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2024-2025学年度上学期高二期中考试试卷
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 在棱长为1的正方体中，（ ）
A. 1 B. C. D. 2
3.方程表示的图形是( )
A.直线 B.直线 C.点 D.直线和直线
4. 已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
5.“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6．直线恒过点，点的坐标为，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ）
A B. C. D.
8. 设A，B为双曲线Γ：的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB=（ ）
A. 4 B. C. 2. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A. 的一个方向向量为 B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C. 与直线垂直 D. 与直线平行
10已知曲线，则（ ）
A．当时，则的焦点是， B．当时，则的渐近线方程为
C．当表示双曲线时，则的取值范围为 D．存在，使表示圆
11. 正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角大小为60°，下列结论正确是（ ）
A. 直线与、与所成的角相等 B. 侧棱与底面所成角的正切值为
C. 该四棱锥的体积为 D. 该四棱锥外接球的表面积为
12.如图所示,两个椭圆,内部重叠区域的边界记为曲线C, P是曲线C上的任意一点,下列四个判断中,正确命题为( )
两个椭圆的离心率相等
P到E1(0,-4),E2(0,4)四点的距离之和为定值
曲线C关于直线y=x, y=-x均对称
曲线C所围区域面积必小于36
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.圆C:x2 + y2 = 1与圆E:（x-3）2 + （y-4）2 = 16的公切线条数为 _________ .
14．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝_____．
15．平面α的一个法向量n＝(1,0,1)，点A(－1,1,0)在α内，则平面外点P(－1,1,1)到平面α的距离为_____．
16.如图A B C是三个雷达观察哨,A在B的正东,两地相距6km,C在A的北偏东30°,两地相距4km,在某时刻,B观察哨发现某种信号,测得该信号传播速度为1km/s,4s后A C两个观察哨同时发现该信号,在如图所示的平面直角坐标系中,指出发出了这种信号的点P的坐标______.
四、解答题：本题共6小题，17题10，18-22题，每小题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
已知直线l经过两直线：和：的交点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若点，到直线的距离相等，求直线的方程．
18.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,D是棱AC的中点,
(I)求C点到平面的距离.
(II)求直线与平面所成的角的正弦值.
19. (本小题满分12分)抛物线：的焦点到双曲线的渐近线距离为，且抛物线的焦点与椭圆：的右焦点F重合，直线与椭圆相交于A，B两点，若.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求椭圆的标准方程.
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
21.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
22.(本小题满分12分)
设圆的圆心为A,直线l过点B (1,0),F是圆A上的任意一点,线段BF的垂直平分线与AF交于E点.
(I)求出点E的轨迹方程;
(II)设点E的轨迹为曲线直线l交曲线于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
数学试卷参考答案
一 单项选择题1.A 2.B 3.D 4.A 5.A 6.B 7.C 8.A
二、多选题： 9.AC 10. ABD 11. AD 12.ACD
三、填空题 13. 3． 14. 3． 15. 16.
四 解答题（本大题共6小题，共计70分）
17、（1）联立直线的方程：，解得，
设直线斜率为，则，
所以方程为：.
（2）当在同侧，则//，即，
所以方程为：，即；
当在两侧，则中点在上，
所以，即；
综上所述，直线的方程为或.
（1） （2）
19（1）抛物线：的焦点为，
双曲线的一条渐近线为，
根据题意可得：，解得，
故抛物线的标准方程为：.
（2）.
20.(1)取中点，连接，则，∴四边形为为平行四边形，又∵，
∴平行四边形为菱形，∴，
∴，∴，又∵，，∴平面.
(2)法一：过作于点，又∵平面，∴，∵，
∴平面，过作于点，连接，∴，
∴平面，则即为所求二面角，
由题知为边长为1的等边三角形，∴，在中，，
∴，即，∴，，
∴二面角的正弦值为.
法二：建系
21（1）取中点，连接，分别为的中点，，底面四边形是矩形，为棱的中点，，．
，，故四边形是平行四边形，．
又平面，平面，平面．
（2）假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高．设，则，，，所以.
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，．设，．设平面PMB的一个法向量为，则 取．易知平面的一个法向量为，，，
故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.

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