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2024-2025学年内蒙古包头市东河区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（　　）
A. B.
C. D.
2.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点 O在坐标原点，边 OA在 x轴上，OC在 y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点 O位似，且矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为，那么点 B′的坐标是（　　）
A. （-2，3）
B. （2，-3）
C. （3，-2）或（-2，3）
D. （-2，3）或（2，-3）
3.对于反比例函数y=-，下列说法正确的是（　　）
A. 点（，-3）在它的图象上 B. 它的图象在第一、三象限
C. y随x的增大而增大 D. 函数的图象关于直线y=x对称
4.如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，若△ADE的面积为1，则四边形BCED的面积为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AE=AB，则∠AEO=（　　）
A. 60° B. 75° C. 85° D. 105°
7.如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AF=2，则线段AE的长是（　　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
8.商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件.经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价x元，每天将盈利1120元，则可列方程为（　　）
A. （80-x）（30+x）=1120 B. （80-x）（30+5x）=1120
C. （80-50-x）（30+x）=1120 D. （80-50-x）（30+5x）=1120
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知3a=2b,则= ______.
10.如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD= ______cm.
11.已知点A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 .（用“＜”连接）
12.在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（kPa）与汽缸内气体体积V（mL）的函数关系如图所示.若压强由75kPa加压到100kPa,则气体体积压缩了 mL.
13.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，若AB=4，则EF+EG= ______.
14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，已知B，C在线段DE上，∠DAE=135°且线段BD=9，CE=4，则BC的长为 .
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
（1）解方程：7x（x-3）=3x-9；
（2）已知x1，x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根.
①若x1=x2，求m的值；
②若x1+x2+x1x2=1，求m的值.
16.(本小题8分)
如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和4等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．
17.(本小题8分)
如图，已知A（m,4）、B是反比例函数（k≠0）图象上的两个点，BC⊥x轴于点C，若△OBC的面积为2.
（1）求m的值；
（2）以OA边作菱形OADE，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形OADE的面积.
18.(本小题8分)
为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，成立方案与数据如表：
课题 测量教学大楼（AB）的高度
测量小组 第一组 第二组 第三组
说明 人CD站在大楼AB的影子的顶端，DE为人的影长 EF为标杆，人的眼睛C与标杆E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到楼顶
测量数据 CD=1.5m,ED = 2 m,BD=15m CD=1.5m,EF= 2 m,DF=lm,BF=15m CD=1.5m,ED= 3 m,BE=19m
图中所有点都在同一平面内
经数学小组的同学研讨发现第一组数据测量有误，请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度.
19.(本小题8分)
某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m,同时要在它四周外围修建宽度相等的小路.已知活动区和小路的总面积为480m2.
（1）求小路的宽度；
（2）某公司希望用200万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以128万元达成一致.若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
20.(本小题8分)
如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，BD平分∠ABC，点M是BC上一点，连接AM并延长分别交BD和DC的延长线于点Q和点N.
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）连接CQ，证明：CQ2=QM QN；
（3）如图2，连接AC，若AM⊥BC，且QN=8，MN=6，求BD的长.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】3
11.【答案】y1＜y3＜y2
12.【答案】20
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】；
①m=-1；②m的值为1
16.【答案】解：（1）列表如下：
-2 -3 2 3
1 -2 -3 2 3
2 -4 -6 4 6
3 -6 -9 6 9
由表可知，共有12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结果，
所以甲获胜概率为=；
（2）∵指针所在区域的数字之积为偶数的概率为=，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，
将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平．
17.【答案】m的值为1；
菱形OADE的面积为
18.【答案】9.5m．
19.【答案】解：（1）设小路的宽度为x m,根据题意得：
（20+2x）（16+2x）=480，
整理得：x2+18x-40=0，
解得：x1=2，x2=-20（舍去），
答：小路的宽度为2m；
（2）设每次降价的百分率为y,
根据题意，得：200（1-y）2=128，
解得：y1=0.2，y2=1.8（不合题意，舍去），
0.2=20%，
答：每次降价的百分率为20%．
20.【答案】结论：四边形ABCD是菱形．
理由：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD，
CD=CB，
∴四边形ABCD是菱形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AB∥CD，
在△ABQ和△CBQ中，
，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴∠BAQ=∠BCQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAQ=∠N，
∴BCQ=∠N，
∵∠CQM=∠NQB，
∴△CQM∽△NQB，
∴=，
∴CQ2=QM QN；
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