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15.3等腰三角形（二阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．（2024八上·金寨期末）如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·望城期末）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·吴兴月考）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·余姚期末）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023八上·如皋月考）如图，，面积为12，平分交于D，交的延长线于E，连接，则的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2025八上·番禺期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·红花岗期末）如图，在中，，且三点共线，点是线段上任意一点，连接，则的最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
8．（2025八上·海珠期末）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（　　）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题
9．（2024八上·重庆市月考）如图，在中，，点在上，连接，若，则的度数为．
10．（2025八上·叙永期末）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为　 　．
11．如图，某公园的入口可以抽象成一个等边△ABC，立柱 DE 的端点 D 在AB上，立柱 GF 的端点 G在AC 上，且两立柱均与地面 BC 垂直，若 BD=4，则 BE 的长度为　 　.
12．（2023八上·巴中期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为　 　度．
13．如图，将等边△ABC 沿 BC 方向平移得到△A1B1C1，若 ，，则BB1=　 　.
14．（2023八上·齐齐哈尔期中）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则　 　．
三、解答题
15．（2025八上·滨江期末）如图，在中，边，的垂直平分线，分别交于点D，E．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
16．（2024八上·广州期中）数学与生活．
如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 ，灯塔M在轮船的 方向上．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等腰三角形，
即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意；
、由图可知，DE是BC的垂直平分线，
∴和不一定等腰三角形，符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴是等腰三角形，不符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，整理得，．
故选：B．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，进而得到，然后根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
7．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴ ，
∵，
∴，，，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：C．
【分析】连接，根据30度角的直角三角形的性质可得，然后推理证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系的应用解题．
8．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故③正确．
∵，
∴，
故④正确．
若，，则为等腰直角三角形，，但题目中没有此条件，故②错误．
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含30°直角三角形的性质等对每个结论逐一判断求解即可。
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
10．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
11．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=30°，
∴BE= BD=2.
故答案为：2
【分析】根据等边三角形性质可得∠B=∠C=60°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠BDE=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；轴对称的性质
13．【答案】1
【知识点】等边三角形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：过P作PD⊥B1C于D，
∵将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，
∴∠PB1C=∠C=60°，
∴∠CPB1=60°，
∴△PCB1是等边三角形，
设等边三角形PCB1的边长是2a，
则B1D=CD=a，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：a=1(a=-1不符合题意，舍去)
∴B1C=2，
∴BB1=3-2-1.
故答案为：1.
【分析】过P作PD⊥B1C于D，根据等边三角形和平移性质得出∠PB1C=∠C=60°，求出△PCB1是等边三角形，设等边三角形PCB的边长是2a，得出B1D=CD=a，由勾股定理求出PD，根据三角形的面积公式得出，求出a即可.
14．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，，
∴，
又∵直角中，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】
根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，再根据所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差BC=CD+BD即可求解．
15．【答案】（1）解：∵，分别垂直平分，，
∴，，
∴的周长．
（2）解：由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴．

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，，然后求出周长即可；
（2）利用等边对等角可得，，然后根据三角形的内角和定理解题．
（1）∵，分别垂直平分，，
∴，，
∴的周长．
（2）由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴．
16．【答案】（1）解：据题意得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里.
（2）14海里，南偏东
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；方位角
【解析】【解答】解：（2）∵，且，
∴是等边三角形，
∴，，
即轮船在C点时与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东方向上，
故答案为：14海里，南偏东．
【分析】（1）由三角形外角定义求出，再根据等角对等边求出，最后技术求解即可.
（2）结合题意求出是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可.
（1）解：据题意得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；
（2）∵，且，
∴是等边三角形，
∴，，
答：轮船在C点时与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东方向上，
故答案为：14海里，南偏东．
1 / 115.3等腰三角形（二阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．（2024八上·金寨期末）如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
2．（2024八上·望城期末）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
3．（2024八上·吴兴月考）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等腰三角形，
即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意；
、由图可知，DE是BC的垂直平分线，
∴和不一定等腰三角形，符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴是等腰三角形，不符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
4．（2025八上·余姚期末）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，整理得，．
故选：B．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，进而得到，然后根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
5．（2023八上·如皋月考）如图，，面积为12，平分交于D，交的延长线于E，连接，则的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
6．（2025八上·番禺期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
7．（2025八上·红花岗期末）如图，在中，，且三点共线，点是线段上任意一点，连接，则的最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴ ，
∵，
∴，，，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：C．
【分析】连接，根据30度角的直角三角形的性质可得，然后推理证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系的应用解题．
8．（2025八上·海珠期末）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（　　）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故③正确．
∵，
∴，
故④正确．
若，，则为等腰直角三角形，，但题目中没有此条件，故②错误．
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含30°直角三角形的性质等对每个结论逐一判断求解即可。
二、填空题
9．（2024八上·重庆市月考）如图，在中，，点在上，连接，若，则的度数为．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
10．（2025八上·叙永期末）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
11．如图，某公园的入口可以抽象成一个等边△ABC，立柱 DE 的端点 D 在AB上，立柱 GF 的端点 G在AC 上，且两立柱均与地面 BC 垂直，若 BD=4，则 BE 的长度为　 　.
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE=30°，
∴BE= BD=2.
故答案为：2
【分析】根据等边三角形性质可得∠B=∠C=60°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠BDE=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
12．（2023八上·巴中期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为　 　度．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；轴对称的性质
13．如图，将等边△ABC 沿 BC 方向平移得到△A1B1C1，若 ，，则BB1=　 　.
【答案】1
【知识点】等边三角形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：过P作PD⊥B1C于D，
∵将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，
∴∠PB1C=∠C=60°，
∴∠CPB1=60°，
∴△PCB1是等边三角形，
设等边三角形PCB1的边长是2a，
则B1D=CD=a，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：a=1(a=-1不符合题意，舍去)
∴B1C=2，
∴BB1=3-2-1.
故答案为：1.
【分析】过P作PD⊥B1C于D，根据等边三角形和平移性质得出∠PB1C=∠C=60°，求出△PCB1是等边三角形，设等边三角形PCB的边长是2a，得出B1D=CD=a，由勾股定理求出PD，根据三角形的面积公式得出，求出a即可.
14．（2023八上·齐齐哈尔期中）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则　 　．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，，
∴，
又∵直角中，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】
根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，再根据所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差BC=CD+BD即可求解．
三、解答题
15．（2025八上·滨江期末）如图，在中，边，的垂直平分线，分别交于点D，E．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵，分别垂直平分，，
∴，，
∴的周长．
（2）解：由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴．

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，，然后求出周长即可；
（2）利用等边对等角可得，，然后根据三角形的内角和定理解题．
（1）∵，分别垂直平分，，
∴，，
∴的周长．
（2）由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴．
16．（2024八上·广州期中）数学与生活．
如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 ，灯塔M在轮船的 方向上．
【答案】（1）解：据题意得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里.
（2）14海里，南偏东
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；方位角
【解析】【解答】解：（2）∵，且，
∴是等边三角形，
∴，，
即轮船在C点时与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东方向上，
故答案为：14海里，南偏东．
【分析】（1）由三角形外角定义求出，再根据等角对等边求出，最后技术求解即可.
（2）结合题意求出是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可.
（1）解：据题意得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；
（2）∵，且，
∴是等边三角形，
∴，，
答：轮船在C点时与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东方向上，
故答案为：14海里，南偏东．
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