，即的最小值为，此时点与重合，从而求得此时的度数．
本题考查了角平分线的判定与性质、垂线段最短等知识，熟练掌握角平分线的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质、作角平分线，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：作于，

由基本尺规作图可知，是的角平分线，
，，
，
的面积．
故答案为：．
14.【答案】
度
【解析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理．
过作于，于，于，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出．
【详解】解：过作于，于，于，
平分，平分，
，，
，
于，于，
平分，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：过点作于点，
由题意可得：，
，
，
，
，
，，，
，，
，
又，
，
，
故答案为：．
过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解．
本题主要考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
16.【答案】
【解析】解：将顺时针旋转到，连接，如图，
则是等腰直角三角形，且，，
，且平分，
，
，
，，，均在同一条直线上，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
又，
，
设，则，
在中，，
，
解得，，
，
故答案为：．
将顺时针旋转到，连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质进行解答即可．
此题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答．
17.【答案】解：如图所示，点，，，是可供选择的位置。

【解析】见答案
18.【答案】解：如图中，射线即为所求；
如图中，直线或即为所求．

【解析】本题主要考查了格点作图作一个角的平分线、过一点作已知直线的平行线，平行线之间的距离，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．
连接，利用格点连线找出的中点，作射线即为所求；
根据平行线之间的距离处处相等，利用网格特点过点作直线即可；或根据全等三角形的判定与性质，利用网格特点找到的中点与点可确定直线亦满足题意．
19.【答案】【小题】
证明：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为
．平分，，，
．
平分，，，
，
，
平分．
【小题】
解：的面积是，，
，
，
，
．
的面积是，
，
，
，
，
，
即线段与的长度之和为．

【解析】 本题主要考查角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
根据题意，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，再根据角平分线的性质证明即可．
本题主要考查角平分线的性质以及三角形的面积，掌握三角形面积的不同求法是解题的关键．
根据题意先求出 ，再推出，即，进而可得出答案．
20.【答案】【小题】
证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
【小题】
证明：如图，过点作于点，于点，

由可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
【小题】
解：设，
由可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．

【解析】
利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由角的和差关系可得，进而可得，于是结论得证；

过点作于点，于点，由可得是的平分线，同时是的平分线，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，然后由角平分线的判定定理即可得出结论；

设，由可得，由已知条件可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的长，然后利用三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积．
21.【答案】的平分线，如图即为所求；
，
【解析】的平分线，如图即为所求；
在中，，设，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
，
．
以为圆心画弧分别交于、，分别以此两个交点为圆心，大于此两点连线段的为半径画弧交于一点，以为端点过此交点作射线交于，即可求解；
设，由等腰三角形的定义及三角形内角和定理得；，，即可求解．
本题考查了作图复杂作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定，掌握角平分线的作法，能熟练利用三角形内角和定理进行求角度是解题的关键．
22.【答案】见解析；
见解析．
【解析】解：如图所示：即为所求；
如图所示：即为所求．
作线段；作的垂直平分线得中点；以为圆心，为半径作圆；作与距离为的平行线，交圆于点；连接、，即为所求；
作线段；作的垂直平分线得中点；以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，当点，，三点共线时，角平分线，连接、，即为所求．
本题考查了尺规作图，掌握尺规作图是解题的关键．
23.【答案】如图，

【解析】如图所示，即为所求；

如图，连接，
，平分，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
的半径为．
作的平分线交于点，再作线段的垂直平分线交于，以点为圆心，的长为半径画圆，则点和即为所求；
连接，由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理可得，则，由等边对等角得到，则，则，据此可得，即的半径为．
本题主要考查了圆的基本性质，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，含度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
24.【答案】；见解析；见解析；见解析； 见解析
【解析】由勾股定理得：，，，
，
，
的面积是，
故答案为：；
如图，即为所作，
；
如图：点即为所求，
；
如图，点即为所作，
；
如图所示，点即为所求．
．
由勾股定理和勾股定理逆定理得出为直角三角形，，再由三角形面积公式计算即可得解；根据轴对称的性质作图即可得解；画的平分线和的垂直平分线，交点即为点；连接交直线于，点即为所求；
作的垂直平分线交于点，连接，则．
本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、作图轴对称变换、尺规作图基本作图等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
25.【答案】证明：平分，，，
，
在和中，
≌，
．
【解析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
因为，，所以，又因为平分，所以，已知，则可根据判定≌，根据全等三角形的性质即可得到结论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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