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兰州市第四十八中2024-2025学年度第一学期期末试卷
九年级数学
一、选择题（共12小题，每小题3分，计36分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1.tan45°的倒数是 （ ）
A. B.1 C. D.
2.某商场的休息椅如图所示，它的主视图是 （ ）
3.二次函数的图像的顶点坐标是 （ ）
A.(3,-2) B.(3,4) C.(-5,-2) D.(5,-2)
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为 （ ）
A.4.5 B.5 C.4 D.
5.反比例函数的图像不经过 （ ）
A.第二、四象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第一、二象限
6.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O为坐标原点，若点C的坐标是（6,0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是 （ ）
A.(3,1) B.(3,-1) C.(1,-3) D.(1,3)
7.已知关于x的一元二次方程，对该方程的根的判断，正确的是 （ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
8.为了解本地区人均淡水的消耗量，需从一名男生和两名女生中随机抽调两人，组成调查小组，且选择每个人的可能性相同，则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是 （ ）
A. B. C. D.
9.如图为某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙CD的高度的示意图，在点P处放置一面水平的平面镜（平面镜的厚度，大小忽略不计），光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，点B,P,D在一条直线上，且测得AB=6m,BP=8m,PD=18m,那么该古城墙CD的高度是 （ ）
A.12m B.10m C.13.5m或24m D.13.5m
10.如果一个等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，那么y与x之间的函数关系式为 （ ）
A. B. C. D.
11.如图，在平面直角坐标系中,△OCD的顶点坐标分别为O（0，0），C（-4，-3），D（-3，0），△OCD与△OAB关于坐标原点O位似，且△OCD与△OAB的相似比为1：4，则△AOB的面积为 （ ）
A.12 B.36 C.72 D.144
12.如图1，菱形ABCD中，∠C=120°，点M是AB边上的中点，点N是对角线BD上的一个动点，连接AN,MN，设DN的长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的完整的函数图像，图像右端点F的坐标为（，3），则图下个最低点E的坐标为 （ ）
A.（，） B.（，） C.（，2） D.（，2）
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
13.若x=-1是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为 .
14.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件 ,使平行四边形ABCD为矩形.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12,CD⊥AB于点D，则cos∠ACD的值为 .
16.有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在0.4.现有一下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为0.6.其中正确的结论是 .（填序号）
三、解答题（本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（4分）计算：.
18.（4分）解方程：.
19.（4分）如图，木杆CD和EF与地面垂直，木杆CD在路灯O下的影子为DG，木杆EF在路灯O下的影子为FH，已知点D,G,F,H在一条直线上，CD⊥DH，EF⊥DH，请在图中画出路灯O.
20.（6分）如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数的图像交于A（m,4），B两点，与y轴交于点C.
（1）求反比例函数的表达式
（2）连接OB，点B的纵坐标为，求△BOC的面积.
21.（6分）如图，在四边形ABCD中 ，AD//BC,∠A=90°，AB=BC,∠D=45°，CD的垂直平分线G交CD于点E，交AD于点F，交BC的延长线于点G，连接CF.
（1）求证：四边形ABCF是正方形；
（2）若AD=2，求BG的长.
22.(6分)野兔善于奔跑跳跃,野免跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分,通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x(单位:m)与竖直高度y(单位:m)进行的测量,得到以下数据:
水平距离x/m 0 0.4 1 1.4 2 2.8
竖直高度y/m 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.
(1)根据上述数据,求抛物线的表达式;
(2)若在野兔起跳点(原点0)前方1.8m处有一个高为0.92m的篱笆,则野兔此次跳跃能否跃过篱笆 请说明理由.
23.（6分）同学们在学习了《相似三角形》之后，张老师给出了下面的问题：
如图，Rt△ABD与Rt△CDB中，斜边AD与BC相交于点M．过点M作MH⊥BD于点H．探究AB、MH、CD之间的数量关系，并证明．
下面是小李的探究过程，请根据题意补充完整探究过程．
∵AB⊥BD，MH⊥BD，
∴∠MHD=∠ABD，
又∵∠MDH=∠ADB
∴△DMH∽△DAB
∴
∵CD⊥BD，MH⊥BD
∴∠MHB=∠CDB，
又∵∠MBH=∠CBD
∴△BMH∽△BCD
∴① ,
∴② 。
(1)请在图中完成尺规作图:过点M作MHLBD,垂足为点(保留作图痕迹,不写作法.
(2)请在上述探究过程中将①②补充完整.
24.（6分）“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，学校利用假期开设了四个如图所示的环保类社团项目，每人只能从这四个项目中随机选择一个项目，每个项目被选择的可能性相同.
（1）小明从这四个项目中选择一个，则他选择A（环保义工）的概率是 ；
（2）小华和小聪分别从这四个项目中选择一个，请用列表或画树状图的方法，求小华和小聪选择同一个项目的概率．
25.（6分）某数学兴趣小组测量校园内一栋古建筑AB（底部不可达）的高度的活动报告如下：
活动报告
活动目的 测量古建筑AB的高度（底部不可达）
测量工具 皮尺、测倾器
活动说明 在阳光下，他们在古建筑AB的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆DC，经测量，同一时刻标杆的影子CE=1米，接下来他们沿着BE方向从点E出发走了9米到达点F处（即EF=9米），利用无人机测得GF=12米，并用无人机在G处测得B点的俯角为37°，AB⊥BF，DC⊥BF，GF⊥BF，点B、C、E、F在一条直线上
测量方案示意图
求古建筑AB的高.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
26.（7分）如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，分别连接AD,BE,AE,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°.
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若AC=3，AE=8，求AD的长.
7.（8分）【问题探究】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，∠EDF=45°.易证△DBE∽△DCF，此时的值是 ;
【拓展延伸】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC,BD相交于点O,E、F分别是边AB和对角线AC上的点，连接DE，DF，tan∠EDF=，BE=4，求CF的长.
2
8.（9分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点N为直线y=x与抛物线的一个交点，则称点N为此抛物线的“叠点”.例如：经过计算可知（1，1）和（0，0）都是抛物线的“叠点”．已知抛物线L：（m＜0）与x轴分别交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）试判断抛物线L有几个“叠点”，并说明理由；
（2）若抛物线L的对称轴是直线x=3，对称轴与x轴交于点E．
①直接写出抛物线L的表达式为： ；
②如图所示，P是抛物线L上的一个动点，且位于第一象限，连接CP，EP，请问：当△CEP的面积取到最大值时，点P是否为抛物线L上的“叠点”？请给出结论，并说明理由．

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