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5.6实数青岛版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，数轴上表示数的点如图所示，则，，按照从小到大的顺序排列是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 绝对值等于它的相反数的数是负数 B. 倒数是它本身的数互为相反数
C. 有理数与数轴上的点一一对应 D. 平方根为本身的数是或
3.实数在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是( )
A. B. C. D.
4.如图，实数在数轴上的对应点可能是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
5.已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是( )
A. B. C. D.
6.已知、、在数轴上的位置如图：化简( )
A. B. C. D.
7.下列命题中，是真命题的是( )
A. 两直线相交，同旁内角互补 B. 无限小数一定是无理数
C. 任何实数都有立方根 D. 一次函数的图象一定经过三个象限
8.下列各实数比较大小，其中正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是( )
A. B. C. D.
10.若实数、在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是．
A. B. C. D.
11.实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得( )
A. B. C. D.
12.实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．
14.对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中较小的值，如，按照这个规定，方程的解为 ．
15.比较大小： 填“”、“”或“”．
16.对于实数，定义一种新运算“”：，例如：，当分式方程解为正数时，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
在实数范围内定义一种新运算“”，其规则为，根据这个规则，求：
的值；
中的值．
19.本小题分
实数，在数轴上对应点的位置如图所示，．
化简；
当，时，求的值．
20.本小题分
计算：
；
．
21.本小题分
计算：．
22.本小题分
已知在实数，，，，，中，，互为倒数，，互为相反数，是的绝对值，的算术平方根是，求的值．
23.本小题分
计算：；
化简：．
24.本小题分
计算与求值：
解方程：；
；
．
25.本小题分
完成下列题目：
、分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为．
、两点之间的距离为______；
折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示______的点重合；
若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是______；
绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为．
数轴上表示和两点之间的距离为______，若表示一个有理数，且，则______．
若满足时，则的值是______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：数，，在数轴上的位置如图所示：
．
故选：．
先根据相反数的定义确定的在数轴上的位置，然后根据数轴比较大小即可．
本题主要考查了相反数、利用数轴比较有理数大小等知识，熟练掌握该知识点是关键．
2.【答案】
【解析】解：根据绝对值的性质，倒数的定义，平方根的定义逐项分析判断如下：
A.绝对值等于它的相反数的数是非正数，故原说法不正确，不符合题意；
B.倒数是它本身的数是和，它们互为相反数，原说法正确，符合题意；
C.有理数可以用数轴上的点表示，实数与数轴上的点一一对应，原说法不正确，不符合题意；
D.平方根为本身的数是，原说法不正确，不符合题意；
故选：．
根据定义依次判断即可．
此题考查绝对值的性质，倒数的定义，平方根的定义，熟练掌握以上知识点是关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是实数与数轴的有关知识，由数轴得，然后对各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：由数轴得
，
，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符号题意．
4.【答案】
【解析】解：，
，
实数在数轴上的对应点可能是点；
故选：．
夹逼法求出的范围，即可得出结果．
本题考查实数与数轴，熟练掌握实数大小比较方法是关键．
5.【答案】
【解析】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
和同号，
，
，，
，
故选：．
直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由数轴得：，，
，，，
原式，
故选：．
先根据数轴判断出，，，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简．
本题考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的性质；熟练掌握以上知识点是关键．
7.【答案】
【解析】解：根据平行线的判定，立方根概念，无理数定义，一次函数的性质逐项分析判断如下；
A.两直线平行，同旁内角互补，故B是假命题，不符合题意；
B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故B是假命题，不符合题意；
C.任何实数都有立方根，故C是真命题，符合题意；
D.一次函数中的正比例函数的图象经过二个象限，故D是假命题，不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定，立方根概念，无理数定义，一次函数的性质逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念与定理．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
所以选项错误；
B.因为，
所以．
所以选项错误；
C.因为，
．
所以选项错误；
D.因为，
所以．
所以选项正确．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
，
点表示的实数为，
故选：．
利用勾股定理求出，在判断出的值即可解决问题
本题考查勾股定理，实数与数轴等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：根据数轴可知：，，
所以，，，
所以只有选项D成立，
故选：．
由图可判断，，再逐项计算，即可解答．
本题考查数轴、绝对值、有理数的加法与乘法运算，利用数形结合思想，可以解决此类问题．
11.【答案】
【解析】解：由数轴可知，，
原式
，
故选：．
先根据数轴得到，，则，，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可．
本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，熟练掌握以上知识点是关键．
12.【答案】
【解析】解：从实数在数轴上的位置可得，
，
所以，，
则原式
．
13.【答案】
【解析】解：由数轴可得：，，，，
故原式
．
故答案为：．
直接利用算术平方根，立方根、绝对值的性质等知识分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：分两种情况：
当时，，
，
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
当时，，
由条件可知，
，
解得：，不符合题意，舍去；
综上所述：方程的解为，
故答案为：．
分两种情况：当时，；当时，；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，实数大小比较，实数的运算，熟练掌握以上知识点是关键．
15.【答案】
【解析】通过估算和的取值范围，分别确定与的正负性，进而比较大小．本题主要考查了无理数的估算以及实数大小比较，熟练掌握无理数的估算方法和倒数法比较正数大小是解题的关键．
【详解】解：，，
，
；
又，，
，则．
；，，
，
又，，
．
故答案为：．
16.【答案】且
【解析】解：由条件可得，
去分母，得，
解得，
方程的解为正数，
且，
解得且，
故答案为：且．
先根据题中新定义得方程为，然后解方程为，根据方程的解得且，进而求解即可．
本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式，理解题意，正确列出方程，注意分式的分母不为的条件是解答的关键．
17.【答案】；

【解析】原式
；
原式
．
原式先计算幂的运算，再计算乘法，最后进行加减运算即可得到答案；
原式分别根据完全平方公式和平方差公式将括号展开，再合并即可．
本题主要考查有理数的混合运算和整式的四则运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．
18.【答案】解：；
由题意得：，
，
，
或，
解得：，．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：由数轴，可得，，
，，，
．
当，时，原式．
【解析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，实数的计算，采用数形结合的思想是解此题的关键．
由数轴可得，，从而得出，，，再根据算术平方根的性质化简即可；
将，代入中化简的式子计算即可得解．
20.【答案】；

【解析】
；
．
先根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，乘法公式，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键．
21.【答案】．
【解析】解：
．
先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可．
本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
22.【答案】解：依题意，得，，，，
原式．

【解析】略
23.【答案】；
．
【解析】原式
；
原式
．
根据立方根，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解；
根据分式的减法计算括号内的，然后将除法转化为乘法进行计算即可求解．
本题考查了立方根，负整数指数幂，零指数幂，分式的混合运算，熟练掌握是解题的关键．
24.【答案】或； ；
【解析】，
，
即，
，
解得：或．
原式
；
原式
．
先化简方程为，然后根据平方根的定义解方程即可求解；
根据算术平方根和立方根定义进行求解即可；
先计算算术平方根、零次幂、绝对值及负整数指数幂的运算，然后计算加减法即可．
本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
25.【答案】；；或；
，；
或
【解析】、两点之间的距离为，
故答案为：；
折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为，
设与表示的点重合的点对应的数为，
则，
，
即表示的点与表示的点重合，
故答案为：；
设点所表示的数为，分以下两种情况：
当点在之间时，则，
解得；
当点在点右侧时，则，
解得；
综上，点所表示的数是或，
故答案为：或；
数轴上表示和两点之间的距离为，
，
式子表示到与到的距离之和，
，
，
故答案为：，；
，
式子表示到与到的距离之和，
当时，，
只能在的左边或右边，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
综上，的值是或，
故答案为：或．
根据两点的距离公式求解即可；先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可；
由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解；
由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解．
本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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