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专题2.3.2等腰三角形的性质定理十一大题型（一课一讲）
（第2课时 “三线合一”）
①等腰三角形的性质定理
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。
题型一：根据等腰三角形“三线合一”求角度
【例题1】等腰三角形底边上的高与腰的夹角为，则顶角为 ．
【变式训练1-1】如图，中，，，顶角，则 ， ．
【变式训练1-2】(24-25七下·银川金凤区银川外国语实验学校·期末)如图，在中，，于点，交于点E．若，则的度数为 ．
【变式训练1-3】(24-25八下·广东梅州兴宁宋声学校·期中)如图，在中，点E在上，垂直平分于点D，，若，则 ．
【变式训练1-4】(24-25八下·辽宁阜新第四中学·期中)已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ．
【变式训练1-5】(24-25八·广东普宁培青中学·期中)如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ．
题型二：根据等腰三角形“三线合一”求线段长度
【例题2】如图，在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】(24-25八下·陕西西安西安交大航天学校·月考)如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
【变式训练2-2】如图，在 中，，，，，垂足为 ．若，则 的长为 ．(用含的代数式表示)
【变式训练2-3】(24-25八上·浙江台州温岭·期末)如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ．
【变式训练2-4】(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ．
【变式训练2-5】如图，在中，，于点．若的周长为20，，则的长为 ．

题型三：“三线合一”中面积问题
【例题3】如图，在中，，，D是上一点，．若，则的面积为 ．
【变式训练3-1】如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ．
【变式训练3-2】(24-25八上·福建福州鼓楼区福州立志中学·期中)如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ．
【变式训练3-3】(24-25八上·江苏连云港东海县·期中)如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．
【变式训练3-4】(23-24八上·江苏扬州邗江区第二共同体·期末)如图，在中，，是边上的高，点是的三等分点，若，，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式训练3-5】(23-24八上·广东东莞石碣中学·期中)如图，在中，是边上的中线，过点作，交的延长线于点，连接．若，的面积为，则的面积为 ．
题型四：“三线合一”中尺规作图（选填）
【例题4】如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（ ）
A．射线是的平分线 B．是等腰三角形
C．C、两点关于所在直线对称 D．、两点关于所在直线对称
【变式训练4-1】(24-25八上·天津西青区·期末)如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【变式训练4-2】(23-24八上·山东潍坊高密·期末)在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点H，连接．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】(24-25八上·山东滨州滨城区·期末)如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点D，连结，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．是线段的垂直平分线
C． D．四边形的面积为
【变式训练4-4】(24-25八上·河南商丘夏邑县育才学校·开学考)如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接，若，的周长为16，则的周长为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式训练4-5】(2024九·山东省济南市·模拟)如图，在中，．在，上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（ ）
A．12 B．3 C．8 D．10
题型五：“三线合一”中实际应用
【例题5】真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ）

A． B． C． D．
【变式训练5-1】(24-25八下·河南郑州桐柏一中·期中)墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点D处挂了一个重锤．陈老师将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点A．如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形的“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【变式训练5-2】(24-25七下·广东深圳盐田区·期末)如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤，小明将边与木条重合，观察此时重锤是否过点，如果过点，那么这根木条就是水平的，他作出判断的依据是（ ）
A．垂线段最短
B．三角形三条高所在的直线交于一点
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．等腰三角形“三线合一”
【变式训练5-3】(24-25八下·山西运城部分学校·期中)如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】(24-25八下·河南焦作城乡一体化示范区宁郭镇张庄初级中学·月考)河南所有行政村实现了网络覆盖，如图，为了让安装设备的电线杆垂直于地面，工程人员从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当，且点，，在同一直线上时，电线杆.这种操作方法的依据是（ ）
A．等角对等边 B．两点之间线段最短
C．等腰三角形三线合一的性质 D．垂线段最短
【变式训练5-5】“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑--“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（　　）
A． B．
C． D．与的周长相等
题型六：利用“三线合一”基础证明
【例题6】如图，在中，，的平分线交于点，垂足为E，连接，交于点H．求证：垂直平分．
【变式训练6-1】(24-25八上·江苏镇江·期末)如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证：
(1)；
(2)．
【变式训练6-2】如图，在中，，D是的中点，E是上任意一点，连接，，试说明：．
【变式训练6-3】(24-25八上·上海大同初级中学·月考)已知：如图，，，是的中点．求证：．
【变式训练6-4】(24-25八上·湖北十堰张湾区·期中)如图，在中，，为的中点，于，于．求证：．

【变式训练6-5】如图，在中，，以为边作，使得，E为边上一点，连接，，且．

若，求证：．
【变式训练6-6】(25-26九上·浙江温州实验学校·月考)如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
题型七：“三线合一”解答题综合
【例题7】如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F．
(1)若，求的度数．
(2)试判断与的数量关系，并说明理由．
【变式训练7-1】(2025·湖南省长沙市·模拟)如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式训练7-2】(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式训练7-3】(24-25九下·湖南长沙湖南师大附中梅溪湖中学·月考)如图，在中，，于点，于点，，相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式训练7-4】(24-25八上·宁夏固原西吉县西吉县第三中学·期末)已知，在中，，于点H．
(1)求证：；
(2)点D为外一点，，若平分，求证：．
题型八：“三线合一”解答题中的尺规作图
【例题8】房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分，，米．
(1)尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱支撑，立柱垂直于横梁，垂足为点．请在图2中作出立柱（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)当时，求立柱的长．
【变式训练8-1】(24-25九下·山东青岛育才中学·开学考)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：，线段a如图所示．
求作：等腰，使得顶角，底边上的中线长为线段a的长度．
【变式训练8-2】(24-25八下·山西运城平陆县·月考)如图，在中，，点是边上的一个动点（不与点，重合），于点．
(1)求作线段，使得于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，若点是的中点，试判断与的数量关系，并说明理由．
【变式训练8-3】(24-25七下·河南平顶山·期末)作图题：以下画图或尺规作图不写画法，保留作图痕迹．

(1)如图1，的顶点A在直线上，已知，画出关于直线的对称，并直接写出的度数；
(2)如图2，表示不在同一直线上的三个小区位置，现要建一个快递接收站点，使，请利用尺规作图，画出点的位置，并说出其中用到的数学道理．
【变式训练8-4】(2025·江西省新余市·二模)如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
(1)在图（1）中画出一个，使，为格点（点不在点处）；
(2)在图（2）中的边上找一点，使点到和所在直线距离相等．
【变式训练8-5】如图，已知．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在上方作，在射线上截取，连接交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求证：．
题型九：“三线合一”综合之线段和最小问题
【例题9】如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ．
【变式训练9-1】(23-24七下·陕西汉中南郑区·期末)如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ．
【变式训练9-2】(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ．
【变式训练9-3】(24-25七下·陕西咸阳乾县峰阳初级中学·期末)如图，在中，，是的高线，，分别是，上任意一点，若，的面积为24，则的最小值是 ．
【变式训练9-4】(24-25七下·四川成都锦江区·期末)已知在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、D．作直线，点F为中点，点P为直线上任意一点，连接，．若，的面积为6，则的最小值为 ．
【变式训练9-5】(24-25七下·陕西西安莲湖区·期末)如图，在中，，O为边的中点，，延长到点D，使得，且，的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点，连接，，则的最小值为 ．
题型十：“三线合一”综合之周长最值问题
【例题10】如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
【变式训练10-1】如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ．
【变式训练10-2】(24-25八上·广东东莞·期末)如图，等腰三角形的底边长为10，面积是40，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【变式训练10-3】(24-25七下·上海外国语大学附校东校·月考)如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【变式训练10-4】(24-25九下·黑龙江绥化第八中学校·期中)如图，在面积为12的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【变式训练10-5】(24-25八上·山东聊城文轩中学·期中)如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ．
题型十一：“三线合一”解答题压轴
【例题11】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
(1)如图1，在等腰中，，，过点C作直线，于点，于点E，则与之间的数量关系为_____．
(2)如图2，在等腰中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，若，求的长．
(3)【变式运用】如图3，在中，，，求；
(4)【拓展迁移】如图4，在中，，以为边向右侧作一个等腰，连接，请直接写出的面积．
【变式训练11-1】(24-25七下·福建泉州永春县·期末)（1）如图1，是边上的一点．若，，求的值；
（2）如图2，在四边形中，对角线、相交于点，分别记、、、为、、、，求证：；
（3）如图3，在边长为6的正方形中，点是的中点，连接、，将线段绕点顺时针旋转一定的角度 得到，分别交、于点、点，若，求的值．
【变式训练11-2】(24-25七下·河北张家口经开区·期末)已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为．
(1)如图1，，，则______；
(2)如图2，猜想，，的关系，并证明；
(3)如图3，在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，若，，直接写出的面积．
【变式训练11-3】(24-25七下·山东枣庄滕州·期末)如图，在中，，点是边上一点（不与、重合），连接，以为一边在右侧作，使，，连接．
(1)试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)①若，求的度数．
②若，请直接写出与之间的数量关系__________．
(3)若平分，且，求的长．
【变式训练11-4】(24-25七下·山西晋中昔阳县部分学校·期末)综合与探究
【问题情境】
在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片与进行摆放，使直角顶点重合．如图1，已知，与交于点，与交于点，与交于点，连接并延长，交于点．点是否是线段的中点？
【特例研究】
（1）勤学小组将它们按图2方式摆放，点在上，点在上，此时点与点重合，点与点重合，同学们发现此时可以先证，再证，进而说明点是线段的中点，请你写出推理过程
【一般探究】
（2）善思小组受到启发，可以先证，再利用勤学小组的方法说明点是线段的中点，请说明理由．
【变式探究】
（3）智慧小组继续改变摆放位置进行探究，且与始终有重合部分，若，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
【变式训练11-5】(24-25七下·江苏泰州姜堰区·期末)如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，．
(1)求证：；
(2)若（如图2），点F在线段上，．
①当时，求的面积；
②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.3.2等腰三角形的性质定理十一大题型（一课一讲）
（第2课时 “三线合一”）
①等腰三角形的性质定理
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。
题型一：根据等腰三角形“三线合一”求角度
【例题1】等腰三角形底边上的高与腰的夹角为，则顶角为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一即可得到答案．
【详解】解：如图，是等腰三角形的底边上的高，，
∴平分，
∴，
即顶角为，
故答案为：
【变式训练1-1】如图，中，，，顶角，则 ， ．
【答案】 40 50
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题关键是熟记等腰三角形三线合一的性质．
先根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理即可求出的度数；根据等腰三角形三线合一的性质即可求出的度数．
【详解】解：∵中，，，
∴；
∵，，，
∴平分，
∴．
故答案为：40，50．
【变式训练1-2】(24-25七下·银川金凤区银川外国语实验学校·期末)如图，在中，，于点，交于点E．若，则的度数为 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，根据“两直线平行，内错角相等”的性质，由可得到，根据等腰三角形三线合一的性质，可得，据此即可求得的度数．
【详解】解：，
．
，
，
．
故答案为：．
【变式训练1-3】(24-25八下·广东梅州兴宁宋声学校·期中)如图，在中，点E在上，垂直平分于点D，，若，则 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查垂直平分线的性质，三线合一，垂直的定义，三角形的内角和为，掌握知识点是解题的关键；由垂直平分，得，，继而求出，根据，可得，即可解答．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，，
∴
∴
∵
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练1-4】(24-25八下·辽宁阜新第四中学·期中)已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质（三线合一、等腰三角形两底角相等），熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论为等腰三角形的各种情况是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一得出度数和，再分三种情况讨论为等腰三角形时的度数．
【详解】解：，是边上的中线，
平分，（等腰三角形三线合一）．
，
，．
情况一：当时
，，
．
，
．
情况二：当时
，，
，则．
，此时，不符合，舍去．
情况三：当时
，，
．
，
．
综上，的度数是或．
故答案为：或 ．
【变式训练1-5】(24-25八·广东普宁培青中学·期中)如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定．
利用等腰三角形的三线合一求出，再求出即可解决问题．
【详解】解：∵，是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
题型二：根据等腰三角形“三线合一”求线段长度
【例题2】如图，在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，先证明，求解，再进一步求解可得答案.
【详解】解：∵，于点，
∴，
∵的周长为，的周长为，
∴，，
∴，.
故选：B．
【变式训练2-1】(24-25八下·陕西西安西安交大航天学校·月考)如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键．先证明，即有，再根据“三线合一”的性质即可求解．
【详解】解：∵，是底边上的高线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵根据题意有，，
∴，
故选：B．
【变式训练2-2】如图，在 中，，，，，垂足为 ．若，则 的长为 ．(用含的代数式表示)
【答案】
【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，三线合一，画出辅助线以及熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解题关键．作于，先根据三角形内角和定理，得出，再得出，进而得出即可求解．
【详解】解：如图，作于，
在中， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
在和中
，
∴ ，
∴ ，
∴．
故答案为：．
【变式训练2-3】(24-25八上·浙江台州温岭·期末)如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案．
【详解】解：过A作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：5．
【变式训练2-4】(24-25七下·上海嘉定区·期末)如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据线段的和差求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵在中，是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
【变式训练2-5】如图，在中，，于点．若的周长为20，，则的长为 ．

【答案】8
【分析】本题由倍角构造等腰三角形，在运用等腰三角形的性质即可解答．
在上取点E，使运用等腰三角形的性质，可得，再用的周长为20，即可求出答案．
【详解】解：如图，在上取点E，使，

则，
故，
得．
则．
故答案为：8
题型三：“三线合一”中面积问题
【例题3】如图，在中，，，D是上一点，．若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分别过点作的垂线，垂足分别为，证明，推出，根据题意易证是等腰三角形，根据三线合一得到，进而得到，利用的面积为即可求解．
【详解】解：分别过点作的垂线，垂足分别为，
则，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
【变式训练3-1】如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ．
【答案】15
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再根据三角形面积公式求解即可．
本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：在中，，平分交于点，
，，
，
，
即的面积为，
故答案为：．
【变式训练3-2】(24-25八上·福建福州鼓楼区福州立志中学·期中)如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ．
【答案】16
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质三线合一、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
作交的延长线于点F，根据题意证明，得，即可求得答案．
【详解】解：作交的延长线于点F，
是的角平分线，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：16．
【变式训练3-3】(24-25八上·江苏连云港东海县·期中)如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：过A作于H，过E作于F，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
【变式训练3-4】(23-24八上·江苏扬州邗江区第二共同体·期末)如图，在中，，是边上的高，点是的三等分点，若，，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形的中线的性质，根据等腰三角形三线合一得出，再根据同底等高得出和的面积相等，从而得出阴影部分的面积为的面积，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形即可求出的面积，从而得出答案，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，是边上的高，
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∵是边上的高，，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．
【变式训练3-5】(23-24八上·广东东莞石碣中学·期中)如图，在中，是边上的中线，过点作，交的延长线于点，连接．若，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作于点，先证明，则，，由得，设，，则，，根据求出的值，再用含的式子表示，从而求出的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，作于点，
∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
题型四：“三线合一”中尺规作图（选填）
【例题4】如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（ ）
A．射线是的平分线 B．是等腰三角形
C．C、两点关于所在直线对称 D．、两点关于所在直线对称
【答案】D
【分析】连接、，根据作图可得，进而可得射线是的平分线，可判断A选项，根据等腰三角形的性质可得垂直平分，则可判断B，C选项，根据作图不能得出平分进而判断D选项．本题考查了角平分线的画法及相关几何证明，熟练运用全等三角形的证明方法是解题的关键．
【详解】A：连接、，根据作图得到、．
在与中，
，
，
，即射线是的平分线，A正确，不符合题意；
B：根据作图得到，
是等腰三角形，B正确，不符合题意；
C：根据作图得到，
又射线平分，
是的垂直平分线，
、两点关于所在直线对称，C正确，不符合题意；
D：根据作图不能得出平分，
不一定是的平分线，
、两点不一定关于所在直线对称，D错误，符合题意．
故选：D．
【变式训练4-1】(24-25八上·天津西青区·期末)如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质定理，由等腰三角形的性质可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：∵在等腰三角形中，，是边上的高，
∴，
由作图可得：平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练4-2】(23-24八上·山东潍坊高密·期末)在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点H，连接．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质等，先根据三角形内角和定理求出，再根据垂直平分线段，得出，根据等边对等角得出，进而可得，最后根据等腰三角形三线合一可得．
【详解】解： 中，，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
，
，
由作图可知，
，
等腰中，，
，
故选：B．
【变式训练4-3】(24-25八上·山东滨州滨城区·期末)如图，在中，，分别以点A、C为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点D，连结，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．是线段的垂直平分线
C． D．四边形的面积为
【答案】D
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．根据作图方法可得，利用垂直平分线的判定方法可得垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，利用面积公式可计算四边形的面积．
【详解】解：根据作图方法可得，
，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，故B结论正确；
∴，故A结论正确；
，
，故C结论正确；
，
∴四边形的面积，故D错误．
故选：D．
【变式训练4-4】(24-25八上·河南商丘夏邑县育才学校·开学考)如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接，若，的周长为16，则的周长为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形三线合一性质，垂直平分线判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．先证明垂直平分得到，由求出，从而得到的周长为：，继而得解．
【详解】连接、，
依题意可知：，
又∵点D是AC的中点，
∴垂直，，
∴垂直平分，
∴，
∵的周长为16，
∴，
∴，
∴的周长为：，
【变式训练4-5】(2024九·山东省济南市·模拟)如图，在中，．在，上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（ ）
A．12 B．3 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质，根据作图过程可得，平分，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可.解题的关键在于能够准确判断出平分．
【详解】解：根据作图过程可得，平分，
又∵，
∴,
故选：A．
题型五：“三线合一”中实际应用
【例题5】真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一“的性质是解题的关键．
根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即是的高线，
∵是等腰三角形，，
∴是的角平分线，故A选项不符合题意；
若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意；
∵是等腰三角形，，
∴是的角平分线，故C选项不符合题意；
，
∴，
∴是的角平分线，故D选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练5-1】(24-25八下·河南郑州桐柏一中·期中)墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点D处挂了一个重锤．陈老师将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点A．如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形的“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，也是边上的高，即，即这根木条是水平的，据此即可解答．
【详解】解：∵在三角测平架中，，
∴为等腰的底边上的高，
又∵自然下垂，
∴处于水平位置．
∴等腰三角形底边上的中线就是底边上的高．
故选C．
【变式训练5-2】(24-25七下·广东深圳盐田区·期末)如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤，小明将边与木条重合，观察此时重锤是否过点，如果过点，那么这根木条就是水平的，他作出判断的依据是（ ）
A．垂线段最短
B．三角形三条高所在的直线交于一点
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质；其中要注意等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高线，顶角平分线重合．
根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，也是边上的高，即，即这根木条是水平的．
【详解】解：∵，D为边的中点，
∴为等腰的底边上的高．
又∵自然下垂，
∴处于水平位置．
故他作出判断的依据是等腰三角形“三线合一”
故选D．
【变式训练5-3】(24-25八下·山西运城部分学校·期中)如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解．
【详解】解：∵，是的中点，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【变式训练5-4】(24-25八下·河南焦作城乡一体化示范区宁郭镇张庄初级中学·月考)河南所有行政村实现了网络覆盖，如图，为了让安装设备的电线杆垂直于地面，工程人员从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当，且点，，在同一直线上时，电线杆.这种操作方法的依据是（ ）
A．等角对等边 B．两点之间线段最短
C．等腰三角形三线合一的性质 D．垂线段最短
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：，
，
依据是等腰三角形三线合一的性质．
故选C．
【变式训练5-5】“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑--“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（　　）
A． B．
C． D．与的周长相等
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握等腰三角形的性质“三线合一”是解题的关键．
根据等腰三角形的性质“三线合一”逐项分析判断即可．
【详解】解：A．∵，
平分，即是的角平分线，故选项A不符合题意；
B．，且，
，
即：，
又，
平分，即是的角平分线，故选项B不符合题意；
C．根据不能判断是的角平分线，故选项C符合题意；
D．与的周长相等，
，
，
，
平分，即是的角平分线，故选项D不符合题意；
故选：．
题型六：利用“三线合一”基础证明
【例题6】如图，在中，，的平分线交于点，垂足为E，连接，交于点H．求证：垂直平分．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据等腰三角形的三线合一即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵的平分线交于点，，
∴，，，
∴，
，
∴，即平分，
又∵，
∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）．
【变式训练6-1】(24-25八上·江苏镇江·期末)如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，关键是推出，属于中考常考题型．
（1）根据证出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出，再根据，推出即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
，且，
，
在和中，
，
．
（2）证明：∵，
，
又由（1）知，
∴，
．
【变式训练6-2】如图，在中，，D是的中点，E是上任意一点，连接，，试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由三线合一得垂直平分，然后由线段垂直平分线的性质可得．
【详解】解：因为，D是的中点，
所以，即垂直平分．
因为点E在上，
所以．
【变式训练6-3】(24-25八上·上海大同初级中学·月考)已知：如图，，，是的中点．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质；由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的“三线合一”，即可得证；掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】证明： ，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
是的中点，
．
【变式训练6-4】(24-25八上·湖北十堰张湾区·期中)如图，在中，，为的中点，于，于．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，三线合一定理，根据三线合一定理得到，再证明，得到，则垂直平分，即可证明．
【详解】证明：∵，为的中点，
∴，
∵于，于，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
【变式训练6-5】如图，在中，，以为边作，使得，E为边上一点，连接，，且．

若，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．过点A作交于点M．证明．得到，则，即可得到结论；
【详解】证明：如图1，过点A作交于点M．

∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，即．
【变式训练6-6】(25-26九上·浙江温州实验学校·月考)如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理．
（1）先证明，结合，，即可得到结论；
（2）由（1）易得，根据，易证，，再根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，，
∴，
∵，
∴，
∴．
题型七：“三线合一”解答题综合
【例题7】如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F．
(1)若，求的度数．
(2)试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质得到，得到，即可求解；
（2）由平行线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式训练7-1】(2025·湖南省长沙市·模拟)如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明；
（2）先证明，则，那么，再代入数据求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
平分，于E，交的延长线于F，
,
在和中，
，
∴，
，
是中点，
；
（2）解：由(1)知：
在和 中，
，
,
，，，
．
【变式训练7-2】(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，等腰三角形的性质：
（1）根据角平分线及平行线推出，即可得到．
（2）根据平行线的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，F是的中点，
∴．
【变式训练7-3】(24-25九下·湖南长沙湖南师大附中梅溪湖中学·月考)如图，在中，，于点，于点，，相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
（1）先根据角的代换求得，再由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，，
，
在与中
，
.
（2）解：，
，
，
，
，
.
【变式训练7-4】(24-25八上·宁夏固原西吉县西吉县第三中学·期末)已知，在中，，于点H．
(1)求证：；
(2)点D为外一点，，若平分，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）先根据等腰三角形的性质得出，再根据 “”证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得，根据平行线的性质可证得，再根据平行线的性质得，即可证得结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
；
（2）证明：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
题型八：“三线合一”解答题中的尺规作图
【例题8】房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分，，米．
(1)尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱支撑，立柱垂直于横梁，垂足为点．请在图2中作出立柱（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)当时，求立柱的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）作平分交于点D，线段即为所求；
（2）证明，利用直角三角形斜边中线的性质求解．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2），平分，
，
，
（米）．
【变式训练8-1】(24-25九下·山东青岛育才中学·开学考)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：，线段a如图所示．
求作：等腰，使得顶角，底边上的中线长为线段a的长度．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形．作，作平分，在射线上截取线段，使得，过点D作的垂线交于点B，交于点C，即为所求．
【详解】解：如图，即为所求．
　　　　
【变式训练8-2】(24-25八下·山西运城平陆县·月考)如图，在中，，点是边上的一个动点（不与点，重合），于点．
(1)求作线段，使得于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，若点是的中点，试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）先以点为圆心，大于为半径画圆弧，再分别以圆弧与线段的交点为圆心，大于交点距离为半径画小圆弧，连接点与俩小圆弧交点并延长交线段于点，此时即为所求；
（2）连接，根据三线合一定理可得平分，再结合角平分线的性质定理可证．
【详解】（1）解：如答图，即为所求．
（2）解：，理由如下：
如答图，连接，
，点是的中点，
平分，
又，，
．
【点睛】本题考查的知识点是尺规作图画垂线、三线合一、角平分线性质定理，解题关键是熟练掌握尺规作图．
【变式训练8-3】(24-25七下·河南平顶山·期末)作图题：以下画图或尺规作图不写画法，保留作图痕迹．

(1)如图1，的顶点A在直线上，已知，画出关于直线的对称，并直接写出的度数；
(2)如图2，表示不在同一直线上的三个小区位置，现要建一个快递接收站点，使，请利用尺规作图，画出点的位置，并说出其中用到的数学道理．
【答案】(1)如图：即为所求，的度数为
(2)如图：点即为所求，数学道理是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先作出点B、C关于直线l的对称点，然后顺次连接即可；由平角和角的和差可得，再由轴对称的性质可得，然后由等腰三角形三线合一的性质即可解答；
（2）如图：连接，再作线段的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求的点P．通过作图可知应用的定理是垂直平分线的性质定理．
【详解】（1）解：如图：即为所求；

∵，
∴，
∵关于直线的对称，
∴，
∴．
（2）解：如图：点P即为所求．

数学道理是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【变式训练8-4】(2025·江西省新余市·二模)如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
(1)在图（1）中画出一个，使，为格点（点不在点处）；
(2)在图（2）中的边上找一点，使点到和所在直线距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形高的定义及其作法、平行线线间距离处处相等、等腰三角形三线合一的性质等知识．作图时找准相应的知识点是解决本题的关键．
（1）利用平行线间距离处处相等，作出同底等高的三角形即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：
【变式训练8-5】如图，已知．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在上方作，在射线上截取，连接交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求证：．
【答案】(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判的性质，掌握以上知识是关键．
（1）根据尺规作角等于已知角即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一得到，再证明，得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，连接，
以点为圆心，以长为半径画弧交于点，
以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接并延长得到射线，
∵，
∴，
∴，即，
∴射线即为所求，
以点为圆心，以长为半径画弧，交射线于点，连接交于点，如图所示，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
题型九：“三线合一”综合之线段和最小问题
【例题9】如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形的面积公式得到，根据垂直平分线的性质和轴对称的性质得出，推得的长度等于的最小值，即可得到结论．
【详解】解：∵，是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴当，，在同一直线上时，，
即的长度等于的最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
【变式训练9-1】(23-24七下·陕西汉中南郑区·期末)如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质．过点A作于点H，根据题意求得，得到是等腰三角形的中线，得到，根据，当共线时，有最小值，得到，根据等面积法求出的长．
【详解】解：过点A作于点H，
∵，平分，
∴，
∴，
∵是等腰三角形的中线，
∴点C关于的对称为点A，
∴，
∵，
∴当共线时，有最小值，
∴，
∵，
∴，
∴则的最小值为，
故答案为：．
【变式训练9-2】(24-25八上·安徽桐城第二中学·期末)如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，中垂线的性质，得到，进而得到，三线合一结合三角形的面积公式求出的长即可．
【详解】解：连接，
∵的垂直平分线交于点M，交于点N，
∴，
∴，
∴当点在线段上时，的值最小为的长，
∵，D为底边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
【变式训练9-3】(24-25七下·陕西咸阳乾县峰阳初级中学·期末)如图，在中，，是的高线，，分别是，上任意一点，若，的面积为24，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接，，如图所示，由等腰三角形的三线合一性质得到是的垂直平分线，从而确定，再由三角形三边关系及题意得到，将题目中求的最小值，转化为求线段的长，结合垂线段最短确定当时，的值最小，由三角形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：连接，，如图所示：
，是的高线，
，，
则是的垂直平分线，
，
在中，由三角形三边关系可得，且三点可以共线，则，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，如图所示：
此时的值最小，最小值为线段的长，
的面积为24，，
，
解得，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题-垂线段最短，涉及等腰三角形三线合一性质、垂直平分线的判定与性质、三角形三边关系、垂线段最短、三角形面积公式等知识，由三角形三边关系及题意得到，转化为垂线段最短求最值是解决问题的关键．
【变式训练9-4】(24-25七下·四川成都锦江区·期末)已知在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、D．作直线，点F为中点，点P为直线上任意一点，连接，．若，的面积为6，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】连接，交直线于点，连接，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，可知当点P与点重合时，，为最小值．由题意得为等腰三角形，则可得．根据三角形的面积公式可得，进而可得答案．
本题考查了线段垂直平分线的基本作图，等腰三角形的性质，轴对称性质的应用，三角形面积公式，熟练掌握基本作图，轴对称性质是解题的关键．
【详解】解：连接，交直线于点，连接，
由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，可知当点P与点重合时，，为最小值．由题意得，点F为中点，
故．
根据题意，得
解得，
故的最小值为4．
故答案为：4．
【变式训练9-5】(24-25七下·陕西西安莲湖区·期末)如图，在中，，O为边的中点，，延长到点D，使得，且，的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系，先得出，再结合，，则，根据，则，得出，的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点，即．
【详解】解：连接，且与交于点，如图所示：
在中，，O为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点，
∴，
∵，
∴，
当P运动到点H时，则，
则的最小值为6，
故答案为：6
题型十：“三线合一”综合之周长最值问题
【例题10】如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，，由于，点D为边的中点，故，根据三角形的面积公式求出，根据的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵在中，，D为边的中点，，
∴，，
∴，
解得，
∵的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短时，．
故答案为：．
【变式训练10-1】如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，根据等腰三角形的三线合一得到，，求出的面积，再根据垂直平分线的性质得到，求出的周长，得到当，，三点共线时，的值最小，进而求出结果即可
【详解】解：如图，连接，．
在中，，是边的中点，
，
，
解得．
垂直平分，
的周长为．
当，，三点共线时，的值最小，
即当最小值为的长时，的周长最小，为，
故答案为：9
【变式训练10-2】(24-25八上·广东东莞·期末)如图，等腰三角形的底边长为10，面积是40，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】13
【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴ ，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴，
∵，
∴的长为的最小值，
∴的周长最小值．
故答案为：13．
【变式训练10-3】(24-25七下·上海外国语大学附校东校·月考)如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点C，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点A关于直线的对称点为点C，，
∴，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短．
故答案为：11．
【变式训练10-4】(24-25九下·黑龙江绥化第八中学校·期中)如图，在面积为12的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
，
，
∵的面积为 12 ，
，
，
∵垂直平分，
，
∵为直线上一动点，
，
，
，
∴周长的最小值为8．
故答案为：8．
【变式训练10-5】(24-25八上·山东聊城文轩中学·期中)如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，将则的周长的最小值转化为的长是解题的关键．连接，由是的垂直平分线，得点A与C关于对称，则最小值为的长，且为定值，再运用面积即可求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴点A与C关于对称，
∴，
此时，最小值为的长，
∵，点G为的中点，
∴，
∵的面积为20，
∴，
∴，
∴的最小值为8，
∴的周长的最小值为，
故答案为：．
题型十一：“三线合一”解答题压轴
【例题11】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
(1)如图1，在等腰中，，，过点C作直线，于点，于点E，则与之间的数量关系为_____．
(2)如图2，在等腰中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，若，求的长．
(3)【变式运用】如图3，在中，，，求；
(4)【拓展迁移】如图4，在中，，以为边向右侧作一个等腰，连接，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)9，或．
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案；
（2）同（1）证明即可得到答案；
（3）过作于E，证明即可得到答案；
（4）分三类讨论直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴ ，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴ ，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴；
（3）解：过点B作，
∵，，
∴，，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（4）解：①当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F，
∵，，，
∴，，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴；
②当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F，
同理可得，，，
由（1）得，，
∴，
∴；
③当作斜边，时，作三角形高，过D作，过A作，
同理可得，，，
由（1）得，，
∴，，
∵，， ，
∴，，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的面积是9，或．
【变式训练11-1】(24-25七下·福建泉州永春县·期末)（1）如图1，是边上的一点．若，，求的值；
（2）如图2，在四边形中，对角线、相交于点，分别记、、、为、、、，求证：；
（3）如图3，在边长为6的正方形中，点是的中点，连接、，将线段绕点顺时针旋转一定的角度 得到，分别交、于点、点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】本题考查三角形面积公式、比例关系应用，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用三角形面积与底高的关系，结合图形性质建立等式求解．
（1）过作，利用三角形面积公式分别表示出与，因高相同，通过底和的长度比，得出面积比．
（2）过作，过作，依据三角形面积公式，分别推导与和的关系，再通过比例等式转化，证明．
（3）连接，由得面积比，设未知数表示相关三角形面积，结合是中点及正方形面积，列方程组求解面积，根据面积相等推出是中点（正方形对称中心），进而得出．
【详解】解：（1）过点作，垂足为，
，；
；
（2）如图2，过点作垂直于，过点作垂直于，
，，
，
，，
，
，
，
即，
（3）连接、
，
，，
设，，则，，
点是的中点，
，，
∵，，
解得，
，，
，
，
点是的中点，又，
∴是的角平分线，
∵
．
【变式训练11-2】(24-25七下·河北张家口经开区·期末)已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为．
(1)如图1，，，则______；
(2)如图2，猜想，，的关系，并证明；
(3)如图3，在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，若，，直接写出的面积．
【答案】(1)4
(2)，见解析
(3)30
【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定．
（1）证明即可求解．
（2）证明即可求解．
（3）过点A作于点H，如图所示，证明，求出，再根据求解即可．
【详解】（1）解：，垂足为D，，垂足为E，
，
，
在中，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
故答案为：4；
（2）解：，，的关系是：，证明如下：
，垂足为D，，垂足为E，
，
，
在中，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（3）解：过点A作于点H，如图所示：
在中，，
，
，，
，
于点H，于点E，
，
，
是等腰直角三角形，且，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
的面积为：．
【变式训练11-3】(24-25七下·山东枣庄滕州·期末)如图，在中，，点是边上一点（不与、重合），连接，以为一边在右侧作，使，，连接．
(1)试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)①若，求的度数．
②若，请直接写出与之间的数量关系__________．
(3)若平分，且，求的长．
【答案】(1)，见解析
(2)①；②
(3)
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
（1）证明，即可得到；
（2）①由等腰三角形的性质求得，由求得，据此求解即可；②由，得，而，，可证明，得，则，因为，，所以；
（3）求得，利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
理由：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，
理由：，
，
同理，，
，
，
，，且，
；
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练11-4】(24-25七下·山西晋中昔阳县部分学校·期末)综合与探究
【问题情境】
在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片与进行摆放，使直角顶点重合．如图1，已知，与交于点，与交于点，与交于点，连接并延长，交于点．点是否是线段的中点？
【特例研究】
（1）勤学小组将它们按图2方式摆放，点在上，点在上，此时点与点重合，点与点重合，同学们发现此时可以先证，再证，进而说明点是线段的中点，请你写出推理过程
【一般探究】
（2）善思小组受到启发，可以先证，再利用勤学小组的方法说明点是线段的中点，请说明理由．
【变式探究】
（3）智慧小组继续改变摆放位置进行探究，且与始终有重合部分，若，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先证明，再证明，然后由等腰三角形的三和合一说理即可；
（2）先证明，再证明，然后证明，然后由等腰三角形的三和合一说理即可；
（3）分三种情况讨论，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：（1）因为，
所以，
所以，即．
在和中，
因为，
所以．
所以．
在和中，
因为
所以．
所以．
又因为，
所以，即点是线段的中点；
（2）因为，
所以，即，
因为，
所以，
在和中，
因为，
所以，
所以，
所以，即．
在和中，
因为，
所以，
所以，
在和中，
因为，
所以．
所以，
又因为，
所以，即点是线段的中点．
（3）分三种情况讨论：
①当时　，，
所以，
因为，所以不符合题意；
②当时，，
所以，
③当时，，
所以
综上，的度数为或．
【变式训练11-5】(24-25七下·江苏泰州姜堰区·期末)如图1，在直角中，，D为上一点，E为外一点，，，．
(1)求证：；
(2)若（如图2），点F在线段上，．
①当时，求的面积；
②小亮说：可以看作由经过两次轴对称变换得到．他的说法是否正确，若正确，用圆规和没有刻度的直尺在图3中作出两条对称轴（若有多种情况，作出一种情况即可）；若不正确，请写出一种正确的变换方式．
【答案】(1)见解析
(2)①9；②小亮说法正确，见解析
【分析】（1）根据，结合，得到即可得证；
（2）①证明，结合，，得到解答即可；
②根据三角形全等的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质解答即可．
本题考查了直角三角形的互余性质，三角形全等的判定和性质，轴对称，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握性质和轴对称性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：设的交点为点M，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
②解：作的垂直平分线，将沿着第一次轴对称，得到；
连接，过作的垂线，由，则为的垂直平分线，将沿着第二次轴对称，得到，如图，则直线，即为所求．

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