资源简介

必修第一册第四章 指数函数与对数函数单元测试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1（5分）．化简 的结果为（　　）
A．5 B． C． D．
2（5分）．已知，，则（　　）
A．3 B．1 C． D．
3（5分）．若函数为偶函数，则实数（　　）
A．1 B． C．－1 D．
4（5分）．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度（℃）的关系为（、为常量）.若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10℃中的保鲜时间约是（　　）
A．49h B．56h C．64h D．76h
5（5分）．已知，且，则函数的图象一定经过
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
6（5分）．若，，，则（　　）
A． B． C． D．
7（5分）．函数的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
8（5分）．设函数，则使得成立的的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.）
9（6分）．下列运算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
10（6分）．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称 D．函数在上为减函数
11（6分）．已知函数关于的方程有个不同的实数根，则下列选项对的有（　　）
A．函数的零点个数为
B．实数的取值范围为
C．函数无最值
D．函数在上单调递增
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上）
12（5分）．函数且 过定点，则________
13（5分）．已知，则　 　（结果用a，b表示）.
14（5分）．若实数满足，，则　 　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
15（13分）．化简求值：
（1）；
（2）.
16（15分）．已知函数．
（1）若过定点，求的单调递减区间；
（2）若值域为，求a的取值范围．
17（15分）．已知函数，且．
（1）若，求方程的解；
（2）若对，都有恒成立，求实数的取值范围．
18（17分）．在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆.
（1）根据以上数据，试从和两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势并说明理由，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式；
（2）2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降2%，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：）
19（17分）．设函数.
（1）当时，求方程的实数解；
（2）当时，
（ⅰ）存在，使不等式成立，求k的范围；
（ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使，求实数b的取值范围.
答案解析
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由 。
故答案为：B.
【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式，化简出结果。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：由，可得，，
则，
故答案为：B
【分析】利用指数恒等式（且， ）以及对数的运算规则，分别求出和的值，再计算 .
3．【答案】D
【解析】【解答】解： 函数 的定义域为，
因为函数为偶函数，
所以，即，解得，
所以，
所以，
所以为偶函数，符合题意.
故选：D.
【分析】先求得函数的定义域，进而根据偶函数的定义，可得，列式可求得，再代入进而检验即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意列方程组，求得，再利用指数式的运算性质求解即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：当时，，
则当时，函数图象过二、三、四象限；
则当时，函数图象过一、三、四象限；
所以函数的图象一定经过三、四象限.
故答案为：D
【分析】由函数过点，分类可解.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因为在定义域上单调递减，所以，
即，在定义域上单调递减，所以，即，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：易知函数均在定义域上单调递增，所以函数单调递增，
又因为，即，所以函数的零点所在的区间为.
故答案为：A.
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理判断即可.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以f(x)为偶函数，当时，单调递增，由得，
或且，
所以 使得成立的的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，将转化为求解即可.
9．【答案】A,B
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：A,B
【分析】利用对数的基本运算即可得解.
10．【答案】A,B
【解析】【解答】解：A中，因为，所以函数的定义域为，故A正确；
B中，，
由，
所以函数的值域为，故B正确；
C中，因为，
所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；
D中，因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，故D错误.
故选：AB.
【分析】根据指数函数的性质，结合函数奇偶性的定义、单调性的性质，逐一判断，即可求解.
11．【答案】B,C
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
A、由图可知函数的零点个数为3，故A错误；
C、由图象可知：函数无最值，故C正确；
D、由图象可知：函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，故D错误；
B、令，则方程转化为，要使有6个不同的实数根，
即有两个根，令，则，解得，故B正确.
故答案为：BC.
【分析】作出函数图象，即可判断ACD；令，则方程转化为，由题意有两根，设列不等式组求解即可判断B.
12．【答案】
【解析】【解答】解：令，解得，则函数恒过点，故
故答案为：
【分析】根据指数函数的图象和性质求解即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：根据对数的运算法则和对数的换底公式，可得：，
故答案为：.
【分析】利用换底公式及同底对数加减运算法则，准确化简、运算，即可求解.
14．【答案】1
【解析】【解答】令，易知为单调递增函数，，
即有且仅有一个零点，
又由题可知，即，
所以，
所以，即，
又，得，
所以.
故答案为：1.
【分析】令，易知为单调递增函数，易知有且仅有一个零点，，可得，由已知条件通过函数变形同构可得，进而代入题中求解即可.
15．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据对数函数的运算法则求解即可.
16．【答案】（1）解：由函数过定点，
可得，可得，解得，所以，
令，解得或，即函数的定义域为，
设，则函数在上为单调递减函数，
又由函数在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
所以函数的递减区间为；
（2）解：由函数的值域为，
即为函数值域的子集，即，
当时，可得，此时函数的值域为，符合题意；
当时，则满足，解得，所以；
当时，此时的开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
【解析】【分析】（1）由函数过定点，求得，得到，
再令，求得函数的定义域为，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定法求解即可；
（2）根据题意，转化为，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可.
（1）解：由函数过定点，
可得，可得，解得，所以，
令，解得或，即函数的定义域为，
设，则函数在上为单调递减函数，
又由函数在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
所以函数的递减区间为.
（2）解：由函数的值域为，
即为函数值域的子集，即，
当时，可得，此时函数的值域为，符合题意；
当时，则满足，解得，所以；
当时，此时的开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：令，则，
当时，等价于，即，
得，有或，
则或，所以或.
（2）解：令t=log3x，由，得，
依题意得恒成立，因为t＞0，所以在上恒成立，
令，对称轴，
①当时，即，，得.所以.
②当，即，，得.所以.
综上所述，m的取值范围为[0，1）.
【解析】【分析】（1）令，利用换元法将原方程转化为，求出的值，结合对数的运算性质求解即可；
（2）令，原不等式可转化为在上恒成立，只需，结合二次函数的性质分类讨论求出的最小值即可得解.
18．【答案】（1）解：由于新能源汽车保有量每年增长得越来越多，因此应该选择指数模型。应选函数模型是（且），
由题意得，得，所以
（2）解：设从2019年底起经过x年后传统能源汽车保有量为y辆，则有，
设从2019年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，
则有，
化简得，
解得，
故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．
【解析】【分析】本题考查指数函数模型的应用，对数的运算法则.
（1）由增长趋势知，增长快，应选函数模型是，根据题意可列出方程组，解方程组可求出y关于x的函数关系式 ；
（2）设从2019年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，根据题意可列出函数关系式，再根据新能源超过传统汽车可列出不等式，将指数式转化为对数式，解不等式可求出问题的答案.
19．【答案】（1）解：当时，，由题意得，
所以或，解得或.
（2）解：当时，，该函数在上单调递增，
（ⅰ）存在，使不等式成立，
即成立，即成立，
则，
当时，，所以.
（ⅱ）当时，的值域为，
当时，的值域为，
根据题意，得，
则，解得，
故实数b的取值范围为.
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出，再利用绝对值方程的解法和指数函数性质，从而求解得出方程的实数解.
（2）根据指数函数性质和函数的解析式判断出函数单调性.
（ⅰ）利用函数单调性，将问题化为上，即可求出参数k的取值范围.
（ⅱ）先求出两函数在上的值域，再将问题转化为，则根据分类讨论的方法，从而借助数轴得出实数b的取值范围.
（1）当时，，由题意得，
所以或，解得或.
（2）当时，，该函数在上单调递增.
（ⅰ）存在，使不等式成立，
即成立，即成立，从而，
又当时，，所以.
（ⅱ）当时，的值域为，
当时，的值域为，
根据题意，得，从而，解得.
故实数b的取值范围为.

展开更多......

收起↑