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21.1一元二次方程知识梳理+跟踪训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版
【知识梳理】
一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
【跟踪训练】
一、选择题
1．关于x的方程是一元二次方程，则（　　）
A． B． C． D．
2．下列是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5
4．下列各数是一元二次方程的根的是（　　）
A．1 B．5 C．2 D．3
5．若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是（　　）
A．1 B．1， C． D．以上都不对
6．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　）
A． B．2023 C． D．2024
二、填空题
7．已知是一元二次方程的一个根，则的值是　 　．
8．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是　 　．
9．已知，m、n是一元二次方程的两个根，则　 　.
10．关于的方程是一元二次方程，则的值是　 　．
三、解答题
11．已知关于x的方程 的解都是整数，求整数k 的值.
12．已知关于的方程（为常数）是一元二次方程，则应该满足什么条件？
13．已知是关于的方程的根，求代数式的值．
14．关于的方程的一个实数根是，并且和恰好是等腰三角形的两边长，求的周长．
15．先化简，再求值：，其中是方程的根．
16．已知关于的方程．
（1）当为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】
8．【答案】
9．【答案】2010
10．【答案】
11．【答案】解 当k=4或k=8时，分别求得x=1或x=-2.
当k≠4且k≠8时，原方程可化为[(4-k)x-8][(8-k)x-4]=0，
∵k为整数，且x1，x2均为整数，
∴4-k=±1，±2，4，±8，得k=3，5，2，6，0，-4，12或8-k=±1，±2，-4，得k=7，9，6，10，12.
故当 k 的值为4，6，8，12时，原方程的根都为整数
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】21或24
15．【答案】，
16．【答案】（1）解：由一元一次方程得定义，
得
解得，
所以当时，此方程是一元一次方程；
（2）解：由一元二次方程定义，得，
解得，
∴当k≠±2时，此方程是一元二次方程，
此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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