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2．3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
一、 单项选择题
1 命题“对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0”的否定是(　　)
A. 存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B. 存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0
C. 对于任意x∈Z，不都有x2＋2x＋m≤0
D. 对于任意x∈Z，都没有x2＋2x＋m>0
2 (2024深圳期中)已知命题p： x∈R，x2－x＋1≥0，则 p为(　　)
A. x R，x2－x＋1<0
B. x R，x2－x＋1≥0
C. x∈R，x2－x＋1<0
D. x∈R，x2－x＋1<0
3 下列命题的否定中，是真命题的为(　　)
A. 有些实数的绝对值是正数
B. 所有平行四边形都不是菱形
C. 任意两个不全等的等边三角形都是相似的
D. 3是方程x2－9＝0的一个根
4 (2024扬州大学附属中学月考)已知命题“ x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1] B. (－1，3)
C. [－1，3] D. (－3，1)
5 某校组织了一次“我劳动、我快乐”的主题活动，旨在引导学生以自己的切身感受，体验劳动带来的乐趣，以促进学生道德品质的提高．已知参加此次活动的有50人，其中男生30名，女生20名，负责人将这些同学平均分为5个小组展开活动，则命题“存在某个小组，至少分配到1名女生”的否定是(　　)
A. 存在某个小组，至少分配到2名女生
B. 任意一个小组，至少分配到1名女生
C. 任意一个小组，没有分配到女生
D. 存在某个小组，没有分配到女生
6 定义：若集合D满足 a∈D， b∈D，都有a*b∈D，则称集合D对于这种*运算是封闭的，则下列说法中错误的是(　　)
A. 若D＝N，则D对于加法“＋”封闭
B. 若D＝R，则D对于减法“－”封闭
C. 若D＝Q，则D对于乘法“×”封闭
D. 若D＝Z，则D对于除法“÷”封闭
二、 多项选择题
7 下列说法中，正确的是(　　)
A. 若p：能被2整除的数是偶数，则 p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B. 若p：有些矩形是正方形，则 p：所有的矩形都不是正方形
C. 若p：有的三角形为正三角形，则 p：所有的三角形不都是正三角形
D. 若p： n∈N，2n≤100，则 p： n∈N，2n>100
8 下列说法中，正确的有 (　　)
A. “ x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1>0”
B. 命题“ x∈R，|x|≥x”是真命题
C. 若命题“ x∈R，x2＋4x＋m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是(4，＋∞)
D. 若命题“ x∈R，x2－2x＋m>0”为真命题，则实数m的取值范围是[1，＋∞)
三、 填空题
9 若命题p： a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则命题p的否定是_______
_____________________．
10 若命题“存在x∈R，x2－3x＋9a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
11 若命题p： x∈[1，＋∞)，x2＋1≥m，则命题p的否定是________________
____________________；若p是假命题，则实数m的取值范围是________．　
四、 解答题
12 判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则只需判断命题的真假，并给出证明．
(1) 存在实数x，使得x2＋2x＋3≤0；
(2) 有些三角形是等边三角形；
(3) 方程x2－8x－10＝0的每一个根都不是奇数．
13 已知全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≥2}，B＝{x|a＋1(1) 若A∩B＝B，求实数a的取值范围；
(2) 若 x∈A，均有x B，直接写出实数a的取值范围；
(3) 若 x∈B，且x A，直接写出实数a的取值范围．
2．3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
1. B　因为命题“对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0”是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”．
2. C　由题意，得 p为“ x∈R，x2－x＋1<0”．
3. B　对于A，因为不为0的实数的绝对值是正数，所以“有些实数的绝对值是正数”为真命题，其否定为假命题，故A不符合题意；对于B，四条边都相等的平行四边形是菱形，所以“所有平行四边形都不是菱形”为假命题，其否定为真命题，故B符合题意；对于C，“任意两个不全等的等边三角形都是相似的”为真命题，其否定为假命题，故C不符合题意；对于D，“3是方程x2－9＝0的一个根”为真命题，其否定为假命题，故D不符合题意．
4. B　因为命题“ x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，所以2x2＋(a－1)x＋>0恒成立，所以Δ＝(a－1)2－4×2×<0，解得－15. C　原命题是存在量词命题，其否定是“任意一个小组，没有分配到女生”．
6. D　对于A，任意两个自然数相加必是自然数，所以D对于加法“＋”封闭，故A正确；对于B，任意两个实数相减必是实数，所以D对于减法“－”封闭，故B正确；对于C，任意两个有理数相乘必是有理数，所以D对于乘法“×”封闭，故C正确；对于D，对于除数是0的情况，任何数除以0没有意义，所以D对于除法“÷”不封闭，故D错误．
7. ABD　根据含有一个量词的否定，可判断ABD正确；对于C，“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题“所有的三角形都不是正三角形”，故C错误．故选ABD.
8. ABC　对于A，“ x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1>0”，故A正确；对于B，由|x|≥x恒成立，得命题“ x∈R，|x|≥x”是真命题，故B正确；对于C，若命题“ x∈R，x2＋4x＋m＝0”为假命题，则x2＋4x＋m＝0无实根，则Δ＝16－4m<0，得m>4，所以实数m的取值范围是(4，＋∞)，故C正确；对于D，若命题“ x∈R，x2－2x＋m>0”为真命题，又函数y＝x2－2x＋m的图象开口向上，则x2－2x＋m＝0无实根，则Δ＝4－4m<0，解得m>1，所以实数m的取值范围是(1，＋∞)，故D错误. 故选ABC.
9. a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或有两个解
10. 　由题意，得“对任意的x∈R，x2－3x＋9a>0”是真命题，则Δ＝9－36a<0，解得a>，综上，实数a的取值范围是.
11. x∈[1，＋∞)，x2＋12.
12. (1) 存在量词命题，该命题的否定为“对任意的实数x，x2＋2x＋3>0”，为真命题．
(2) 存在量词命题，该命题的否定为“所有的三角形都不是等边三角形”，为假命题．
(3) 全称量词命题，该命题的否定为“方程x2－8x－10＝0的根至少有一个是奇数”，为假命题．
13. (1) 由题意，得A＝{x|x≤0或x≥4}．
因为A∩B＝B，所以B A.
当B＝ ，即a＋1≥2a－1，a≤2时，符合题意；
当B≠ ，即a>2时，由B A，得a＋1≥4或 2a－1≤0，解得a≥3.
综上，实数a的取值范围为(－∞，2]∪[3，＋∞).
(2) 实数a的取值范围是.
(3) 实数a的取值范围是(2，3).

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