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21.2解一元二次方程知识梳理+跟踪训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版
【知识梳理】
解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【跟踪训练】
一、选择题
1．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　）
A．2 B． C．1 D．
2．关于x的一元二次方程（m为常数），则该方程（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与m的取值有关
3．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（　　）
A． B．4 C． D．
4．一元二次方程的解为（　　）
A． B．，
C． D．无实数根
5．用配方法解一元二次方程时，其中有一步将写成的形式，其依据的数学知识是（　　）
A．等式的性质 B．平方根的意义
C．平方差公式 D．完全平方公式
6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．若等腰一条边的长度为1，另外两条边的长度分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，那么的周长是（　　）
A．4 B．5 C．4或5 D．不确定
8．一元二次方程x2-8x-2=0，配方的结果是（　　）
A．（x+4）2=18 B．（x+4）2=14 C．（x-4）2=18 D．（x-4）2=14
二、填空题
9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
10．若关于x的方程 有实数解.则实数a 的取值范围是　 　.
11．小亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个相等的实数根，则丢掉的常数项为　 　．
12．若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则c的值可以是　 　（写出一个即可）.
13．已知是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
14．若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是　 　．
三、解答题
15．（1）以配方法解方程：2x2+4x-2＝0
（2）以公式法解方程：2x（x-3）＝3+x
（3）以因式分解法解方程（x-3）2＝2x-6
（4）以十字相乘法解方程：x2-2x-15＝0
16．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为3，求k的值及方程的另一根．
17．已知关于x的一元二次方程x2－2x+m=0，有两个不相等的实数根.
⑴求实数m的最大整数值；
⑵在⑴的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22－x1x2的值.
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
19．已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】9
10．【答案】a≥-1
11．【答案】9
12．【答案】答案不唯一（只要c<4即可），如：0，1等
13．【答案】
14．【答案】7
15．【答案】（1）解：2x2+4x-2＝0
化简可得，x2+2x-1=0
移项可得，x2+2x=1
配方可得，x2+2x+1=1+1
∴(x+1)2=2
∴
∴
（2）解：2x（x-3）＝3+x
去括号可得，2x2-6x=3+x
移项，合并同类项可得，2x2-7x-3=0
∴
∴
∴
（3）解：（x-3）2＝2x-6
移项可得，(x-3)2-2x+6=0
(x-3)2-2(x-3)=0
∴(x-3)(x-5)=0
∴x-3=0或x-5=0
∴x1=3，x2=5
（4）解：x2-2x-15＝0
∴(x+3)(x-5)=0
∴x+3=0或x-5=0
解得：x1=-3，x2=5
16．【答案】（1）证明：∵
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：当时，，
解得：，
把代入原方程：，（舍去）
故的值为3，方程的另一根为1．
17．【答案】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴实数的最大整数值为1；
（2）由（1）得，
∴，，
∴.
18．【答案】（1）解：根据题意得，．
解得，．
（2）解；由题意可知，，．所以．
解得，．
∵，
∴．
19．【答案】（1）解：∵
∴无论取何值，方程总有实数根
（2）解：∵等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根
∴该方程有两个相等的实数根
∴
解得：k=1
将k=1代入方程可得x2-4x+4=0
解得：x1=x2=2
∴此三角形的周长为：3+2+2=7
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