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2.3.1　全称量词命题与存在量词命题
一、 单项选择题
1 (2024东莞七校期中联考)下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是(　　)
A. 梯形是四边形
B. x∈R，x3＋1≠0
C. x∈R，|x|＋1≥1
D. 存在一个实数x，使x2＋2x－3＝0
2 (2024浙江9＋1高中联盟期中)若命题“ x∈R，x2＋2x＋a<0成立”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，1] B. (－∞，1)
C. [1，＋∞) D. (1，＋∞)
3 下列存在量词命题中，是假命题的是(　　)
A. x∈Z，x2－2x－3＝0
B. 至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C. 有的三角形没有外接圆
D. 某些四边形不存在外接圆
4 (2024杭州S9联盟期中联考)已知命题p： x∈R，x2＋a－1≥0，若p为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，1) B. (－∞，1]
C. (1，＋∞) D. [1，＋∞)
5 (2024深圳第二外国语学校期中)下列四个命题中，为真命题的是(　　)
A. x∈Z，1<4x<3
B. x∈Z，5x＋1＝0
C. x∈R，x2－1≠0
D. x∈R，x2＋x＋2>0
6 已知P，Q为R的两个非空真子集，若 RQ? RP，则下列结论中正确的是(　　)
A. x∈Q，x∈P
B. x∈ RP，x∈ RQ
C. x Q，x∈P
D. x∈ RP，x∈ RQ
二、 多项选择题
7 (2024苏州明德高级中学月考)命题“ x∈{x|1≤x≤3}，3x2－a≥0”为真命题的一个必要且不充分条件是(　　)
A. a≤4 B. a≤2 C. a≥3 D. a≤5
8(2024辽宁朝阳期中)下列命题中，为真命题的是　(　　)
A. x∈R，|x|＋|x－1|>0
B. x∈N，(x－1)2>0
C. x∈R，x＋－1<0
D. x∈N，x2－x＋<0
三、 填空题
9 用符号“ ”或“ ”表示命题．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0：______________．
10 (2024常州金坛期中)若命题“ x∈R，x2＋2x＋a≠0”为真命题，则实数a的取值范围为________．
11 根据事实：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＝52……写出一个含有量词的全称量词真命题或存在量词的真命题为____________________________．
四、 解答题
12 已知命题p： x∈(0，1)，x＋m－1<0，q： x0∈R，mx＋4x0－1＝0.若p，q均为真命题，求实数m的取值范围．
13 已知m∈R，命题p：1≤m≤2；命题q： x∈{x|－1≤x≤1}，使得m≤1－x2成立．若p和q至少有一个为真，求实数m的取值范围．
2.3.1　全称量词命题与存在量词命题
1. A　对于A，是全称量词命题且为真命题，故A正确；对于B，是全称量词命题，当x＝－1时，x3＋1＝0，为假命题，故B错误；C，D都为存在量词命题，不符合题意．
2. B　因为 x∈R，x2＋2x＋a<0成立，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.
3. C　对于A，x＝－1或x＝3满足题意，是真命题；对于B，x＝6满足题意，是真命题；对于C，所有的三角形都有外接圆，是假命题；对于D，只有对角互补的四边形才有外接圆，是真命题．
4. D　因为命题p： x∈R，x2＋a－1≥0为真命题，则a≥－x2＋1对任意x∈R恒成立，所以a≥(－x2＋1)max＝1. 故实数a的取值范围是[1，＋∞).
5. D　对于A，由1<4x<3，得0，故D是真命题．
6. B　由( RQ)?( RP)，得P?Q.如图，由图易得 x∈Q，x P，故A错误； x∈ RP，x∈ RQ，故B正确； x Q，x P，故C错误； x∈ RP，x RQ，故D错误．
7. AD　由题意，得 x∈，a≤3x2，即a≤(3x2)min＝3，故该题可以转化为“a≤3”的一个必要且不充分条件. 由必要且不充分条件的判断知，“a≤3”的一个必要且不充分条件是“a≤m，m>3”，故A，D符合题意. 故选AD.
8. AC　因为|x|≥0，|x－1|≥0，所以|x|＋|x－1|≥0.又x＝0，x＝1不能同时取得，所以“ x∈R，|x|＋|x－1|>0”为真命题，故A正确；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以“ x∈N，(x－1)2>0”为假命题，故B错误；当x＝－1时，x＋－1<0成立，故“ x∈R，x＋－1<0”为真命题，故C正确；因为x2－x＋＝－，x∈N，所以当x＝0或x＝1 时，有最小值，故“ x∈N，x2－x＋<0”为假命题，故D错误．故选AC.
9. x∈R，x2＋2x＋3＝0
10. (1，＋∞)　因为 x∈R，x2＋2x＋a≠0，则x2＋2x＋a＝0在R上无解，所以4－4a<0，解得a>1.
11. k∈N*，1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2　观察式子可知，从1开始从小到大连续k个奇数相加的和为k2，故 k∈N*，1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2.
12. 因为命题p是真命题，
所以x＋m－1<0对0即m－1<－x对0当0所以m－1≤－1，即m≤0.
因为命题q是真命题，
所以关于x的方程mx2＋4x－1＝0有实数根．
当m＝0时，4x－1＝0有实数根；
当m≠0时，依题意，得Δ＝16＋4m≥0，解得m≥－4，且m≠0，
综上，m≥－4.
因为p，q均为真命题，
所以实数m的取值范围是[－4，0].
13. 若命题q为真命题，即 x∈，使得m≤1－x2成立，则m≤(1－x2)max＝1.
当p真q假时，m∈；
当p假q真时，m∈；
当p，q都真时，m∈.
综上，当p和q至少有一个为真时，m≤2.
故实数m的取值范围是(－∞，2].

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