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第1章一元二次方程典型例题与易错题精练-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．，
2．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
3．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列方程中，最适合用因式分解法求解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
6．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
7．近年来贵州的旅游火爆出圈，各地游客慕名来到贵州．某景点9月15日收入约为23万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，9月17日（中秋节）收入约为47万元，若设每天的增长率为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，设小路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．一元二次方程的根是 ．
10．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为 ．
11．将一元二次方程化成的形式，则 ．
12．一元二次方程有解，则的取值范围是 ．
13．对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较大的数，如：，则方程的解为 ．
14．已知a，b是方程的两个实数根，则 ．
15．方程的解是，，现在给出另一个方程，它的解是 ．
16．如图，邻边不等的矩形花圃，它的一边利用已有的16m的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是32m，若矩形花圃的面积为，则的长度是 m．
三、解答题
17．解方程：
(1)．
(2)；
(3)
(4)
18．已知关于的一元二次方程．求证：此方程总有两个实数根．
19．已知矩形的两边长分别为的长是关于的方程的两个实数根．
(1)当为何值时，四边形为正方形？并说明理由；
(2)若的长为2，求矩形的对角线长．
20．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．
(1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
(2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率．
21．阅读下面材料：解方程：．
解：①当时，原方程化为，
解得（不合题意，舍去）；
②当时，原方程化为，
解得（不合题意，舍去），．
综上所述，原方程的根为．
请仿照以上材料解方程：．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C C D D B
1．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
或
所以，．
故选：C．
2．D
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【详解】解：，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程， 利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项A不符合题意；
，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项B不符合题意；
是一元二次方程，故选项C符合题意；
是分式方程，故选项D不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．
把各方程整理乘右边等于0的形式，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、方程整理，得，不适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意；
B、，不适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意；
C、方程整理，得，适合运用因式分解法求解，故本选项符合题意；
D、，不适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意．
故选：C
5．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了列一元二次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键．
设每组邀请个球队参加比赛，根据等量关系“计划分为4组，每组安排28场比赛”列方程即可．
【详解】解：由题意可得：．
故选:D．
7．D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列式即可得到本题答案．
【详解】解：设每天的增长率为，
∵9月15日收入约为23万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，9月17日（中秋节）收入约为47万元，
∴，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽米，小路的面积一个长32宽的矩形面积一个长20宽的矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽米，
则．
故选：B
9．
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先把移项再进行因式分解，即可作答．
【详解】解：依题意，，
，
，
或，
，
故答案为：．
10．1
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．由题意可得，解方程求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程、完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式．
由，可得，进而求得、的值，然后作答即可．
【详解】解：，
，
，
∵一元二次方程化成的形式，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．且
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据二次项系数不为0 和判别式可得，解之即可．
【详解】解：∵一元二次方程有解，
∴，
解得且，
故答案为：且．
13．
【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根据方程的特点选取适当的方法求解是关键．分与两种情况讨论即可．
【详解】解：当即时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，（舍去）；
当即时，，
∴，
∴，
∴或，
∴（舍去），．
综上可知，方程的解为，．
14．36
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到，整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：36．
15．或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则方程可以化为，根据题意可得方程的解是，，则或，据此求解即可．
【详解】解：设，则方程可以化为，
∵方程的解是，，
∴方程的解是，，
∴或，
解得或，
故答案为：或，
16．10
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：设，则：，由题意，得：
，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去
当时，，符合题意；
故的长度是；
故答案为：10
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把常数项移到方程右边，再利用开平方的方法解方程即可；
（2）先把常数项移到方程右边，再利用配方法解方程即可；
（3）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可；
（4）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
18．见解析
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根判别式与一元二次方程根的关系．一元二次方程根判别式与根的关系：一元二次方程有两个相等实数根；一元二次方程有两个不相等实数根；一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根判别式的非负性，可得出方程总有两个实数根．
【详解】证明：
，
∴此方程总有两个实数根．
19．(1)时，四边形为正方形，理由见详解
(2)
【分析】本题考查了正方形的判定，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的应用；
（1）利用正方形的判定方法得到时，矩形为正方形，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可；
（2）设，利用根与系数的关系得，通过解方程组得到，然后利用勾股定理计算矩形的对角线长．
【详解】（1）解：当m为1时，四边形为正方形．
理由如下：
当时，矩形为正方形，
此时，即，
解得，
即时，四边形为正方形；
（2）设，
根据根与系数的关系得，
即，②，
得，
解得，
即，
∴矩形的对角线长为．
20．(1)售价应定为每个元．
(2)这两周的平均增长率为．
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可；
（2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设售价应定为每个元，则
，
整理得：，
解得：，；
∵更大优惠让利消费者，
∴不符合题意，
∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元．
（2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个），
设这两周的平均增长率为，则
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴这两周的平均增长率为．
21．，．
【分析】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元二次方程的解是解题的关键．
仿照材料解方程的方法分情况求解即可．
【详解】
解：①当时，即时，原方程化为，
∴
∴或
解得，（不合题意，舍去）；
②当时，即时，原方程化为，
∴
∴或
解得，（不合题意，舍去）
综上所述，原方程的根为，．
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