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第一章因式分解单元检测（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．ab+ac+d＝a（b+c）+d
C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．12ab2＝3a 4b
2．下列因式分解正确的是（　　）
A．1﹣4x2＝（1+4x）（1﹣x） B．x2+16＝（x+4）2
C．a3﹣a2＝a2（a﹣1） D．a2+2a+4＝（a+2）2
3．多项式m2﹣2m与多项式m2﹣4m+4的公因式是（　　）
A．m+2 B．m﹣2
C．（m﹣2）（m+2） D．（m﹣2）2
4．下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是（　　）
A．x2﹣9 B．x2+16 C．x2+2x+1 D．4x2﹣4x+1
5．因式分解：x2﹣4y2＝（x+2y） A，则代数式A等于（　　）
A．x+y B．x﹣y C．x+2y D．x﹣2y
6．下列多项式中，不能因式分解的是（　　）
A．3a2﹣4a B．a2﹣4 C．a2+b2 D．
7．若关于x的二次三项式x2﹣2ax+36能用完全平方公式分解因式，则a的值是（　　）
A．﹣3 B．±3 C．6 D．±6
8．（﹣2）2024+（﹣2）2025计算后的结果是（　　）
A．22024 B．﹣2 C．﹣22024 D．﹣1
9．若x2﹣ax﹣4＝（x﹣4）（x+1），则a为（　　）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
10．如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二．填空题（共5小题）
11．因式分解：9a2﹣b2的结果是 　 　 ．
12．分解因式：a2b﹣4ab+4b＝　 　 ．
13．若多项式x2+mx﹣12因式分解后有一个因式（x+3），则m＝　 　 ．
14．因式分解（3x﹣2y）a2+（2y﹣3x）b2＝ 　 　 ．
15．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2+xy3＝　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．分解因式：
（1）8a3b2﹣12ab3c；
（2）9x2﹣a2+2a﹣1．
17．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴解得n＝﹣7，m＝﹣21．
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0
即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21
∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
问题：仿照以上一种方法解答下面问题．
（1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　 　 ．
（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值．
18．阅读材料：
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，可以得到：原式＝（x+y+1）2．
上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题：
（1）因式分解：1+6（x﹣y）+9（x﹣y）2；
（2）因式分解：（a2﹣4a+1）（a2﹣4a+7）+9．
19．仔细阅读下面的例题，解答问题．
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m因式分解后有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
，
解得．
问题：仿照以上方法解答下面的问题：
①已知二次三项式x2﹣x+m因式分解后一个因式为（x+2），求另一个因式及m的值；
②已知二次三项式2x2+3x﹣k因式分解后有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
20．【阅读材料】某校“数学社团”成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如a2﹣ab+5a﹣5b和x2+2xy+y2﹣9．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解．方法如下a2﹣ab+5a﹣5b＝a（a﹣b）+5（a﹣b）＝（a+5）（a﹣b）；x2+2xy+y2﹣9＝（x+y）2﹣32＝（x+y+3）（x+y﹣3）．请在这种方法的启发下，解决下列问题：
【问题解决】
（1）因式分解：x3﹣2x2+2x﹣4；
（2）因式分解：x2﹣6xy+9y2﹣1；
【方法延伸】
（3）因式分解：4a2﹣12ab+9b2﹣4a+6b+1．
第一章因式分解单元检测（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A D C D C A B
1．解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是整式乘法，
∴选项A不符合题意；
∵ab+ac+d＝a（b+c）+d不是因式分解，
∴选项B不符合题意；
∵a2+2ab+b2＝（a+b）2是因式分解，
∴选项C符合题意；
∵12ab2＝3a 4b不是因式分解，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
2．解：A、1﹣4x2＝（1+2x）（1﹣2x），故此选项不符合题意；
B、x2+16不能分解因式，故此选项不符合题意；
C、a3﹣a2＝a2（a﹣1），故此选项符合题意；
D、左边≠右边，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．解：根据题意可知，m2﹣2m＝m（m﹣2），m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，
∴两个多项式的公因式是m﹣2．
故选：B．
4．解：x2﹣9能运用平方差公式因式分解，则A符合题意，
x2+16不能运用平方差公式因式分解，则B不符合题意，
x2+2x+1不能运用平方差公式因式分解，则C不符合题意，
4x2﹣4x+1不能运用平方差公式因式分解，则D不符合题意，
故选：A．
5．解：根据题意可知，x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝（x+2y） A，
∴A＝x﹣2y．
故选：D．
6．解：3a2﹣4a＝a（3a﹣4），则A不符合题意，
a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），则B不符合题意，
a2+b2无法因式分解，则C符合题意，
a2﹣a+＝（a﹣）2，则D不符合题意，
故选：C．
7．解：∵关于x的二次三项式x2﹣2ax+36能用完全平方公式分解因式，
∴2a＝±12，
解得：a＝±6，
故选：D．
8．解：原式＝22024﹣22024×2
＝22024×（1﹣2）
＝﹣22024，
故选：C．
9．解：∵（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4，
∴x2﹣3x﹣4＝x2﹣ax﹣4，
∴a＝3，
故选：A．
10．解：由条件可知当x＝2时，ax2﹣bx+2＝4a﹣2b+2＝0，
解得：2a﹣b＝﹣1，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：9a2﹣b2＝（3a+b）（3a﹣b），
故答案为：（3a+b）（3a﹣b）．
12．解：a2b﹣4ab+4b＝b（a2﹣4a+4）＝b（a﹣2）2
故答案为：b（a﹣2）2
13．解：∵多项式x2+mx﹣12因式分解后有一个因式（x+3），
∴设另一个因式为（x+n），
∵x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n，
∴3n＝﹣12，3+n＝m，
解得：n＝﹣4，m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．解：（3x﹣2y）a2+（2y﹣3x）b2
＝（3x﹣2y）a2﹣（3x﹣2y）b2
＝（3x﹣2y）（a2﹣b2）
＝（3x﹣2y）（a+b）（a﹣b），
故答案为：（3x﹣2y）（a+b）（a﹣b）．
15．解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，
∴x3y+x2y2+xy3
＝
＝
＝
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）8a3b2﹣12ab3c＝4ab2（2a2﹣3bc）；
（2）9x2﹣a2+2a﹣1，
＝9x2﹣（a2﹣2a+1），
＝（3x）2﹣（a﹣1）2，
＝（3x+a﹣1）（3x﹣a+1）．
17．解：（1）设另一个因式为x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a）
则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a，
∴，解得a＝2，p＝1．
故答案为：1．
（2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n
∴，
解得n＝﹣1，k＝5，
∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5．
18．解：（1）令x﹣y＝A，
∴原式＝1+6A+9A2
＝（1+3A）2
＝（1+3x﹣3y）2；
（2）令a2﹣4a＝A，
∴原式＝（A+1）（A+7）+9
＝A2+8A+16
＝（A+4）2
＝（a2﹣4a+4）2
＝（a﹣2）4．
19．解：①设二次三项式x2﹣x+m因式分解后另一个因式为（x+n），
则x2﹣x+m＝（x+2）（x+n），
即x2﹣x+m＝x2+（n+2）x+2n，
所以有，
解得，
即二次三项式x2﹣x+m因式分解后另一个因式为（x﹣3），m＝﹣6；
②设二次三项式2x2+3x﹣k因式分解后有一个因式是（x+a），则有，
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），
即2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a，
所以有，
解得，
所以二次三项式2x2+3x﹣k因式分解后有一个因式是（2x﹣5），另一个因式为（x+4），k＝20．
20．解：（1）原式＝x2（x﹣2）+2（x﹣2）
＝（x2+2）（x﹣2）；
（2）原式＝（x2﹣6xy+9y2）﹣1
＝（x﹣3y）2﹣1；
＝（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1）；
（3）原式＝（4a2﹣12ab+9b2）﹣（4a﹣6b）+1
＝（2a﹣3b）2﹣2（2a﹣3b）+1
＝（2a﹣3b﹣1）2．
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