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专题12 立方根
目录
TOC \o "1-1" \h \u 【题型一 立方根的概念理解】 1
【题型二 求一个数的立方根】 2
【题型三 已知一个数的立方根，求这个数】 4
【题型四 与立方根有关的规律探究】 5
【题型五 立方根的实际应用】 6
【题型六 算术平方根和立方根综合应用】 7
【题型七 利用立方根解方程】 9
【题型一 立方根的概念理解】
例题：一个数的平方等于它的立方，则这个数是（ ）
A．0 B．1 C．0或 D．0或1
【答案】D
【分析】本题考查了平方和立方的定义．
根据平方和立方的定义作答即可．
【详解】解：0的平方是0，0的立方是0，相等，
1的平方是1，1的立方是1，相等，
的平方是1，的立方是，不相等，
∴一个数的平方等于它的立方，则这个数是0或1，
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·吉林白山·期末）9的立方根是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是立方根的意义，根据立方根的意义可得答案.
【详解】解：的立方根是，
故选：B
2．（25-26八年级上·全国·期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．64的立方根是4 B．是的立方根
C．的立方根是2 D．125的立方根是
【答案】D
【分析】本题主要考查了立方根的定义，一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．解题关键是掌握立方根的定义．
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，根据立方根的定义分别判断即可．
【详解】解：A．64的立方根是4，正确，不符合题意；
B．是的立方根，正确，不符合题意；
C．，8的立方根是2，正确，不符合题意；
D．125的立方根是5，故D错误，符合题意，
故选：D．
【题型二 求一个数的立方根】
例题：（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）实数的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根．熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：，
则实数的立方根是．
故答案为：．
【变式训练】
1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键．
首先计算，然后根据立方根定义进行求解即可．
【详解】解：，
12的立方根是．
故选：B．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了立方根的性质和概念，掌握以上知识是解答本题的关键；
（1）根据，再结合立方根的知识进行作答，即可求解；
（2）根据，再结合立方根的知识进行作答，即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴的立方根为，
即；
（2）解：∵，
∴的立方根为，
即．
【题型三 已知一个数的立方根，求这个数】
例题：（23-24八年级上·广东茂名·期末）已知，则x的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键．
根据立方根的定义，解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知的立方根是4，则的平方根是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了立方根和平方根，根据立方根的定义得到x的值是解题的关键．根据的立方根是4，从而得到，代入，再根据平方根的定义即可得到答案．
【详解】解：∵的立方根是4，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为．
故选：B．
2．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是4．
(1)求a，b的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了立方根与平方根、算术平方根，熟练掌握立方根与平方根的性质是解题关键．
（1）先根据立方根和算术平方根可得，，再解方程即可得；
（2）先根据（1）的结果求出的值，再根据平方根的性质求解即可得．
【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是4，
∴，，
∴，
将代入得：，
∴．
（2）解：由（1）已得：，，
∴，
∵，
∴的平方根为．
【题型四 与立方根有关的规律探究】
例题：（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）若，，那么等于（ ）
A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552
【答案】C
【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律．
a 8 8000 8000000
2 20 200
利用规律解答，若，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍．
根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】解：根据图表中的规律得，
，
故答案为：．
2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键．
利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【题型五 立方根的实际应用】
例题：（22-23八年级上·全国·期中）一个体积为的正方体放在桌子上，则它盖住桌子的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查立方根的计算，解题的关键是读懂题意，掌握立方根的计算.
利用求立方根得出正方体的棱长，进而即可得出答案。
【详解】解：根据题意得：正方体的棱长为，
则它盖住桌子的面积是．
故答案为：．
【变式训练】
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）一种集装箱是正方体形状的，它的体积是，则这种正方体形状的集装箱的边长是 ．
【答案】4
【分析】此题考查立方根的应用，设它的边长是，根据体积列方程，根据立方根定义求解
【详解】解：设它的边长是，则，
∴，
故答案为．
2．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题：
(1)这个正方体金属块的棱长是多少？
(2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键．
（1）根据正方体体积公式求出正方体金属块的棱长即可；
（2）先求出长方体容器的底面积，再求出长方体容器的底面边长即可．
【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为，
∴这个正方体金属块的棱长为；
（2）解：重新铸造的长方体的底面积为：，
∴长方体容器的底面边长为：．
【题型六 算术平方根和立方根综合应用】
例题：（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）的立方根与的算术平方根的和是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可．
【详解】解：∵，
∴的立方根是；
∵，
∴的算术平方根是，
∴．
故选：A．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了平方根，立方根，根据定义计算即可．
【详解】解：∵ 的算术平方根是3，
∴，
解得：，
∵的立方根是 1 ，
∴，
解得：，
的平方根是．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求：
(1)x，y的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键．
（1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题；
（2）根据平方根的定义解决此题．
【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4
∴，．
∴，；
（2）解：由（1）得，，，
∴
，
∴的平方根为：．
【题型七 利用立方根解方程】
例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了立方根的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
（1）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解；
（2）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解；
（3）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【变式训练】
1．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值．
（1）利用立方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
；
（2）解：，
∴，
∴，
解得：．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解此题的关键．
（1）利用平方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
一、单选题
1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）计算：（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了求一个数的立方根．根据立方根的定义进行解答即可．
【详解】解：
故选：C
2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）已知是整数，则满足条件的最小正整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了立方根的定义及性质，由，通过立方根的定义及性质求出满足条件的最小正整数即可，掌握知识的应用是解题的关键．
【详解】解：由，
∵是整数，
∴满足条件的最小正整数是，
故选：．
3．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知实数a，b，给出以下几个判断：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根、立方根等相关知识，属于基本题型，熟练掌握基础知识是解题关键．
根据算术平方根和立方根的意义逐项进行判断，进而可得答案．
【详解】解：因为，所以只有当，时，才满足，所以①不正确；
因为实数的立方根的符号与被开方数相同，所以当时，，所以②正确；
因为，所以a，b中必有一个数是非正数，而负数没有平方根，所以③不正确；
因为实数的立方根的符号与被开方数相同，所以当时，，所以④正确．
故选B
4．（24-25七年级下·全国·阶段练习）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根，开方运算是解题关键，注意负数没有平方根．根据算术平方根、平方根与立方根的定义进行开方运算即可．
【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意；
B、，故选项计算正确，符合题意；
C、不成立，因为负数没有算术平方根，故选项计算错误，不符合题意；
D、，故选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
5．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算
【详解】解：∵，而，
∴==
因此，的值约为，
故选B
二、填空题
6．（21-22七年级下·湖北荆州·期中）16的算术平方根是 ；2的平方根是 ；的立方根是 ．
【答案】 4
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，求一个数的立方根．
分别根据算术平方根、平方根、立方根的定义作答即可．
【详解】解：16的算术平方根是4；2的平方根是；的立方根是．
故答案为：4，，．
7．（2024七年级下·广东东莞·竞赛）方程的根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查求一个数的立方根，将方程变形为，再求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
∵；，
∴是两位数，
∵59319的个位数是9，
∴的个位数是9．
如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位数是3，所以．
阅读以上材料，的个位数是 ； ．
【答案】 7
【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键．仿照题干中的解答步骤解答即可．
【详解】解：∵；，
∴是两位数，
∵19683的个位数是3，
∴的个位数是7．
∵；，
∴是两位数，
∵110592的个位数是2，
∴的个位数是8．
如果划去110592后面的三位592得到数110，而，，
由此确定的十位数是4，
所以，
所以．
故答案为：，；
9．（25-26八年级上·北京·课后作业）根据你发现的规律填空：若，则 ．
【答案】7.696
【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可．
【详解】解：若，
则，
故答案为：7.696．
10．（25-26八年级上·全国·期中）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题重点考查 算术平方根和立方根的概念与计算 ， 准确理解算术平方根（非负实数的非负平方根）和立方根（实数的唯一立方根）的定义是解题的关键 ．
根据算术平方根和立方根的概念求值计算即可 ．
【详解】∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，，
∴．
故答案为：．
三、解答题
11．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是和；且．
(1)求；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（）根据平方根的性质可得，即得，进而根据平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义可求出的值；
（）根据（）的结果求出，再根据平方根的定义解答即可；
本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
代入，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根为．
12．（21-22七年级下·广东汕头·阶段练习）已知 的平方根是，的立方根是3， 求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根的定义，可求出x的值，再利用立方根的定义，可求出y的值，将x，y代入求值，再取平方根．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
∴．
∵的立方根是3，
∴，
∴，
解得，
∴．
∵，
∴的平方根为．
13．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若，
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)2或
(2)
【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）先根据平方根、立方根求得m、n的值，然后分两种情况求的值即可；
（2）由的值为2或，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴或，，
当，时，；
当，时，；
综上，的值为2或．
（2）解：由（1）得的值为2或．
当时，的平方根为；
当时，无平方根．
综上，的平方根为．
14．（20-21八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中
式子 …… ……
结果 …… ……
根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案：
(1)
(2)若，则
参考值：， ，
【答案】(1)
(2)6180
【分析】本题主要考查了立方根的性质：
（1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解；
（2）根据（1）中的规律解答即可．
【详解】（1）解：完成表格，如下：
式子 …… ……
结果 …… 6 60 ……
由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位；
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴．
故答案为：6180．
15．（22-23七年级下·陕西西安·期中）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了利用平方根与立方根解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．
（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求立方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
∴
，
．
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专题12 立方根
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TOC \o "1-1" \h \u 【题型一 立方根的概念理解】 1
【题型二 求一个数的立方根】 1
【题型三 已知一个数的立方根，求这个数】 2
【题型四 与立方根有关的规律探究】 2
【题型五 立方根的实际应用】 3
【题型六 算术平方根和立方根综合应用】 3
【题型七 利用立方根解方程】 3
【题型一 立方根的概念理解】
例题：一个数的平方等于它的立方，则这个数是（ ）
A．0 B．1 C．0或 D．0或1
【变式训练】
1．（24-25七年级下·吉林白山·期末）9的立方根是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．64的立方根是4 B．是的立方根
C．的立方根是2 D．125的立方根是
【题型二 求一个数的立方根】
例题：（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）实数的立方根是 ．
【变式训练】
1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）的立方根是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根．
(1)；
(2)．
【题型三 已知一个数的立方根，求这个数】
例题：（23-24八年级上·广东茂名·期末）已知，则x的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知的立方根是4，则的平方根是（ ）
A．5 B． C． D．
2．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是4．
(1)求a，b的值．
(2)求的平方根．
【题型四 与立方根有关的规律探究】
例题：（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）若，，那么等于（ ）
A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552
【变式训练】
1．（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律．
a 8 8000 8000000
2 20 200
利用规律解答，若，，则 ．
2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，则 ．
【题型五 立方根的实际应用】
例题：（22-23八年级上·全国·期中）一个体积为的正方体放在桌子上，则它盖住桌子的面积是 ．
【变式训练】
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）一种集装箱是正方体形状的，它的体积是，则这种正方体形状的集装箱的边长是 ．
2．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题：
(1)这个正方体金属块的棱长是多少？
(2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长．
【题型六 算术平方根和立方根综合应用】
例题：（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）的立方根与的算术平方根的和是（ ）
A． B． C．或 D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求：
(1)x，y的值；
(2)的平方根．
【题型七 利用立方根解方程】
例题：（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练】
1．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值：
(1)；
(2)
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
一、单选题
1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）计算：（　　）
A． B．3 C． D．
2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）已知是整数，则满足条件的最小正整数是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知实数a，b，给出以下几个判断：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③④
4．（24-25七年级下·全国·阶段练习）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（21-22七年级下·湖北荆州·期中）16的算术平方根是 ；2的平方根是 ；的立方根是 ．
7．（2024七年级下·广东东莞·竞赛）方程的根是 ．
8．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
∵；，
∴是两位数，
∵59319的个位数是9，
∴的个位数是9．
如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位数是3，所以．
阅读以上材料，的个位数是 ； ．
9．（25-26八年级上·北京·课后作业）根据你发现的规律填空：若，则 ．
10．（25-26八年级上·全国·期中）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ．
三、解答题
11．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是和；且．
(1)求；
(2)求的平方根．
12．（21-22七年级下·广东汕头·阶段练习）已知 的平方根是，的立方根是3， 求的平方根．
13．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若，
(1)求的值；
(2)求的平方根．
14．（20-21八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中
式子 …… ……
结果 …… ……
根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案：
(1)
(2)若，则
参考值：， ，
15．（22-23七年级下·陕西西安·期中）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
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