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指对幂函数专题突破-2026年高考数学一轮复习
一、单选题
1．下列函数中，值域为且区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B． C． D．
5．已知是函数的图象上的两个不同的点，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
8．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72 B．73 C．74 D．75
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．下列关于幂函数的说法正确的有（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．为偶函数 D．不等式的解集为
11．已知函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知，，则用，表示
13．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ．
14．已知函数满足以下两个条件：（1）在上单调递增；（2），则函数的解析式可以为 ．（写出一个符合题意的即可）
四、解答题
15．已知函数，且.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
16．已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若最小值为，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围．
17．已知函数存在极大值.
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值域.
18．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
19．已知函数，其中且.
(1)判断的奇偶性，并证明；
(2)若，判断的单调性；
(3)当的定义域为时，的值域为，求的值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A D C C B BCD BD
题号 11
答案 AB
1．D
【分析】对于A，可以说明它在上不是单调递增，从而即可判断；对于BC，可以说明它们的值域并不是，从而判断；对于D，由对数函数性质即可判断.
【详解】对于A，若，由，则，所以在上单调递减，故A错误；
对于B，二次函数的最小值为，值域并不是，故B错误；
对于C，幂函数在上单调递增，但是它的值域是，并不是，故C错误，
对于D，当时，，由对数函数性质可知在上单调递增，且值域为，故D正确.
故选：D.
2．D
【分析】利用对数运算计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案.
【详解】因为，，，
所以.
故选：D
3．C
【分析】易证明为偶函数，根据题意，两个函数的交点必定是原点，据此求解.
【详解】令，其定义域为，
因为，所以为偶函数，
由题易知也为偶函数，
因为两个函数图象的交点个数为奇数，
所以两个函数的交点，必有一个是原点，
故.
故选：C.
4．A
【分析】由定义域排除D，由函数在时函数值正负排除B，由函数的奇偶性排除C，即得正确选项．
【详解】有，而由函数的部分图象得出定义域内有0，不合题意排除D选项；
函数的部分图象关于y轴对称是偶函数，而,不合题意排除B选项；
当时，， ，
由图可知有正有负，不合题意 排除C选项；
故选：A.
5．D
【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，借助基本不等式即可得解.
【详解】如图所示，设，，的中点为，
点在的图象上，且轴，则，
由图知点在的左侧，即，
所以.
故选：D
6．C
【分析】根据题中条件，可以先判断出函数在上单调递减，再结合分段函数的解析式，要每一段都是减函数，且分界点时左段函数的函数值要大于等于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可得到的取值范围．
【详解】对任意都有成立，
与异号，
根据函数单调性的定义，可知在上是单调递减函数，
函数，
，解得．
故选：C
7．C
【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，举出反例；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；D选项，由指数函数图象可得，则，D错误.
【详解】对于A，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，所以A错误；
对于B，若，，，，则，，
此时，所以B错误；
对于C，
,当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D，，故，由指数函数图象可得，则，所以D错误.
故选：C
8．B
【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解.
【详解】由题，，所以，
又由题当时，，即，
所以，令即即，
解得，故，
所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73.
故选：B.
9．BCD
【分析】由对数运算可得，，借助作差法结合对数运算可得A；由对数运算可得B；借助基本不等式与对数运算可得C；借助基本不等式“1”的活用可得D.
【详解】由，则，由，则，即；
对A：，故，故A错误；
对B：，故B正确；
对C：由，，则，
即，则，故C正确；
对D：由，则，
由，，则，故，
则，故D正确.
故选：BCD.
10．BD
【分析】根据幂函数的性质判断．
【详解】的定义域为，A错误；
的值域为，B正确；
的定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数，C错误；
不等式，则，解得，D正确.
故选：BD．
11．AB
【分析】根据题意可得，根据题意不等关系逐一验证即可得出正确答案.
【详解】因为当时，，则，
又因为，则有：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
结合选项可知：，，故AB正确，CD错误.
故选：AB.
12．
【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解.
【详解】由，，可得，
又由.
故答案为：.
13．.
【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论.
【详解】因为函数的定义域是，
所以，故，
因为有意义，
所以，所以，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．（答案不唯一）
【分析】根据函数满足的条件，可知当时，函数都满足条件.
【详解】在上单调递增，，，所以，即符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
15．(1)
(2)
【分析】（1）由，可得，结合，可得；
（2）由（1）可得在上单调递增，结合，可解不等式.
【详解】（1）因为，所以，
则.
又，所以，
所以，
从而.
（2）由（1）可知，
显然在上单调递增.
因为，所以由，可得，
则，解得或，
故不等式的解集为.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可；
（2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可；
（3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可.
【详解】（1）设，
，，，
其对称轴方程为，故函数在上单调递增，
所以，
故所求值域为；
（2）∵函数的最小值为，，
若，在R上单调递增，没有最小值；
若时，可知当时，y取得最小值；
即，解得或舍去，
综上，；
（3）由题意，有实数解，
即，可得，
要使此不等式有解，只需即可，
（当且仅当时取等号），
，
，解得，
即实数a的取值范围为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）借助对数换底公式可得，再借助导数求导后分及进行讨论，从而研究原函数的单调性，结合极值的定义即可得解；
（2）结合（1）中所得，可得，结合函数单调性可得的极值点，且与一一对应，从而可得，构造函数，借助导数研究其单调性后即可得其值域.
【详解】（1），
则，
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，
当时，，当时，，
则有：
①当，即时，，即在上恒成立，
即在上单调递增，无极大值，不合题意，故舍去；
②当，即时，存在，使得，
此时，当时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以存在极大值，符合题意；
综上，；
（2）由（1）知，，且在上单调递减，
由，，所以，且与一一对应，
因为
，
令，
则，
当时，，当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
由，
所以，
即.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到，从而消去，得到.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式；
（2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围.
【详解】（1）因为是偶函数，所以，
解得，
当时，可得，所以，
所以函数的解析式为
（2）由（1）知，当时，，
因为在上恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
19．(1)奇函数，证明见解析；
(2)在和上都为减函数；
(3).
【分析】（1）先判断函数奇偶性，接着按奇偶性判定步骤去判断即可证明；
（2）由为增函数，在和上都为减函数即可判断；
（3）由题意结合（2）得在上为减函数，进而得，从而得，解该方程即可得解.
【详解】（1）函数为奇函数，证明如下：
由得或，即的定义域为或关于原点对称，
因为，
所以为奇函数.
（2）由和复合而成，
当时，为增函数，在和上都为减函数，
所以由复合函数的单调性知在和上都为减函数.
（3）由题意，所以由（2）可知在上为减函数，
因为当时，，故，
即，解得，
因为，所以.
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