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江苏省苏州市2026届高三年级期初阳光调研试卷数学试卷
2025.9
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 则集合A的子集个数是
A. 3 B. 4 C. 8 D.无数个
2.设z=(1-i)i(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 若数据x ,x ,x ,x ,x 的方差. 则x ,x ,x ,x ,x |的大小
A.都不相同 B.都相同 C.不都相同 D.无法确定
4. 设函数f(x)= ln|x+1|-ln|x-1|, 则f(x)
A.是偶函数，且在(1，+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(-1，1)单调递减
C.是偶函数,且在(-∞,-1)单调递增 D.是奇函数,且在(-∞,-1)单调递减
5. “a＞2”是“函数f(x)= ax-tanx在 上单调递增”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在△ABC中, AB=2, AC=3, ∠BAC=60°, M为BC的中点, AM与BN交于点P, 则cos∠MPN=
7. 已知1tan(α+β)=3, tan(α-β)=5, 则4tanα+tanβ=
A.13 B. 14 C. 15 D. 16
8. 在△ABC中, 角A,B,C的对边为a,b,c, 且cosA=-sinB, 则 的最小值是
C. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数 则
A. f(x)的值域为[-2,2]
B. f(x)的图象关于点 对称
C. f(x)在 上单调递增
D. f(x)的图象可由曲线y=2sin2x向右平移单位得到
10.在棱长为1的正方体. 中，则
A. AC⊥B D
B. AC与BC 所成角的大小为45°
C.二面角 的正切值为
D.从正方体的八个顶点中任取四个点，其中四个点可以构成正四面体的概率是
11.已知函数
A. f(x)在(0,2)上单调递增
B. y=f(x+1)+1是奇函数
C. 过点(0,1)可作曲线y=f(x)的两条切线
D. 当 时，f(x+a)≥f(x)恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量a=(1,-2), b=(-2,x), 若a∥b, 则:
13. 函数f(x)= lg(2x)· lg(5x)-lg2·lg5的最小值为 .
14.在1,2,3,…,9中随机选出一个数a,在-1,-2,-3,…,-9(中随机选出一个数b，则( 被3整除的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分) 在△ABC中, 角A,B,C的对边为a,b,c, 且
(1) 求A;
(2) 若△ABC的周长为 求AB边上的高.
16. (15分) 已知数列 的前n项为 且 .正项等比数列 的首项为1， Tn为其前n项和，且
(1) 求(an, bn;
(2) 当λ＞0时, 若. 对任意的 恒成立，求实数λ的最大值.
17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F(1，0)的距离与到直线lm:x=-1的距离相等，记P的轨迹为E.
(1) 求E的方程;
(2)直线l过点F与曲线E交于点M，N，点Q 满足 当直线OQ斜率最大时，求点N的坐标.
18.(17分)如图,在三棱锥.P-ABC中, PA⊥底面ABC, AC⊥BC,M,N分别为PB,PC的中点.
(1) 求证:
(2) 若.PA=2,AC=m,BC=n,，且AM 与平面PBC所成角的正切值为 ①当m=2时，求三棱锥.P-ABC′的体积；
②求BC的最大值.
19. (17分) 已知函数
(1) 当a=b=1,c=-2时，求函数f(x)的最小值；
(2) 当a=c=11时，若f(x)存在两个极值点： 求证：
(3) 设a,b为函数f(x)的极值点, 且a＜b,，若a，b，c是一个三角形的三边长，求a+b-c的取值范围.
2026届高三年级期初阳光调研试卷
数学答案详解
2025.9
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 则集合A的子集个数是
A. 3 B. 4 C. 8 D.无数个
【答案】答案C
【答案解析】A={0,1,2}有8个子集, 选C.
2.设z=(1-i)i(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【答案解析】 位于第一象限，选A.
3. 若数据x ,x ,x ,x ,x 的方差. 则.x ,x ,x ,x ,x 的大小
A.都不相同 B.都相同 C.不都相同 D.无法确定
【答案】B
【答案解析】 则x ,x ,x ,x ,x 大小都相同，选B.
4.设函数.f(x)= ln|x+1|-ln|x-1|, 则f(x)
A.是偶函数，且在(1，+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(-1，1)单调递减
C.是偶函数,且在(-∞,-1)单调递增 D.是奇函数,且在(-∞,-1)单调递减
【答案】D
【答案解析】f(x)定义域: {x|x≠±1}, f(-x)= ln|-x+1|-ln|-x-1|= ln|x-1|-ln|x+1|=-f(x), ∴f(x)为奇函数, 排除AC.
-l＜x＜1时, f(x)= ln(x+1)-ln(l-x), f(x)在(-l,l)单调递增, B错, 选D.
5. “a＞2”是“函数f(x)= ax-tanx在 上单调递增”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】答案A
【答案解析】f(x)= ax-tanx在 单调递增 f′(x)≥0在 恒成立 在 恒成立 a≥2, ∴“a＞2”是“f(x)在 单调递增”的充分不必要条件，选A.
6.在△ABC中, AB=2, AC=3, ∠BAC=60°, M为BC的中点, AM与BN 交于点P, 则cos∠MPN=
【答案】C
【答案解析】
选C.
7. 已知 tan(α+β)=3, tan(α-β)=5, 则4tanα+tanβ=
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】答案C
【答案解析】tanα+tanβ=3-3tanαtanβ,即5tanα+5tanβ=15-15tanαtanβtanα-tanβ=5+5tanαtanβ, 即5tanα-3tanβ=15+15tanαtanβ
∴8tanα+2tanβ=30, ∴4tanα+tanβ=15, 选C.
点评：三角恒等变换，涉及到的公式一定要记清楚，这是凑好的系数，消去两个正切的乘积就可以算出来了。
8. 在△ABC中, 角A,B,C的对边为a,b,c, 且cosA=-sinB, 则 的最小值是
C. 2
【答案】A
【答案解析】
当且仅当 即 时取“=”.
点评：解三角形+基本不等式老江苏高考大热点，随着2025年高考11题的出现，此类题型又重出江湖，以后的考试中此类题型会重回热点。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数 则
A. f(x)的值域为[-2,2]
B. f(x)的图象关于点 对称
C. f(x)在 上单调递增
D. f(x)的图象可由曲线y=2sin2x向右平移单位得到
【答案】答案AC
【答案解析】 值域[-2,2], A 对.
f(x)不关于 对称，B错.
即f(x)的一个单调增区间
而 ∴f(x)在 单调递增，C对.
个单位变为f(x), D错, 选AC.
10.在棱长为1的正方体. 中，则
A. AC⊥B D
B. AC与BC 所成角的大小为45°
C.二面角 的正切值为
D.从正方体的八个顶点中任取四个点，其中四个点可以构成正四面体的概率是
【答案】ACD
【答案解析】. A对. 即 与AC夹角为( 而 与AC夹角为( B错.取 中点E, 连AE,CE, 则二面角. 为 C对.
8个点任取4个点有 个结果，正四面体有. 和 两个， D对, 选ACD.
点评：正方体中判断直线的位置关系，直线与直线的夹角 ，直线与平面的夹角，平面与平面的夹角，外接球内切球等等涉及计算的都可以建系解决问题，只是很多时候没有必要，纯几何的方法反而计算量小。
11.已知函数
A. f(x)在(0,2)上单调递增
B.y=f(x+1)+1是奇函数
C. 过点(0,1)可作曲线y=f(x)的两条切线
D. 当 时，f(x+a)≥f(x)恒成立
【答案】答案BCD
【答案解析】 或2, f(x)在( 单调递增，(0，2)单调递减, (2,+∞)单调递增, A 错.
为奇函数，B对.
设切点
有两条切线，C对.
0时成立
a≠0时 则 时 D对, 选BCD.
点评：三次函数是新高考一大热点，需要所有考生熟悉三次函数常见的考法，三次函数有对称中心，有韦达定理，这些都需要去记住，小题可以快速的解决，比如B选项，如果知道三次函数的对称中心，计算量可以更小的。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量a=(1,-2), b=(-2,x), 若a∥b, 则x= .
【答案】4
13. 函数 的最小值为 .
【答案】
14.在1,2,3,…,9中随机选出一个数a,在--1,-2,-3,…,-9中随机选出一个数b，则 被3整除的概率为 .
【答案】
【答案解析】a有9个结果，b有9个结果， 共有81个结果
a=1,2,4,5,7,8时, b可取-1,-4,-7,此时 被3整除
a=3,6,9时, b可取-3,-6,-9, 此时 被3整除
点评：作为压轴题难度不大，a，b各自取各自的数，共有81 个结果，按照规律枚举都可以数出来。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分) 在 中, 角A,B,C的对边为(a,b,c, 且
(1) 求A;
(2) 若 ′的周长为 求AB边上的高.
【答案解析】
方法一：
∴AB边上的高
答案方法二：(1)因为 所以
又因为 所以
因为 所以
所以
又因为 所以
(2) 在. 中，过点C作(
所以
设AD=x,则在△ACD中,
则在△BCD中,
所以 的周长为 所以.x=1;
记AB边上的高为h，所以
16. (15分) 已知数列 的前n项为 且 .正项等比数列 }的首项为1，T，为其前n项和，且
(1) 求
(2) 当λ＞0时, 若. 对任意的 恒成立，求实数λ的最大值.
【答案解析】
方法一：
(1) n≥2时, 而 也满足上式，
设 的公比为q，显然
综上：
令
当l≤n≤2时,
当n≥3时,
方法二：(1)因为 所以 当n≥2时, 因为a 符合 an,所以(
设等比数列 }的公比为q, 且q＞0,
因为 所以 所以
所以 因为q＞0，所以q=2.所以
(2) 由 (1) 可知,
因为λ＞0，所以
令
因为
15/22
当n=1,2时, 当n≥3时,
所以当n=3时， c，的最大值是 所以
所以实数λ的最大值
17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F(1，0)的距离与到直线m：x=-1的距离相等，记P的轨迹为E.
(1) 求E的方程;
(2)直线l过点F 与曲线E交于点M，N，点Q满足 当直线OQ斜率最大时，求点N的坐标.
【答案解析】
方法一：(1)P的轨迹E方程为
(2)要使OQ斜率最大，显然M在x轴上方，N在x轴下方
设MN方程为 设Q(x ,y ), F(1,0), y ＞0
由
当且仅当 即 时取“=”,
此时
方法二: (1) 设动点P(x,y), 则点P到点F(1,0)的距离为 直线m:x=-1的距离为|x+1|;
因为动点P到点F(1，0)的距离与到直线m：x=-1的距离相等，所以 所以E的方程.
(2) 设Q(x ,y ), 由 即 得
因为点M在轨迹E上，所以
而 因为要求OQ斜率的最大值，所以.
所以当且仅当 即 时，等号成立.
所以M(9,6), 直线ll:
由 与 联立，得 即 所以 即 所以 所以
点评：第一问比较常规，第二问易知M在x轴上方，从而可将题目条件中那个向量式转化为坐标式，从而将Q的坐标用M纵坐标y1 来表示，进而结合基本不等式就可以得到OQ斜率的最大值了.取等条件一算，就出结果了.本题延续了高考不设线就可以秒杀的思路.
18.(17分)如图,在三棱锥P-ABC中, PA⊥底面ABC, AC⊥BC,M,N分别为PB,PC的中点.
(1) 求证: MN∥平面ABC;
(2) 若PA=2, AC=m, BC=n, 且AM与平面PBC所成角的正切值为 ①当m=2时, 求三棱锥P-ABC的体积;
②求BC的最大值.
【答案解析】
方法一：
(1) ∵M,N分别为PB,PC的中点, ∵MN 平面ABC, BC 平面ABC, ∴MN∥平面ABC.
(2) ①∵PA⊥平面ABC, ∴PA⊥BC, 又∵
∴BC⊥平面PAC, ∴BC⊥AN, 又∵m=2时,
∴AN⊥平面PBC, ∴AM与平面PBC所成角为
②设AM与平面PBC所成角为θ，
记A到平面PBC的距离为h，
当且仅当 即 时取“=”,
方法二: (1) 因为M,N分别为PB,PC的中点, 所以MN∥BC,
又因为MN 平面ABC, BC 平面ABC, 所以MN∥平面ABC;
(2) ①因为PA⊥底面ABC, 所以PA⊥BC, 又PA∩AC=A, 且AC⊥BC
所以BC⊥平面PAC.又AN 平面PAC, 所以AN⊥BC,
又因为AP=AC=2, N是PC的中点, 所以AN⊥PC且
又PC∩BC=C, 所以AN⊥平面PBC;
又因为AM与平面PBC所成角的正切值为
所以 即MN=1, 所以BC=2MN=2.
所以三棱锥P-ABC的体积是
②过A作AQ⊥PC, 连结QM, 在△PAC中, PA=2, AC=m, 所以
因为AC=m, BC=n, AC⊥BC, 所以.
又因为PA⊥AB, 所以
答案
因为BC⊥平面PAC, AQ 平面PAC, 所以BC⊥AQ
又因为AQ⊥PC, 所以,
又因为AM与平面PBC所成角的正切值为
所以 所以
所以
所以
当且仅当 时等号成立，所以n的最大值为
点评：第二问的第一小问，AN垂直于平面 PBC是一个关键突破口，第二小问最经典的当属建系处理，但是参数会比较多，当然也可以借助等体积法先求A 到平面 PBC的距离，进而表示出AM 与平面 PBC 所成角的正弦值，也就找到m，n之间的关系了，结合基本不等式变形就可以算出n 的最大值了，注意检验取等条件.
19. (17分) 已知函数
(1) 当a=b=1, c=-2时, 求函数f(x)的最小值;
(2) 当a=c=1时, 若f(x)存在两个极值点x ,x , 求证:
(3) 设a,b为函数f(x)的极值点, 且a＜b, 若a,b,c是一个三角形的三边长, 求a+b-c的取值范围.
【答案解析】
(1) 当a=b=1, c=-2时,
所以
当x∈(0,2)时, f′(x)＜0, f(x)单调递减;
当x∈(2,+∞)时, f′(x)＞0, f(x)单调递增;
所以.
(2) 当a=c=1时,
因为f(x)存在两个极值点x ,x , 所以b＞2;
所以 的两个解为. 所以
所以
因为
所以
令 下证：
令 因为 在(l，+∞)上单调递增，且g′′(1)＞0
所以 在 (1,+∞)上单调递增,
又g′(1)＞0,所以 在(1,+∞)上单调递增,
又g(1)＞0, 所以( 恒成立，所以
(3) 因为
因为a，b为函数f(x)的极值点，所以
所以 因为a＜b，所以 所以b＞c.
又a，b，c是一个三角形的三边长，所以a+c＞b，所以
因为
答案因为 单调递增，且当 时，有 从而 所以
点评：创新度很高，其中第二问转化为导函数f′(x)=0有两个不等的正根，结合判别式和韦达就可以算出b的范围了，接着表示出要证明的那个式子用基本不等式放缩一步，求导就可以证明出结果了.最后一问细节问题还是比较多的，注意到 a，b，c都是正数，从而得到1/2＜a＜1,再结合b＞c,已经有 要组成三角形只需a+c＞b就可以了，解出a的范围即可.本题创新度很高，属于考察基本功的好题.

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