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2．1　命题、定理、定义
一、 单项选择题
1 下列语句中，是命题的是(　　)
A. 两个奇数的和是奇数吗 B. sin 45°＝1
C. x2＋2x－1>0 D. x2＋y2＝0
2 下列命题中，是真命题的是(　　)
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3 (2024梅河口五中月考)对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是(　　)
A. 若A∩B＝A，则A B
B. 若A∪B＝A，则A B
C. 若A B，B A，则A＝B
D. 若A∩B＝ ，则A＝ 或B＝
4 下列命题中，是真命题的是(　　)
A. 若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等
B. 若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形
C. 存在一个实数x，使得|x|<0
D. 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0
5 若命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数根”为真命题，则实数a的取值范围是　(　　)
A. (－∞，1) B. (－∞，1]
C. (－∞，0)∪(0，1) D. (－∞，0)∪(0，1]
6 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖；
乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的；
丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中．
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符．已知有两人获奖，则获奖者可能是下列选项中的(　　)
A. 甲和丁 B. 乙和丙
C. 甲和丙 D. 乙和丁
二、 多项选择题
7 下列说法中，不正确的是(　　)
A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B. 语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C. 命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题
D. “当x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
8 (2024遵义正安二中月考)下列命题中，正确的是(　　)
A. 若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
B. 直角三角形的外心一定不在斜边上
C. 如果实数集的非空子集A是有限集，那么A中的元素必然有最大值
D. 任何分数都是有理数
三、 填空题
9 (2024上海师范大学附属中学期中)命题“如果x∈Q，那么x∈R”是________命题．(填“真”或“假”)
10 若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是________．
11 (2024聊城月考)已知命题p：5x－1>a，q：x>1，且“若p，则q”为真命题，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1) 6是12和18的公约数；
(2) 当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3) 平行四边形的对角线互相平分；
(4) 已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
13 已知命题甲：集合A＝{x|－20}，且A∪B＝{x|x>－2}，命题乙：集合A＝{x|x－a≥4}，B＝{x|x≤0}，且A∩B＝ .
(1) 若命题甲是真命题，求实数a的取值范围；
(2) 若命题乙是真命题，求实数a的取值范围；
(3) 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．
2.1　命题、定理、定义
1. B　对于A，是疑问句，不是命题；对于C，D，不能判断真假，不是命题；对于B，是陈述句且能判断真假，是命题．
2. B　对角线相等的四边形还可能是等腰梯形，故A不是真命题；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故B是真命题；对角线互相垂直的四边形还可能是等腰梯形，故C不是真命题；对角线互相垂直平分的四边形还可能是菱形，故D不是真命题．
3. D　对于A，若A∩B＝A，则对任意x∈A＝A∩B，有x∈B，则A B，故A正确；对于B，若A∪B＝A，则对任意x∈B＝A∪B＝A，有x∈A，则B A，故B正确；对于C，对任意x∈A，A B，有x∈B，对任意x∈B，B A，有x∈A，所以集合A，B的所有元素相同，即A＝B，故C正确；对于D，如A＝，B＝，显然A∩B＝ ，故D错误．
4. B　若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误；由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形，故B正确；因为对于任意实数，|x|≥0，故C错误；可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误．
5. C　由题意知解得a<1，且a≠0.
6. C　由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”，所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．若甲和丙的说法同时与结果相符，则乙的说法与结果不符，可得丁的说法也对，这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符”相矛盾，故错误；若甲和丙的说法与结果不符，则乙、丁的预测成立，所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖、乙不获奖或者乙获奖、丙不获奖，即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙．
7. AB　对于A，命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，故A错误；对于B，语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，当a>4时，Δ＝(－4)2－4a＝4(4－a)<0，方程x2－4x＋a＝0无实根，即“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”为假，故该语句是命题，故B错误；对于C，由菱形的定义和性质可知，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，即命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题，故C正确；对于D，当x＝2时，22－3×2＋2＝0，所以“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题，故D正确．故选AB.
8. ACD　对于A，假设x，y都小于或等于1，则x＋y≤1＋1＝2，与题意矛盾，故假设错误，故A正确；对于B，直角三角形的外心是斜边的中点，故B错误；对于C，假设非空集合A中的元素无最大值，则集合A必为无限集，这与实数集的非空子集A是有限集矛盾，所以A中的元素必然有最大值，故C正确；对于D，由有理数定义可知任何分数都是有理数，故D正确．故选ACD.
9. 真　由所有有理数都是实数知，命题“如果x∈Q，那么x∈R”是真命题．
10. a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0　①当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程才有实数解x＝－；②当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0.综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．
11. [4，＋∞)　集合A＝{x|x满足条件P}，B＝{x|x满足条件q}．由5x－1>a，得x>，则A＝(，＋∞).因为B＝(1，＋∞)，且“若p，则q”为真命题，所以≥1，解得a≥4.故实数a的取值范围是[4，＋∞).
12. (1) 若一个数是6，则它是12和18的公约数．
因为12＝6×2，18＝6×3，
所以6是12和18的公约数，
所以“若一个数是6，则它是12和18的公约数”是真命题．
(2) 若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．
当a＝0时，方程为2x－1＝0，x＝，方程ax2＋2x－1＝0只有1个实根，
所以“若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根”是假命题．
(3) 若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．
根据平行四边形的性质可知，“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分”是真命题．
(4) 已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.
当y＝5，x＝3时，满足y－x＝2，
所以“已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2”是假命题．
13. (1) 由题意，得A＝{x|－20}＝{x|x>1－a}．
因为A∪B＝{x|x>－2}，
所以－2≤1－a<6，解得－5所以若命题甲是真命题，则实数a的取值范围为(－5，3].
(2) 因为A＝{x|x－a≥4}＝{x|x≥4＋a}，B＝，且A∩B＝ ，
所以4＋a>0，解得a>－4，
所以若命题乙是真命题，则实数a的取值范围为(－4，＋∞).
(3) 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，解得－5当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或解得a>3.
综上，若命题甲和乙中有且只有一个真命题，则实数a的取值范围为(－5，－4]∪(3，＋∞).

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