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7.3.1　三角函数的周期性
一、 单项选择题
1 函数y＝的最小正周期为(　　)
A. B. π
C. D. 2π
2 若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)的值为(　　)
A. 1 B. －1
C. 3 D. －3
3 (2025连云港期末)设k为正数，若函数f(x)＝sin 的最小正周期为，则k等于(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4 设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，)时，f(x)＝sin x；当x∈时，f(x)＝cos x，则f的值为(　　)
A. － B.
C. D. －
5 设f(n)＝cos ，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)等于(　　)
A. B. －
C. 0 D.
6 (2025浙江学军中学期末)已知定义在R上的非常数函数f(x)满足：对于任意实数x，都有f＝1＋，则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B. C. π D.
二、 多项选择题
7 若定义在R上的函数 f(x)分别满足下列条件，其中可以得出f(x)的周期为2的有(　　)
A. f(x)＝f(x－2)
B. f(x＋2)＝f(x－2)
C. f(－x)＝f(x＋2)
D. f(x－1)＝f(x＋1)
8 下列函数中，是奇函数且最小正周期是π的函数是(　　)
A. y＝sin 2x B. y＝sin |x|
C. y＝cos D. y＝sin
三、 填空题
9 已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 020)＝________．
10 已知定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当 x∈时，f(x)＝sin x，则f＝________．
11 (2024信阳高级中学期初)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋π)－f(x)＝sin x，且f＝－，则f＝________．
四、 解答题
12 若单摆中小球相对静止位置的位移x(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化而呈现周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1) 单摆运动的周期是多少？
(2) 从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？若从点A算起呢？
(3) 当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
13 (1) 若函数f(x)满足f(x－2)＝f(x)，求f(x)的周期；
(2) 若函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，求f(x)的周期；
(3) 若函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x＋1)＋f(x)＝0，求f(x)的周期．
7.3.1　三角函数的周期性
1. A　因为函数y＝sin 的最小正周期T＝＝π，所以函数y＝的最小正周期为.
2. B　由题意，得f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，所以f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1.
3. C　由f(x)＝sin ，且k为正数，得T＝＝，解得k＝3.
4. A　因为T＝π，且当x∈时，f(x)＝cos x，所以f＝f＝f＝cos ＝－.
5. B　因为f(n)＝cos 的最小正周期T＝4，且f(1)＝cos ＝cos ＝－，f(2)＝cos ＝－，f(3)＝cos ＝，f(4)＝cos (2π＋)＝，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝－.
6. B　因为f＝1＋，所以[f－1]2＝2f(x)－f2(x)＝－[f(x)－1]2＋1，即[f－1]2＋[f(x)－1]2＝1①对任意x∈R成立，由①，得[f－1]2＋[f(x＋)－1]2＝1②.由②－①，得[f－1]2＝[f(x)－1]2.因为f(x＋)＝1＋，所以f(x＋)≥1对任意x∈R成立，所以f(x)≥1对任意x∈R成立，所以f(x＋)－1＝f(x)－1，即f＝f(x)对任意x∈R成立，则为f(x)的一个周期．若为f(x)的一个周期，即f＝f(x)，则f(x)＝1＋，整理，得[f(x)－1]2＝.又因为f(x)≥1，所以f(x)＝1＋，这与f(x)为定义在R上的非常数函数矛盾，所以不是函数f(x)的周期．故f(x)的最小正周期为.
7. AD　对于A，由f(x)＝f(x－2)可知f(x)的周期为2，故A正确；对于B，由f(x＋2)＝f(x－2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，故B错误；对于C，由f(－x)＝f(x＋2)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C错误；对于D，由f(x－1)＝f(x＋1)，得f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)的周期为2，故D正确．故选AD.
8. AC　对于A，函数y＝f(x)＝sin 2x满足f(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，且y＝f(x)＝sin 2x的定义域为R，关于原点对称，则y＝f(x)＝sin 2x是奇函数，且最小正周期为T＝＝π，故A正确；对于B，函数y＝f(x)＝sin |x|满足f(－x)＝sin |－x|＝sin |x|＝f(x)，且y＝f(x)＝sin |x|的定义域为R，关于原点对称，则y＝f(x)＝sin |x|是偶函数，不是奇函数，故B错误；对于C，y＝cos ＝cos (2x＋)＝－sin 2x，由A易知y＝－sin 2x 是奇函数，同时也是最小正周期是π的周期函数，故C正确；对于D，函数y＝f(x)＝sin (2x＋)＝cos 2x满足f(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝f(x)，且y＝f(x)＝cos 2x的定义域为R，关于原点对称，则y＝f(x)＝cos 2x是偶函数，不是奇函数，故D错误．故选AC.
9. 2　因为f(x＋3)＝，所以f(x＋6)＝＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，所以f(2 020)＝f(336×6＋4)＝f(4).又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，所以f(2 020)＝2.
10. 　因为f(x)的最小正周期是π，且为偶函数，所以f＝f＝f＝f.又当x∈时，f(x)＝sin x，所以f＝f＝sin ＝.
11. －　因为f(x＋π)－f(x)＝sin x，所以f(x＋π＋π)＝f(x＋π)＋sin (x＋π)＝f(x＋π)－sin x＝f(x)，即f(x＋2π)＝f(x)，所以函数f(x)是以2π为周期的函数，所以f＝f＝f.令x＝，得f－f＝sin ＝.又f＝－，所以f＝f()－＝－，所以f＝f＝－.
12. (1) 由图象，得单摆运动的周期是 0.4 s.
(2) 若从点O算起，则到曲线上的点D表示完成了一次往复运动；若从点A算起，则到曲线上的点E 表示完成了一次往复运动．
(3) 因为11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.
13. (1) 由题意，得f(x－2＋2)＝f(x＋2)，即f(x)＝f(x＋2)，
所以f(x)的周期为2(或2的非零整数倍).
(2) 由题意，得f(x－4)＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)的周期为4(或4的非零整数倍).
(3) 由题意，得f(x＋3)＋f(x＋2)＋f(x＋1)＝0.
因为f(x＋2)＋f(x＋1)＋f(x)＝0，
两式作差，得f(x＋3)＝f(x)，
所以f(x)的周期为3(或3的非零整数倍).

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