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专题2.1图形的轴对称十二大题型（一课一讲）
①轴对称图形的定义
如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。
②轴对称图形的性质
轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
③图形的轴对称
一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形变化叫作图形的轴对称，这条直线叫作对称轴。
④图形的轴对称性质
图形的轴对称有下面的性质：成轴对称的两个图形是全等图形。
注意：轴对称图形是一个图形，图形的轴对称是两个图形。
题型一：轴对称图形的识别
【例题1】以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意；
B．是轴对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不合题意；
D．不是轴对称图形，不合题意；
故选：B
【变式训练1-1】下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【变式训练1-2】(25-26九上·重庆育才中学教学共体·期中)以下图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可．
【详解】解：由轴对称图形的概念可知，已知图形中属于轴对称图形的是图形D．
故选：D．
【变式训练1-3】(24-25七下·陕西西安高陵区·期中)2022年是农历壬寅年（虎年），下面含有虎元素的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形．
根据轴对称图形的概念判断求解．
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
【变式训练1-4】(25-26八上·重庆六校联考·期中)下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-5】(24-25八上·湖北襄阳华侨城实验中学·月考)下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
题型二：成轴对称图形的识别
【例题2】《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键．
【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【变式训练2-1】(24-25七下·海南陵水县·期末)《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果．解答本题的关键是掌握熟练轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：能由左图经过轴对称得到的是第二个图形
故选：B．
【变式训练2-2】(24-25八上·湖北宜昌夷陵区·期末)下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解．
【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；
B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；
C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意；
D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意；
故选：C．
【变式训练2-3】(24-25八上·河南周口西华县·期末)下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意；
B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意；
C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意；
D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
【变式训练2-4】(24-25八上·山东菏泽定陶区·期末)甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案．
【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．
故选：B．
【变式训练2-5】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的判断，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合．
故选：C．
题型三：根据成轴对称图形的特征进行判断
【例题3】如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据直线是四边形的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴，，，
∵点P是直线上的点，
∴，，
∴A，C，D正确，B错误，
故选：B．
【变式训练3-1】(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某条直线对称；③等腰三角形底边上的中线是它的对称轴；④等腰三角形两底角的平分线相等，其中说法正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．分别根据轴对称图形的定义以及轴对称的性质解答即可．
【详解】解：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确；
②如果两个三角形全等，那么这两个三角形不一定关于某条直线对称，原说法错误；
③等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，原说法错误；
④等腰三角形两底角的平分线相等，说法正确．
所以正确的说法有2个．
故选：B．
【变式训练3-2】(24-25七下·江苏无锡江阴第一初级中学·期中)如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴，故①正确，
∵和关于直线对称，
点与点关于直线对称的对称点，
∴，故②正确；
∵和关于直线对称，
∴线段被直线垂直平分，
∴直线垂直平分，故③正确；
∵和关于直线对称，
∴线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误，
∴正确的有①②③．
故选：A．
【变式训练3-3】(25-26八上·重庆渝中区鲁能巴蜀中学校·月考)下列说法中错误的是（ ）
A．关于某直线成轴对称的两个图形全等
B．面积相等的两个三角形成轴对称
C．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴
D．成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的相关概念．
根据轴对称的相关概念逐一判断即可．
【详解】解：A．关于某直线成轴对称的两个图形全等，原说法正确；
B． 面积相等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误；
C． 两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴，原说法正确；
D． 成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合，原说法正确；
故选：B
【变式训练3-4】(24-25七下·江苏无锡港下中学·期中)如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键．
【详解】解：∵与关于直线对称，交于点，
∴，，，垂直平分，
综上可知：正确，共个．
故选：D．
【变式训练3-5】(24-25八上·广东江门新会区葵城中学·月考)如图，与关于直线对称，则下列结论中不一定正确的（ ）
A． B． C． D．所连的线段被垂直平分
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质，解题关键是掌握①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．根据轴对称的性质求解即可．
【详解】解：与关于直线对称，
，所连的线段被垂直平分，
，，
但无法确定，
故选：B．
题型四：根据成轴对称图形的特征进行求解
【例题4】如图，点是外一点，点、分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在线段的延长线上．若，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是轴对称的性质，由轴对称的性质可得，，再进一步求解可得答案．
【详解】解：∵点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在线段的延长线上，
∴，，
∵，
∴，，
即，
则线段的长为：．
故选：B．
【变式训练4-1】(25-26八上·重庆渝中区鲁能巴蜀中学校·月考)如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，轴对称的性质．
由，根据三角形的内角和定理可得到的值，再根据对顶角相等可以求出的值，然后由点P与点、对称的特点，求出，进而可以求出的值，利用三角形的外角的性质和三角形内角和即可求出．
【详解】∵
∴
∵，
∴
又∵点关于对称的对称点分别为点
∴，，，
∴
∴
即
∴
∴
故选：C
【变式训练4-2】(24-25七上·广东东莞翰林实验学校·期末)如图，把一张报纸的一角斜折过去，使点落在点处，为折痕，是的平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的定义，根据折叠的性质可知，由是的平分线，可知，根据补角的性质可知，即可得答案．
【详解】解：∵把报纸的一角斜折过去，使点A落在E点处，为折痕，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，即，
故选：A
【变式训练4-3】(24-25七下·甘肃天水甘谷县等联考·期末)如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由与关于直线对称，推出，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练4-4】(24-25七下·江苏无锡长泾第二中学·期末)如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；进行线段的等量代换后得到是正确解答本题的关键．由已知条件，利用轴对称图形的性质得，再利用给出的周长即可求出的长．
【详解】解：是轴对称图形，直线是它的对称轴，
，
的周长等于，，
，
．
故答案为：．
【变式训练4-5】(24-25七下·江苏南京建邺区金陵中学河西分校·期末)如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，由轴对称的性质可得，，结合的周长为，得出，即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，即，
故答案为：．
题型五：台球桌面上的轴对称问题
【例题5】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，
∵，
∴弹性小球第次落脚点为图中的点，
故选：．
【变式训练5-1】如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞人袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、轴对称的性质：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．先根据三角形的内角和定理求得，再根据反射角等于入射角得到，进而可得答案．
【详解】解：由题意，，，
∵，
∴，
故选：C．
【变式训练5-2】下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（ ）次．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观．
【分析】解：根据图形可得总共反射了7次．
故选：B．
【变式训练5-3】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
则球最后落入的球袋是2号袋．
故选：B．
【变式训练5-4】(23-24八上·辽宁铁岭·期中)2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋．
【答案】3
【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
∴该球最后将落入的球袋是3号．
故答案为：3．
【变式训练5-5】如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限）
(1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E；
(2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查轴对称，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型．
（1）作点F关于直线的对称点，连接交于P，连接，点P即为所求；
（2）作点F关于直线的对称点，点E关于的对称点，连接交于M，交于N，连接，，点M，N即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，路径是．
（2）解：如图2中，路径是．
题型六：轴对称中光线反射问题
【例题6】光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解答本题的关键是作出辅助线，在直角三角形中解决问题．过点作交于点．根据题意知，是的角平分线，故；然后又由两直线推知内错角；最后由三角形的内角和定理求得的度数．
【详解】解：从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，如图，过点作交于点．
入射角等于反射角，
，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
故选：B．
【变式训练6-1】(2025·广东省江门市·三模)无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由光的反射定律可知，，再由平行线的性质推出，从而得出结论．
【详解】解：如图：
由光的反射定律可知，
，
，
两平面镜平行，
两直线平行，内错角相等，
由光的反射定律可知，
故选：C．
【变式训练6-2】(24-25八下·河北保定唐县·期末)如图，一束光线射入正方形网格背景布中，其反射光线为（ ）．
A．a B．b C．c D．d
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质．
根据入射光线与反射光线关于法线对称作答即可．
【详解】解：如图，
∵入射光线与反射光线关于法线对称，
∴其反射光线为b，
故选：B．
【变式训练6-3】(2025·山西省吕梁市·二模)如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
由反射性质可知，，
，
，则，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式训练6-4】(2025·河南省周口市·二模)如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先得出，，根据反射角等于入射角，即得．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，
∴，
故选：C．
【变式训练6-5】(24-25七下·湖南长沙雨花区明德洞井中学·期末)如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
题型七：轴对称中折叠问题
【例题7】如图，长方形纸片，，将纸片沿着折叠，使点落在点处，点落在点处，若，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据角的和差可得，则可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∵在长方形纸片中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练7-1】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·期中)如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，由平行线的性质可得，由翻折变换的性质可知，据此根据平角的定义可得答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
由翻折变换的性质可知，
∴．
故答案为：．
【变式训练7-2】(24-25七下·四川成都龙泉驿区·期末)将一张长方形纸条按如图所示折叠，若，则的度数是 ．
【答案】/40度
【分析】本题考查长方形中的翻折问题，解题的关键是掌握平行线的性质和翻折的性质．
由平行线的性质和可得，由折叠可得，再利用平角的定义即可求出的度数．
【详解】解：如图，
四边形是长方形，
，
，
，
，
由折叠可得，
，
故答案为：．
【变式训练7-3】(25-26八上·吉林长春力旺实验初级中学·开学考)如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是 ．
【答案】/68度
【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，则可得和的大小，据此建立等式，化简求解即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练7-4】如图、将长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处，与相交于点，如果，则 度
【答案】40
【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解答的关键是明确折叠过程中哪些角的大小相等．由折叠的性质可得，，由平行线的性质可求得，，从而可求得，根据三角形的内角和可求得，再由对顶角相等即可解．
【详解】解：由折叠得：，，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：40．
【变式训练7-5】(24-25七下·湖北武汉黄陂区双凤中学·期末)如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由折叠的性质得到，由平行线的性质推出．设，由折叠的性质得到，则，求出，由平行线的性质推出，即可得到．
【详解】解：
设，
∴，
由折叠的性质得到，
∴，
解得，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
题型八：轴对称实际应用之镜面对称
【例题8】一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（ ）
A．JM—G9329 B．JM—G6356
C．JM—C6326 D．JM—G6326
【答案】D
【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326，
故选：D．
【变式训练8-1】(24-25七下·吉林长春朝阳区·期末)小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（ ）
A．70625 B．70952 C．70925 D．52607
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键．
直接根据镜面对称的性质求解即可．
【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625．
故选：A．
【变式训练8-2】(24-25七下·福建三明·期末)在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案．
【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，
∴实物与其像的连线与镜面垂直，
∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形，
故选：D．
【变式训练8-3】(24-25七下·江苏南京将军山中学·月考)从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。
【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：．
故答案为：．
【变式训练8-4】(24-25八上·辽宁营口·期末)一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（ ）
A．以的速度，做竖直向上运动
B．以的速度，做竖直向下运动
C．以的速度，做竖直向上运动
D．以的速度，做竖直向下运动
【答案】A
【分析】本题考查镜面对称．解题的关键是掌握镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．据此解答即可．
【详解】解：小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动．
故选：A．
【变式训练8-5】明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了镜面对称的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称，然后分别求出每个选项中的时间，进而求解即可．
【详解】解：A、实际时间大约为；
B、实际时间大约为；
C、实际时间大约为；
D、实际时间大约为；
∴实际时间最接近的是．
故选：D．
题型九：画轴对称图形
【例题9】如图，在直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于轴对称的图形；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图—轴对称变换，利用网格求三角形面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．
（1）根据关于轴对称的特征作图即可；
（2）利用割补法求三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图：即为所作，
（2）解：的面积为．
【变式训练9-1】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)用坐标表示轴对称
(1)将向下平移3个单位长度，得到，请在图中画出．
(2)画出关于y轴对称的，并写出的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，的坐标为
【分析】本题考查作图-轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识．
（1）根据平移法则，分别作出A，B，C的对应点，再依次连接即可．
（2）利用点关于轴对称的特点，分别作出点的对应点，再依次连接即可．
【详解】（1）解：所作如图所示：
（2）解：所作如图所示：
由图知，的坐标为．
【变式训练9-2】(24-25七下·广东清远清城区·期末)如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的三个顶点都在其格点上．
(1)以直线l为对称轴，作与成轴对称；
(2)求的面积．
【答案】(1)画图见解析
(2)
【分析】本题考查了画轴对称图形，求解网格三角形的面积．
（1）分别作出、、关于直线对称的对称点、、，然后顺次连接即可．
（2）利用割补法求解三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积为．
【变式训练9-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴的对称图形；
(2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标________ ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的对称变换及点的对称，熟练掌握图形的对称和点的对称是解题的关键，
（1）根据图形的对称变称求出对称点坐标并作图即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求出对称点坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求.
（2）解：由图可知，点的坐标为，
∴点关于x轴对称的点的坐标为，
答案：．
【变式训练9-4】(25-26七上·广西南宁第十四中学·月考)按要求完成下列各题．
(1)以图①中的虚线为对称轴，画出这个轴对称图形的另一半；
(2)如图②所示，将直角三角形沿虚线剪下，再向______平移______格，可以将这个平行四边形转化为长方形，这个平行四边形的面积是______平方厘米．
【答案】(1)图见详解
(2)右；5；15
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质及平移的性质，熟练掌握轴对称图形的性质及平移的性质是解题的关键；
（1）根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行作图即可；
（2）根据平移的性质可直接进行求解．
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：由图可知：把直角三角形沿虚线剪下，再向右平移5格，可以将这个平行四边形变成长方形，这个平行四边形的面积为（平方厘米）；
故答案为右；5；15．
【变式训练9-5】(24-25八上·浙江台州玉环·期末)如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点）．
(1)利用网格画出关于直线对称的；
(2)在直线上找一点P，使，保留作图痕迹，并标出点P位置．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称作图，线段垂直平分线的性质．
（1）根据题意作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质作图即可．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
题型十：设计轴对称图案
【例题10】如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了轴对称图形的概念和性质，解题的关键是根据轴对称图形的定义，找到不同的对称轴，再确定对称位置的小正方形．
先明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合；观察已有三个黑色方块的位置关系，尝试寻找可能的对称轴，如水平方向、竖直方向或斜向的直线；根据找到的对称轴，确定能使四个黑色方块组成轴对称图形的对称小正方形位置，每种方法对应不同的对称轴．
【详解】解：如图所示．（答案不唯一）
【变式训练10-1】(24-25七下·辽宁阜新第四中学·月考)（1）如图，在边长均为1的小正方形组成的方格图中，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上．
①作，使它与关于直线l对称；
②在直线l上找一点P，使的和最短．（不需要计算，在图上直接标记点P的位置）．
（2）观察下图①~③中涂色部分构成的图案．（每个小三角形面积均为1）
①写出这三个图案都具有的两个共同特征：
__________________，____________________
②借助图④⑤中的网格，请你设计另外两个新的图案，使新的图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①都是轴对称图形；阴影部分的面积都是4；②见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查作图 轴对称变换、轴对称 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键；
（1）①根据轴对称的性质作图即可；
②连接，交直线l于点P，则点P即为所求；
（2）①根据轴对称图形的性质，结合网格特点求解即可；
②根据①中发现的特征，设计符合要求的图案即可．
【详解】解：（1）①如图，即为所求作：
②如图，点P即为所求作：
（2）①根据图案特征，可得三个图案都具有的两个共同特征：都是轴对称图形；阴影部分的面积都是4；
②新的图案如图所示：
【变式训练10-2】在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称．
【答案】见解析
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键 ．
【详解】如图所示，
【变式训练10-3】(24-25八上·吉林吉林第九中学·期末)如图，在的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形．
【答案】见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要掌握轴对称图形的性质及其对称轴的画法，根据轴对称图形的概念作图即可；掌握把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴成为解题的关键．
【详解】解：如图所示：
【变式训练10-4】(24-25七下·吉林长春绿园区·期末)图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上．
【答案】图见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查设计轴对称图案，根据成轴对称的性质，确定对称轴，作图即可．
【详解】解：由题意，作图如下：
【变式训练10-5】(24-25七下·江苏盐城大丰区·期中)如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来．
【答案】有2种，图形见解析．
【分析】根据轴对称图形的性质求解即可；本题主要考查了做轴对称图形，准确作图是解题的关键．
【详解】解：根据题意作图如下：
题型十一：轴对称中最值问题
【例题11】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．
【详解】解：如图，连接．
垂直平分，
，，
，
当、、在同一直线上时，最小，最小值为．
周长最小值．
，点是边的中点，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式训练11-1】(24-25七下·江苏常熟实验中学·月考)如图，在中，，点D是上一动点（点D与点B不重合），连接，作B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接，则面积的最大值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积等知识，能得出当时面积最大是解答的关键．
在点的运动过程中，点，关于对称，，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当时，点到的距离最大，的面积最大．在中利用面积公式求出，再求，可得的面积．
【详解】解：在点的运动过程中，点，关于对称，
，
点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当时，点到的距离最大，
的面积最大．
，
．
．
．
故答案为：4．
【变式训练11-2】如图，在四边形中，，在，上分别找一点G，H，使周长最小时，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题，：延长到点，使得，延长到点，使得，连接交，于点G，H，则有，，即可得到当E，G，H，F四点共线时，的周长最小为长，然后根据等边对等角和三角形的内角和解答即可．
【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，连接交，于点G，H，
∵，
∴，，
∴的周长为
根据两点间线段最短可得，当E，G，H，F四点共线时，的周长最小为长，
这时，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式训练11-3】(24-25七下·四川达州耀华中学·月考)如图，记，，点、是，上的定点，点、是，上的动点，当最小时，的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称-最短问题，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则此时最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则此时最小，
∴，，
∵，，，，，
∴
，
，
∴，
整理得：β．
故答案为：．
【变式训练11-4】(23-24八上·甘肃兰州第三十五中学·期末)如图，在中，，，垂直平分，点为直线上任意一点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称中最短路线的问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是找出点P的位置．
根据题意可知，点B关于直线的对称点为点，故当点P与点D重合时，有最小值，求出的长度即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴点B与点C关于直线对称，
设交于点D，如图，
当点P与点D重合时，的值最小，最小值为等于的长，
∴的最小值是．
故答案为： ．
【变式训练11-5】(24-25八上·陕西榆林高新区第一中学·开学考)如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ．
【答案】/120度
【分析】本题主要考查轴对称的性质，三角形内角和定理，作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接，则此时的周长有最小值，由轴对称的性质得到，，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接，
，
，
的周长
，即此时的周长有最小值，
由轴对称的性质可得，，
，
，
，
，
故答案为：．
题型十二：轴对称综合压轴题
【例题12】如图，在长方形纸片中，，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都为点．
(1)若，求的度数．
(2)当时，帽子比较美观，求此时的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了折叠问题，平行线的性质，角的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由折叠可知，，，再根据平行线的性质即可求解；
（2）由折叠的性质得到，求得，同理可得得到，进一步得到，由，，求出，即可求解．
【详解】（1）解：由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，
由折叠可知，，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练12-1】(24-25七上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)如图，，直线与交于点，与交于点B，射线交于点C，把沿射线折叠，交于点D．
(1)若，且，则 °．
(2)过点D作，交于点E，作平分，交于点F，若射线将分成的两部分，且比的4倍小，求的度数．
【答案】(1)14
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，图形的翻折，角平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
（1）先根据已知条件求出的度数，再求出的度数，最后根据折叠的性质求出的度数．
（2）由射线将分成的两部分的情况，设，则．再根据平行线的性质和折叠的性质列出方程求解的度数即可．
【详解】（1）解：已知，且，
则．
∴．
由折叠的性质可知，
则．
故答案为：14．
（2）解：过点D作，交于点E，作平分，交于点F，如图，
∵，
设，则．
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
已知比的倍小，
∴，解得，
∵，
∴，
∴．
【变式训练12-2】(25-26八上·湖南湘西土家族苗族花垣县华鑫学校·开学考)（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
(1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．
他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容．
如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，．
在△中，　 　
点与点关于直线对称，直线垂直平分
　　 ，　　
，
．
(2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边，，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
(2)见解析
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，中垂线的性质，两点之间线段最短，正确画出图形是解题关键．
（1）根据所给推理正确填空即可；
（2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求．
【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，．
在中，（三角形任意两边之和大于第三边）
点与点关于直线对称，
直线垂直平分
，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
，
．
故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；
；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求．
，，则，
根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求．
【变式训练12-3】(24-25七下·江苏淮安清河开明中学·月考)在中，，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．
(1)如图1，①若折叠后，，则_______；
②若折叠后，则_______°；
(2)如图2，设，，在折叠的过程中，判断的值是否随着点D或E的位置变化而变化．若不变，求出结果；若变化，说明理由；
(3)当的某条边与或垂直时，与的角平分线相交于点O，直接写出的度数．
【答案】(1)①；②65 ；
(2)的值不随着点或的位置变化而变化
(3)或或
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和及其推论等知识，解决问题的关键是分类讨论．
（1）①可得出，从而；
②可得出，设，则，根据得出 ，进而得出结果；
（2），从而得出，进而得出结果；
（3）当或时，点不是落在四边形的外部，故分为：当时，设交于，可求得，从而，从而得出 ，从而得出；同样方法得出当时和当时得结果．
【详解】（1）解：①∵，
，
，
故答案为：；
②∵，
，
设，则，
，
，
，
故答案为：65；
（2）解：的值不随着点或的位置变化而变化，
理由如下：
，
，
，
∴的值不随着点或的位置变化而变化；
（3）解：当或时，点不是落在四边形的外部，舍去；
如图1，当时，
，
，
，
，
，
如图2，
当时，同理，
此时，即，
，
如图3，
当时，，
，
综上所述：或或．
【变式训练12-4】(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)如图，为等边三角形，在内作射线 ，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)设，求的度数（用含的式子表示）；
(3)判断，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）先得出，，再得出，，进而得出，，求出，即可得出结论；
（3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论；
【详解】（1）解：补全图形如图1所示：
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点B关于射线的对称点为点D，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（3）；
证明：如图2，在上取一点F，使，
由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键．
【变式训练12-5】(23-24七下·浙江金华永康初中联盟·期中)如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射．
(1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________；
(2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数；
(3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)三次反射时；四次反射时，
【分析】本题主要考查了平行线的性质、反射定律以及三角形内角和等知识，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键．
（1）利用反射定律得到角的关系，再结合平行线的性质和三角形内角和等知识求解；
（2）通过设角，根据反射定律和平行线的性质建立方程求解；
（3）分三次反射和四次反射的情况，结合反射定律和平行线性质分析．
【详解】（1）解：∵反射定律，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，．
故答案为：；．
（2）解：设，．
∵，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴．
（3）解：能．
由（2）得,
当三次反射时，最终射出光线与镜面平行，
设，
，
，
，
反射，
，，
，
∴，
解得，
；
当四次反射时，最终射出光线与镜面平行，
设，
，
，
，
反射，
，，，
，
，
，
解得，
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专题2.1图形的轴对称十二大题型（一课一讲）
①轴对称图形的定义
如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。
②轴对称图形的性质
轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
③图形的轴对称
一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形变化叫作图形的轴对称，这条直线叫作对称轴。
④图形的轴对称性质
图形的轴对称有下面的性质：成轴对称的两个图形是全等图形。
注意：轴对称图形是一个图形，图形的轴对称是两个图形。
题型一：轴对称图形的识别
【例题1】以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】(25-26九上·重庆育才中学教学共体·期中)以下图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】(24-25七下·陕西西安高陵区·期中)2022年是农历壬寅年（虎年），下面含有虎元素的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练1-4】(25-26八上·重庆六校联考·期中)下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】(24-25八上·湖北襄阳华侨城实验中学·月考)下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：成轴对称图形的识别
【例题2】《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练2-1】(24-25七下·海南陵水县·期末)《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】(24-25八上·湖北宜昌夷陵区·期末)下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】(24-25八上·河南周口西华县·期末)下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-4】(24-25八上·山东菏泽定陶区·期末)甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（ ）
A．B． C． D．
【变式训练2-5】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
题型三：根据成轴对称图形的特征进行判断
【例题3】如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某条直线对称；③等腰三角形底边上的中线是它的对称轴；④等腰三角形两底角的平分线相等，其中说法正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练3-2】(24-25七下·江苏无锡江阴第一初级中学·期中)如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【变式训练3-3】(25-26八上·重庆渝中区鲁能巴蜀中学校·月考)下列说法中错误的是（ ）
A．关于某直线成轴对称的两个图形全等
B．面积相等的两个三角形成轴对称
C．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴
D．成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合
【变式训练3-4】(24-25七下·江苏无锡港下中学·期中)如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
【变式训练3-5】(24-25八上·广东江门新会区葵城中学·月考)如图，与关于直线对称，则下列结论中不一定正确的（ ）
A． B． C． D．所连的线段被垂直平分
题型四：根据成轴对称图形的特征进行求解
【例题4】如图，点是外一点，点、分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在线段的延长线上．若，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】(25-26八上·重庆渝中区鲁能巴蜀中学校·月考)如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】(24-25七上·广东东莞翰林实验学校·期末)如图，把一张报纸的一角斜折过去，使点落在点处，为折痕，是的平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】(24-25七下·甘肃天水甘谷县等联考·期末)如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】(24-25七下·江苏无锡长泾第二中学·期末)如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ．
【变式训练4-5】(24-25七下·江苏南京建邺区金陵中学河西分校·期末)如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为 ．
题型五：台球桌面上的轴对称问题
【例题5】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞人袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（ ）次．
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练5-3】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【变式训练5-4】(23-24八上·辽宁铁岭·期中)2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋．
【变式训练5-5】如图，长方形台球桌上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工具不限）
(1)请你设计一条路径，使得球F撞击台球桌边反射后，撞到球E；
(2)请你设计一条路径，使得球F连续撞击台球桌边、反射后，撞到球E．
题型六：轴对称中光线反射问题
【例题6】光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【变式训练6-1】(2025·广东省江门市·三模)无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【变式训练6-2】(24-25八下·河北保定唐县·期末)如图，一束光线射入正方形网格背景布中，其反射光线为（ ）．
A．a B．b C．c D．d
【变式训练6-3】(2025·山西省吕梁市·二模)如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】(2025·河南省周口市·二模)如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-5】(24-25七下·湖南长沙雨花区明德洞井中学·期末)如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ．
题型七：轴对称中折叠问题
【例题7】如图，长方形纸片，，将纸片沿着折叠，使点落在点处，点落在点处，若，则的度数为 ．
【变式训练7-1】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区第六十九中学·期中)如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则 ．
【变式训练7-2】(24-25七下·四川成都龙泉驿区·期末)将一张长方形纸条按如图所示折叠，若，则的度数是 ．
【变式训练7-3】(25-26八上·吉林长春力旺实验初级中学·开学考)如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是 ．
【变式训练7-4】如图、将长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、处，与相交于点，如果，则 度
【变式训练7-5】(24-25七下·湖北武汉黄陂区双凤中学·期末)如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则 ．
题型八：轴对称实际应用之镜面对称
【例题8】一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（ ）
A．JM—G9329 B．JM—G6356
C．JM—C6326 D．JM—G6326
【变式训练8-1】(24-25七下·吉林长春朝阳区·期末)小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（ ）
A．70625 B．70952 C．70925 D．52607
【变式训练8-2】(24-25七下·福建三明·期末)在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-3】(24-25七下·江苏南京将军山中学·月考)从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练8-4】(24-25八上·辽宁营口·期末)一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（ ）
A．以的速度，做竖直向上运动
B．以的速度，做竖直向下运动
C．以的速度，做竖直向上运动
D．以的速度，做竖直向下运动
【变式训练8-5】明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（ ）
A． B． C． D．
题型九：画轴对称图形
【例题9】如图，在直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于轴对称的图形；
(2)求的面积．
【变式训练9-1】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)用坐标表示轴对称
(1)将向下平移3个单位长度，得到，请在图中画出．
(2)画出关于y轴对称的，并写出的坐标．
【变式训练9-2】(24-25七下·广东清远清城区·期末)如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的三个顶点都在其格点上．
(1)以直线l为对称轴，作与成轴对称；
(2)求的面积．
【变式训练9-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴的对称图形；
(2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标________ ．
【变式训练9-4】(25-26七上·广西南宁第十四中学·月考)按要求完成下列各题．
(1)以图①中的虚线为对称轴，画出这个轴对称图形的另一半；
(2)如图②所示，将直角三角形沿虚线剪下，再向______平移______格，可以将这个平行四边形转化为长方形，这个平行四边形的面积是______平方厘米．
【变式训练9-5】(24-25八上·浙江台州玉环·期末)如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点）．
(1)利用网格画出关于直线对称的；
(2)在直线上找一点P，使，保留作图痕迹，并标出点P位置．
题型十：设计轴对称图案
【例题10】如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形．
【变式训练10-1】(24-25七下·辽宁阜新第四中学·月考)（1）如图，在边长均为1的小正方形组成的方格图中，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上．
①作，使它与关于直线l对称；
②在直线l上找一点P，使的和最短．（不需要计算，在图上直接标记点P的位置）．
（2）观察下图①~③中涂色部分构成的图案．（每个小三角形面积均为1）
①写出这三个图案都具有的两个共同特征：
__________________，____________________
②借助图④⑤中的网格，请你设计另外两个新的图案，使新的图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征．
【变式训练10-2】在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称．
【变式训练10-3】(24-25八上·吉林吉林第九中学·期末)如图，在的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形．
【变式训练10-4】(24-25七下·吉林长春绿园区·期末)图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上．
【变式训练10-5】(24-25七下·江苏盐城大丰区·期中)如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来．
题型十一：轴对称中最值问题
【例题11】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示）
【变式训练11-1】(24-25七下·江苏常熟实验中学·月考)如图，在中，，点D是上一动点（点D与点B不重合），连接，作B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接，则面积的最大值为 ．
【变式训练11-2】如图，在四边形中，，在，上分别找一点G，H，使周长最小时，则 ．
【变式训练11-3】(24-25七下·四川达州耀华中学·月考)如图，记，，点、是，上的定点，点、是，上的动点，当最小时，的值为 ．
【变式训练11-4】(23-24八上·甘肃兰州第三十五中学·期末)如图，在中，，，垂直平分，点为直线上任意一点，则的最小值是 ．
【变式训练11-5】(24-25八上·陕西榆林高新区第一中学·开学考)如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ．
题型十二：轴对称综合压轴题
【例题12】如图，在长方形纸片中，，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都为点．
(1)若，求的度数．
(2)当时，帽子比较美观，求此时的度数．
【变式训练12-1】(24-25七上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)如图，，直线与交于点，与交于点B，射线交于点C，把沿射线折叠，交于点D．
(1)若，且，则 °．
(2)过点D作，交于点E，作平分，交于点F，若射线将分成的两部分，且比的4倍小，求的度数．
【变式训练12-2】(25-26八上·湖南湘西土家族苗族花垣县华鑫学校·开学考)（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
(1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．
他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容．
如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，．
在△中，　 　
点与点关于直线对称，直线垂直平分
　　 ，　　
，
．
(2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
【变式训练12-3】(24-25七下·江苏淮安清河开明中学·月考)在中，，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．
(1)如图1，①若折叠后，，则_______；
②若折叠后，则_______°；
(2)如图2，设，，在折叠的过程中，判断的值是否随着点D或E的位置变化而变化．若不变，求出结果；若变化，说明理由；
(3)当的某条边与或垂直时，与的角平分线相交于点O，直接写出的度数．
【变式训练12-4】(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)如图，为等边三角形，在内作射线 ，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)设，求的度数（用含的式子表示）；
(3)判断，，之间的数量关系，并证明．
【变式训练12-5】(23-24七下·浙江金华永康初中联盟·期中)如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射．
(1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________；
(2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数；
(3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由．

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