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汶上圣泽中学补习部第一次月考数学20250913
单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则(　　)
A． B． C． D．
2．已知p：，q：，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知f(x)＝sin x－x，命题p：，,f(x)<0，则(　　)
A．p是假命题，﹁p：，f(x)≥0
B．p是假命题，﹁p：，f(x0)≥0
C．p是真命题，﹁p：，f(x)≥0
D．p是真命题，﹁p：，f(x0)≥0
4不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
5．若为奇函数，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．
6．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 (　　)
A． B． C． D．
7．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A. B.
C. D.
多项选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分
9．若，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．的最大值为
C．的图象关于成中心对称
D．函数的减区间是
11．已知函数，其中e是自然对数的底数，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则为奇函数
B．若，则为偶函数
C．若具备奇偶性，则或
D．若在上单调递增，则a的取值范围为
12关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的图象关于点(π，0)对称
13．(多选题)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，若y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，＞0，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x＋4)＝f(x)
C．f(22)＝0
D．f(x)在(－4，－2)上单调递减
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
14．已知函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)－2为奇函数，且f(1－x)＝f(3＋x)，则f(2023)＝________．
15．已知函数f(x)＝ax3－ln ＋3sin x＋7，x∈[－2023，2023]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
16. 若函数为奇函数，则_________
17．已知函数，若，则实数的取值范围是_________
解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
18(13分)．若关于的不等式的解集为.
(1)当时，求的值；
(2)若，，求的值，并求的最小值.
19.(15分)已知R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋
f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式
20.(15分)解关于X的不等式.(15分)
21．(17分)某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗，利用暑假时间在教学楼的屋顶和外墙建造隔热层.本次施工要建造可使用30年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.由于建造工艺及耗材等方面的影响，该教学楼每年的能源消耗费用T（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：当时，；当时，；若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元.设为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小.并求最小值.
汶上圣泽中学补习部第一次月考数学试题答案
一.1【答案】D 解析：，故，
2 【解析】选B.因为x2－x－20>0，所以x>5或x<－4.因为log2(x－5)<2，所以05或x<－4}，所以p是q的必要不充分条件．
3【解析】选C.易知当x∈时，f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在上是减函数．
因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p： x0∈，f(x0)<0是真命题，﹁p： x∈，f(x)≥0.
4【答案】C【详解】即为即，故，
故解集为.故选：C.
5 C【详解】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称. 若，则的定义域不关于原点对称，所以的定义域为且，从而，解得.所以，定义域为.令，得.经检验，为奇函数，故选：C.
6【答案】B解析:因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，故函数是以4为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知,故选B．
7【答案】C【详解】由，，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．
所以，解得或，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
8【答案】B【解析】
【详解】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着变化可能出现：，，，，
故选：B．
二9．BC 【详解】对于选项A：因为，则在内单调递增，
且，所以，故A错误；
对于选项B：因为，则在定义域内单调递减，
且，所以，故B正确；
对于选项C：因为，则在定义域内单调递减，
且，所以，故C正确；
对于选项D：由选项C可知：，则，
所以，故D错误；
10．AC【详解】选项A，函数的定义域为，由，解得，
所以函数的定义域为，故选项A正确
选项B，，因为，所以由指数函数的单调性可得，
所以当时函数取得的最小值为，故选项B不正确
选项C，因为的对称中心为，将函数的图象向左平移个单位，
再向上平移个单位得到，对称中心为，故选项C正确；
选项D，为开口向上的二次函数，且时，解得或，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
结合对数函数的单调性可知函数的减区间是，故选项D错误；
故选：AC
11．BCD【详解】若，，则，解得，故的定义域为，不关于原点对称，即A错误；
若，，定义域为，满足，故为偶函数，即B正确；
当时，由B可知为偶函数，
当时，易知为奇函数，即C正确；
由题知， ，若在上单调递增，则函数在上单调递增，则在恒成立，即在恒成立，解得，即D正确. 故选：BCD
12解析：BCD　∵f(x)＝sin x＋x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin (－x)＋＝－sin x－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确；∵f＝cos x＋，f＝cos x＋，∴f＝f，∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；又f(x＋2π)＝sin (x＋2π)＋＝sin x＋，f(－x)＝－sin x－，∴f(x＋2π)＝－f(－x)，∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确．
13.解析：ABC　由y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(1＋x－1)＝f(1－x－1)，即f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数，故选项A正确；由f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，令x＝－2，可得f(2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)，则f(x)的周期T＝4，故选项B正确；f(22)＝f(4×5＋2)＝f(2)＝0，故选项C正确；又f(x)在(0，2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，因为周期T＝4，则f(x)在(－4，－2)上单调递增，故选项D错误．故选A、B、C．
三．
14解析：因为f(x＋1)－2为奇函数，所以f(－x＋1)－2＝－[f(x＋1)－2]，即f(1＋x)＋f(1－x)＝4，在该式中，令x＝0，可得2f(1)＝4，则f(1)＝2.又f(1－x)＝f(3＋x)，所以f(1＋x)＋f(3＋x)＝4　①.所以f(x＋3)＋f(x＋5)＝4　②.由①②可得f(x＋5)＝f(x＋1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，且该函数的周期为4.所以f(2023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝4－f(1)＝2.
15解析：令g(x)＝f(x)－7＝ax3－ln ＋3sin x，且x∈R，则g(－x)＝a(－x)3－ln ＋3sin (－x)＝－ax3－ln －3sin x＝－ax3－－3sin x ＝－ax3＋－3sin x＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，且在x∈[－2023，2023]上连续．根据奇函数的对称性知g(x)在x∈[－2023，2023]上的最大和最小值关于原点对称，则g(x)max＋g(x)min＝M－7＋m－7＝0，故M＋m＝14.
答案：14
16 【详解】因为函数为奇函数，
所以由可得，即，整理得，解得，经检验，当或时，满足，故答案为：
17．
【详解】令，，
所以为奇函数，不等式，
等价于，即，因为为奇函数，
所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得：
18【答案】(1)(2)，的最小值为.
【详解】（1）由题意，关于的方程有两个根，，
所以，故.
（2）由题意，关于方程有两个正根，
且由韦达定理知，解得，
所以，
所以，
又，，故、，
所以，当且仅当即时等号成立，
结合得即，时取等号.
此时实数符合条件，
故，且当时，取得最小值.
19【解析】(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，即f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是单调递增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
20【解析】当a=0时,则-x-2<0,解得x>-2,故不等式的解集为;
当a≠0时,不等式因式分解可得(ax-1)(x+2)<0,
当a>0时,则<0,解得-2当a=-时,<0,解得x≠-2,
故不等式的解集为;
当-2<<0,即a<-时,(ax-1)(x+2)<0化为(x-(x+2)>0,
解得x>或x<-2,故不等式的解集为∪;
当<-2,即-<0化为>0,解得x>-2或x<,故不等式的解集为∪;
综上所述,当a=0时,不等式的解集为;当a>0时,不等式的解集为;当a=-时,不等式的解集为;当-21．(1)，
(2)当时，取得最小值，且最小值为万元.
【分析】(1)由题意知本题分两部分讨论.当时，由求出，求出对应，当时，求出.
(2) 当时,利用均值不等式求出，当时，二次函数，故.
【详解】（1）由题意知若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元，
解得，
当时，
当时，，
（2）当时，，
当且仅当时等号成立.
当时，当时，，
所以，当时，取得最小值，且最小值为万元试卷第1页，共3页

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