资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第1章一元二次方程复习卷数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．已知关于 的一元二次方程为 有一个非零根 ，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ）
A．该方程没有实数根 B．该方程有两个相等的实数根
C．该方程只有一个实数根 D．该方程有两个不相等的实数根
3．已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ）
A． B．2 C．0.5 D．
4．若关于x的方程无实根，则k可取的最小整数为（ ）
A． B． C． D．
5．有下列说法：①若式子有意义，则；②若方程无实数根，则；③方程的根是；④若方程 满足，且有两个相等的实数根，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
6．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．某工厂2022年全年某产品的产量为234万吨，预计2024年全年该产品的产量为345万吨，设2022年至2024年该产品的年平均增长率为x，根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
9．方程：的解为
10．已知方程至少有一个整数根，则整数a的值为 ．
11．若用配方法解方程，时，原方程可变形为 ．
12．已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
13．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么直角三角形中的较长直角边长为 ．
14．如图，在梯形中 ，点E、F分别在线段上，将沿翻折，点A的落点记为P，当点P落线段上时，的最大值为 ，最小值为 ．
15．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ．
16．如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为．请补全关于 的方程：_________．
三、解答题
17．按要求解下列关于的一元二次方程．
(1)（配方法）
(2)（公式法）
18．已知：关于的方程没有实数根，求证：关于的方程一定有两个不相等的实数根．
19．已知关于x的方程．
(1)若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
(2)当a为何值时，方程总有两个相等的实数根？求出此时a的值及方程的根．
20．某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．
(1)销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？
(2)该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
21．如图，在长、宽的矩形场地上，建有三条同样宽的人行道，其中一条与平行，另两条与平行．其余的部分为草坪．已知草坪的总面积为．

(1)求人行道的宽度；
(2)若人行道每平方米的硬化费用是120元，求人行道硬化的总费用？
22．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可）
①；②；③．
(2)如果关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
(3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“三倍根方程”吗？请说明理由．
(4)如果关于的一元二次方程是“3倍根方程”，那么、c应满足的关系是______．（直接写出答案）
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A B C C A A
1．A
【分析】本题考查一元二次方程的解，由关于的一元二次方程有一个非零根，有，即得．
【详解】关于的一元二次方程有一个非零根，
∴，
两边同时除以得：
，
，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了根的判别式，先方程化为一般式，再计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义可判断方程根的情况，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：方程化为一般式为，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系列式计算即可．
【详解】设另一个根为，
∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，，
∴，
代入得，
解得，
∵，
∴，
∴
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求出k的范围即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程无实根，
∴关于x的方程无实根，
∴，
∴，
∴，
∴k可取的最小整数为，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，因式分解法求一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根据被开方数为非负数可判定①，根据一元二次方程根以系数的关系可判定②④，根据因式分解法求一元二次方程可判定③，由此即可求解．
【详解】解：若式子有意义，则，
解得，，故①错误；
方程无实数根，则，
解得，，故②正确；
方程变形得，，
解得，，故③错误；
方程，，有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得，，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有②④，
故选：C ．
6．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
根据工厂2022年全年某产品的产量为234万吨，预计2024年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选A．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得出，设，则，再根据题意先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，即可得解，理解题意，准确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：∵阴影部分的面积为64，
∴，
设，则，
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，
故选：A．
9．
【分析】本题考查解无理方程，需要注意对解进行检验．
把方程两边平方去根号得一元二次方程，解得后将解代入方程检验．
【详解】解：，
两边同时平方可得：，可化为：，
可解得：或；
经检验不符，
故答案为：．
10．1或9
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先判断出，再解方程得到 ，根据 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．把它的两个根解出来，判断a的值即可．
【详解】解：当时，则，等式不成立；
∴，
∴方程是一元二次方程，
∴，
∵方程至少有一个整数根，
∴必须是整数，
∴必须是整数，
∴或，
∴或
故答案为：1或9．
11．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到右边，再将二次项系数化为1，最后方程两边再加上一次项系数的一半的平方即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了方程解的定义．解题的关键是将代入原方程，利用整体思想求解．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程，即可求得的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为：．
13．8
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据大正方形和小正方形的面积，得到，，每个直角三角形的面积为，设，则，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
，，4个全等的直角三角形的面积和为96，
每个直角三角形的面积为，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：或（舍），
即直角三角形中的较长直角边长为8，
故答案为：8
14． 4
【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，折叠性质，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再设，得出，结合，代入化简，再算出对应的（舍去），得出最小值，当与重合时，E在的中点时，此时有最大值，即可作答．
【详解】解：如图：过点P作
∵
∴
∵
∴四边形是矩形
∴
∵点E、F分别在线段上，将沿翻折，点A的落点记为P，当点P落线段上时，
设
∴
∴
∵
∴
即
令
∴令
则
∴
∴（舍去）
∵
∴最小能取到
当与重合时，E在的中点时
此时与重合
则
故答案为：4，
15．2024
【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根的定义等知识，熟练掌握一元二次方程根的定义及整体代入求值方法是解题的关键．利用一元二次方程根的定义得到，整理可得，整体代入代数式化简求值即可得到答案．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2024．
16．/
【分析】本题考查一元二次方程的应用，如果设通道的宽度为,那么草坪的总长度和总宽度应该为；那么根据每一块草坪的面积都为，可得出方程
【详解】解：设通道的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为；
根据题意即可得出方程为：，
故答案为：．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；
（2）利用公式法计算即可．
【详解】（1）解：，
移项，得：，
配方，得：，
即，
由此可得：，
∴，；
（2）解：
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
即，．
18．详见解析
【分析】本题主要考查根的判别式，根据已知得求得，可得，即可得恒成立．
【详解】解： 方程 没有实数根，
∴，解得 ，
对于一元二次方程 而言，其中 ，，，
则，
当 时， 恒成立，
方程恒有两个不等实根．
19．(1)，方程的另一根为
(2)当时，；当时，
【分析】此题考查方程的解，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．
（1）把代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；
（2）利用求出a的值，再代入解方程即可．
【详解】（1）解：将代入方程，得，
解得：，
将代入原方程得，
解得： ，；
∴，方程的另一根为．
（2）解：∵方程总有两个相等的实数根，
∴，
∴
由得，
解得：或0；
当时，原方程为：，
解得：；
当时，原方程为：，
解得：．
综上，当时，；当时，．
20．(1)420千克，详见解析
(2)80元，详见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点，
（1）利用月销售量，可求出月销售量；
（2）设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合销售成本不超过10000元，即可确定结论；
熟练掌握①根据各数量之间的关系，列式计算；②找准等量关系是解决此题的关键．
【详解】（1）根据题意得：
（千克），
答：当销售单价为每千克58元时，月销售量为420千克；
（2）设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
答：销售单价应定为80元．
21．(1)人行道的宽度为
(2)人行道硬化的总费用为2 880元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用：
（1）设人行道的宽度为，则种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形面积计算公式列出方程求解即可；
（2）先用大长方形面积减去草坪面积求出人行道的面积，再用人行道每平方米的造价乘以面积即可得到答案．
【详解】（1）解：设人行道的宽度为，则种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得，
整理得，
解得 (不符合题意，舍去)．
答：人行道的宽度为．
（2）解：元，
答：人行道硬化的总费用为2 880元．
22．(1)③
(2)；
(3)方程是“三倍根方程”；见解析
(4)
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．
（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；
（2）根据“三倍根方程”的定义设关于x的方程的两个根为，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；
（3）方程化为方程，解方程求得方程的根，根据“三倍根方程”的定义即可求出答案；
（4）根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；
由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；
由可得：，满足“三倍根方程”的定义；
故答案为：③；
（2）解：设关于x的方程的两个根为，
由一元二次方程根与系数的关系可知：，，
∴，；
（3）解：点在反比例函数的图象上，
，
方程化为方程，
整理得，
解得，，
方程是“三倍根方程”；
（4）解：根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和．
原方程可以改写为，
，
．
解得．
，，之间的关系是．
故答案为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑