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浙教版数学七年级上学期重难点复习1:绝对值的最值模型
一、两个绝对值的和的最值
1．（2024七上·珠海期中）代数式的最小值是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．（2024七上·永定期末）是数轴上一点表示的数，则的最小值是（　　）
A．1 B． C．5 D．
3．当x变化时，|x-4|+|x+t|有最小值3，则常数t的值为(　　)
A．-1 B．-7 C．-1或-7 D．3或-1
4．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-2的点的距离，|x-3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点的距离.当|x+2|+|x-3|取得最小值时，x的取值范围是(　　)
A．x≤-2 B．-2≤x≤3 C．x≤-2或x≥3 D．x≥3
5．（2023七上·夷陵期中）的最小值是　 　．
6．|x-3|+|x-5|有最　 　值是　 　，此时x 的取值范围是　 　.
7．（2024·成都模拟）函数的最小值为3，则a的值为　 　．
8．点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，若x是一个有理数，且-3若|x+a|+|x+1|的最小值为 3，则a的值为　 　.
9．已知A，B，C三点，它们在数轴上所表示的数分别是5，-3，a。
（1）求线段AB的长。
（2）若AC=6，求a的值。
（3）若d=|a+3|+|a-5|，求d的最小值。
10．同学们都知道：|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可以理解为5和—2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助如图的数轴进行以下探索：
（1）如果|x-2|=5，那么x=　 　.
（2）由以上探索猜想对于任何有理数x，当|x-3|+|x-6|有最小值时，请写出x满足的条件，并求出最小值是多少.
二、两个绝对值的差的最值
11．（2024七上·深圳期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-1的点的距离，|x-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么|x+1|-|x-2|的最大值是　 　.
12．代数式|x-1|-|x+6|-5 的最大值是　 　.
13． 如图①，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，表示的数分别为-5，b，4.某同学将刻度尺如图②放置，使数轴上的点 A 对齐刻度0cm，发现点 B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4 cm.
（1）在图①的数轴上， 　 　个单位长度；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的　 　 cm.
（2）求数轴上点 B 所表示的数b.
（3）P是图①中数轴上一点，点P 到点A 的距离是到点B 的距离的2倍，求点 P 表示的数.
（4）若点 Q 在数轴上表示的数为x，则 |的最小值为　 　，|x+5|-|x--4|的最大值为　 　
14．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|.
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为　 　.
（2）若|x+3|=4，则x=　 　.
（3）|x-3|-|x+2|最大值为　 　，最小值为　 　.
15．（2024七上·江门月考）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．”
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了。”
小明说：“利用数轴可以解决这个问题。”
他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3．
请你根据他们的解题思路解决下面的问题。
（1）当式子取最小值时，最小值是　 　。
（2）已知，y的最大值是　 　。
（3）已知：，则　 　。
三、多个绝对值的和的最值
16．|x+2|+|x-2|+|x-1|的最小值是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
17．已知x为一切实数，则|x+1|+|x-2|+|x-4|+|x+2|+|x-6|的最小值是(　　)
A．13 B．15 C．16 D．11
18．已知x是正实数，则 的最小值是(　　)
A．2 B． C． D．0
19．当x 满足（　　)时，|1.5x-0.5|+|2.5x-0.5|+|3.5x-0.5|+|4.5x-0.5|+|5.5x-0.5|+|6.5x-0.5|的值取得最小.
A． B． C． D．
20．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
21．的最小值为　 　。
22．当|x-2|+|x-3|的值最小时，|x-2|+|x-3|-|x-1|的值最大是　 　，最小是　 　.
23．求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值.
24．（2024七上·重庆市期中）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为．
（）的最小值为　 　；
（）的最小值为　 　．
25．（2024七上·松阳期末）我们知道，可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为a与－5两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成：
（1）若，则　 　；
（2）求的最小值　 　．
26．我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把|x|看作|x-0|，所以|x-3|就表示x在数轴上对应的点到3对应的点的距离，|x+1|=|x-(-1)|就表示x在数轴上对应的点到一1对应的点的距离.
由上面绝对值的几何意义，解答下列问题：
（1）求|x-4|+|x+2|的最小值，并写出此时x的取值情况；
（2）求|x-3|+|x+2|+|x+6|的最小值，并写出此时x的取值情况；
（3）已知|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10，求2x+y的最大值.
27．（2024七上·杭州期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用：
（1）应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为 ，
（2）应用二：若点表示的整数为，则当为　　时，与的值相等；
（3）应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为　　，此时所有符合条件的整数的和为　　
（4）应用四：求的最小值为
28．（2024七上·浦江月考）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索：
（1）若，则 ；
（2）若，则满足条件的的值为 ；
（3）根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
（4）根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵表示到，的距离和
∴当时，有最小值，
∴当时，
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的几何意义，表示x与-3之间的距离，表示x与2之间的距离，结合数轴即可判断何时的值最小，进而求得最小值.
2．【答案】C
【知识点】两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】①当x<-2时，x+2<0，x-3<0，∴；
②当-2≤x≤3时，x+2>0，x-3<0，∴；
③当x>3时，x+2>0，x-3>0，∴；
综上，的最小值为5，
故答案为：C.
【分析】分类讨论，再利用绝对值的性质化简求解并比较大小即可.
3．【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）当这两个都为负数时，
则|x-4|+|x+t|=3，变为：-x+4-x-t=3，
可得：t=-2x+1，这时x为变量，则t也为变量，与题意不符；
（2）当这两个都为正数时，
则|x-4|+|x+t|=3，变为：x-4+x+t=3，
可得：t=-2x+7，这时x为变量，则t也为变量，与题意不符；
（3）当|x-4|为正数、|x+t|负数时，
则|x-4|+|x+t|=3，变为：x-4-x-t=3，
可得：t=-7，这时x为变量，则t为定值，符合题意；
（4）当|x-4|为负数、|x+t|正数时，
则，|x-4|+|x+t|=3，变为：-x+4+x+t=3，
可得：t=-1，这时x为变量，则t为定值，符合题意；
综上所述，t的值为-1或7，
故答案为：C
【分析】根据题意分类讨论其正负性，进而根据绝对值化简，从而即可求解。
4．【答案】B
【知识点】绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：如图，
①当x<-2时，则x+2<0，x-3<0，
∴，
②当x>3时，则x+2>0，x-3>0，
∴
③当-2≤x≤3时，则x+2≥0，x-3≤0，
∴
综上所述，当-2≤x≤3时，|x+2|+|x-3|取得最小值，
∴当|x+2|+|x-3|取得最小值时，x的取值范围是-2≤x≤3.
故答案为：B.
【分析】先画出数轴，进而分三类情况讨论，①当x<-2时，则x+2<0，x-3<0；②当x>3时，则x+2>0，x-3>0；③当-2≤x≤3时，则x+2≥0，x-3≤0，分别根据绝对值的性质化简计算即可求出代数式的最小值.
5．【答案】5
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：①当时，有，
②当时，有，
③当时，有，
∴的最小值是5，
故答案为：5.
【分析】分三种情况讨论：当或或时，分别利用绝对值的性质去掉绝对值符号进行化简，最后比较结果即可得到答案.
6．【答案】小；2；3≤x≤5
【知识点】绝对值的非负性；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：由绝对值的几何意义可知， |x-3|+|x-5| 是数轴上表示数x的点到表示3和5的点的距离之和，当3≤x≤5时，|x-3|+|x-5|有最小值为5-3=2.
故答案为：（1）小，（2）2，（3）3≤x≤5 .
【分析】若a7．【答案】或
【知识点】绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵
∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和
∵函数的最小值为3，
∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3
即
∴
∴或
故答案为：或．
【分析】由于表示一个数到0的距离，根据函数的最小值为3，则在和的之间，且是和的之间的距离为3，即，进行计算，即可作答．
8．【答案】4；2或-4
【知识点】化简含绝对值有理数；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）∵-3∴x-1<0，x+3>0，
∴原式=-(x-1)+(x+3)=-x+1+x+3=4.
故填：4.
（2）∵ |x+a|+|x+1|表示数轴上x到-a与x到-1的距离之和，且其最小值为3，
∴当x介于-a与-1之间时，|x+a|+|x+1|=3，
∴-a与-1的距离为3，即|-a-(-1)|=3，
∴ 若-a-(-1)=3，解得a=-2；
若-a-(-1)=-3，解得a=4，
综上，a的值为2或-4.
故填：2或-4.
【分析】（1）先根据字母x的取值范围并结合有理数的减法法则判断出x-1与x+3的正负，然后根据绝对值性质“正数的绝对值是其本身，负数的绝对值等于其相反数”化简绝对值，最后合并同类项即可.
（2）根据点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB=|a-b|，可得此题求的是数轴上表示x的点到表示-a的点与表示x的点到表示-1的点的距离之和，且其最小值为3，根据两点之间线段最短可得当表示x的点介于表示-a的点与表示-1的点之间时，其距离和最短，这个最短距离就是表示-a的点与表示-1的点之间的距离，从而即可|-a-(-1)|=3，求解即可.
9．【答案】（1）解：|AB|=|5-(-3)|=8，
∴ 线段AB的长为8
（2）解：|AC|=|5-a|=6，
解得a=-1或a =11
（3）解：∵d=|a+3|+|a-5|，
∴当-3≤a≤5时，d取最小值，最小值为8
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；两个绝对值的和的最值
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，求出线段AB的长度；
（2）根据AC=6，即可求出a的值；
（3）根据d的表达式，求出d的最小值.
10．【答案】（1）-3或7
（2）解：当3≤x≤6时，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3.
当x＞6时，x-3+x-6=2x-9＞3，
当3≤x≤6时，x-3+6-x=3，
当x＜3时，3-x+6-x=9-2x＞3，
故|x-3|+|x-6|有最小值，最小值是3.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；求有理数的绝对值的方法；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1） ∵|x-2|=5，
∴x=7或x=-3，
故答案为：-3或7.
【分析】（1）根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，即可求解.
（2）分为：当x＞6、3≤x≤6、x＜3三种情况，分别判断|x-3|+|x-6|的取值单位，即可求解.
11．【答案】3
【知识点】数轴上两点之间的距离；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：当x＜ 1时，x＋1＜0，x 2＜0，
|x＋1| |x 2|＝ （x＋1）＋（x 2）＝ x 1＋x 2＝ 3；
当x＞2时，x＋1＞0，x 2＞0，
|x＋1| |x 2|＝（x＋1） （x 2）＝x＋1 x＋2＝3；
当 1≤x≤2时，x＋1≥0，x 2≤0，
|x＋1| |x 2|＝（x＋1）＋（x 2）＝2x 1＝3；
综上所述，|x＋1| |x 2|的最大值是3．
故答案为：3．
【分析】分类讨论：①当x＜ 1时，x＋1＜0，x 2＜0，②当x＞2时，x＋1＞0，x 2＞0，③当 1≤x≤2时，x＋1≥0，x 2≤0，再分别利用绝对值的化简并求解即可.
12．【答案】2
【知识点】数轴上两点之间的距离；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：|x-1|-|x+6|的最大值为：1-(-6) =1+6=7，
∴代数式的最大值为 7-5=2，
故答案为：2.
【分析】将代数式看成数轴上表示x的点到1和-6之差，进而即可求解.
13．【答案】（1）9；0.6
（2）解：∵在刻度尺上AB=1.8cm，所以在数轴上 AB=1.8÷0.6=3(个)单位长度，
∴数轴上点 B所表示的数b=-5+3=-2
（3）解：设点 P 表示的数为a.
当点 P 在点A，B之间时，
由题意，得a-(-5)=2(-2-a)，
解得a=-3；
当点 P 在点 B 右侧时，
由题意，得a-(-5)=2[a-(-2)]，解得a=1；
当点 P在点A 左侧时，PA综上所述，点P 表示的数为-3或1
（4）9；9
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；两个绝对值的和的最值；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
AC=4-(-5)=9
∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度为5.4÷9=0.6
故答案为：9；0.6
（4）当-5≤x≤4时，取得最小值，最小值为QA+QC=AC=9
当x≥4时，|x+5|-|x-4|取得最大值，最大值为QA-QC=AC=9
故答案为：9；9
【分析】（1）根据数轴上两点间距离即可求出AC长度，再对应应刻度尺上AC间的距离即可求出答案.
（2）求出数轴上AB单位长度，再根据两点间距离即可求出答案.
（3）设点 P 表示的数为a，分情况讨论：当点 P 在点A，B之间时，当点 P 在点 B 右侧时，当点 P在点A 左侧时，PA（4）根据绝对值的性质及数轴上两点间的距离即可求出答案.
14．【答案】（1）x+3
（2）1或-7
（3）5；-5
【知识点】实数的绝对值；数轴上两点之间的距离；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为：.
故答案为：|x+3|.
（2）∵|x+3|=4，
∴x+3=4或x+3=-4，
∴x=1或x=-7 ，
故答案为：1或-7.
（3）∵式子|x-3|-|x+2|可看作是数轴上表示x的点到3、-2两点的距离之差，
∴当x≤-2时，|x-3|-|x+2|有最大值5；
当x≥3时，|x-3|-|x+2|有最小值|3-3|-|3+2|=-5；
故答案为：5，-5.
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离计算方法计算即可；
（2）根据绝对值的性质得到：x+3=4或x+3=-4，解这两个方程即可求出x的值；
（3）根据题意得：式子|x-3|-|x+2|可看作是数轴上表示x的点到3、-2两点的距离之差，进而结合数轴即可求解.
15．【答案】（1）2
（2）10
（3）3或18
【知识点】数轴上两点之间的距离；两个绝对值的和的最值；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：（1）当x<2时
原式
当2≤x≤4时
原式
当x>4时
原式
∴当2≤x≤4时，原式取最小值为2
故答案为：2
（2）当x<﹣8时
当﹣8≤x≤2时
当x=2时，y最大为10
当x>2时，
综上所述，y有最大值为10
故答案为：10
（3）
当x<﹣12时，原方程可化为
解得：x=18（舍去）
当﹣12≤x≤8时，原方程可化为x+12=3(8－x)
解得：x=3
当x>8时，原方程可化为x+12=3(x－8)
解得：x=18
综上所述，x的值为3或18
【分析】（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，即可求出答案.
（2）根据绝对值的性质分情况讨论，即可求出答案.
（3）分情况化简绝对值，再解方程即可求出答案.
16．【答案】B
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：|x +2|+|x-2|+|x-1|表示：数轴上一点到-2，2和1距离的和，
当x在-2和2之间的1时距离的和最小，是4。
故答案为：B.
【分析】首先，我们需要理解表达式|x + 2| + |x - 2| +|x - 1|的含义。这个表达式可以看作是数轴上一点到三个点(-2，2，1)的距离之和。在数轴上，如果我们要找到一点，使得它到三个点的距离之和最小，那么这个点应该位于这三个点的中间。具体来说，如果三个点是a|x + 2| +|x - 2| +|x - 1| =|1+2|+|1-2|。因此，当x=1时，到-2，2，1的距离之和最小，最小值为 4。
17．【答案】A
【知识点】数轴上两点之间的距离；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵数x表示的点到-1表示的点的距离为|x+1|，到2表示的点的距离为|x-2|，到4表示的点的距离为|x-4|，到-2表示的点的距离为|x+2|，到6表示的点的距离为|x-6|，
∴当数x在中间一个点上，即x=2时，代数式的值最小.
∴|x+1|+|x-2|+|x-4|+|x+2|+|x-6|的最小值是|2+1|+|2-2|+|2-4|+|2+2|+|2-6|=13
故答案为：A
【分析】根据数轴上两点间的距离得到数x表示的点到-1表示的点的距离为|x+1|，到2表示的点的距离为|x-2|，到4表示的点的距离为|x-4|，到-2表示的点的距离为|x+2|，到6表示的点的距离为|x-6|，则当数x在中间一个点上，即x=2时，代数式的值最小，从而即可求解。
18．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：
设x-1=0，得x=1，
设2x-1=0，得x=，
设3x-1=0，得x=，
设4x-1=0，得x=，
设5x-1=0，得x=；
当x≤时，原式=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x=5-15x，∴当x=时，得最小值2；
当＜x≤时，原式=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+5x-1=3-5x，∴当x=时，得最小值；
当＜x≤时，原式=1-x+1-2x+1-3x+4x-1+5x-1=2x+1，无最小值；
当＜x≤时，原式=1-x+1-2x+3x-1+4x-1+5x-1=9x-1，∴当x=时，得最小值2；
当＜x≤1时，原式=1-x+2x-1+3x-1+4x-1+5x-1=13x-3，∴当x=时，得最小值；
当x＞1时，原式=x-1+2x-1+3x-1+4x-1+5x-1=15x-5，无最小值，
综上，当x=时，原式得最小值.
故答案为：B.
【分析】利用零点分段法将代数式分为五段，然后求出每一段的最小值，再比较即可得出答案.
19．【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：原式
该式子可以看成数轴上的某点到 各个点的距离乘以相应系数后所有积相加的和.
∵1.5+2.5+3.5+4.5=5.5+6.5，所以该点在 和 之间时，和最小
故答案为：A
【分析】提公因式化简各式，再根据绝对值的结合意义化简计算即可求出答案.
20．【答案】C
【知识点】绝对值的非负性；绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵当4≤x≤6时，|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|的最小值是8，
|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|的最小值是a，
∴a=8.
∴
∵
∴b<0，c< 0，
∴ab<0， bc>0， ac<0， abc>0，
∴
故答案为：C.
【分析】先通过绝对值的几何意义求出表达式的最小值得到a，再根据已知等式确定b、c的符号，最后利用绝对值的性质计算目标表达式的值.
21．【答案】17
【知识点】绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|表示数轴上表示数x的点到表示数-8，-1，3，5的点的距离之和。
由数轴表示数的意义可知，
当-1≤x≤3时，这个距离之和最小，
最小值为|5+8|+|3+1|=13+4=17。
故答案为：17.
【分析】根据绝对值的意义可得，|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|表示数轴上表示数x的点到表示数-8，-1，3，5的点的距离之和，从而得到当-1≤x≤3时，这个距离之和最小，求解即可.
22．【答案】0；-1
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：当|x-2|+|x-3|的值最小时，2≤x≤3
∴当x=2时，|x-2|+|x-3|-|x-1|=0
当x=3时，|x-2|+|x-3|-|x-1|=-1
∴最大值为0，最小值为-1
故答案为：0；-1
【分析】根据绝对值的几何意义即可求出答案.
23．【答案】解：由题意可得：在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，…，617各点距离之和最小
当x=309时，原式的值最小，
最小值是：|309-1|+|309-2|+…+|309-308|+0+|309-310|+|309-311|+…+|309-616|+|309-617|
=308+307+…+1+1+2+…+308
=95172
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【分析】根据绝对值的几何意义即可求出答案.
24．【答案】；
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（）∵，
∴式子表示到的距离与到的距离之和，
可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：；
（）∵，
∴式子表示到的距离的倍与到、的距离之和，
如图，
可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，最小值为，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】（）表示到的距离与到的距离之和，即当在和之间时，距离之和最小，利用两点间距离公式计算即可求解；
（）式子表示到3的距离的2倍与到-6、-4的距离之和，可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，即可求解．
25．【答案】（1）－1或5
（2）6
【知识点】数轴上两点之间的距离；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）绝对值表示与在数轴上的距离为，
∴可以是或，
解得：
故答案为：.
（2）表示与，，在数轴上的距离之和，
当时，
取得最小值，即，
故答案为：6.
【分析】（1）根据绝对值的意义得到表示与在数轴上的距离为，则可以是或，进而即可求解；
（2）根据绝对值的意义得到表示与，，在数轴上的距离之和，进而即可求解.
26．【答案】（1）解：根据题意，得|x-4|+|x+2|表示x在数轴上对应的点到-2和4对应的两点的距离的和.如图，-2和4对应的点将数轴分为三部分.
根据数轴可知，当x位于-2和4之间，即-2≤x≤4时，|x-4|+|x+2|取得最小值，最小值即为-2和4对应的点之间的距离，为6.
（2）解：根据题意，得|x-3|+|x+2|+|x+6|表示x在数轴上对应的点到3，-2，-6对应的点的距离的和.
由数轴可知，当x=-2时取得最小值，最小值为9
（3）解：由题意可知|x-1|+|x+2|的最小值为3，|y-3|+|y+4|的最小值为7.
因为|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10=3+7，所以-2≤x≤1，-4≤y≤3，所以2x+y的最大值为2×1+3=5
【知识点】绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离；多个绝对值的和的最值
【解析】【分析】(1)求 的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当 时， 有最小值；
(2)先找到中间点，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值情况；
(3)由于 =3+7，可知-2≤x≤1，-4≤y≤3，依此得到2x+y的最大值和最小值.
27．【答案】（1）
（2）
（3）7；-12
（4）997002
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：与的值相等，
表示的数与表示4和的数的距离相等，
表示的数是表示4和的数的中点，
，
故答案为：．
（3）解：表示对应的点到和2对应的两点距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
整数有、、、、、0、1、2，它们的和为，
故答案为：7；；
（4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值．
当时，式子取得最小值，
此时，
．
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用是解题关键．
（1）根据题意可得数轴上表示的数与表示的数的距离，即可求解；
（2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和的数的中点，据此求解即可；
（3）根据表示的意义，可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的的值的和即可；
（4）观察已知条件可以发现，表示到的距离．得出只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值，即找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：与的值相等，
表示的数与表示4和的数的距离相等，
表示的数是表示4和的数的中点，
，
故答案为：．
（3）解：表示对应的点到和2对应的两点距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
整数有、、、、、0、1、2，它们的和为，
故答案为：7；；
（4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值．
当时，式子取得最小值，
此时，
．
28．【答案】（1）或；
（2）解：∵，
即，
∵，
∴不可能在和之间，
∴①当＜时，，
解得；
②当＞时，，
解得；
综上，的值为或，
故填：或；
（3）解：有．
∵，
∴表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和，
∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为；
（4）解：有．
∵表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，
∴当时，距离之和最小，最小值为．

【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴或，
∴或，
故填：或；
【分析】（）根据绝对值的意义即可求解；
（）由绝对值的意义可知表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于，由可知不可能在和之间，再讨论在的左边和在的右边两种情况，利用两点间距离公式计算即可求解；
（）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，据此即可求解；
（）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，可知当时，距离之和最小，据此即可求解；
（1）解：∵，
∴或，
∴或，
故答案为：或；
（2）解：∵，
∴，
即表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于，
∵，
∴不可能在和之间，
当在的左边时，，
解得；
当在的右边时，，
解得；
综上，满足条件的的值为或，
故答案为：或；
（3）解：有．
∵，
即式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和，
可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为；
（4）解：有．
式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，
可知当时，距离之和最小，最小值为．
1 / 1浙教版数学七年级上学期重难点复习1:绝对值的最值模型
一、两个绝对值的和的最值
1．（2024七上·珠海期中）代数式的最小值是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵表示到，的距离和
∴当时，有最小值，
∴当时，
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的几何意义，表示x与-3之间的距离，表示x与2之间的距离，结合数轴即可判断何时的值最小，进而求得最小值.
2．（2024七上·永定期末）是数轴上一点表示的数，则的最小值是（　　）
A．1 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】①当x<-2时，x+2<0，x-3<0，∴；
②当-2≤x≤3时，x+2>0，x-3<0，∴；
③当x>3时，x+2>0，x-3>0，∴；
综上，的最小值为5，
故答案为：C.
【分析】分类讨论，再利用绝对值的性质化简求解并比较大小即可.
3．当x变化时，|x-4|+|x+t|有最小值3，则常数t的值为(　　)
A．-1 B．-7 C．-1或-7 D．3或-1
【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）当这两个都为负数时，
则|x-4|+|x+t|=3，变为：-x+4-x-t=3，
可得：t=-2x+1，这时x为变量，则t也为变量，与题意不符；
（2）当这两个都为正数时，
则|x-4|+|x+t|=3，变为：x-4+x+t=3，
可得：t=-2x+7，这时x为变量，则t也为变量，与题意不符；
（3）当|x-4|为正数、|x+t|负数时，
则|x-4|+|x+t|=3，变为：x-4-x-t=3，
可得：t=-7，这时x为变量，则t为定值，符合题意；
（4）当|x-4|为负数、|x+t|正数时，
则，|x-4|+|x+t|=3，变为：-x+4+x+t=3，
可得：t=-1，这时x为变量，则t为定值，符合题意；
综上所述，t的值为-1或7，
故答案为：C
【分析】根据题意分类讨论其正负性，进而根据绝对值化简，从而即可求解。
4．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-2的点的距离，|x-3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点的距离.当|x+2|+|x-3|取得最小值时，x的取值范围是(　　)
A．x≤-2 B．-2≤x≤3 C．x≤-2或x≥3 D．x≥3
【答案】B
【知识点】绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：如图，
①当x<-2时，则x+2<0，x-3<0，
∴，
②当x>3时，则x+2>0，x-3>0，
∴
③当-2≤x≤3时，则x+2≥0，x-3≤0，
∴
综上所述，当-2≤x≤3时，|x+2|+|x-3|取得最小值，
∴当|x+2|+|x-3|取得最小值时，x的取值范围是-2≤x≤3.
故答案为：B.
【分析】先画出数轴，进而分三类情况讨论，①当x<-2时，则x+2<0，x-3<0；②当x>3时，则x+2>0，x-3>0；③当-2≤x≤3时，则x+2≥0，x-3≤0，分别根据绝对值的性质化简计算即可求出代数式的最小值.
5．（2023七上·夷陵期中）的最小值是　 　．
【答案】5
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：①当时，有，
②当时，有，
③当时，有，
∴的最小值是5，
故答案为：5.
【分析】分三种情况讨论：当或或时，分别利用绝对值的性质去掉绝对值符号进行化简，最后比较结果即可得到答案.
6．|x-3|+|x-5|有最　 　值是　 　，此时x 的取值范围是　 　.
【答案】小；2；3≤x≤5
【知识点】绝对值的非负性；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：由绝对值的几何意义可知， |x-3|+|x-5| 是数轴上表示数x的点到表示3和5的点的距离之和，当3≤x≤5时，|x-3|+|x-5|有最小值为5-3=2.
故答案为：（1）小，（2）2，（3）3≤x≤5 .
【分析】若a7．（2024·成都模拟）函数的最小值为3，则a的值为　 　．
【答案】或
【知识点】绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵
∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和
∵函数的最小值为3，
∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3
即
∴
∴或
故答案为：或．
【分析】由于表示一个数到0的距离，根据函数的最小值为3，则在和的之间，且是和的之间的距离为3，即，进行计算，即可作答．
8．点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，若x是一个有理数，且-3若|x+a|+|x+1|的最小值为 3，则a的值为　 　.
【答案】4；2或-4
【知识点】化简含绝对值有理数；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）∵-3∴x-1<0，x+3>0，
∴原式=-(x-1)+(x+3)=-x+1+x+3=4.
故填：4.
（2）∵ |x+a|+|x+1|表示数轴上x到-a与x到-1的距离之和，且其最小值为3，
∴当x介于-a与-1之间时，|x+a|+|x+1|=3，
∴-a与-1的距离为3，即|-a-(-1)|=3，
∴ 若-a-(-1)=3，解得a=-2；
若-a-(-1)=-3，解得a=4，
综上，a的值为2或-4.
故填：2或-4.
【分析】（1）先根据字母x的取值范围并结合有理数的减法法则判断出x-1与x+3的正负，然后根据绝对值性质“正数的绝对值是其本身，负数的绝对值等于其相反数”化简绝对值，最后合并同类项即可.
（2）根据点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB=|a-b|，可得此题求的是数轴上表示x的点到表示-a的点与表示x的点到表示-1的点的距离之和，且其最小值为3，根据两点之间线段最短可得当表示x的点介于表示-a的点与表示-1的点之间时，其距离和最短，这个最短距离就是表示-a的点与表示-1的点之间的距离，从而即可|-a-(-1)|=3，求解即可.
9．已知A，B，C三点，它们在数轴上所表示的数分别是5，-3，a。
（1）求线段AB的长。
（2）若AC=6，求a的值。
（3）若d=|a+3|+|a-5|，求d的最小值。
【答案】（1）解：|AB|=|5-(-3)|=8，
∴ 线段AB的长为8
（2）解：|AC|=|5-a|=6，
解得a=-1或a =11
（3）解：∵d=|a+3|+|a-5|，
∴当-3≤a≤5时，d取最小值，最小值为8
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；两个绝对值的和的最值
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，求出线段AB的长度；
（2）根据AC=6，即可求出a的值；
（3）根据d的表达式，求出d的最小值.
10．同学们都知道：|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可以理解为5和—2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助如图的数轴进行以下探索：
（1）如果|x-2|=5，那么x=　 　.
（2）由以上探索猜想对于任何有理数x，当|x-3|+|x-6|有最小值时，请写出x满足的条件，并求出最小值是多少.
【答案】（1）-3或7
（2）解：当3≤x≤6时，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3.
当x＞6时，x-3+x-6=2x-9＞3，
当3≤x≤6时，x-3+6-x=3，
当x＜3时，3-x+6-x=9-2x＞3，
故|x-3|+|x-6|有最小值，最小值是3.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；求有理数的绝对值的方法；两个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1） ∵|x-2|=5，
∴x=7或x=-3，
故答案为：-3或7.
【分析】（1）根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，即可求解.
（2）分为：当x＞6、3≤x≤6、x＜3三种情况，分别判断|x-3|+|x-6|的取值单位，即可求解.
二、两个绝对值的差的最值
11．（2024七上·深圳期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-1的点的距离，|x-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么|x+1|-|x-2|的最大值是　 　.
【答案】3
【知识点】数轴上两点之间的距离；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：当x＜ 1时，x＋1＜0，x 2＜0，
|x＋1| |x 2|＝ （x＋1）＋（x 2）＝ x 1＋x 2＝ 3；
当x＞2时，x＋1＞0，x 2＞0，
|x＋1| |x 2|＝（x＋1） （x 2）＝x＋1 x＋2＝3；
当 1≤x≤2时，x＋1≥0，x 2≤0，
|x＋1| |x 2|＝（x＋1）＋（x 2）＝2x 1＝3；
综上所述，|x＋1| |x 2|的最大值是3．
故答案为：3．
【分析】分类讨论：①当x＜ 1时，x＋1＜0，x 2＜0，②当x＞2时，x＋1＞0，x 2＞0，③当 1≤x≤2时，x＋1≥0，x 2≤0，再分别利用绝对值的化简并求解即可.
12．代数式|x-1|-|x+6|-5 的最大值是　 　.
【答案】2
【知识点】数轴上两点之间的距离；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：|x-1|-|x+6|的最大值为：1-(-6) =1+6=7，
∴代数式的最大值为 7-5=2，
故答案为：2.
【分析】将代数式看成数轴上表示x的点到1和-6之差，进而即可求解.
13． 如图①，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，表示的数分别为-5，b，4.某同学将刻度尺如图②放置，使数轴上的点 A 对齐刻度0cm，发现点 B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4 cm.
（1）在图①的数轴上， 　 　个单位长度；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的　 　 cm.
（2）求数轴上点 B 所表示的数b.
（3）P是图①中数轴上一点，点P 到点A 的距离是到点B 的距离的2倍，求点 P 表示的数.
（4）若点 Q 在数轴上表示的数为x，则 |的最小值为　 　，|x+5|-|x--4|的最大值为　 　
【答案】（1）9；0.6
（2）解：∵在刻度尺上AB=1.8cm，所以在数轴上 AB=1.8÷0.6=3(个)单位长度，
∴数轴上点 B所表示的数b=-5+3=-2
（3）解：设点 P 表示的数为a.
当点 P 在点A，B之间时，
由题意，得a-(-5)=2(-2-a)，
解得a=-3；
当点 P 在点 B 右侧时，
由题意，得a-(-5)=2[a-(-2)]，解得a=1；
当点 P在点A 左侧时，PA综上所述，点P 表示的数为-3或1
（4）9；9
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；两个绝对值的和的最值；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
AC=4-(-5)=9
∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度为5.4÷9=0.6
故答案为：9；0.6
（4）当-5≤x≤4时，取得最小值，最小值为QA+QC=AC=9
当x≥4时，|x+5|-|x-4|取得最大值，最大值为QA-QC=AC=9
故答案为：9；9
【分析】（1）根据数轴上两点间距离即可求出AC长度，再对应应刻度尺上AC间的距离即可求出答案.
（2）求出数轴上AB单位长度，再根据两点间距离即可求出答案.
（3）设点 P 表示的数为a，分情况讨论：当点 P 在点A，B之间时，当点 P 在点 B 右侧时，当点 P在点A 左侧时，PA（4）根据绝对值的性质及数轴上两点间的距离即可求出答案.
14．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|.
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为　 　.
（2）若|x+3|=4，则x=　 　.
（3）|x-3|-|x+2|最大值为　 　，最小值为　 　.
【答案】（1）x+3
（2）1或-7
（3）5；-5
【知识点】实数的绝对值；数轴上两点之间的距离；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为：.
故答案为：|x+3|.
（2）∵|x+3|=4，
∴x+3=4或x+3=-4，
∴x=1或x=-7 ，
故答案为：1或-7.
（3）∵式子|x-3|-|x+2|可看作是数轴上表示x的点到3、-2两点的距离之差，
∴当x≤-2时，|x-3|-|x+2|有最大值5；
当x≥3时，|x-3|-|x+2|有最小值|3-3|-|3+2|=-5；
故答案为：5，-5.
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离计算方法计算即可；
（2）根据绝对值的性质得到：x+3=4或x+3=-4，解这两个方程即可求出x的值；
（3）根据题意得：式子|x-3|-|x+2|可看作是数轴上表示x的点到3、-2两点的距离之差，进而结合数轴即可求解.
15．（2024七上·江门月考）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．”
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了。”
小明说：“利用数轴可以解决这个问题。”
他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3．
请你根据他们的解题思路解决下面的问题。
（1）当式子取最小值时，最小值是　 　。
（2）已知，y的最大值是　 　。
（3）已知：，则　 　。
【答案】（1）2
（2）10
（3）3或18
【知识点】数轴上两点之间的距离；两个绝对值的和的最值；两个绝对值的差的最值
【解析】【解答】解：（1）当x<2时
原式
当2≤x≤4时
原式
当x>4时
原式
∴当2≤x≤4时，原式取最小值为2
故答案为：2
（2）当x<﹣8时
当﹣8≤x≤2时
当x=2时，y最大为10
当x>2时，
综上所述，y有最大值为10
故答案为：10
（3）
当x<﹣12时，原方程可化为
解得：x=18（舍去）
当﹣12≤x≤8时，原方程可化为x+12=3(8－x)
解得：x=3
当x>8时，原方程可化为x+12=3(x－8)
解得：x=18
综上所述，x的值为3或18
【分析】（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，即可求出答案.
（2）根据绝对值的性质分情况讨论，即可求出答案.
（3）分情况化简绝对值，再解方程即可求出答案.
三、多个绝对值的和的最值
16．|x+2|+|x-2|+|x-1|的最小值是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：|x +2|+|x-2|+|x-1|表示：数轴上一点到-2，2和1距离的和，
当x在-2和2之间的1时距离的和最小，是4。
故答案为：B.
【分析】首先，我们需要理解表达式|x + 2| + |x - 2| +|x - 1|的含义。这个表达式可以看作是数轴上一点到三个点(-2，2，1)的距离之和。在数轴上，如果我们要找到一点，使得它到三个点的距离之和最小，那么这个点应该位于这三个点的中间。具体来说，如果三个点是a|x + 2| +|x - 2| +|x - 1| =|1+2|+|1-2|。因此，当x=1时，到-2，2，1的距离之和最小，最小值为 4。
17．已知x为一切实数，则|x+1|+|x-2|+|x-4|+|x+2|+|x-6|的最小值是(　　)
A．13 B．15 C．16 D．11
【答案】A
【知识点】数轴上两点之间的距离；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵数x表示的点到-1表示的点的距离为|x+1|，到2表示的点的距离为|x-2|，到4表示的点的距离为|x-4|，到-2表示的点的距离为|x+2|，到6表示的点的距离为|x-6|，
∴当数x在中间一个点上，即x=2时，代数式的值最小.
∴|x+1|+|x-2|+|x-4|+|x+2|+|x-6|的最小值是|2+1|+|2-2|+|2-4|+|2+2|+|2-6|=13
故答案为：A
【分析】根据数轴上两点间的距离得到数x表示的点到-1表示的点的距离为|x+1|，到2表示的点的距离为|x-2|，到4表示的点的距离为|x-4|，到-2表示的点的距离为|x+2|，到6表示的点的距离为|x-6|，则当数x在中间一个点上，即x=2时，代数式的值最小，从而即可求解。
18．已知x是正实数，则 的最小值是(　　)
A．2 B． C． D．0
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：
设x-1=0，得x=1，
设2x-1=0，得x=，
设3x-1=0，得x=，
设4x-1=0，得x=，
设5x-1=0，得x=；
当x≤时，原式=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x=5-15x，∴当x=时，得最小值2；
当＜x≤时，原式=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+5x-1=3-5x，∴当x=时，得最小值；
当＜x≤时，原式=1-x+1-2x+1-3x+4x-1+5x-1=2x+1，无最小值；
当＜x≤时，原式=1-x+1-2x+3x-1+4x-1+5x-1=9x-1，∴当x=时，得最小值2；
当＜x≤1时，原式=1-x+2x-1+3x-1+4x-1+5x-1=13x-3，∴当x=时，得最小值；
当x＞1时，原式=x-1+2x-1+3x-1+4x-1+5x-1=15x-5，无最小值，
综上，当x=时，原式得最小值.
故答案为：B.
【分析】利用零点分段法将代数式分为五段，然后求出每一段的最小值，再比较即可得出答案.
19．当x 满足（　　)时，|1.5x-0.5|+|2.5x-0.5|+|3.5x-0.5|+|4.5x-0.5|+|5.5x-0.5|+|6.5x-0.5|的值取得最小.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：原式
该式子可以看成数轴上的某点到 各个点的距离乘以相应系数后所有积相加的和.
∵1.5+2.5+3.5+4.5=5.5+6.5，所以该点在 和 之间时，和最小
故答案为：A
【分析】提公因式化简各式，再根据绝对值的结合意义化简计算即可求出答案.
20．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
【答案】C
【知识点】绝对值的非负性；绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵当4≤x≤6时，|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|的最小值是8，
|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|的最小值是a，
∴a=8.
∴
∵
∴b<0，c< 0，
∴ab<0， bc>0， ac<0， abc>0，
∴
故答案为：C.
【分析】先通过绝对值的几何意义求出表达式的最小值得到a，再根据已知等式确定b、c的符号，最后利用绝对值的性质计算目标表达式的值.
21．的最小值为　 　。
【答案】17
【知识点】绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|表示数轴上表示数x的点到表示数-8，-1，3，5的点的距离之和。
由数轴表示数的意义可知，
当-1≤x≤3时，这个距离之和最小，
最小值为|5+8|+|3+1|=13+4=17。
故答案为：17.
【分析】根据绝对值的意义可得，|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|表示数轴上表示数x的点到表示数-8，-1，3，5的点的距离之和，从而得到当-1≤x≤3时，这个距离之和最小，求解即可.
22．当|x-2|+|x-3|的值最小时，|x-2|+|x-3|-|x-1|的值最大是　 　，最小是　 　.
【答案】0；-1
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：当|x-2|+|x-3|的值最小时，2≤x≤3
∴当x=2时，|x-2|+|x-3|-|x-1|=0
当x=3时，|x-2|+|x-3|-|x-1|=-1
∴最大值为0，最小值为-1
故答案为：0；-1
【分析】根据绝对值的几何意义即可求出答案.
23．求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值.
【答案】解：由题意可得：在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，…，617各点距离之和最小
当x=309时，原式的值最小，
最小值是：|309-1|+|309-2|+…+|309-308|+0+|309-310|+|309-311|+…+|309-616|+|309-617|
=308+307+…+1+1+2+…+308
=95172
【知识点】绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【分析】根据绝对值的几何意义即可求出答案.
24．（2024七上·重庆市期中）我们知道，数轴上两个点，它们表示的数分别是，那么两点之间的距离为．如与的距离可表示为，与的距离可表示为．
（）的最小值为　 　；
（）的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（）∵，
∴式子表示到的距离与到的距离之和，
可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：；
（）∵，
∴式子表示到的距离的倍与到、的距离之和，
如图，
可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，最小值为，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】（）表示到的距离与到的距离之和，即当在和之间时，距离之和最小，利用两点间距离公式计算即可求解；
（）式子表示到3的距离的2倍与到-6、-4的距离之和，可知 当在的位置时，距离之和可以取最小值，即可求解．
25．（2024七上·松阳期末）我们知道，可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为a与－5两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成：
（1）若，则　 　；
（2）求的最小值　 　．
【答案】（1）－1或5
（2）6
【知识点】数轴上两点之间的距离；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）绝对值表示与在数轴上的距离为，
∴可以是或，
解得：
故答案为：.
（2）表示与，，在数轴上的距离之和，
当时，
取得最小值，即，
故答案为：6.
【分析】（1）根据绝对值的意义得到表示与在数轴上的距离为，则可以是或，进而即可求解；
（2）根据绝对值的意义得到表示与，，在数轴上的距离之和，进而即可求解.
26．我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把|x|看作|x-0|，所以|x-3|就表示x在数轴上对应的点到3对应的点的距离，|x+1|=|x-(-1)|就表示x在数轴上对应的点到一1对应的点的距离.
由上面绝对值的几何意义，解答下列问题：
（1）求|x-4|+|x+2|的最小值，并写出此时x的取值情况；
（2）求|x-3|+|x+2|+|x+6|的最小值，并写出此时x的取值情况；
（3）已知|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10，求2x+y的最大值.
【答案】（1）解：根据题意，得|x-4|+|x+2|表示x在数轴上对应的点到-2和4对应的两点的距离的和.如图，-2和4对应的点将数轴分为三部分.
根据数轴可知，当x位于-2和4之间，即-2≤x≤4时，|x-4|+|x+2|取得最小值，最小值即为-2和4对应的点之间的距离，为6.
（2）解：根据题意，得|x-3|+|x+2|+|x+6|表示x在数轴上对应的点到3，-2，-6对应的点的距离的和.
由数轴可知，当x=-2时取得最小值，最小值为9
（3）解：由题意可知|x-1|+|x+2|的最小值为3，|y-3|+|y+4|的最小值为7.
因为|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10=3+7，所以-2≤x≤1，-4≤y≤3，所以2x+y的最大值为2×1+3=5
【知识点】绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离；多个绝对值的和的最值
【解析】【分析】(1)求 的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当 时， 有最小值；
(2)先找到中间点，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值情况；
(3)由于 =3+7，可知-2≤x≤1，-4≤y≤3，依此得到2x+y的最大值和最小值.
27．（2024七上·杭州期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用：
（1）应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为 ，
（2）应用二：若点表示的整数为，则当为　　时，与的值相等；
（3）应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为　　，此时所有符合条件的整数的和为　　
（4）应用四：求的最小值为
【答案】（1）
（2）
（3）7；-12
（4）997002
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：与的值相等，
表示的数与表示4和的数的距离相等，
表示的数是表示4和的数的中点，
，
故答案为：．
（3）解：表示对应的点到和2对应的两点距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
整数有、、、、、0、1、2，它们的和为，
故答案为：7；；
（4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值．
当时，式子取得最小值，
此时，
．
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用是解题关键．
（1）根据题意可得数轴上表示的数与表示的数的距离，即可求解；
（2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和的数的中点，据此求解即可；
（3）根据表示的意义，可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的的值的和即可；
（4）观察已知条件可以发现，表示到的距离．得出只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值，即找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：与的值相等，
表示的数与表示4和的数的距离相等，
表示的数是表示4和的数的中点，
，
故答案为：．
（3）解：表示对应的点到和2对应的两点距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
整数有、、、、、0、1、2，它们的和为，
故答案为：7；；
（4）解：由已知条件可知，表示到的距离，只有当到1的距离等于到1997的距离时，式子取得最小值．
当时，式子取得最小值，
此时，
．
28．（2024七上·浦江月考）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索：
（1）若，则 ；
（2）若，则满足条件的的值为 ；
（3）根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
（4）根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】（1）或；
（2）解：∵，
即，
∵，
∴不可能在和之间，
∴①当＜时，，
解得；
②当＞时，，
解得；
综上，的值为或，
故填：或；
（3）解：有．
∵，
∴表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和，
∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为；
（4）解：有．
∵表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，
∴当时，距离之和最小，最小值为．

【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；两个绝对值的和的最值；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴或，
∴或，
故填：或；
【分析】（）根据绝对值的意义即可求解；
（）由绝对值的意义可知表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于，由可知不可能在和之间，再讨论在的左边和在的右边两种情况，利用两点间距离公式计算即可求解；
（）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，据此即可求解；
（）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，可知当时，距离之和最小，据此即可求解；
（1）解：∵，
∴或，
∴或，
故答案为：或；
（2）解：∵，
∴，
即表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于，
∵，
∴不可能在和之间，
当在的左边时，，
解得；
当在的右边时，，
解得；
综上，满足条件的的值为或，
故答案为：或；
（3）解：有．
∵，
即式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和，
可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为；
（4）解：有．
式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，
可知当时，距离之和最小，最小值为．
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