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导数及其应用专题突破-2026年高考数学一轮复习
一、单选题
1．若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知函数与的图象恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．若函数有两个极值点，则（ ）
A． B． C． D．
6．若函数的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）

A． B． C． D．
8．若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．定义在上的偶函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的所有零点之和为5
D．
10．已知函数，且，则（ ）
A．方程有两个实数根
B．在处取得极小值
C．若，则
D．若过点可作曲线的两条切线，则
11．设在上有定义，若对任意，总有，则称函数在上一致连续．下列函数中，在上一致连续的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知函数在处取得极小值，则 .
13．已知P为函数图象上一点，则曲线在点P处的切线的斜率的最小值为 ．
14．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积与直径的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为 ．
四、解答题
15．已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间与极值；
(2)若函数有2个不同的零点，，满足，求a的取值范围.
16．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的最大值与最小值.
17．已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.
(1)比较和的大小；
(2)讨论的单调性；
(3)若有最小值，且最小值为，求的最大值.
18．已知函数．
(1)证明：当时，；
(2)若函数有两个极值点，证明：．
19．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A A B A D ABD BCD
题号 11
答案 BC
1．D
【分析】求导，分析可知有2个不相等的正根，结合二次方程的根的分布列式求解即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
2．B
【分析】构建，求导，利用导数判断的单调性，进而判断的符号性，即可得的符号性.
【详解】令，则的定义域为，且，
因为，即，注意到，可得，
可知在定义域内单调递增，且，
当时，，即；
当时，，即；
所以不等式的解集为.
故选：B.
3．C
【分析】构建，分析可知的定义域为，且在内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建，利用导数求其最值即可.
【详解】设，
因为，可知的定义域为，所以在内恒成立，
又因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，可得，则，
可得，当且仅当时，等号成立，
令，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
即，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为1.
故选：C.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
4．A
【分析】先把函数的交点问题转化为恰有一根，即函数与的图象恰有一个交点，根据偶函数性质得，然后利用导数验证零点即可求解.
【详解】令，即，可得.
由题意可得函数与的图象恰有一个交点.
因为函数与的定义域为R，
所以，，
则函数与都是偶函数，
所以交点只能在轴上，即，解得.
若，令，可得或，
令函数，所以在上单调递增.
因为，所以方程有且仅有一个实根0，
即函数与的图象恰有一个交点，所以符合题意.
故选：A
5．A
【分析】求导，得到有两个变号的零点，二次求导，分和两种情况，得到单调性，得到，结合函数图象走势，得到，求出答案.
【详解】，因为有两个极值点，所以有两个变号的零点，
令，则，
当时，单调递增，至多有一个零点，不符合题意；
当时，在区间上单调递增，在区间内单调递减，
所以，
又时，时，，所以要使有两个零点，
只需，即0，即．
故选：A
6．B
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值与最值结合隐零点计算即可.
【详解】易知的定义域为，
不难发现在区间内单调递增，
又当时，；当时，，
所以存在唯一使得，即，
所以当时，；当时，．
所以在区间上单调递减，在区间内单调递增，
所以的最小值为，
所以，所以，解得.
故选：B
7．A
【分析】由图设溶液高度和液面半径，用表示液体体积得到方程，求出，依题，对其求导，赋值即得时液体高度的瞬时变化率.
【详解】

设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，如图可得，
,则，即，
则由，解得.
由，当时，，
即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.
故选：A.
8．D
【分析】根据函数的极值点，借助于求导求得的值，继而得到函数解析式，利用函数的单调性即可求得函数的最小值.
【详解】由求导得，，
依题意，，解得，
此时，，则，因，
故当时，，当时，，
即函数在上递增，在上递减，即是的极大值点.
又因，故得函数在上递增，在上递减.
因显然，
故的最小值为.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的极值点与单调性，最值的应用，属于较难题.解题思路为，利用函数的极值点性质由求得的值，检验后结合函数的单调性即可判断并求出函数的最值.
9．ABD
【分析】利用赋值法判断A；推出函数周期求函数值，判断B；将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，判断C；结合函数单调性判断D.
【详解】对于A，由于，令，则，A正确；
对于B，为偶函数，即，结合，
得，即，故，
故4为函数的周期，由时，得，
故，B正确；
对于C，由于，故函数的图象关于点对称，
又为偶函数，则的图象也关于点对称，
结合4为函数的周期，当时，，
作出函数的图象如图，
设，则该函数图象关于点对称，且函数在R上单调递增，
结合的图象可知，二者有3个交点，且交点横坐标之和为3，
即函数的所有零点之和为3，C错误；
对于D，令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，故，
即，仅当时等号成立，故得，则；
同理可证得，当且仅当时等号成立，
则，
由于在上单调递增，故，D正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数性质的应用，涉及到函数对称性；周期性以及奇偶性，解答时要判断出函数相关性质，数形结合，另外要结合导数知识进行解答.
10．BCD
【分析】根据求出，解方程可判断A，利用导数求函数极值判断B，分离参数，利用导数求函数最值即可判断C，
根据过点做切线有两条转化为方程两解，利用导数求函数极大值可得解.
【详解】，因为，所以，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，
所以在处取到极小值，
此时，所以是唯一解，
即．的定义域为，
令，则，解得，所以方程只有一个实数根，A错误；
，令，则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处取得极小值，B正确；
，即，令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，，所以的取值范围是，C正确；
设切点为，所以切线方程为，
又切线方程过点，
所以，即，
依题知方程有两个实数根，
令，则，
当时，单调递减，最多只有一个零点，不合题意；
当时，令，则，
令，则，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，要使方程有两个实数根，
则，即，D正确．
故选：BCD
11．BC
【分析】根据函数新定义的规定，依次检测各选项，利用导数分析新构建函数的单调性即可一一判断正误.
【详解】对于A,令，易知在单调递增，不妨设，则，
等价于，
即只需函数在为减函数即可.
因为且，则当时，
在区间上单调递增，故A错误；
对于B，易知函数在区间单调递增，
同A可知，只需函数在区间为减函数即可.
因为，所以在区间单调递减，故B正确；
对于C，令，则，所以在单调递减，
不妨设，则，故等价于，
即只需函数在区间为增函数即可.
因，易证，所以，
所以在区间单调递增，故C正确；
（下面证明.设则，
即在上单调递增，故，即得，得证）
对于D，易知函数在区间单调递增，
由A可知，只需函数在区间为减函数，
因为，当时，即在区间上单调递增，故D错误．
故选：BC.
12．
【分析】求得，根据，求得的值，结合实数的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为处函数极小值，可得，解得或，
若时，可得，
当时，；当时，；当时，，
此时函数在单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，不符合题意，（舍去）；
若时，可得，
当时，；当时，；当时，，
此时函数在单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得极小值，符合题意，
综上可得，实数的值为.
故答案为：.
13．2
【分析】对函数求导，利用基本不等式即可求得切线斜率的最小值.
【详解】由求导得，，
因，故，当且仅当时等号成立，
即当点或时，曲线在点P处的切线的斜率取得最小值为2.
故答案为：2.
14．
【分析】瞬时变化率即为导数，因此求导，代入即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：
15．(1)单调递减区间为；单调递増区间为；有极小值，无极大值.
(2)
【分析】（1）将代入，然后求导利用导函数的正负判断原函数的单调性，计算极值即可；
（2）先将化为，然后令，将问题转变为有两个解为，设，利用零点存在性定理证明其有两个零点时的情况，
分离得，再设新函数，利用导数求出其值域，最后求出的取值范围即可.
【详解】（1）当时，，其定义域为，
，
所以显然当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递増；
所以有极小值，无极大值；
综上所述，单调递减区间为；单调递増区间为；有极小值，无极大值.
（2），令，
因为，所以在单调递增，则，
令，即在有2个零点，且，
因为，
当时，在单调递增，不存在2个零点，
所以，
当时，:当时，.
所以在单调递减，在单调递增，
则，
令，
当时，单调递减：当时，单调递增，
则，所以恒成立.即恒成立.
因此，
，
因为时，;且.
，
因为时，;且.
所以当，即时，函数有2个不同的零点.
又，即等价于，
设.
当时，;当时，.
则在上单调递增，在上单调递减，则，
由题意得:.
（i）当，即时，恒成立;
（ii）当，即时，有.
令，
由，即可得，所以，
综上，，因此.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用同构思想得，再结合分离参数即可得到答案.
16．(1)
(2)函数的最大值为2，最小值
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切点和切线斜率，即可得切线方程；
（2）根据求导判断的单调性，结合单调性分析最值.
【详解】（1）因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率为，
所以切线方程为.
（2）由（1）可得，
且，则，
令，则，解得；
令，则，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
又因为，且，
所以函数的最大值为2，最小值.
17．(1)；
(2)答案见详解；
(3).
【分析】（1）根据导数意义列方程即可求解；
（2）求导，分和讨论导数符号即可得解；
（3）利用（2）中结论表示出最小值，然后利用导数求最值即可.
【详解】（1），由题知，
整理得.
（2）由（1）知，，
当时，恒成立，此时在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，无最小值，
当时，在处取得最小值，所以，
记，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，
即的最大值为.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）要证等价转化为最大值小于0即可；
（2）函数有两个极值点，等价为与的图象有两个交点，利用单调性求解即可.
【详解】（1）易知函数的定义域为，
由于，则，
令，则，
令，则；令，则，
所以在区间上单调递增，在区间内单调递减，所以，
所以，故．
（2），令，则，因为函数有两个极值点，
所以与的图象有两个交点，且，
由于，令，则，令，则，
所以在区间上单调递减，在区间内单调递增，
所以，
又时，时，，
故当时，函数有两个极值点，且不妨令，
则在区间和区间单调递减，
在区间单调递增，所以，
所以，
令，则，所以在区间上单调递减，
所以，故．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，合理构造函数及恰当使用放缩法是解答问题的关键.
19．(1)是极值可差比函数，理由见解析；
(2)不存在使的极值差比系数为，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断.
（2）反证法，假设存在这样的，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.
（3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围.
【详解】（1）当时，，
所以，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，因此是极值可差比函数．
（2）的定义域为，即，
假设存在，使得的极值差比系数为，则是方程的两个不等正实根，
，解得，不妨设，则，
由于
所以，从而，
得
令，
所以在上单调递增，有，
因此式无解，即不存在使的极值差比系数为．
（3）由（2）知极值差比系数为，
即，不妨设，
令，极值差比系数可化为，
，
又，解得，
令，
设
所以在上单调递减，当时，，
从而，
所以在上单调递增，所以，
即．
故的极值差比系数的取值范围为．
【点睛】思路点睛：合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解。（3）中的需要重复利用（2）几个重要的数量关系，对变量进行转化，利用导函数求出单调区间，得出取值范围是关键。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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