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兰州市第五十四中学2024-2025学年第一学期
初三年级期中考试数学试卷
一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分）
1.下列实数是无理数的是 （ ）
A.-2 B. C. D.
2.若，则的补角的度数是 （ ）
A.130° B.110° C.30° D.20°
3.如图，在△ABC中，DE//BC，若,则 （ ）
A. B. C. D.
4.方程的解是 （ ）
A.x=1 B.x=-1 C.x=5 D.x=-5
5.下列各式中计算结果为的是 （ ）
A. B. C. D.
6.中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”！中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助.预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为 （ ）
A． B． C． D．
7.将直线y=5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为 （ ）
A.y=5x-2 B.y=5x+2 C.y=5（x+2） D.y=5（x-2）
8.如图，直线DE//BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF=20°，则∠ADE= （ ）
A．70° B．60° C．75° D．80°
9.已知x=1是一元二次方程的一个根，则m的值为 （ ）
A.-1或2 B.-1 C.2 D.0
10.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为 （ ）
A. B. C. D.
11.对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）.若（m，n）是“相随数对”，则 （ ）
A.-2 B.-1 C.2 D.3
12.如图1，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D（AD>BD）.动点M从点A出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x,△AMD的面积为y,y与x的函数图象如图2所示，则AC的长为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13.分解因式：= .
14.已知，则的值是 .
15.2024年3月12日是我国第46个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（颗） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（颗） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 （结果精确到0.1）．
16.如图，在平面直角坐标系中,△OAB的顶点A，B的坐标分别为(3，),(4,0),把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，），则点E的坐标为 .
三、解答题（共12小题，共72分）
17.（4分）计算：.
18.（5分）先化简，再求值：，其中x=4.
19.（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来.
20.（6分）解方程（1） （2）；
21（6分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC,AB//CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
22.（6分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD=BA.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠ABC的角平分线交AD于点E；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．
（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.
23.（5分）已知关于x的分式方程，若方程有增根，求k的值.
24.（6分）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另外一个根的3倍，求a的值.
25.（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像过点（1,3），（2,2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，一次函数y=mx的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围.
26.（6分）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用x表示，分成六组：A、x＜10；B、10≤x＜15；C、15≤x＜20；D、20≤x＜25；E、25≤x＜30；F、30≤x）．
信息二：排球垫球成绩在D、20≤x＜25这一组的是：
20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
分组 y＜6.0 6.0≤y＜6.8 6.8≤y＜7.6 7.6≤y＜8.4 8.4≤y＜9.2 9.2≤y
人数 2 m 10 9 6 2
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：
学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6
排球垫球 26 25 23 22 22 15
掷实心球 ▲ 7.8 7.8 ▲ 8.8 9.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m= ；
（2）下列结论正确的是 ；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；
②掷实心球成绩的中位数记为n,则6.8≤n＜7.6；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．
27.（8分）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
（1）求证：△AEM≌△ANM．
（2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长．
28.（9分）综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；

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