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数列-2026年高考数学一轮复习
一、单选题
1．在等差数列中，满足，，则（ ）
A．11 B．14 C．15 D．17
2．已知在等比数列中，为其前项和．若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（ ）
A．80里 B．86里 C．90里 D．96里
5．公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．
C．的最大值为 D．
6．将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（ ）
A．22 B．30 C．37 D．46
7．若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（ ）
A． B．43 C． D．47
8．已知无穷数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（ ）
A．，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列
B．，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列
C．，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列
D．，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列
二、多选题
9．已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．当时，取得最小值
D．当时，满足的最大整数的值为25
10．已知数列满足：，记前项和为，下列选项正确的是（ ）
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
11．若无穷数列由唯一确定，称递推公式是专一的．则下列递推公式中专一的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ．
13．若数列满足，则 ．
14．已知数列的各项均为正数，满足，，且.若在数列中去掉中的项，余下的项组成数列，记数列的前项和为，则 .
四、解答题
15．已知实数且，数列满足：，，试判断数列的单调性.
16．已知等比数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求．
17．已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若正整数m，r，k成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由．
18．已知数列的前n项和．若，且数列满足．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：数列的前n项和；
(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围．
19．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.
(1)写出最小的“漂亮数”；
(2)当时，求出所有的“漂亮数”.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D A B B C ABD ABD
题号 11
答案 AC
1．B
【分析】根据等差数列通项公式的性质求解．
【详解】是等差数列，则，
故选：B．
2．A
【分析】根据等比数列前项和的性质直接列方程计算即可.
【详解】为等比数列，且，且，公比，
，，是公比为的等比数列，
即，，是公比为的等比数列．
，解得或（舍去）.
故选：A．
3．D
【分析】根据已知等式可得n-1时等式，两式相减可得数列通项公式，进而可得为等比数列，即可利用等比求和公式求解.
【详解】由，
得，∴．
∵，∴，∴，
∴是以1为首项，4为公比的等比数列．
∴．
故选：D．
4．D
【分析】由题意确定每天走的路程构成公比为的等比数列，即可求解
【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，解得，
∴此人第二天走的路程为（里）．
故选：D
5．A
【分析】先判断公比的符号，再根据的大小，进而逐项判断即可得结论.
【详解】因为，所以，所以数列为正项等比数列，
因为，所以或，
又等比数列满足，，所以，，，
故当时，取得最大值，故A正确，D错误；
，故B错误；
因为数列各项均为正数，所以没有最大值，故C错误．
故选：A．
6．B
【分析】先根据题中规律找到拐角数的通项公式，进而可得.
【详解】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，
第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为，
则第个“拐角数”为．
对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意；
对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是，
则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意；
对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意．
故选：B.
7．B
【分析】证明两等比数列的和数列仍为等比数列，再由等比数列求和公式可得.
【详解】因为两个等比数列的公比相等，设为，
则，且，
故，故数列是以为首项，为公比的等比数列，
由，得
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以数列的前7项和．
故选：B.
8．C
【分析】根据题意，假设，，…，为等差数列，公差为，分讨论，找出矛盾，可判断A，B，D选项，对于C，举例说明.
【详解】由题对任意正整数，都有，可判断，，…，不可能为等差数列，
理由如下：假设，，…，为等差数列，公差为，
若，，则，矛盾；
若，，当时，，存在使得，矛盾；
若，，当时，，存在使得，矛盾；
若，当时，，，必有使得，矛盾；
若，当时，，，必有使得，矛盾；
对于A，为等差数列与上述推理矛盾，故A错误；
对于B，为等差数列与上述推理矛盾，故B错误；
对于D，为等差数列与上述推理矛盾，故D错误；
对于C，取，，，满足题意，故C正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用反证法假设，，…，为等差数列，推理找出矛盾，依此判断.
9．ABD
【分析】由得到，进而求得即可判断A；，，成等差数列，即可判断B；因为，分类讨论当，，即可判断C；因为，所以，，所以，，即可判断D.
【详解】因为，
所以，
即，所以，故A正确．
因为，，成等差数列，
所以，而，则，故B正确．
因为，由得，
即，所以，所以对称轴为：，
所以当时，开口向上，当，取得最小值，
当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误．
因为，数列单调递增，所以，，
则，，又因为，
所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确．
故选：ABD
10．ABD
【分析】设，由题设条件可得，构造函数，由其单调性得知数列都是单调数列，由特值检验得知递增，递减，由为增函数可得A正确；将表示成，利用即得B正确；利用B项结论可推得，故排除C；最后利用数学归纳法证得，推理即得.
【详解】由可得，，
设，则，
由可得，，即，于是，，
设，则，即在上单调递增，
依题意，可将看成函数图象上的前后两点，
则，即数列都是单调数列.
又，
由可得，数列是单调递增数列，数列是单调递减数列，
因是增函数，故得是单调递增数列，是单调递减数列，即A正确；
对于B，由可得，
则（*），
因当时，，则，
故时，，于是，由（*）可得，故B正确；
对于C，由B项已得，
则，故C错误；
对于D，因时，，假设（）时，成立，
则时，，
即对恒成立；
又因，假设（）时，成立，
则时，，
即对恒成立，
故得，因是增函数，故，即D正确.
故选：ABD.
11．AC
【分析】对于A：分析可知，即可得结果；对于C：分析可知，即可得结果；对于BD：取特值计算即可.
【详解】对于选项A：因为，可得，
所以递推公式是专一的，故A正确；
对于选项B：因为，
令，可得，即，解得或，
所以推公式不是专一的，故B错误；
对于选项C：因为，可得，
令，可得，可得，
且，可得，即，
可知数列是以2为周期的周期函数，且，
则，所以递推公式是专一的，故C正确；
对于选项D：因为，
由可得：，则，
由可得，解得或，
所以推公式不是专一的，故D错误；
故选：AC.
12．1
【分析】设出公比，根据，求出公比，故，得到.
【详解】设公比为，则，
其中，又，
故，，
故，即，
解得.
故答案为：1
13．2
【分析】将数列通项分母有理化，运用裂项相消法求和即得.
【详解】因为，
所以
．
故答案为：.
14．568
【分析】先构造数列得出是首项为，公比为的等比数列，再求出数列,最后应用分组求和结合等差等比求和公式计算即可.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，
所以，由得，
所以，
所以
故答案为：568.
15．严格增数列
【分析】先将条件等式化简为，再计算，构造新数列，取倒数得出其通项公式，从而得出，再作差分解因式化简计算判定符号即可.
【详解】
，
令，则.
于是有.
则
，显然式为正实数，
则在时，，故，数列是严格增数列.
16．(1)
(2)121
【分析】（1）设等比数列的公比为，利用等比数列通项的基本量运算列出方程组，解之即得；
（2）利用（1）的结论，根据等比数列前n项和公式计算即得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意得，，
解得，，
则数列的通项公式为：；
（2）由（1）已得，则
17．(1)
(2)不能构成等比数列，理由见解析.
【分析】（1）根据的关系，构造新等比数列即可求出通项公式；
（2）假设能构成等比数列，可推出，分析等号两边的数分别为奇数、偶数，得到矛盾，即可得证.
【详解】（1）
由，可得，
数列是以6为首项，2为公比的等比数列，
（2）不能构成等比数列，理由如下：
，
若构成等比数列，则，
，即.
由题意知，，
，
，，
均为偶数，
为奇数，为偶数，
不可能成立，
不可能构成等比数列.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可；
（2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可；
（3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；
【详解】（1）由题意知，
当时，，所以．
当时，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
因为，所以，
所以，令，可得，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，可得
，
所以，所以．
（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于．
因为，
所以，所以数列的最大项为和，且．
所以，即，
解得或，即实数的取值范围是．
19．(1)6
(2)
【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义即可证明最小的“漂亮数”为6；
（2）先证明或，利用分类讨论的思想可得和，根据“漂亮数”的定义求出即可.
【详解】（1）若是“漂亮数”，
设，满足，
则，所以，即，
故，得，则，所以，
此时，假设，则，又，
所以的全部可能取值为，
经验证，上述的取值都不等于1，不符合题意.
所以，又，故6为“漂亮数”，
所以最小的“漂亮数”是6；
（2）若，设，满足，
则，所以，即，
而，
所以，即，故，
得，即，
又，所以，
而，故，即.
若，则，所以.
假设，则，矛盾.
故，所以，得.
故，则，得，又，所以.
又，矛盾，
故或.
当时，有，得，
则，得，即.
由，得，分别代入，
使得为正整数的有，对应的分别为.
当时，有，得，
则，得，即.
由，得，分别代入，
使得为正整数的有，对应的分别为.
综上，满足条件的全部为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可解决对应的问题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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