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4.2线段的垂直平分线青岛版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
2.如图，在中，，、是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是 ( )
A. B. C. D.
3.如图，等腰中，，，点是底边的中点，以、为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点、，若直线上有一个动点，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
4.如图，在正方形网格中有两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
5.如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.如图，在等腰三角形中，，，是边上的中点，，，分别是和上的动点，则的最小值是 ( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹作直线，分别交线段、于点、，连接若，的周长为，则的周长为 ( )
A. B. C. D.
9.到三角形三边距离相等的点是( )
A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点
C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
10.如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，已知是轴上的一点，、分别为直线和轴上的动点，当的周长最小时，点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.如图，在中，，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，等腰的底边，面积为，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，点在边上运动，则的最小值为______．
14.如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点若，，则周长的最小值是______．
15.如图，中，，，，为边的垂直平分线上一个动点，则周长的最小值为________．
16.如图，在中，，，，垂直平分，若，分别是和上的动点，则的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，电信部门要在区修建一座信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，该发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
18.本小题分
如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接若，的周长是．
求的长．
若是直线上一点，则周长的最小值是______．
19.本小题分
如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点．
求证：≌；
若，求证：．
20.本小题分
如图所示，由每一个边长均为的小正方形构成的正方形网格中，的顶点，，均在格点上小正方形的顶点为格点，利用网格画图，保留必要的画图痕迹
在直线上找一点，使得点到点，的距离相等；
在图中找一点，使得；
在、小题的基础上，请在直线上确定一点，使的值最小．
21.本小题分
如图，在四边形中，，交于点．
求证：四边形为菱形；
如图，过四边形的顶点作于点，交于点，若，求四边形的面积．
22.本小题分
如图，在四边形内部作一点，使得，并且点到两边的距离相等不写作法，保留作图痕迹．
23.本小题分
如图，将边长为的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点和点重合，于点，取的中点，连接．
求证：；
求的周长最小值．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，．
画出关于轴对称的，并写出点的坐标为______；
的面积为______；
在轴上找一点，使三角形的周长最小，在轴上画出点的位置．
25.本小题分
如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，求证：点在的垂直平分线上．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了尺规作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的作法和性质．
利用等线段代换得到，利用线段的垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
【解答】
解：、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
B、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
C、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
D、由图可知，故能得出，故此选项正确．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度．
【解答】
解：连接，
，，
，
，
，
，
、、共线时，的值最小，最小值为的长度，
故选B．
3.【答案】
【解析】解：连接、，如图，
由作法得垂直平分，
，
，
当且仅当、、共线时取等号，
的最小值为，
，点为的中点，
，
在中，，，
，
的最小值为．
故选：．
连接、，如图，利用基本作图可判断垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，由于当且仅当、、共线时取等号，所以的最小值为，接着利用等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算出即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和最短路径问题．
4.【答案】
【解析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最短，据此结合图形可得答案．
【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时最短，
由图可知，交直线于点，
点应选在点，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到的最小值即为的长，由此得到答案．
【详解】解：如图，连接，
是的垂直平分线，
，
根据两点之间线段最短，
，最小，
此时点与点重合．
所以的最小值即为的长，为．
所以的最小值为．
故选：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】如图，过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，此时最小．，是边上的中点，是的平分线．，的长是点到直线的最短距离．，，是边上的中点，，的最小值是．
7.【答案】
【解析】解：由条件可知，
在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
，，
，，
，，
，
．
故选：．
由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，，再结合三角形的外角性质可得，最后根据，即可求解．
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点．
故选：．
根据角平分线的性质判断即可．
本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
10.【答案】
【解析】解：由条件可知，，
，
，
作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交于点，作，
则：的周长，，
当，在线段上时，的周长最小，
，，，
，，为等腰直角三角形，
，
，
，
当时，，
，
由条件可知为，的中点，
，
设直线的解析式为，由条件可得：，解得：，
，
联立，解得：，
；
故选：．
坐标与轴对称，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，与轴的交点即为点，与直线的交点即为点，求出直线的解析式，与直线联立，求出点的坐标即可．
本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握以上知识点是关键．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，即的周长最小．
，，
，
，
，
，
，
，
，
的周长的最小值，
故选：．
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，即的周长最小．求出、的长即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
13.【答案】
【解析】解：在等腰中，直线是腰的垂直平分线，如图，连接，
，
，
当点、、三点共线且时，的值最小，即等于的长，如图，
，等腰的面积为，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，由线段垂直平分线的性质可得，得到，可知当点、、三点共线且时，的值最小，即等于的长，利用三角形的面积求出的长即可求解．
本题考查了轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点，
，
，
、、三点共线时，取最小值，
，，
周长的最小值为：，
故答案为：．
根据题意得到周长的最小值是，直接求解即可得到答案．
本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了轴对称最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定点的位置是解题的关键．因为的垂直平分线为，所以点和点关于直线对称，所以当点动点和重合时则的周长最小值，再结合题目的已知条件求出的长即可．
【解答】
解：
为边的垂直平分线上一个动点，
点和点关于直线对称，
当点动点和重合时则的周长最小值，
，，，
，
，
的周长最小值，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，过作于；
垂直平分，
，，
，
当、、三点共线时，最小，
此时，即、重合，
与重合，
从而最小，最小值为线段的长；
，
．
故答案为：．
连接，过作于；由垂直平分，得，，则，当、、三点共线，且即，重合时，最小，从而最小；利用面积相等关系即可求得最小值．
本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，把求最小值转化为求最小值是解题的关键．
17.【答案】解：作出线段的垂直平分线，与的平分线交于点，则点为所求．

【解析】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的作图以及线段的垂直平分线和角的平分线的性质，是基本作图题，需熟练掌握根据题意，点既在线段的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔的位置．
18.【答案】；

【解析】由题意可得：，
的周长．
，
；
连接，当点与点重合时，的周长最小．
理由：，，
当点与点重合时，，
此时的最小值等于的长，
周长的最小值．
故答案为：．
根据垂直平分线的性质得，的周长是，，即可求的长度；
当点与点重合时，周长的最小，即为的周长．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题．解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
19.【答案】【小题】
点为的中点，
．
，
，．
在和中，
≌．
【小题】
点为的中点，，
直线为线段的垂直平分线．
．
由，得≌，
．
．

【解析】 略
略
20.【答案】【小题】
解；如图，点，即为所求．
【小题】
解；如图，点即为所求．
【小题】
解；如图，点即为所求．

【解析】
取格点，，作直线交于点，点即为所求．

三边垂直平分线的交点，即为所求．

作点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求．
21.【答案】证明：，，
垂直平分，
，
，
四边形为菱形；
解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
．
【解析】根据题意得出垂直平分，再由菱形的判定即可证明；
连接，根据菱形的性质及等边三角形的判定得出是等边三角形，再由其性质及勾股定理得出，结合图形得出求解即可．
本题主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
22.【答案】如图，点即为所求．

【解析】解：如图，点即为所求．
作线段的垂直平分线，作平分，射线交直线于点，点即为所求．
本题考查作图角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
23.【答案】过点作于点，则，，
正方形沿折叠，点落在边上的点处，
，且折叠性质：折痕垂直平分对应点连线，
，
又，
，
在和中：
，
≌，，
；

【解析】过点作于点，则，，
正方形沿折叠，点落在边上的点处，
，且折叠性质：折痕垂直平分对应点连线，
，
又，
，
在和中：
，
≌，，
；
连接，取的中点，连接，
由题意可得：，，，
，
，
的周长，
，
的周长，
当、、三点共线时，最小，
，
的周长的最小值为，
故答案为：．
过点作于点，然后根据全等定理判定≌，从而得出；
连接，取的中点，连接，根据折叠的性质，，，，要求的周长的最小值，只需求的最小值，当、、三点共线时，最小，勾股定理求出，即可求解．
本题考查了正方形与折叠，还考查了最短路径问题，解题关键是根据折叠和直角三角形的性质得出线段相等，把三角形的周长转化为两点之间，线段最短问题．
24.【答案】见解析，；
；
见解析．
【解析】如图，即为所求；点的坐标为；
的面积为：；
如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
此时三角形周长最小，
则点即为所求．
根据轴对称的性质找出对应点的位置，再顺次连接即可作图；
利用割补法求三角形的面积即可．
取点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求．
本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、网格中求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
25.【答案】证明：如图，连接，．
在和中，
≌，
，
点在的垂直平分线上．
【解析】提示：连接，，证≌得
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