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3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(1)
一、 单项选择题
1 (2024高碑店一中月考)若0A. B.
C. D.
2 (2024湖南双峰一中月考)不等式≥0的解集是(　　)
A. [2 024，2 025] B. [2 024，2 025)
C. (－∞，2 025] D. [2 024，＋∞)
3 (2024盐城阜宁期末)设x∈R，则“|x－2|>3”是“x2－5x－6>0”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 (2024北京交大附中期中)若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　)
A. {x|x<－2或x>1} B. {x|1C. {x|x<－1或x>2} D. {x|－25 若a，a2，a3是一个三角形的三边长，则实数a的取值范围是(　　)
A. (，) B. (，)
C. (，) D. (，)
6 (2024宿迁泗阳期末)设a，b，c为实数，若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<1或x>3}，则b－的最大值为(　　)
A. － B. C. － D.
二、 多项选择题
7(2024乳山银滩高级中学期中)≤1成立的一个充分且不必要条件是(　　)
A. －2C. －2≤x<2 D. －18 若关于x的不等式－1A. B. C. 1 D. 2
三、 填空题
9 已知不等式3x－2－x2<0的解集是A，集合B＝{x|x－a<0}，且B A，则A＝________，实数a的取值范围是________．
10 (2024北京和平街一中月考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________；不等式<0的解集是________．
11 已知不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2四、 解答题
12 (2024邵阳期中)解下列一元二次不等式：
(1) x2＋2x－15>0；
(2) (x－3)2－4(x－3)－5<0；
(3) －x2＋2x－3<0.
13 (2024长沙长郡中学期末)解下列不等式：
(1) ≥4；
(2) |2x－3|＋|x－2|≤3.
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(2)
一、 单项选择题
1 已知不等式ax2＋bx－1>0的解集为(3，4)，则24a＋12b的值是(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2 已知关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－1，3)
B. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
C. (－3，1)
D. (－∞，－3)∪(1，＋∞)
3 若“－1A. (－∞，1]∪[2，＋∞)
B. (－2，－1)
C. [－2，－1]
D. (－∞，－2]∪[－1，＋∞)
4 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A. [15，30] B. [12，25]
C. [10，30] D. [20，30]
5 (2024佛山期中)若关于x的不等式ax2＋bx－1>0的解集为{x|10的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
6 某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　)
A. (10，20) B. [15，20)
C. (15，20) D. [10，20)
二、 多项选择题
7 (2024盐城期末)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，3)，则下列说法中正确的是(　　)
A. a<0
B. a＋b＋c<0
C. 不等式bx>a＋c的解集为(1，＋∞)
D. 不等式cx2－bx＋a≤0的解集为
8 某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120(0≤x≤24)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 蓄水池中的存水量最少为60 t
B. 从供水开始到第6个小时时蓄水池中的存水量最少
C. 从供水开始到第4个小时时蓄水池中的存水量多于80 t
D. 在一天的24小时内，有8个小时蓄水池中的存水量少于80 t
三、 填空题
9 设方程x2＋bx＋c＝0的两根是x1，x2，若不等式x2－bx＋c<0的解集是{x|－310 某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求 60≤x≤120)时，每小时的油耗为(x－k＋)L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝________；欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为________．
11 (2024浙江卓越联盟月考)若关于x的方程mx2＋4mx＋3＝0有两个不等的实根x1，x2，且x＋x－3x1x2>0，则实数m的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024常州期中)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞).求：
(1) 不等式bx＋c>0的解集；
(2) 不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
13 (2024安徽巢湖一中期末)“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量. 经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备. 这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：m2)成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C＝(x>0)，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴纳总水费之和合计为y(单位：万元).
(1) 要使y不超过11.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2) 设备占地面积x为多少平方米时，y的值最小，并求出此最小值．
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(3)
一、 单项选择题
1 (2024安庆一中期末)“关于x的不等式 ax2－2x＋1>0对任意x∈R恒成立”的一个必要且不充分条件是(　　)
A. a>0 B. a>1
C. 02
2 设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是(　　)
A. {x|－nB. {x|x<－n或x>m}
C. {x|－mD. {x|x<－m或x>n}
3 已知关于x的方程2kx2－2x－5k－2＝0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是(　　)
A. (0，＋∞)
B.
C.
D. ∪(0，＋∞)
4 (2024宿州砀山七校期中联考)对于任意的x，y∈R，定义运算：x⊙y＝x(y＋2).若不等式x⊙(x＋a)＋4>0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－2，6) B. (－6，2)
C. (－6，6) D. (－2，2)
5 (2024济南历城二中月考)已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则实数k的取值范围是(　　)
A. [－5，3) B. [2，3)
C. [2，3)∪[4，5) D. [－5，3)∪(4，5]
6 (2024济南期中)若存在正实数x，y满足＋＝1，且使不等式x＋A. (－4，1)
B. (－1，4)
C. (－∞，－4)∪(1，＋∞)
D. (－∞，－1)∪(4，＋∞)
二、 多项选择题
7 设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0}，则下列说法中正确的有(　　)
A. 当a＞0时，若A∩B中恰含有一个整数，则a∈
B. 若A∩B＝ ，则a∈
C. 若A∪B＝R，则a∈
D. a∈R，有A∪B≠R
8 (2024苏州实验中学月考)已知不等式2kx2＋kx－<0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若k＝1，则不等式的解集为{x|－B. 若不等式对任意x∈R恒成立，则整数k的取值集合为{－2，－1，0}
C. 若不等式对0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范围是
D. 若恰有一个整数x使得不等式成立，则实数k的取值范围是
三、 填空题
9 (2024广州五中期中)已知关于x的不等式ax2＋(2－4a)x－8>0，则当a>0时，不等式的解集为________．
10 (2024天津经济技术开发区一中月考)已知命题p：－1≤4x－3≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若 p是 q的必要且不充分的条件，则实数a的取值范围是________.
11 (2024浙江南太湖联盟月考)若对任意x∈(3，＋∞)，x＋>m2＋6m恒成立，则实数m的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024湖南部分高中月考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0.
(1) 若b＝a，c＝－6a，且a<0，求不等式的解集；
(2) 若b＝a－3，c＝－3，求不等式的解集．
13 (2024临沂期中)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1) 求a，b的值；
(2) 当x>0，y>0，且满足＋＝1时，2x＋y≥k2－k＋2恒成立，求实数k的取值范围．
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(1)
1. D　当01>t>0，所以不等式(x－t)<0的解集为{x|t2. B　由≥0，得解得2 024≤x<2 025，所以不等式的解集为[2 024，2 025).
3. B　因为|x－2|>3，所以x－2<－3或x－2>3，解得x<－1或x>5，所以不等式|x－2|>3的解集为{x|x<－1或x>5}．因为x2－5x－6>0，所以(x－6)(x＋1)>0，解得x<－1或x>6，所以不等式x2－5x－6>0的解集为{x|x<－1或x>6}．又{x|x<－1或x>6}是{x|x<－1或x>5}的真子集，所以“|x－2|>3”是“x2－5x－6>0”的必要且不充分条件．
4. C　因为不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，所以a＝b>0，所以不等式>0等价于>0，即(x＋1)·(x－2)>0，解得x<－1或x>2，所以关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>2}．
5. A　由题意知，a，a2，a3是一个三角形的三边长，故有a>0，即解得故6. C　由题意知，1和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a>0，则解得b＝－4a，c＝3a，所以b－＝－4a－≤－2＝－，当且仅当4a＝，即a＝时，等号成立．
7. AD　由≤1，得(x－2)(x＋2)≤0(x≠2)，解得－2≤x<2，所以≤1成立的一个充分且不必要条件是[－2，2)的真子集，结合选项可知A，D符合．故选AD.
8. AB　由题意，得当a>0时，不等式－1－1，所以a－2a＋3－3a>－1，解得09. {x|x<1或x>2}　(－∞，1]　A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或 x>2}，B＝{x|x10. {x|10，解得b＝－3a，c＝2a，所以不等式<0，即<0，即(x－3)(2x＋1)<0，解得－11. －　由题意易知，－2，7是ax2＋bx＋1＝0的两个根，则解得对于y＝x2＋bx＋a，其所有零点之和为－b＝－.
12. (1) 由x2＋2x－15>0，得(x＋5)(x－3)>0，解得x<－5或x>3，
所以不等式的解集为{x|x<－5或x>3}．
(2) 由(x－3)2－4(x－3)－5<0，得[(x－3)－5][(x－3)＋1]<0，即(x－8)(x－2)<0，解得2所以不等式的解集为.
(3) 原不等式可化为x2－2x＋3>0.
因为Δ<0，所以方程x2－2x＋3＝0无解，
所以不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
13. (1) 不等式≥4，移项，得－4≥0，通分，得≥0，
可转化为2(x－2)(x－1)≤0，且x≠1，
解得1(2) 令y＝|2x－3|＋|x－2|＝
当x≥2时，3x－5≤3，解得x≤，即2≤x≤；
当当x≤时，－3x＋5≤3，解得x≥，即≤x≤.
综上，不等式解集为{x}．
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(2)
1. C　由题意可知3和4是方程ax2＋bx－1＝0的两个实数根，由根与系数的关系可知解得则24a＋12b＝5.
2. A　由题意，得a2＋1a2＋1，即a2－2a－3<0，解得－13. C　由(x－a)(x－3－a)≤0可得a≤x≤a＋3，因为“－14. C　设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，＝，所以y＝40－x，因为xy≥300，所以x(40－x)≥300，即x2－40x＋300≤0，解得 10≤x≤30.
5. A　由题意可知a<0，且1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两根，则解得所以>0，即>0，可化为(－x＋1)>0，即(x－2)<0，解得6. B　由题意，得x[30－2(x－15)]>400，则x2－30x＋200<0，所以(x－10)(x－20)<0，即107. ACD　由题意可知ax2＋bx＋c＝0的两根为－1，3，且a<0，故A正确；由根与系数的关系可得即所以a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a>0，故B错误；不等式bx>a＋c，即－2ax>a－3a＝－2a，且a<0，解得x>1，所以不等式bx>a＋c的解集为(1，＋∞)，故C正确；不等式cx2－bx＋a≤0，即－3ax2＋2ax＋a≤0，且a<0，可得3x2－2x－1≤0，解得－≤x≤1，所以不等式cx2－bx＋a≤0的解集为[－，1]，故D正确．故选ACD.
8. BD　设x h后蓄水池中的水量为y t，则y＝400＋60x－120.设＝u，则u2＝6x(u∈[0，12])，所以y＝400＋10u2－120u＝10(u－6)2＋40.因为u∈[0，12]，所以当u＝6，即x＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6个小时时，蓄水池中的存水量最少，为40 t，故A错误，B正确；令400＋10u2－120u＞80，即u2－12u＋32＞0，解得u＜4或u＞8，所以0≤x＜或＜x≤24，故C错误；由400＋10u2－120u＜80，得9. 19　由题意知，x2－bx＋c＝0的两根为－3，2，则－3＋2＝b，－3×2＝c，所以b＝－1，c＝－6，所以x2＋bx＋c＝0，即x2－x－6＝0，可得x1＝3，x2＝－2，所以x＋x＝27－8＝19.
10. 100　[60，100]　由题意，当x＝120时，(x－k＋)＝11.5，解得k＝100.由(x－100＋)≤9，得x2－145x＋4 500≤0，所以45≤x≤100.又因为60≤x≤120，所以60≤x≤100，即速度x的取值范围为[60，100].
11. (－∞，0)∪　因为关于x的方程mx2＋4mx＋3＝0有两个不等的实根x1，x2，所以解得m<0或m>.又x1＋x2＝－4，x1x2＝，所以x＋x－3x1x2＝(x1＋x2)2－5x1x2＝16－＝>0，即m(16m－15)>0，解得m<0或m>.故实数m的取值范围是(－∞，0)∪.
12. (1) 因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，
所以a>0，且1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
则－＝3，＝2，所以b＝－3a，c＝2a，
所以不等式bx＋c>0可化为－3ax＋2a>0.
因为a>0，所以－3x＋2>0，解得x<，
所以不等式bx＋c>0的解集为.
(2) 由(1)知，b＝－3a，c＝2a，
则不等式cx2＋bx＋a<0可化为2ax2－3ax＋a<0.
因为a>0，所以2x2－3x＋1<0，即(2x－1)(x－1)<0，解得所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
13. (1) 由题意，得y＝0.2x＋(x>0).
令y≤11.2，即0.2x＋≤11.2，
整理，得x2－51x＋620≤0，即(x－20)(x－31)≤0，
解得20≤x≤31，
所以设备占地面积x的取值范围为[20，31].
(2) y＝0.2x＋＝＋－1≥2－1＝2－1＝11，
当且仅当＝，即x＝25时，等号成立，
所以当设备占地面积x为25 m2时，y的值最小，最小值为11万元．
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(3)
1. A　当a＝0时，－2x＋1>0，解得x<，不合题意；当a≠0时，解得a>1.综上，“关于x的不等式ax2－2x＋1>0对任意x∈R恒成立”的充要条件为a>1，所以一个必要且不充分条件是a>0.
2. A　方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n.因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n3. D　令y＝2kx2－2x－5k－2，当k＞0时，开口向上的抛物线与x轴的两个交点，一个在点(1，0)的左边，一个在点(1，0)的右边，所以当x＝1时，y＜0，即2k－2－5k－2＜0，解得k＞－，所以 k＞0；当k＝0时，y＝0只有一个实根，不符合题意；当k＜0时，开口向下的抛物线与x轴的两个交点，一个在点(1，0)的左边，一个在点(1，0)的右边，所以当x＝1时，y＞0，即2k－2－5k－2＞0，解得k＜－.综上所述，实数k的取值范围是∪(0，＋∞).
4. B　由题意，得x⊙(x＋a)＋4＝x(x＋a＋2)＋4＝x2＋(a＋2)x＋4>0对任意实数x恒成立，则Δ＝(a＋2)2－16<0，解得－65. D　由x2－2x－8>0，即(x－4)(x＋2)>0，解得x<－2或x>4.由2x2＋(2k＋7)x＋7k<0，即(2x＋7)(x＋k)<0，得当k＝时，不等式(2x＋7)(x＋k)<0为2<0，无解；当k>时，不等式(2x＋7)(x＋k)<0的解集为，则此时原不等式组的解集为.因为仅有一个整数解，所以－5≤－k<－4，即46. D　因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y＝4x＝8时，取等号．由题意，得m2－3m>4，解得m<－1或m>4，所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞).
7. ABD　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x<－3或x>1}，函数y＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a，当a＞0时，若x＝－3，则y＝6a＋8>0，根据对称性知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以当x＝2时，y＝4－4a－1≤0，且当x＝3时，y＝9－6a－1＞0，所以≤a<，故A正确；在函数y＝x2－2ax－1中，Δ＝4a2＋4＞0.因为A∩B＝ ，所以对称轴x＝a∈(－3，1)，当x＝－3时，y＝9＋6a－1≥0，且当x＝1时，y＝1－2a－1≥0，所以a∈，故B正确；因为函数y＝x2－2ax－1的图象开口向上，若 A∪B＝R，则当x＝－3时，y＝9＋6a－1≤0，且当x＝1时，y＝1－2a－1≤0，所以a不存在，故D正确，C错误．故选ABD.
8. BCD　当k＝1时，由2kx2＋kx－＝2x2＋x－<0，解得－0.又－<0，且对称轴为直线x＝－＝－，所以该整数解为x＝0，结合二次函数y＝2kx2＋kx－的图象，可得解得k≥，故D正确．故选BCD.
9. ∪(4，＋∞)　由ax2＋(2－4a)x－8>0，得(ax＋2)(x－4)>0.因为a>0，所以(x－4)>0，解得x>4或x<－，所以不等式的解集为∪(4，＋∞).
10. 　命题p：－1≤4x－3≤1，解得≤x≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，解得a≤x≤a＋1.因为 p是 q的必要且不充分条件，则p是q的充分且不必要条件，所以 [a，a＋1]，即解得0≤a≤，经检验等号成立，所以实数a的取值范围是.
11. (－7，1)　因为对任意x∈(3，＋∞)，x＋>m2＋6m恒成立，所以m2＋6m3，所以x＋＝(x－3)＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x－3＝，即x＝5时，等号成立，所以m2＋6m<7，即m2＋6m－7<0，解得－712. (1) 因为b＝a，c＝－6a，且a<0，
所以ax2＋ax－6a>0，即x2＋x－6<0，即(x－2)(x＋3)<0，解得－3所以该不等式的解集为(－3，2).
(2) 若b＝a－3，c＝－3，
则ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0.
当a＝0时，不等式为x＋1<0，解得x<－1；
当a＝－3时，不等式为(x＋1)2<0，无解；
当a>0时，>－1，解得x>或x<－1；
当－3当a<－3时，－1<，解得－1综上，当a＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)；当a＝－3时，不等式的解集为 ；当a>0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪；当－313. (1) 由题意，得a>0，且x＝1和x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，
所以解得此时原不等式为x2－3x＋2>0，即(x－1)(x－2)>0，
所以该不等式的解集为{x|x<1或x>2}，符合题意．
故a＝1，b＝2.
(2) 由(1)，得＋＝1，
所以2x＋y＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即2x＝y＝4时，等号成立，
所以2x＋y有最小值为8.
因为2x＋y≥k2－k＋2恒成立，
所以k2－k＋2≤8，即k2－k－6≤0，
解得－2≤k≤3.
故实数k的取值范围为[－2，3].

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