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9.1 正弦定理与余弦定理
9.1.1 正弦定理
第1课时 正弦定理（一）
探究点一 已知两角及一边解三角形
探究点二 已知两边及一边的对角解
三角形
探究点三 三角形的面积
【学习目标】
1.结合实例,了解已知两边和其夹角的三角形面积公式的推理过
程,掌握三角形面积公式的应用;
2.了解正弦定理的推导过程,通过转化、构造归纳出正弦定理，
掌握正弦定理及其变形，培养逻辑推理素养和数学运算素养;
3.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形解的个数.
知识点一 正弦定理
1.正弦定理的推导
一般地，若记的面积为,则_________
_________.由此可知，又因为 ,
,，因此可得_____ _____.
2.正弦定理
文字语言 在一个三角形中,各边的长和它所对角的______的比相等
符号语言
正弦
3.正弦定理的变形
（1） _________________.
（2） _______________.
4.习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的______,已
知三角形的若干元素求其他元素一般称为__________.
元素
解三角形
【诊断分析】
判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）正弦定理适用于任意三角形.( )
√
（2）在中,等式 总能成立.( )
√
（3）在中，是 的充分不必要条件.( )
×
[解析] 因为在中，，所以由正弦定理可得 ，
由三角形中大边对大角，可得 .
知识点二 利用正弦定理解三角形
1.利用正弦定理主要解答如下两种求解三角形的问题：
（1）已知三角形的两角和一边,求____________________________;
（2）已知三角形的两边和其中一边的对角,求____________________
________.
三角形的第三个角和其余两边
三角形的第三个边和其余两角
2.已知,和,用正弦定理求 时的各种情况如下：
图形 _________________________ __________________________ _____________________________ ______________________ __________________________
关系式
解的个数 一解 两解 无解 一解 无解
续表
【诊断分析】
判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）在中，已知，，，则能求出唯一的角 .( )
×
[解析] 角 有可能是两个解.
（2）在中,,, ，有两解.( )
×
[解析] 由正弦定理得，即,则 ,又
,所以 ，故有唯一解.
（3）任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.( )
×
[解析] 已知的三个元素中至少有一个是边才能解三角形.
探究点一 已知两角及一边解三角形
［探索］ 已知两角及一边，三角形的形状能确定吗？
解：能确定，已知两角，三角形的三个角就都知道了，再知道一边，
三角形就确定了.
例1 在中，内角，，所对的边分别为,, ，已知
， ， ，求角及边， .
解： ， ， .
由正弦定理，得 .
，
由正弦定理，得 .
变式 在中，内角,,所对的边分别为,, ，已知
， ，，则 ____.
[解析] ， ， ，
.
在中，由正弦定理可得 ,
.
［素养小结］
（1）正弦定理实际上是三个等式:;; .
每个等式涉及四个元素,所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
（2）已知两角和任意一边,在解三角形时,可直接利用正弦定理求得
边的长,要注意结合三角形的内角和为 .
①若所给边是已知角的对边，则可由正弦定理求另一角所对的边，
由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．
②若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求出第三
个角，再由正弦定理求另外两边．
探究点二 已知两边及一边的对角解三角形
［探索］ 判断满足条件 ,,的 是否存在，并
说明理由.
解：假设满足条件的三角形存在，则由 可知
，与 矛盾，因此不存在这样的三
角形.
例2 [2024·郑州外国语学校高一月考]在中，内角,, 所对的
边分别为,,，若，， ，三角形有唯一解，
则整数 的取值集合为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得，由正弦定理得 ，可
得，若有唯一解，则或 ，即
，解得，故整数的取值集合为 .
故选C.
√
变式 [2024·广东东莞厚街中学高一月考] 在中，内角,,
所对的边分别为,,，若， , ，解这个三角形.
解：由正弦定理得，所以 ，
所以 或 .
当 时， ，
,
由正弦定理可得 ；
当 时， ，
，
由正弦定理得 .
综上，, , 或, ,
.
［素养小结］
当已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法与步骤:
（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
（2）如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大
角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一
锐角．
（3）如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角是
否为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．
（4）然后由三角形内角和定理求出第三个角，再根据正弦定理求出
第三边.
拓展 [2024·江苏镇江中学高一月考] 在中， ，
，满足此条件的有两个，则边 的长度的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，作 ，在角A的一条边上
取，过点B作 垂直于角A的另一边，
垂足为，则 ,以点B为圆心
画圆弧，圆弧与角A的另一边有两个交点 , ,所以，
此时满足条件的 有两个.故选B.
√
探究点三 三角形的面积
例3（1） 的内角,,所对的边分别为,,,且, ,
,则 的面积为( )
A. B. C.或 D.或
[解析] ,,, 的面积为
.故选B.
√
（2）[2024·浙江余姚中学高一月考]在中， ，
，，则 的面积是( )
A. B. C.或 D.或
[解析] 由正弦定理得， 或 .
当 时， ，则 的面积
；
当 时， ,则 的面积
．故选C.
√
变式 [2024·江苏镇江丹阳高一期末] 在中，内角，， 的
对边分别为，，，若的面积为，， ，
，则 ( )
A.或 B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
所以，
又，所以，由正弦定理得 ，
则，
因为 ，所以A为锐角，所以 .故选B.
√
［素养小结］
（1）求三角形的面积时通常以角为主,即在题目中已知哪个角或者涉
及哪个角就以含有该角的公式进行面积求解.
（2）在解三角形问题时需要根据正弦定理结合已知条件灵活转化边
和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.
1.在中，内角,,所对的边分别为,,,已知, ,
,则 ( )
A. B. C. D.4
[解析] 因为 , ,所以 ,由正弦定理
得 .故选C.
√
2.[2024·广州铁一中学高一月考]在中，内角,, 所对的边分
别为,,，若 ,，，则角 的大小为( )
A. B. 或 C. D. 或
[解析] 由正弦定理得，因为 ，
所以 ，所以 或 ，所以角A的大小为
或 .故选D.
√
3.在中,内角,,所对的边分别为,,,若,, ,
则角 的大小为( )
A. B. C. D.
[解析] 在中,由正弦定理得 ，
,, .故选A.
√
4.[2023·河南开封高一期中] 在中， ， ，
，则 的面积等于_____．
[解析] 方法一：在中，根据正弦定理，
得 ，即，解得，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
方法二：由方法一知， ，由勾股定理得 ，
所以 .
5.若，，分别是的三个内角，，的对边，且 ，
，则 _______.
或
[解析] 由正弦定理及，可得，
因为 ，所以，
又，所以，所以 或，
所以或 ．
1.任意三角形的面积公式
（1） .
（2）为 外接圆的半径).
（3），其中，分别为 的内切
圆半径及 的周长.
（4）海伦公式： ，其中
.
2.利用正弦定理解三角形时，经常用到如下结论：
（1） ;, .
（2）求边长： ,
,
.
（3）求周长： .
3.判断三角形解的个数的方法有代数法和几何法：代数法是根据“大
边对大角”的性质、三角形内角和定理等进行判断；几何法是根据条
件画出图形，通过图形直观判断三角形解的个数.
1.在解三角形时，会涉及角平分线问题，等面积法是解决此类问题的
方法之一.
例1（1） 如图，在中，角 的平分线交
于点，若，， ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设 ，则 , ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
因为，所以 ，
所以 .故选B.
（2）[2024·郑州高一期末]在中，，是角 的平分线，
且，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设,,，因为 ，
所以 ，
则，
所以 ，即，
所以 ，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为 .
故选B.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现一解、
两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判
断解的情况，作出正确取舍．
例2（1） [2024·浙江宁波效实中学高一月考]在中， ,
，若存在两个满足条件，则 的长可以为( )
A.2 B. C.3 D.4
[解析] 如图所示，过点C作,
因为,，所以 ，
当时，存在两个，所以 .故选C.
√
（2）[2024·浙江宁波高一期末]在中，内角，， 所对的边
分别为,, ,分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
√
[解析] 由正弦定理得.对于A，有 ，解得
，所以 ，故有唯一解．
对于B，由 ，得 ，故无解．
对于C，有 ，解得，
又，所以 有两个解．
对于D，由，得，故B为锐角，故 有唯一解．故选C.9.1　正弦定理与余弦定理
9.1.1　正弦定理
第1课时　正弦定理(一)
【课前预习】
知识点一
1.acsin B　bcsin A　　
2.正弦　　　2R
3.(1)sin A∶sin B∶sin C　(2)
4.元素　解三角形
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)×　[解析] (3)因为在△ABC中,sin A>sin B,所以由正弦定理可得a>b,由三角形中大边对大角,可得A>B.
知识点二
1.(1)三角形的第三个角和其余两边
(2)三角形的第三个边和其余两角
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)角B有可能是两个解.
(2)由正弦定理得=,即=,则sin B=1,又0°(3)已知的三个元素中至少有一个是边才能解三角形.
【课中探究】
探究点一
探索 解:能确定,已知两角,三角形的三个角就都知道了,再知道一边,三角形就确定了.
例1　解:∵A=30°,C=45°,∴B=180°-(A+C)=105°.
由正弦定理,得c===10.
sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=×+×=,
由正弦定理,得b===5(+).
变式　　[解析] ∵A=60°,B=45°,∴C=75°,∴sin C=sin 75°=sin(30°+45°)=×+×=.在△ABC中,由正弦定理可得=,∴a=·c=×(1+)=.
探究点二
探索 解:假设满足条件的三角形存在,则由=可知sin C===2,与sin C≤1矛盾,因此不存在这样的三角形.
例2　C　[解析] 由cos A=,可得sin A=,由正弦定理得=,可得sin B=,若△ABC有唯一解,则B=或sin B≤sin A,即∈∪{1},解得x∈(0,1]∪{4},故整数x的取值集合为{1,4}.故选C.
变式　解:由正弦定理得=,所以sin C===,所以C=60°或C=120°.
当C=60°时,B=180°-45°-60°=75°,sin B=sin 75°=sin(45°+30°)=×+×=,
由正弦定理可得b====+1;
当C=120°时,B=180°-45°-120°=15°,sin B=sin 15°=sin(45°-30°)=×-×=,
由正弦定理得b====-1.
综上,b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.
拓展　B　[解析] 如图,作A=30°,在角A的一条边上取AB=4,过点B作BH垂直于角A的另一边,垂足为H,则BH=4sin 30°=2,以点B为圆心画圆弧,圆弧与角A的另一边有两个交点C1,C2,所以2探究点三
例3　(1)B　(2)C　[解析] (1)∵a=1,c=,B=,∴△ABC的面积为acsin B=×1××sin =.故选B.
(2)由正弦定理得sin C===,∴C=60°或C=120°.当C=60°时,A=90°,则△ABC的面积S=AB·AC·sin A=×2×2×1=2;当C=120°时,A=30°,则△ABC的面积S=AB·AC·sin A=×2×2×=.故选C.
变式　B　[解析] 因为S=accos B=acsin B,所以cos B=sin B,所以tan B=,又B∈(0,π),所以B=,由正弦定理得=,则sin A===,因为a【课堂评价】
1.C　[解析] 因为B=60°,C=75°,所以A=45°,由正弦定理=得b===4.故选C.
2.D　[解析] 由正弦定理得sin C===,因为c>b,所以C>30°,所以C=45°或C=135°,所以角A的大小为180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=15°.故选D.
3.A　[解析] 在△ABC中,由正弦定理得sin B===,∵a>b,∴A>B,∴B=.故选A.
4.2　[解析] 方法一:在△ABC中,根据正弦定理,得=,即=,解得sin B=1,因为0°方法二:由方法一知,B=90°,由勾股定理得AB==2,所以S△ABC=AB·BC=×2×2=2.
5.或　[解析] 由正弦定理及c=a,可得==,因为C=,所以sin A=sin C=,又c9.1.1　正弦定理
第1课时　正弦定理(一)
【学习目标】
　　1.结合实例,了解已知两边和其夹角的三角形面积公式的推理过程,掌握三角形面积公式的应用;
　　2.了解正弦定理的推导过程,通过转化、构造归纳出正弦定理,掌握正弦定理及其变形,培养逻辑推理素养和数学运算素养;
　　3.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形解的个数.
◆ 知识点一　正弦定理
1.正弦定理的推导
一般地,若记△ABC的面积为S,则S=absin C=　　　　=　　　　.由此可知===,又因为sin A>0,sin B>0,sin C>0,因此可得=　　　　=　　　　.
2.正弦定理
文字 语言 在一个三角形中,各边的长和它所对角的　　　　的比相等
符号 语言 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,2R为△ABC外接圆直径,则有=　　　　=　　　　=　　　　
3.正弦定理的变形
(1)a∶b∶c=　　　　　　　.
(2)===　　　　　　　.
4.习惯上,我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的　　　　,已知三角形的若干元素求其他元素一般称为　　　　　　.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦定理适用于任意三角形. (　 )
(2)在△ABC中,等式bsin A=asin B总能成立. (　 )
(3)在△ABC中,A>B是sin A>sin B的充分不必要条件. (　 )
◆ 知识点二　利用正弦定理解三角形
1.利用正弦定理主要解答如下两种求解三角形的问题:
(1)已知三角形的两角和一边,求　　　　　　　　　　　　　　;
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求　　　　　　　　　　　　　　　.
2.已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况如下:
A为锐角 A为钝角或直角
图 形
关 系 式 ①a=bsin A 且ab a≤b
解的 个数 一解 两解 无解 一解 无解
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,已知a,b,A,则能求出唯一的角B. (　 )
(2)在△ABC中,a=8,b=16,A=30°,有两解. (　 )
(3)任意给出三角形的三个元素,都能求出其余元素. (　 )
◆ 探究点一　已知两角及一边解三角形
[探索] 已知两角及一边,三角形的形状能确定吗

例1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=10,A=30°,C=45°,求角B及边b,c.
变式 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°,B=45°,c=+1,则a=　　　　.
[素养小结]
(1)正弦定理实际上是三个等式:=;=;=.每个等式涉及四个元素,所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)已知两角和任意一边,在解三角形时,可直接利用正弦定理求得边的长,要注意结合三角形的内角和为180°.
①若所给边是已知角的对边,则可由正弦定理求另一角所对的边,由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求第三边.
②若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
◆ 探究点二　已知两边及一边的对角解三角形
[探索] 判断满足条件A=30°,a=1,c=4的△ABC是否存在,并说明理由.

例2 [2024·郑州外国语学校高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,cos A=,b=x,三角形有唯一解,则整数x的取值集合为 (　 )
A.{1} B.{1,2}
C.{1,4} D.{1,2,4}
变式 [2024·广东东莞厚街中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=,A=45°,a=2,解这个三角形.
[素养小结]
当已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法与步骤:
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角.
(3)如果已知的角为小边所对的角,则不能判断另一边所对的角是否为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
(4)然后由三角形内角和定理求出第三个角,再根据正弦定理求出第三边.
拓展 [2024·江苏镇江中学高一月考] 在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两个,则边BC的长度的取值范围为 (　 )
A.(2,4) B.(2,4)
C.(4,+∞) D.(2,2)
◆ 探究点三　三角形的面积
例3 (1)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=,B=,则△ABC的面积为 (　 )
A. B.
C.或 D.或
(2)[2024·浙江余姚中学高一月考] 在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积是 (　 )
A. B.2
C.或2 D.2或4
变式 [2024·江苏镇江丹阳高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,a=4,b=12,S=accos B,则A= (　 )
A.或 B.
C. D.
[素养小结]
(1)求三角形的面积时通常以角为主,即在题目中已知哪个角或者涉及哪个角就以含有该角的公式进行面积求解.
(2)在解三角形问题时需要根据正弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=(　 )
A.4 B.4 C.4 D.4
2.[2024·广州铁一中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=30°,b=2,c=2,则角A的大小为 (　 )
A.45° B.135°或45°
C.15° D.105°或15°
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=,A=,则角B的大小为(　 )
A. B. C. D.
4.[2023·河南开封高一期中] 在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于　　　　.
5.若a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,且C=,c=a,则B=　　　　. 9.1　正弦定理与余弦定理
9.1.1　正弦定理
第1课时　正弦定理(一)
1.A　[解析] 由tan A=2,得sin A=2cos A,由sin2A+cos2A=1及A∈(0,π),得sin A=.因为b=5,B=,所以由正弦定理=得a===2.
2.C　[解析] ∵cos B=,03.A　[解析] 在△ABC中,∵B=30°,C=135°,∴A=15°,∴sin A=sin 15°=sin(45°-30°)=×-×=.∵b=2,sin B=,∴由正弦定理=得a===-.故选A.
4.A　[解析] 由正弦定理=得=,∴sin B=.又b>a,∴B>A,∴B=60°或120°.当B=60°时,C=90°,不满足题意;当B=120°时,C=30°,满足题意.故△ABC中最大的角为120°.
5.C　[解析] 由正弦定理得=,则sin B===,因为b>c,所以B>C,又因为0°[易错] 已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能出现无解、一解或两解的情况.
6.D　[解析] 由正弦定理得====5.若b=a=4,则A=B,则三角形的解只有一个,故A错误;若c=5,可得sin C=1,又0°a,则A为锐角,则三角形的解只有一个,故C错误;若C=45°,可得c=45°,又=sin 45°7.A　[解析] 由S△ABC=acsin B=×a×,即a×2×=×a×,得a=3,所以S△ABC=×a×=.故选A.
8.BC　[解析] 对于A,B=180°-A-C=65°,三角形只有一解;对于B,csin B=249.BC　[解析] 对于A,由cos C=cos 2A=2cos2A-1=>0,得A,C均为锐角,则sin A==,sin C==,因为cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C=-×+×=>0,所以B为锐角,所以△ABC为锐角三角形,故A错误.对于B,由cos B=,得sin B==,因为sin A10.　[解析] 由正弦定理得=,即=,解得sin C=,又c11.(0,6]∪{6}　[解析] 已知B=,AC=6,BC=k,由正弦定理得=,则sin A=k,A∈.当12.　[解析] 因为A+C=,所以B=π-(A+C)=,由正弦定理得sin A===.
13.解:(1)由正弦定理得b====4.
C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=×+×=,
由正弦定理得c====2+2.
(2)由正弦定理得sin B===,
∵0°当B=60°时,C=90°,c==4;
当B=120°时,C=30°,c=a=2.
∴B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2.
14.解:(1)由正弦定理得=,
即=,解得sin C=,
所以C=45°或C=135°,经检验,均满足要求.
(2)若角C为锐角,则C=45°,
则A=180°-45°-30°=105°,
其中sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=×+×=,
由正弦定理得=,即=,解得a=+1.
(3)当C=45°时,由(2)知sin A=,
则S△ABC=bcsin A=××2×=;
当C=135°时,sin A=sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=×-×=,
则S△ABC=bcsin A=××2×=.
综上,△ABC的面积为或.
15.A　[解析] 因为S△ABC=S△ABD+S△BCD,所以acsin 120°=c×1×sin 60°+a×1×sin 60°,即ac=a+c,可得+=1,所以4a+3c=(4a+3c)=7++≥7+2=7+4,当且仅当=,即a=1+,c=1+时取等号.故选A.
16.解:(1)证明:因为∠BAC=90°,∠DAC=30°,
所以∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°+30°=120°,
由四边形的内角和定理,得∠BAD+B+∠DCB+D=360°,所以B+D=360°-120°-150°=90°,
所以cos B=cos(90°-D)=sin D,
因为sin2B+cos2B=1,所以sin2B+sin2D=1.
(2)在△ABC中,由正弦定理得=,即==2①,
在△ACD中,由正弦定理得=,即==2②,
由①②得=,所以sin B=sin D,
由(1)知,sin2B+sin2D=1,
所以sin2B+sin2B=1,所以sin B=,
又0°在Rt△ABC中,AC=BCsin B=2×=.9.1　正弦定理与余弦定理
9.1.1　正弦定理
第1课时　正弦定理(一)
一、选择题
1.[2023·石家庄高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,B=,tan A=2,则a= (　 )
A.2 B.4
C.10 D.
2.[2023·北京清华大学附中高一期末] 在△ABC中,AB=5,BC=6,cos B=,则△ABC的面积为(　 )
A.24 B.18 C.12 D.9
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,B=30°,C=135°,则a= (　 )
A.- B.+
C.+ D.-
4.在钝角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=4,A=30°,则△ABC中最大的角为 (　 )
A.120° B.130°
C.110° D.150°
★5.[2024·西安电子科技中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=6,c=6,C=30°,则a的值为 (　 )
A.6或8 B.8
C.6或12 D.12
6.[2024·重庆南开中学高一期末] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,sin A=,则下列条件能使解出的△ABC有两个的是 (　 )
A.b=4 B.c=5
C.B=60° D.C=45°
7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,c=2,BC边上的高等于,则△ABC的面积为 (　 )
A. B.9
C. D.3
8.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解的是 (　 )
A.b=10,A=45°,C=70°
B.b=45,c=48,B=60°
C.a=14,b=16,A=45°
D.a=7,b=5,A=80°
9.(多选题)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,C=2A,则 (　 )
A.△ABC为钝角三角形
B.C为最大的内角
C.a∶b∶c=4∶5∶6
D.A∶B∶C=2∶3∶4
二、填空题
10.[2024·广东汕头河溪中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=,c=1,B=,则S△ABC=　　　　.
11.若满足B=,AC=6,BC=k的△ABC恰有一个,则实数k的取值范围是　　　　　　.
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=4a,A+C=,则sin A=　　　　.
三、解答题
13.[2023·河北定州二中高一月考] (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,A=30°,B=45°,求解这个三角形;
(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=6,A=30°,求解这个三角形.
14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且B=30°,b=,c=2.
(1)求角C的大小;
(2)若角C为锐角,求a的值;
(3)求△ABC的面积.
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+3c的最小值为 (　 )
A.7+4 B.7+2
C.12+2 D.12+4
16.[2023·湖南岳阳高一期末] 如图,在平面四边形ABCD中,∠BAC=90°,∠DAC=30°,∠DCB=150°,CD=1,BC=2.
(1)求证:sin2B+sin2D=1;
(2)求AC的长.

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