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集合与常用逻辑用语专题突破-2026年高考数学一轮复习
一、单选题
1．已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题，，命题，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
5．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
8．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述：
①若为一个“封闭集”，则；
②若为一个“封闭集”且，则；
③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或；
④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或．
正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
二、多选题
9．“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知集合，，若是的充分条件，则实数m的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．
11．我们知道，如果集合，那么的子集的补集为.类似的，对于集合，我们把集合叫做集合A与B的差集，记作.例如，，则有.下列说法正确的是
A．若或，则
B．若，则
C．若S是高一（1）班全体同学的集合，A是高一（1）班全体女同学的集合，则.
D．若，则2一定是集合的元素
三、填空题
12．已知命题：，；命题：，，若p和q都是真命题，则实数的取值范围是 ；
13．满足条件 的所有集合的个数是 ．
14．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为
四、解答题
15．已知集合
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
16．已知集合，．
(1)分别求，；
(2)已知，若，求实数a的取值集合．
17．设全集为R，集合
(1)分别求；
(2)已知，若，求实数a的取值范围
18．设集合，，．
(1)，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
19．设集合为非空数集，定义，．
(1)若，写出集合、；
(2)若，，且，求证：；
(3)若，且，求集合元素个数的最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A D A B D ABD CD
题号 11
答案 AC
1．D
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.
【详解】对于A，，A不是；
对于B，当时，由，得，B不是；
对于C，，可能有，如，C不是；
对于D，由，得，则；若，则，D是.
故选：D
2．B
【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.
【详解】命题“，”的否定为“，”，故B正确.
故选：B.
3．C
【分析】由，可得结论.
【详解】因为，所以且，
所以.
故选：C.
4．A
【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解.
【详解】对于命题，当时，，
当时，，所以命题是真命题；
对于命题，当时，，所以命题是真命题；
故选：A.
5．D
【分析】解出集合，再利用交集含义即可.
【详解】或，
，
则.
故选：D.
6．A
【分析】根据分段函数的单调性得到不等式得到，分离常数后，由的单调性得到，结合集合的包含关系得到是的充分不必要条件.
【详解】要在上单调递减，
则，解得，
在为增函数，则，
解得，
因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件.
故选：A
7．B
【分析】根据补集定义即可求出.
【详解】因为，所以.
故选：B.
8．D
【分析】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可.
【详解】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确；
对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确；
对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误
对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”，
必要性：若是“封闭集”，令,
假设且．
则存在,,同时,
因为是“封闭集”，
所以,，分两类情况讨论
若,又则所以，这与假设矛盾；
若,又则所以，这与假设矛盾；
故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确；
故选：D
9．ABD
【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件.
【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素，
因为，则有：
当时，；
当时，；
当时，；
则的取值范围为，故其充分不必要条件为小范围，
可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；C不符合充分不必要条件.
故选：ABD.
10．CD
【分析】分析得，再分是空集和不是空集讨论即可.
【详解】由题意得，
若是空集，显然满足题意，此时，解得，
若不是空集，则，解得，
综上，实数m的取值范围为或.
对比选项可知CD符合题意.
故选：CD.
11．AC
【分析】根据所给定义判断A、C正确；选项B、D可以通过举反例来证明错误.
【详解】对于A，根据差集的定义可得，故A正确；
对于B，若，，则，显然，故B错误；
对于C，根据差集的定义可判断C正确；
对于D，设，，则，，此时，故D错误.
故选：AC.
12．
【分析】若为真命题则可解出m的取值范围，若为真命题，则在上有解，利用导数求出函数的值域即可求得m的范围，再进行交集运算即可得.
【详解】若，，
则，解得；
若，，则在有解，
设，则，
当时，，函数在单调递减；
当时，，函数在单调递增；
所以当时，，当.
故当时，的值域为，
所以要使在上有解，则.
若p和q都是真命题，则，即.
故答案为：.
13．
【分析】根据题意，转化为集合个数为集合的非空真子集的个数，即可求解.
【详解】由 ，可得集合中一定含有元素，
可能含所有中的0个、1个、2个、3个或4个元素，
即集合的非空真子集的个数，所以有个.
故答案为：.
14．2
【分析】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可.
【详解】依题意，，，，，，，
因此①④正确，②③⑤⑥错误，
所以正确命题的个数是2.
故答案为：2
15．(1)
(2)
【分析】(1)解不等式写出解集即可.(2)因为，故，根据子集包含关系即可求得.
【详解】（1）由集合，解得，故.
（2）因为，故，又集合，
当时，，不满足；
当时，，要使，则；
当时，，显然满足.
综上，实数的取值范围是.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）利用集合的交集与并集的计算规律计算即可；
（2）先判断，然后因为，建立不等式求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
（2）因为，所以
当，可知
所以实数a的取值集合为
17．(1)，或或
(2)
【分析】（1）利用交集，并集和补集的概念求出答案；
（2）根据并集结果得到，从而得到不等式，求出答案.
【详解】（1），
或，
或或或；
（2），，
，显然，
则，解得，
故实数a的取值范围是
18．(1)或
(2)或.
【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；
（2）依题意可得 ，讨论集合是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果.
【详解】（1）当时，可得，
故可得或，而，
所以或.
（2）由“”是“”的充分不必要条件可得 ；
当时，，解得，符合题意；
当时，需满足，且和中的等号不能同时取得，
解得；
综上可得，m的取值范围为或.
19．(1)，
(2)证明见解析
(3)1347
【分析】（1）根据定义，，直接求解即可，
（2）由题意利用集合中的元素间的关系及可证明，
（3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求的范围，即可求出最大值．
【详解】（1）由题意，得，，
（2）证明：因为，，且，
所以集合也有四个元素，且都为非负数，因为，
又因为，所以且，
所以集合中其他元素为，，，
即，剩下的，
因为，所以，
即，即，所以
（3）设，满足题意，其中，
因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
中最小的元素为0，最大的元素为，
所以，
实际当，时满足题意，证明如下：
设，，
则，，
由题意得，
即，故的最小值为674．
即时，满足题意，
综上所述，集合中元素的个数为（个．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够结合题意得到，进而证明符合题意.
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