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24.3 正多边形和圆
第 1 课时 正多边形和圆 (1)
基础巩固提优
1. 教材P106练习T3·变式 (2024·北京十一中三模)半径为 R 的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为（ ）.
B. 1:2
D. :1
2.(2024·镇江中考)如图,AB 是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O 上,∠ACB =18°,则 n =
3.中考新考法 归纳一般结论(2024·浙江台州临海期中)如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题.
(1)将下面的表格补充完整；
正多边形的边数 3 4 5 6 ·· n
∠α的度数 60° ●
(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=16°.若存在，直接写出 n 的值；若不存在，请说明理由.
思维拓展提优
4.(2024·青岛中考)为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE 和正方形CDFG中,CF,DG的延长线分别交AE,AB于点M,N,则∠FME 的度数是( ).
A. 90° B. 99°
C. 108° D. 135°
5.教材P123复习题T5·变式 (2025·河北石家庄长安区期末)两个边长为 2 的正六边形按如图所示方式放置，则点 A 的坐标是（ ）.
B.(3,4)
C. (4,2
6.传统文化 割圆术(2023·福建中考)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）.
A.
C. 3
7.(2025·北京师大附中期中)如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=α(0°<α<90°),O为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D',两个菱形的公共点为 E,F,G,H.对八边形 BFB'GDHD'E 给出下面四个结论，正确的是（ ）.
A.对于任意α，该八边形都是正八边形
B.存在唯一的α，使得该八边形为正八边形
C.对于任意α，该八边形都有外接圆
D.存在唯一的α，使得该八边形有内切圆
8.如图，有一个圆O和两个正六边形T ,T . T 的6个顶点都在圆周上,T 的6条边都和圆O 相切(我们称T ，T 分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).设T ，T 的边长分别为a，b，圆O 的半径为r，求r ：a及r:b的值.
延伸探究提优
9.如图，中心为O的正六边形ABCDEF 的半径为6cm,点 P,Q同时分别从A,D 两点出发,以1cm/s的速度沿AF,DC 向终点 F,C 运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).
(1)求证：四边形 PBQE 为平行四边形；
(2)若四边形 PBQE 为矩形,求矩形 PBQE的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比.
中考提分新题
10.(2024·呼和浩特中考)如图,正四边形 ABCD 和正五边形CEFGH 内接于⊙O,AD 和EF 相交于点M,则∠AMF 的度数为( ).
A. 26° B. 27° C. 28° D. 30°
正多边形和圆 (2)
基础巩固提优
1.(2025·北京大学附中期中)如图，北京隆福寺毗卢殿明间藻井现藏于北京古代建筑博物馆中，其设计独特，由正八边形、菱形和圆形组合而成.中间雕着一条栩栩如生的盘龙，由整块金丝楠木精雕细琢而成，细节之处彰显匠人技艺.其中正八边形一个内角大小为（ ）.
A. 108° B. 120° C. 135° D. 150°
2.传统文化 古钱币如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的( ).
A. 27倍 B.1 4倍C .9 倍D .3 倍
3.教材P108习题T5·变式如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b=3cm,则螺帽边长a= cm.
4.某中学在校园里建了一个读书亭.如图，它的地基是半径为6m 的正六边形.
(1)地基的周长是多少
(2)地基的面积是多少
思维拓展提优
5.新情境 蜂巢结构 (2023·山西中考)蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点.若点 P，Q的坐标分别为((-2 ,3),(0,-3),则点M的坐标为（ ）.
6.已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点 A，B，C，D，E，F在圆上.若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）.
7.(2024·天津西青区期末)如图，已知点 A 是半径为3的⊙O 上任意一点，以点 A 为圆心、OA 为半径作弧，交⊙O 于点B，以点 B 为圆心，OA为半径作弧交⊙O 于点C，同上述作图方法逆时针作出点 D,E,F,依次连接A→B→C→D→E→F→A，则这个多边形的周长为
8.如图，某酒店有一张桌面边长为2米的正六边形桌子，每边围坐两人(平均每人占据1米长的桌沿)，可坐下 12人.现酒店方想将桌面改成正十二边形，每边坐1人，也可坐下12人.改造方案如下：在原正六边形桌面的顶点处分别截去一个等腰三角形，则桌面改造后，围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少 米.(精确到0.01米，参考数据：
9.中考新考法 操作探究[问题探究]
(1)请在图(1)的正方形 ABCD 内,画出使∠APB=90°的一个点 P,并说明理由;
(2)请在图(2)的正方形 ABCD 内(含边),画出使∠APB=60°的所有的点 P,并说明理由;
[问题解决]
(3)如图(3),现有一块矩形钢板ABCD,AB=4，BC=3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP'D 钢板,且∠APB=∠CP'D=60°,请你在图(3)中画出符合要求的点 P 和 P'，并求出△APB 的面积(结果保留根号).
延伸探究提优
10.中考新考法 归纳一般结论 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形.
乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形,如图(1),△ABC 是正三角形, 证明六边形 ADBECF 的各内角相等，但它未必是正六边形.
丙同学：我能证明，边数是5 时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形.
(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；
(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图(2))是正七边形;(不必写已知、求证)
(3)根据以上探索过程，提出你的猜想.(不必证明)
24.3 正多边形和圆
第1课时 正多边形和圆(1)
1. C [解析]如图(1),过点O作OD⊥BC于点D,连接OB.∵△ABC是正三角形，且是半径为 R的⊙O的内接正三角形，
如图(2),过点 A 作OE⊥BC 于点 E,连接OB,OA.
∵六边形是半径为R 的圆的内接正六边形，
∴∠AOB=60°,OA=OB=R,
∴△AOB 是正三角形,
∴∠AOE=30°,
∴圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为 故选C.
2.10
(2)不存在一个正n边形，使其中的∠α=16°.理由如下：令 解得n=11.25.
又n为大于等于3的正整数，
所以不存在这样的正n边形，使其中的∠α=16°.
思路引导 (1)由所给图形依次求出∠α的度数，根据发现规律即可解决问题；(2)由(1)发现的规律即可解决问题.
4. B
5. D[解析]如图，设左边正六边形的中心为C，连接CD，AB.由题意，得 CB=CD=2,
∴△BCD 是等边三角形,
∴∠CDB=60°,CD=2.
∵正六边形的一个内角度数为
∴∠CDB+∠ADB=180°,∴A,C,D 三点共线.
∵AD=BD=2,
∵OB=OC+BC=4,∴点A 的坐标为(2 ,4).故选 D.
6. C[解析]如图，AB 是正十二边形的一条边，点O 是正十二边形的中心，过点 A 作AM⊥OB 于点 M.在正十二边形中, ，∴正十二边形的面积为
∴π=3,∴π的估计值为3.故选C.
7. B [解析]如图,延长BD和DB,连接OH.∵四边形ABCD 是菱形,∠BAD=α,
∴∠BAO=∠DAO= ∠AOD=∠AOB=90°.
∵菱形 ABCD 绕点O 逆时针旋转 90°得到菱形A'B'C'D',
∴点A',D',B',C'一定在对角线AC，BD 所在直线上，OD=OD'=OB=OB',OA=OA'=OC=OC',
又∠D'HA=∠DHC',∴△AD'H≌△C'DH(AAS),∴D'H=DH,C'H=AH.
同理可证D'E=BE,BF=B'F,B'G=DG,
∵∠EA'B=∠HC'D,A'B=C'D,∠A'BE=∠C'DH,
∴△A'BE≌△C'DH(ASA),∴DH=BE.
同理可得DH=BE=D'H=D'E=BF=FB'=B'G=DG,∴八边形 BED'HDGB'F 各边长都相等.
当∠BAD=α=45°时,∠ADB=∠CDB=67.5°,即∠HDG=135°,
∴∠D'HD=135°,∴∠D'HD=∠HDG=135°.
同理可得∠D'HD=∠HDG=∠DGB'=∠GB'F=
∴当∠BAD=α=45°,八边形 BED'HDGB'F 各内角相等，故B正确.故选 B.
8.如图,连接OE,OF,OG,OH,则OE=OF=r.
∵T 是正六边形,且EF=a,
∴△OEF 是等边三角形,∴OE=a,∴r:a=1:1.
∵T 是正六边形,且GH=b,
∴△OGH 是等边三角形,∴OG=GH=b.
∵HG 与⊙O相切,∴OE⊥GH.
∴OE 平分∠GOH,
即
9.(1)∵六边形ABCDEF 是正六边形,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,
∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.
∵点P，Q同时分别从A，D 两点出发，以1cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,
∴AP=DQ=t cm,PF=QC=(6-t) cm.
在△ABP 和△DEQ中,
∴△ABP≌△DEQ(SAS).∴BP=EQ.
同理可证 PE=QB,∴四边形PEQB 为平行四边形.
(2)如图(1),连接BE,OA,则
正n边形的中心角
∵OA=OB,∴△AOB 是等边三角形.
∴AB=OA=6cm,BE=2OB=12cm.
当t=0时，点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，四边形PBQE 即为四边形ABDE,如图(1)所示,
则∠EAF=∠AEF=30°,
∴此时四边形 ABDE 是矩形，即四边形 PBQE 是矩形；
当t=6时，点P 与点 F 重合，点Q 与点C 重合，四边形PBQE 即为四边形FBCE,如图(2)所示.
同理可知∠BFE=90°,此时四边形 PBQE 是矩形.
综上所述，当t=0或6时，四边形PBQE 是矩形，
S矩形FBCE=S矩形ABDE=AB·AE=6×6 =36 (cm ).
10. B [解析]如图,连接OG,OF,OD,OE,DF,AC,则AC
是正五边形CEFGH，正方形ABCD 的对称轴，
∵AC 是正五边形CEFGH 的对称轴,
故选B.
第2课时 正多边形和圆(2)
1. C 2. B 3.
4.(1)如图,连接OB,OC.
∵六边形ABCDEF 是正六边形,
∴△OBC 是等边三角形,
∴BC=OB=6m,
∴正六边形ABCDEF 的周长=6×6=36(m).
(2)如图,过点O作OG⊥BC 于点 G.
∵△OBC 是等边三角形,OB=6m,
5. A
6. D [解析]如图,连接AD 交 PM于点O，则点 O 是圆心，过点 O作ON⊥DE 于点 N,连接 MF,取MF 的中点G,连接GH,GQ,由对称性可知OM=OP=EN=DN=1.
由正六边形的性质，得ON=2
由正六边形的性质,知△GFH,△GHQ,△GQM 都是正三角形， 故选D.
7.18 8.0.08
9.(1)如图(1),连接AC、BD 交于点P,因为正方形的对角线互相垂直,则∠APB=90°,∴点 P 为所求.
(2)如图(2),画法如下:
①以AB为边在正方形内作等边三角形ABP；
②作△ABP 的外接圆O,分别与AD,BC 交于点E,F.
∵在圆O中，弦AB 所对的. 上的圆周角均为60°，
∴EF 上的所有点均为所求的点P.
(3)如图(3),画法如下:
①连接AC;
②以 AB 为边作等边三角形ABE；
③作等边三角形ABE 的外接圆O，交AC 于点P;
要使∠APB=60°,则点 P 在等边三角形的外接圆上
④在AC上截取AP'=CP.
由边角边可证△ABP≌△CDP'
则点 P,P'为所求.
如图(3),过点 B 作BG⊥AC,交AC 于点G.
∵在Rt△ABC 中,AB=4,BC=3,
在 Rt△ABG中,AB=4,
在Rt△BPG中,∠BPA=60°,
令GP=x,则BP=2x,
即
解得 负值舍去)，即(
∴DEF=ABC.∴∠AFC=∠DAF.
同理可证，其余各角都等于∠AFC.
故题图(1)中六边形各角相等.
(2)∵∠A=∠B,∠A 对BEG,∠B 对
同理可证
∴AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA,即各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG 是正七边形.
正多边形需满足两个条件：各边相等，各个内角也相等，缺一不可
(3)猜想:当边数是奇数时(或当边数是3,5,7,9,…时),各内角相等的圆内接多边形是正多边形.

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