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7．2.3　三角函数的诱导公式(1)
一、 单项选择题
1 (2025邯郸期末)sin －cos 的值为(　　)
A. 0 B. 1
C. D.
2 若sin α＝，α∈，则cos (π－α)等于(　　)
A. B.
C. － D. －
3 (2024山东月考)若f(x)＝－x3＋(a－1)x2＋sin 是定义在R上的奇函数，则实数a的值为(　　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
4 (2025杭州期末)已知tan (π－x)＝，且x为第二象限角，则cos x的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
5 已知a＝tan ，b＝cos ，c＝sin ，则a，b，c的大小关系是(　　)
A. a>b>c B. b>a>c
C. b>c>a D. c>a>b
6 在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心在坐标原点，半径等于1，点P从初始位置(0，1)开始，在圆C上按逆时针方向，以 rad/s的角速度匀速旋转3s后到达点P′，则点P′的坐标为(　　)
A. (，－) B. (，－)
C. (－，－) D. (－，－)
二、 多项选择题
7 下列说法中，正确的是(　　)
A. 若角α和β的终边关于x轴对称，则sin α＝sin β
B. 若角α和β的终边关于y轴对称，则cos α＝cos β
C. 若角α和β的终边关于原点对称，则tan α＝tan β
D. 若角α和β的终边相同，则cos (π＋α)＝cos (π－β)
8 (2025重庆期末)下列各函数值中，符号为正的是(　　)
A. sin 1 000° B. tan (－2 100°)
C. sin (－7) D.
三、 填空题
9 若cos 100°＝k，则tan 80°的值为________．
10 已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋x，且f(2 024)＝0，则f(2 025)＝________.
11 (2025广东实验中学期末)已知cos (75°＋α)＝，且α是第三象限角，则sin (α－105°)＝________．
四、 解答题
12 (1) 已知cos (π－α)＝－，且0<α<π，求sin (2π－α)的值；
(2) 已知sin (α＋π)＝，且sin αcos α<0，求的值．
13 已知f(α)＝.
(1) 化简f(α)；
(2) 若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值；
(3) 若α＝－，求f(α)的值．
7．2.3　三角函数的诱导公式(2)
一、 单项选择题
1 计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值为(　　)
A．89 B. 90 C. D. 45
2 (2025菏泽期末)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(5，－12).若将角α的终边按逆时针方向旋转得到角β，则cos β的值为(　　)
A. B. C. － D. －
3 (2024武汉华中师大一附中期末)已知 sin (3π＋α)＝，则cos 的值为(　　)
A. B. － C. － D.
4 (2025烟台期末)已知点P(sin 1，cos 1)在角α 的终边上，则下列角中与角α终边相同的是(　　)
A. 1 B. －1 C. －1 D. ＋1
5 (2024镇江期末)已知cos ＝－，α∈，则cos 的值为(　　)
A. － B. － C. D.
6 有一个内角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，它的较短边与较长边之比为黄金分割比.由上述信息可求得sin 234°的值为(　　)
A. B. C. － D.
二、 多项选择题
7 (2025梅州期末)下列结论中，正确的有(　　)
A. sin (α＋3π)＝－sin α B. cos ＝－sin α
C. cos ＝sin α D. tan ＝－
8 已知sin (x＋)＝－，x∈，则下列结论中正确的是(　　)
A. cos ＝－
B. tan ＝2
C. cos ＝－
D. sin ＝
三、 填空题
9 (2024深圳期末)已知角α的终边上有一点P的坐标是(m，2m)，m≠0，则＝________．
10 已知sin (－x)＝，且011 已知cos (75°＋α)＝，α是第三象限角，则sin (195°－α)＋cos (105°－α)＝________．
四、 解答题
12 (2024武汉期末)已知f(θ)＝.
(1) 若f(θ)＝，求tan θ的值；
(2) 若f＝，求sin 的值．
13 (2025茂名期末)如图，以Ox为始边作角α与β，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为(x，).
(1) 求的值；
(2) 若OP⊥OQ，求点P的坐标；
(3) 分别计算cos2β－sin2β和cos4β－sin4β的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想．
7．2.3　三角函数的诱导公式(3)
一、单项选择题
1 已知cos α＝，0<α<，则sin (π＋α)的值为(　　)
A. － B. － C. D.
2 (2025郑州期末)计算sin －cos ＋tan ＋sin π的值为(　　)
A. B.
C. D.
3 (2024苏州吴江中学月考)若tan (π＋α)＝2，则sin2－4sin(π－α)cos (－α)的值为(　　)
A. － B. C. － D.
4 (2025清远期末)若cos ＋sin (θ＋)＝－，则的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
5 (2025泉州期末)已知α∈，sin ＝，则tan 的值为(　　)
A. － B. － C. D.
6 已知α为第二象限角，且tan ＝－2，则cos cos 等于(　　)
A. － B.
C. － D.
二、 多项选择题
7 (2024扬州邗江中学月考)已知cos α＝，α∈，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin (π＋α)＝ B. tan (π－α)＝
C. cos ＝－ D. sin ＝－
8 已知角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列结论中一定成立的有(　　)
A. tan (A＋B)＝－tan C
B. sin (A＋B)＝sin C
C. 若cos B＝sin A，则△ABC是直角三角形
D. 若C＝，则sin A＝cos B
三、 填空题
9 (2024南京期末)已知sin ＝，则sin2的值是________．
10(2025滨州期末)已知α是钝角，sin α＝，则＝________．
11 如图，角α，β的终边分别与单位圆交于点A，B，且点B 在第二象限，C是圆与x轴的正半轴的交点，点A的坐标为，∠AOB＝90°，则cos (π＋α)＝________，tan β＝________．
四、 解答题
12 (2024常州期末)在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P(1，m)，且cos α＝－m.求：
(1) 实数m的值；
(2) 的值．
13 (2024无锡天一中学月考)已知f(α)＝.
(1) 化简f(α)；
(2) 若f(α)＝2，求sin2α－3sinαcos α的值；
(3) 若f＝3，求sin 的值．
7．2.3　三角函数的诱导公式(1)
1. B　sin －cos ＝sin －cos ＝sin －cos ＝－＝1.
2. D　因为sin α＝，α∈，所以cos α＝＝，所以cos (π－α)＝－cos α＝－.
3. C　因为f(x)＝－x3＋(a－1)x2＋sin 是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，即－x3＋(a－1)x2＋sin ＋[－(－x)3＋(a－1)(－x)2＋sin ]＝0，则2(a－1)x2＝0，所以a＝1.
4. D　由tan (π－x)＝－tan x＝，得tan x＝－.联立?tan x＝＝－，
sin2x＋cos2x＝1，?解得cos x＝－或cos x＝.又x是第二象限角，所以cos x＝－.
5. B　由题意，得a＝－tan ＝－tan ＝－，b＝cos (6π－)＝cos ＝， c＝－sin ＝－sin ＝－，所以b>a>c.
6. D　由题意，得P(0，1)为角α＝的终边上一点，则点P′落在角β＝＋3×＝的终边上，所以cos β＝cos ＝－cos ＝－，sin β＝sin ＝－sin ＝－，所以点P′的坐标为.
7. CD　由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，所以sin α＝－sin β，故A错误；由角α和β的终边关于y轴对称，可知β＝π－α＋2kπ(k∈Z)，所以cos α＝－cos β，故B错误；由角α和β的终边关于原点对称， 可知β＝π＋α＋2kπ(k∈Z)，所以tan α＝tan β， 故C正确；由角α和β的终边相同， 可知β＝α＋2kπ(k∈Z)，所以cos α＝cos β.又cos (π＋α)＝－cos α，cos (π－β)＝－cos β，所以cos (π＋α)＝cos (π－β)，故D正确．故选CD.
8. BD　对于A，sin 1 000°＝sin (2×360°＋280°)＝sin 280°.因为280°为第四象限角，所以sin 1 000°＝sin 280°<0，故A错误；对于B，tan (－2 100°)＝－tan 2 100°＝－tan (11×180°＋120°)＝－tan 120°.因为120°为第二象限角，所以tan (－2 100°)＝－tan 120°>0，故B正确；对于C，sin (－7)＝－sin 7.因为2π<7<，所以7为第一象限角，所以sin (－7)＝－sin 7<0，故C错误；对于D，＝＝＝.因为为第一象限角，为第一象限角，所以sin >0，tan >0，所以＝>0，故D正确．故选BD.
9. －　 由题意，得cos 80°＝－cos 100°＝－k，且k＜0，所以sin 80°＝＝，所以tan80°＝－.
10. 4 049　由题意，得f(2 024)＝a sin (2 024π＋α)＋b cos (2 024π＋β)＋2 024＝a sin α＋b cos β＋2 024＝0，所以a sin α＋b cos β＝－2 024.又f(2 025)＝a sin (2 025π＋α)＋b cos (2 025π＋β)＋2 025＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＋2 025，所以f(2 025)＝－a sin α－b cos β＋2 025＝－(－2 024)＋2 025＝4 049.
11. 　因为cos (75°＋α)＝，且α是第三象限角，所以sin (75°＋α)＝－＝－，所以sin(α－105°)＝－sin (105°－α)＝－sin [180°－(75°＋α)]＝－sin (75°＋α)＝.
12. (1) 由题意，得cos (π－α)＝－cos α＝－，
所以cos α＝.
因为0<α<π，所以sin α＝＝，
所以sin (2π－α)＝－sin α＝－.
(2) 因为sin (α＋π)＝－sin α＝，
所以sin α＝－.
又sin αcos α<0，所以cos α>0，
所以cos α＝＝，
所以tanα＝＝－，
所以
＝＝
＝＝－.
13. (1) f(α)＝＝－cos α.
(2) 因为sin (α－π)＝－sin α＝，
所以sin α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos α＝－，所以f(α)＝.
(3) 因为－＝－6×2π＋，
所以f＝－cos
＝－cos ＝－cos ＝－.
7．2.3　三角函数的诱导公式(2)
1. C　因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，所以sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋cos242°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.
2．A　由题意，得β＝α＋，所以cos β＝cos ＝－sin α.因为角α的终边经过点P(5，－12)，且点P(5，－12)到原点的距离为d＝＝13，所以sin α＝－，所以cos β＝.
3. D　由题意，得sin (3π＋α)＝sin (π＋α)＝－sin α＝，所以cos ＝－sin α＝.
4. B　由题意，得cos α＝sin 1＝cos ，sin α＝cos 1＝sin ，所以与角α终边相同的角是－1.
5. D　因为α∈(0，)，所以α＋∈，则由cos (α＋)＝－，得sin ＝＝，所以cos ＝cos [－]＝sin (α＋)＝.
6. C　在△ABC中，∠ABC＝36°，AB＝AC，取BC的中点E，连接AE，如图所示，由题意可知 AE⊥BC，且＝＝，所以cos 36°＝cos ∠ABE＝＝＝，所以sin 234°＝sin (270°－36°)＝－cos 36°＝－.
7. ACD　对于A，sin (α＋3π)＝sin (α＋π)＝－sin α，故A正确；对于B，cos ＝cos ＝－cos (α＋)＝sin α，故B错误；对于C，cos ＝cos ＝sin α，故C正确；对于D，tan ＝＝＝－，故D正确．故选ACD.
8. AC　因为x∈，所以x＋∈.又sin ＝－，所以x＋∈，所以cos ＝－＝－，故A正确；tan＝＝，故B错误；cos ＝cos ＝sin (x＋)＝－，故C正确；sin ＝sin [－]＝cos ＝－，故D错误．故选AC.
9. －3　由题意，得tan α＝2，所以＝＝＝＝－3.
10. 　因为sin ＝，所以cos (＋x)＝cos [－]＝sin ＝.又011. －　因为cos (75°＋α)＝，所以sin (195°－α)＋cos (105°－α)＝sin [270°－(75°＋α)]＋cos [180°－(75°＋α)]＝－cos (75°＋α)－cos (75°＋α)＝－2×＝－.
12. (1) f(θ)＝＝＝－2cos θ.
因为f(θ)＝，所以－2cos θ＝，解得cos θ＝－，
所以θ为第二或第三象限角．
当θ为第二象限角时，sin θ＝＝，
所以tanθ＝＝－3；
当θ为第三象限角时，sin θ＝－＝－，
所以tanθ＝＝3.
综上，tan θ＝3或tan θ＝－3.
(2) 由(1)，得f＝－2cos ＝，
所以cos ＝－，
所以sin ＝－sin ＝－sin [－(－θ)]＝－cos ＝.
13. (1) 因为点Q在单位圆上，且0<β<，
所以x>0，且x2＋2＝1，
解得x＝，即点Q的坐标为，
所以sin β＝，cos β＝，tan β＝，
故原式＝＝＝＝－12.
(2) 由题意，得α＝β＋，
所以sin α＝sin ＝cos β＝，cos α＝cos (β＋)＝－sin β＝－，
所以点P的坐标为.
(3) 由(1)可知sin β＝，cos β＝，
所以cos2β－sin2β＝－＝，cos4β－sin4β＝－＝.
根据计算结果猜想： x∈R，cos4x－sin4x＝cos2x－sin2x.
理由如下：cos2x－sin2x＝(cos2x－sin2x)·(cos2x＋sin2x)＝cos4x－sin4x.
故猜想成立．
7．2.3　三角函数的诱导公式(3)
1．A　因为cos α＝，0<α<，所以sin α＝＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.
2. A　原式＝sin －cos ＋tan ＋0＝＋＋＝.
3. C　因为tan (π＋α)＝2，所以tan α＝2，所以sin2(－α)－4sin(π－α)cos (－α)＝cos2α－4sinαcos α＝＝＝＝－.
4. B　因为cos ＋sin ＝－，所以sin θ＋cos θ＝，则(sin θ＋cos θ)2＝，即sin2θ＋cos2θ＋2sinθcos θ＝，解得sin θcos θ＝－，所以＝＝＝＝.
5. D　因为α∈，则α－∈，所以cos ＝－＝－，所以sin ＝sin [＋]＝cos ＝－，cos ＝cos [＋]＝－sin ＝－，所以tan ＝＝.
6. B　由题意，得2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，所以2kπ＋<α－<2kπ＋，k∈Z.因为 tan (α－)＝－2<0，所以2kπ＋<α－<2kπ＋，k∈Z，所以sin ＝，cos (α－)＝－，所以cos (α＋)cos (α－)＝cos [＋]·cos ＝－sin cos (α－)＝－×＝.
7. ABD　因为cos α＝，α∈(－，0)，所以sin α＝－＝－，所以sin(π＋α)＝－sin α＝，故A正确；tan (π－α)＝－tan α＝－＝，故B正确；cos ＝－sin α＝，故C错误；sin ＝－sin ＝－cos α＝－，故D正确．故选ABD.
8. BD　由题意，得A＋B＋C＝π.对于A，若C＝，则tan (A＋B)，tan C都没有意义，故A错误；对于B，sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故B正确；对于D，因为C＝，则A＋B＝，所以A＝－B，所以sin A＝sin ＝cos B，故D正确；对于C，取A＝，B＝C＝，则sin A＝cos B，但△ABC不是直角三角形，故C错误．故选BD.
9. 　因为－x＝－，所以sin2(－x)＝sin2[－]＝cos2＝1－sin2(x＋)＝1－＝.
10．－　由α是钝角，sin α＝，得cos α＝－，所以tan α＝－，所以＝＝tan α＝－.
11. －　－　因为点A的坐标为，由三角函数的定义可得cos α＝，sin α＝，所以cos (π＋α)＝－cos α＝－.因为∠AOB＝90°，所以cos β＝cos (α＋90°)＝－sin α＝－.又因为点B在第二象限，所以sin β＝＝，所以tanβ＝＝－.
12. (1) 因为角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P(1，m)，cos α＝－m，
所以cos α＝＝－m，且m<0，
解得m＝－2.
(2)
＝
＝cos αtan α＝cos α·＝sin α.
因为点P(1，－2)，
所以sin α＝＝－，
所以原式＝－.
13. (1) f(α)＝＝＝tan α.
(2) 由f(α)＝2，得tan α＝2，
则sin2α－3sinαcos α＝＝＝－.
(3) 由f＝3，得tan ＝3，
所以sin ＝3cos .
又sin2＋cos2＝1，
所以cos2＝.
当α＋为第一或第四象限角时，cos＝；
当α＋为第二或第三象限角时，cos ＝－.
又sin ＝－cos [＋]＝－cos (α＋)，
所以当α＋为第一或第四象限角时，sin ＝－；当α＋为第二或第三象限角时，sin (α－)＝.

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