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2024-2025学年江西省赣州市信丰县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（　　）
A. B. C. D.
3.若关于x的一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k＞-1 B. k≥-1 C. k＜-1 D. k≤-1
4.抛物线y=x2+4x+a2+5（a是常数）的顶点在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB=40°，则圆周角∠BPC的度数是（　　）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
6.如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　）
A. π-
B. π-
C. π-
D. π-
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动，随机停在黑色方砖的概率为______．
8.已知点P（2，-3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b= ．
9.某服装厂2022年销售额为8亿元，受出口影响，估计2024年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x,可列方程为 .
10.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA=12，则△PDE的周长为 .
11.盒中有6枚黑棋和n枚白棋，从中随机取一枚棋子，恰好是白棋的概率为，则n的值为______．
12.如图，在 ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
如果一个扇形的半径是6，圆心角的度数为60°，求扇形的面积．
14.(本小题6分)
已知方程x2-3x+2=0的两根是x1，x2，求代数式的值.
15.(本小题6分)
如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC=，∠B=60°，求CD的长．
16.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的直径，点P在⊙O外，连接AP，OP，线段OP交⊙O于点C，连接BC，∠P=32°，∠B=29°.
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：PA是⊙O的切线.
17.(本小题6分)
某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是______事件；
A．不可能
B．必然
C．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．
18.(本小题8分)
如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米．

（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．
19.(本小题8分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（-1，3），B（-4，3），O（0，0）.
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）.
20.(本小题8分)
我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]=3×5-2×1=13.
（1）求[-4，3]*[2，-6]的值；
（2）已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1，m]=0有两个实数根，求m的取值范围.
21.(本小题9分)
某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实7000千克．
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？此时每棵果树的产量是多少？
22.(本小题9分)
如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC.
（1）求证：∠CAD=∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC，如图2.
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积.
23.(本小题12分)
如图1，已知二次函数y=-x2+bx+c与y轴交于C，与x轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，作直线AC.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，点D是直线AC上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交AC于点E，当线段DE的长度取最大时，求点D的坐标；
（3）在（2）中DE取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】
8.【答案】1
9.【答案】8（1-x）2=5.12
10.【答案】24
11.【答案】2
12.【答案】90°或180°或270°
13.【答案】解：S==6π．
14.【答案】．
15.【答案】解：∵∠B=60°，
∴∠C=90°-60°=30°，
∵AC=，
∴AB=AC tan30°=×=1，
∴BC=2AB=2，
由旋转的性质得，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1．
16.【答案】（1）解：∵∠B=29°，
∴∠AOC=2∠B=58°，
（2）证明：∵∠P=32°，
∴∠P+∠AOC=90°，
∴∠OAP=90°，
又∵OA为半径，
∴PA是⊙O的切线．
17.【答案】（1） C；
（2）设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：
它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A）的结果有6种，
则P（A）==，
18.【答案】解：（1）∵点D是的中点，DC⊥AB，
∴AC=BC=AB=3，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA，OC，则O，C，D共线，
设半径OA=OD=R，OC=OD-DC=R-1，
在Rt△ACO中，∵OA2=AC2+OC2，
∴R2=（R-1）2+32，
解得R=5．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米；
（2）设OD与EF相交于点G，连接OF，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠OGF=90°，
在Rt△OGF中，OG=5-1-1=3，OF=5，
∴FG==4，
∴EF=2FG=8，
答：此时水面的宽度为8米．
19.【答案】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，点A1的坐标（-1，-3）；
（2）如图，△A2B2O即为所求，点A2的坐标（3，1）；
（3）点A旋转到点A2所经过的路径长==π

20.【答案】解：（1）[-4，3]*[2，-6]=-4×2-3×（-6）=10；
（2）根据题意得x（mx+1）-m（2x-1）=0，
整理得mx2+（1-2m）x+m=0，
∵关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1，m]=0有两个实数根，
∴Δ=（1-2m）2-4m m≥0且m≠0，
解得m且m≠0．
21.【答案】解：（1）根据题中的图可以看出，y与x为一次函数的关系，
设函数关系式为y=kx+b,将（12，74）、（28，66）代入关系式可得
解得k=-，b=80，
所以y与x之间的函数关系式为y=-x+80．
（2）根据题意可列方程，
化简得x2-80x+1200=0，解得x1=20，x2=60，
因为题中要求投入成本最低的情况下，所以x2=60不符题意舍去，
答：增种果树20棵时，果园可以收获果实7000千克．
（3）根据题意可列函数关系式w=（-x+80）（x+80）=-（x-40）2+7200．
令y≥0，可求出自变量x的取值范围是0≤x≤160，
所以当x=40时，w可取到最大值7200，每颗果树的产量为y=-x+80=60
答：当增种果树40棵时，果园的总产量最大．每颗果树的产量为60千克．
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE=∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∴∠CBE+∠CAD=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE；
(2)①四边形ABCO是菱形，理由：
∵∠CAD=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB=∠COD=60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD=90°，
∴∠CBE=90°-∠CAD=60°=∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴ ABCO是菱形；
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA=OC=AB=2，
∴AD=2OA=4，
由①知，∠COD=60°，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=2，AC=2，
∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD
=S△ACD+S扇形COD
=××2×2+
=+π．
23.【答案】解：（1）已知二次函数y=-x2+bx+c与y轴交于C，与x轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，代入得：
，
解得，
∴二次函数解析式为y=-x2-2x+3；
（2）∵当x=0时，y=-x2-2x+3=3，
∴C（0，3），
设直线AC为y=kx+n,
∴，
解得：，
∴直线AC为y=x+3，
点D是直线AC上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交AC于点E，设D（x,-x2-2x+3），则E（x,x+3），
∴DE=-x2-2x+3-x-3=-x2-3x,
∵-1＜0，
∴当时，DE有最大值，
最大值为：；
∴；
（3）点M的坐标为或M（-1，-6）或M（-1，2）；理由如下：
∵y=-x2-2x+3=3，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
如图3，当BM为对角线时，
∵，B（1，0），设M（-1，t），N（x,-x2-2x+3），
∴，
解得：，
∴；
当BN为对角线时，如图4，
同理可得：，
解得：，
∴M（-1，-6）；
如图5，当MN为对角线时，
∴，
解得：，
∴M（-1，2）；
综上：点M的坐标为或M（-1，-6）或M（-1，2）．

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