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(共51张PPT)
10.1 复数及其几何意义
10.1.2 复数的几何意义
探究点一 复数与复平面内的点的关系
探究点二 复数与复平面内向量的关系
探究点三 共轭复数
探究点四 复数的模
【学习目标】
1.掌握复平面的定义,能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量;
2.掌握复数模的几何意义及计算公式;
3.掌握共轭复数的定义及几何意义，应用复数的几何意义解决有
关问题，通过对复数几何意义的理解，培养数学抽象素养.
知识点一 复平面的定义与复数的几何意义
1.复平面
如图所示,点的横坐标为,纵坐标为 ,复数
点 .建立了直角坐标系来表示
复数的平面也称为________.在复平面内, 轴上的
复平面
实轴
虚轴
点对应的都是实数,因此轴称为______； 轴上的点除了原点外,对应的
都是纯虚数,为了方便起见，称 轴为______.
2.复数的几何意义
（1）复数
复平面内的点_______；
（2）复数
平面向量 ______
（以原点为始点、 为终点的
向量）.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对
应.( )
√
（2）如果复数 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终
点也一定在第一象限.( )
×
[解析] 如果复数 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终
点不一定在第一象限.
（3）相等的向量对应着相等的复数.( )
√
[解析] 相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等．
2.在复平面内,下列各点中对应的复数是纯虚数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 复平面内的点对应的复数是 ,是纯虚数.
√
知识点二 共轭复数与复数的模
1.共轭复数
（1）共轭复数的概念：一般地,如果两个复数的实部______,而虚部
互为________,则称这两个复数互为__________.
（2）共轭复数的表示：复数的共轭复数用 表示,因此，当
时,有 _______.
相等
相反数
共轭复数
（3）互为共轭复数的几何意义：在复平面内,表示两个共轭复数的点
关于__________；反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴
对称,则这两个复数互为__________.
实轴对称
共轭复数
2.复数的模
一般地，向量的______称为复数 的模
（或绝对值）,复数的模用表示，因此 _________.一般地,两
个共轭复数的模相等,即 .
长度
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）复数的模总是非负数.( )
√
[解析] 设复数， ．
（2）若，则 .( )
×
[解析] 设，则,，不满足 .
（3）已知复数，则的共轭复数为 .( )
√
[解析] 的共轭复数为 .
2.若复数，则 有怎样的几何含义？
解：表示复数在复平面内对应的点 到原点的距离，是实数.
3.复数中两虚数不能比较大小，它们的模呢？
解：两虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小，因为模是实
数且大于等于零.
探究点一 复数与复平面内的点的关系
［探索］ 1.在复平面内,如何确定复数 对应的点
所在的位置
解：根据复数的实部和虚部确定复数 在复平面
内对应的点 ，进而可确定其所在的位置.
2.在复平面内,若复数 对应的点在第一象限,则实
数, 应满足什么条件 我们可以得到什么启示
解：且 .在复平面内复数所对应的点所在的位置,决定了复
数实部、虚部的取值特征.
例1 当实数 分别为何值时，复数
在复平面内对应的点：
（1）位于第四象限？
解：当复数 在复平面内对应的点
位于第四象限时，
即解得，故当 时，该复数
在复平面内对应的点位于第四象限.
（2）位于 轴的负半轴上？
解：当复数 在复平面内对应的点
位于轴的负半轴上时，
即解得，故当 时，该复数在复平面内
对应的点位于 轴的负半轴上.
（3）位于 轴的正半轴上？
解：当复数 在复平面内对应的点
位于轴的正半轴上时，
即解得，故当 时，该复数在复平面内
对应的点位于 轴的正半轴上.
变式 （多选题）[2024·安徽铜陵高一期末] 已知复数
在复平面内对应的点为 ，则
下列结论正确的是( )
A.若，则 为纯虚数
B.若，则 为实数
C.若，则点在直线 上
D.若，则点 在第三象限
√
√
[解析] 对于A，当时，，则 为实数，故A错误；
对于B，当时，，则为实数，故B正确；
对于C，当 时，，则，
则点在直线 上，故C正确；
对于D，由，得，
由 ，得，
则不存在点在第三象限，故D错误．故选 .
［素养小结］
（1）复数的实部、虚部分别对应复平面内相应点的横坐标和纵坐标，
在复平面内复数所对应的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的
取值特征.
（2）由复平面内满足某种条件的点的集合求参数的取值（或取值范
围）时,通常是根据对应关系,列出方程（组）或不等式（组）求解.
探究点二 复数与复平面内向量的关系
例2 在复平面内的长方形的四个顶点中，点，， 对应的复
数分别是,，，求点 对应的复数．
解：记为坐标原点，由题意得， ，
．
设，则， ，
由题意知，，则解得
故点对应的复数为 .
变式 在复平面内，为坐标原点，向量， 对应的复数分别为
，，那么向量 对应的复数是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可得，， ，
则，
所以向量 对应的复数是 .故选B.
√
［素养小结］
（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点
时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点
确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内
的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
拓展（1） 在复平面内，为坐标原点，向量 对应的复数是
，将绕点按逆时针方向旋转 ，则所得向量对应的复数为
( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，由题知，与 轴的
正方向的夹角为，绕点按逆时针方向旋转
后点到达轴上的点 处，
因为，所以点 的坐标为
，所以对应的复数为 .故选A.
√
（2）[2023·北京丰台区高一期末] 在复平面内， 为坐标原点，向量
对应的复数是，向量对应的复数是 ，若
，则 _____.
[解析] 因为向量对应的复数是，向量 对应的复数是
，所以， ，
因为，所以，解得 .
探究点三 共轭复数
例3（1） [2024·四川岳池中学高一月考]在复平面内，复数
，则 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为，所以，
所以 在复平面内对应的点为 ，位于第三象限.故选C.
√
（2）[2024·陕西汉中高一期末]已知复数
，，且，则
( )
A.或3 B.或 C.3 D.
[解析] 因为，所以，所以 ，
解得或 ．故选B.
√
变式 （多选题）已知复数,, 为虚数单位)且
,则下列说法正确的是( )
A.不可能为纯虚数 B.若,则 是实数
C.若,则是实数 D.可以等于
[解析] 当,时,为纯虚数,故A错误;
若 ,则,所以,所以 是实数,故B正确;
易知C正确;
由，得,又,所以 ,
因为,所以该方程无实数解,
所以 不可能等于,故D错误.故选 .
√
√
［素养小结］
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别
地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上．
探究点四 复数的模
例4 已知复数， .
（1）求及 ；
解：由题意可得， .
（2）设，则满足条件的复数对应的点 组成的
集合是什么图形？
解：由及（1）知 .
因为的几何意义就是复数 在复平面内对应的点
到原点的距离，
所以表示以 为圆心，1为半径的圆及其外部
所有点组成的集合，
表示以 为圆心，2为半径的圆及其内部 所有点组成的集合，
故符合题设条件的点的集合是以 为圆心，分别以1和2为半径的两圆
之间的圆环（包含边界），如图中阴影部分所示.
变式（1） 已知复数满足关系式，则复数 在复
平面内对应的点的轨迹是( )
A.两条直线 B.一条直线和一个圆
C.两个圆 D.一个圆
[解析] 由，解得或.
当 时，复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，
半径为 的圆；
当时，复数 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半
径为3的圆.故选C.
√
（2）[2024·福建厦门双十中学高一月考] 设为复数，若 ，
则 的最大值为___．
3
[解析] 由，得，
则复数 在复平面内对应的点到复数在复平面内对应的点
的距离不超过1，则点 在以点为圆心，1为半径的圆及其内部，
因为表示点 到原点的距离，所以的最大值为
.
［素养小结］
解决复数模的几何意义的问题，应根据复数模的定义
为坐标原点)，依据满足的条件，判断点 的集合表示的图形，
把复数模的问题转化为几何问题来解决.
拓展 在复平面内,复数,, ,
对应的点分别为,,, .判断这4个点是否在同一
个圆上,并证明你的结论.
解：在复平面内，复数,, ,
对应的点分别为, ,
, ,
这4个点在同一个圆上.证明如下：设 为坐标原点,
,
,
,
,
, 这4个点在以 为圆心，3为半径
的圆上，即这4个点在同一个圆上.
1.若复数 在复平面内对应的点
在虚轴上，则( )
A.或 B.且 C. D.或
[解析] 复数在复平面内对应的点在虚轴上，
复数 是纯虚数或0，，解得或 .故选D.
√
2.若，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为，所以 ，
所以 ．故选D.
√
3.[2024·广东江门一中高一月考]已知，，若与 互
为共轭复数，则( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 因为与互为共轭复数，所以， ，
故选B.
√
4.（多选题）下面是关于复数 为虚数单位)的四个命题，其
中是真命题的是( )
A.
B. 在复平面内对应的点在第一象限
C.的虚部为
D.的共轭复数为
[解析] 复数，，故A是真命题；
在复平面内对应的点为，在第一象限，故B是真命题；
的虚部为1，故C是假命题；
的共轭复数为，故D是假命题.故选 .
√
√
5.复数在复平面内对应的向量与共线，复数 在复平面
内对应的点在第三象限，且，则 ________.
[解析] 设复数，，，
因为复数 在复平面内对应的向量与共线，
所以，又 ，所以，
由①②可得，或， ，
因为复数在复平面内对应的点在第三象限，所以 ，
所以 ．
1.相等的向量表示同一复数.
2.任何一个复数都可以由一个有序实数对 唯
一确定,特殊地,实轴上的点都表示实数,除原点外虚轴上的点都表示纯
虚数,即任意一个实数与轴上的点 一一对应,任意一个纯虚数
与轴上的点 一一对应.复数与复平面内点的对应就是
复数的实部和虚部与点的横坐标和纵坐标的对应.判断复数复平面内
对应的点所在的象限时，关键是判断复数的实部和虚部的符号.
3.复数的模、复数在复平面内对应的点到原点的距离、复数所对应向
量的模三者是等价的.
4.复数在复平面内对应的点为， 表示一个大于0的常数，则满足
条件的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆， 表
示圆的内部， 表示圆的外部.
5.求复数在复平面内的对应点的轨迹时，常用的方法有两种：①根据
复数的模的几何意义直接判断图形的形状；②设复数
，则其在复平面内对应点的坐标为 ，根据
已知条件找出， 满足的方程，最后由方程判断图形的形状，这种
方法被称为“虚化实”法.解题时，注意题中参数的限定条件.
1.复数的几何意义
（1）复数在复平面内对应的点的坐标为 ，
而不是 .
（2）复数对应的向量是以原点 为起点的，
否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与 相等的向量有无数个.
例1（1） [2023·江苏淮安高一期末] 已知复数与复数 在
复平面内对应的点分别为，，若为坐标原点，则 ___.
[解析] 依题意，，， ，
则， ，
，
在 中，由余弦定理得，
又 ，所以 .
（2）已知复数与在复平面内对应的向量分别为与 ，已
知，，且，则复数 ___________
_________.
或
[解析] 由题知，设 ，
由，得，
由 ，得 ，
由①②可得或则 或 ，
所以或 .
2.复数的模及与模相关的轨迹（或图形）问题
复数满足，其中
对应的复数有无数个．若要求出，需要有满足， 的另外一个关系
式，有了这两个关系式，就可求解关于， 的方程组，因此求解类
似问题的关键是列方程组．
例2 已知复数， .
（1）求及 .
解： ，
.
（2）设且在复平面内对应的点为，则满足 的
点 组成的集合是什么图形？
解：由，得 ，
满足的点组成的集合是圆心在原点，半径为 的圆及
其内部（包括边界），
满足的点 组成的集合是圆心在原点，半径为 的圆及其外部
（包括边界），
满足的点 组成的集合是一个圆环（包括边界）．10.1.2　复数的几何意义
【课前预习】
知识点一
1.复平面　实轴　虚轴　2.(1)Z(a,b)　(2)(a,b)
诊断分析
1.(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (2)如果复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限.
(3)相等的向量的坐标一定是相同的,故它们对应的复数也相等.
2.D　[解析] 复平面内的点(0,-2)对应的复数是-2i,是纯虚数.
知识点二
1.(1)相等　相反数　共轭复数
(2)a-bi　(3)实轴对称　共轭复数
2.长度　
诊断分析
1.(1)√　(2)× 　(3)√　[解析] (1)设复数z=a+bi(a,b∈R),|z|=≥0.
(2)设z1=1+i=,则z1=1+i,z2=1-i,不满足z1=z2=0.
(3)1-i的共轭复数为1+i.
2.解:|z|表示复数z在复平面内对应的点(a,b)到原点的距离,是实数.
3.解:两虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小,因为模是实数且大于等于零.
【课中探究】
探究点一
探索
1.解:根据复数z=a+bi(a,b∈R)的实部和虚部确定复数z在复平面内对应的点(a,b),进而可确定其所在的位置.
2.解:a>0且b>0.在复平面内复数所对应的点所在的位置,决定了复数实部、虚部的取值特征.
例1　解:(1)当复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点位于第四象限时,
即解得-7(2)当复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点位于x轴的负半轴上时,
即解得m=4,故当m=4时,该复数在复平面内对应的点位于x轴的负半轴上.
(3)当复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点位于y轴的正半轴上时,
即解得m=5,故当m=5时,该复数在复平面内对应的点位于y轴的正半轴上.
变式　BC　[解析] 对于A,当m=-1时,z=0,则z为实数,故A错误;对于B,当m=-2时,z=7,则z为实数,故B正确;对于C,当m=时,z=-+i,则Z,则点Z在直线y=-x上,故C正确;对于D,由m2-4m-5<0,得-1探究点二
例2　解:记O为坐标原点,由题意得=(2,3),=(3,2),=(-2,-3).
设=(x,y),则=(x-2,y-3),=(-5,-5),
由题意知,=,则解得
故点D对应的复数为-3-2i.
变式　B　[解析] 由题可得,=(2,-3),=(-3,2),则=-=(2+3,-3-2)=(5,-5),所以向量对应的复数是5-5i.故选B.
拓展　(1)A　(2)-1　[解析] (1)如图,由题知=(-1,1),与x轴的正方向的夹角为,绕点O按逆时针方向旋转后点Z到达x轴上的点Z1处,因为||=||=,所以点Z1的坐标为(-,0),所以对应的复数为-.故选A.
(2)因为向量对应的复数是2-i,向量对应的复数是a-2i(a∈R),所以=(2,-1),=(a,-2),因为⊥,所以·=2a+2=0,解得a=-1.
探究点三
例3　(1)C　(2)B　[解析] (1)因为z=-1+i,所以=-1-i,所以在复平面内对应的点为(-1,-1),位于第三象限.故选C.
(2)因为z=,所以z∈R,所以m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2.故选B.
变式　BC　[解析] 当a=0,b=1时,z=i为纯虚数,故A错误;若z=,则a+bi=a-bi,所以b=0,所以z是实数,故B正确;易知C正确;由|z|=,得a2+b2=,又a+b=1,所以8a2-8a+3=0,因为Δ=64-4×8×3=-32<0,所以该方程无实数解,所以|z|不可能等于,故D错误.故选BC.
探究点四
例4　解:(1)由题意可得|z1|==2,|z2|==1.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.因为|z|的几何意义就是复数z在复平面内对应的点Z到原点O的距离,所以|z|≥1表示以O为圆心,1为半径的圆及其外部所有点组成的集合,|z|≤2表示以O为圆心,2为半径的圆及其内部所有点组成的集合,故符合题设条件的点Z的集合是以O为圆心,分别以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含边界),如图中阴影部分所示.
变式　(1)C　(2)3　[解析] (1)由2|z|2-7|z|+3=0,解得|z|=或|z|=3.当|z|=时,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为的圆;当|z|=3时,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆.故选C.
(2)由|z+2i|≤1,得|z-(-2i)|≤1,则复数z在复平面内对应的点Z到复数-2i在复平面内对应的点(0,-2)的距离不超过1,则点Z在以点(0,-2)为圆心,1为半径的圆及其内部,因为|z|表示点Z到原点的距离,所以|z|的最大值为+1=3.
拓展　解:在复平面内,复数z1=1+2i,z2=2-i,z3=-+i,z4=--i对应的点分别为Z1(1,2),Z2(2,-1),Z3(-,),Z4(-,-),这4个点在同一个圆上.证明如下:设O为坐标原点,∵|z1|=||==3,|z2|=||==3,|z3|=||==3,|z4|=||==3,∴||=||=||=||,∴这4个点在以O为圆心,3为半径的圆上,即这4个点在同一个圆上.
【课堂评价】
1.D　[解析] ∵复数z在复平面内对应的点在虚轴上,∴复数z是纯虚数或0,∴a2-2a=0,解得a=2或a=0.故选D.
2.D　[解析] 因为|-i|=|1-2i|,所以()2+(-1)2=12+(-2)2,所以x=4.故选D.
3.B　[解析] 因为a+i与-1+bi互为共轭复数,所以a=-1,b=-1,故选B.
4.AB　[解析] ∵复数z=1+i,∴|z|==,故A是真命题;z在复平面内对应的点为(1,1),在第一象限,故B是真命题;z的虚部为1,故C是假命题;z的共轭复数为1-i,故D是假命题.故选AB.
5.-6+8i　[解析] 设复数z=x+yi,x,y∈R,因为复数z在复平面内对应的向量与a=(3,4)共线,所以4x-3y=0①,又|z|=10,所以x2+y2=100②,由①②可得x=6,y=8或x=-6,y=-8,因为复数z在复平面内对应的点在第三象限,所以z=-6-8i,所以=-6+8i.10.1.2　复数的几何意义
【学习目标】
　　1.掌握复平面的定义,能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量;
　　2.掌握复数模的几何意义及计算公式;
　　3.掌握共轭复数的定义及几何意义,应用复数的几何意义解决有关问题,通过对复数几何意义的理解,培养数学抽象素养.
◆ 知识点一　复平面的定义与复数的几何意义
1.复平面
如图所示,点Z的横坐标为a,纵坐标为b,复数z=a+bi 点Z(a,b).建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为　　　.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为　　　　;y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为　　　　.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点　　　　;
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量=　　　　(以原点O为始点、Z(a,b)为终点的向量).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应. (　 )
(2)如果复数z对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限. (　 )
(3)相等的向量对应着相等的复数. (　 )
2.在复平面内,下列各点中对应的复数是纯虚数的是 (　 )
A.(1,2) B.(-3,0)
C.(0,0) D.(0,-2)
◆ 知识点二　共轭复数与复数的模
1.共轭复数
(1)共轭复数的概念:一般地,如果两个复数的实部　　　　,而虚部互为　　　　　,则称这两个复数互为　　　　　　.
(2)共轭复数的表示:复数z的共轭复数用表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有=　　　　.
(3)互为共轭复数的几何意义:在复平面内,表示两个共轭复数的点关于　　　　　　;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为　　　　　　.
2.复数的模
一般地,向量=(a,b)的　　　　称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),复数z的模用|z|表示,因此|z|=　　　　　.一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=||.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数的模总是非负数. (　 )
(2)若z1=,则z1=z2=0. (　 )
(3)已知复数z=1-i,则z的共轭复数为1+i.(　 )
2.若复数z=a+bi(a,b∈R),则|z|有怎样的几何含义
3.复数中两虚数不能比较大小,它们的模呢
◆ 探究点一　复数与复平面内的点的关系
[探索] 1.在复平面内,如何确定复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点所在的位置


2.在复平面内,若复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点在第一象限,则实数a,b应满足什么条件 我们可以得到什么启示


例1 当实数m分别为何值时,复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:
(1)位于第四象限 (2)位于x轴的负半轴上 (3)位于y轴的正半轴上
变式 (多选题)[2024·安徽铜陵高一期末] 已知复数z=(m2-4m-5)+(m2+3m+2)i在复平面内对应的点为Z,则下列结论正确的是 (　 )
A.若m=-1,则z为纯虚数
B.若m=-2,则z为实数
C.若m=,则点Z在直线y=-x上
D.若-2[素养小结]
(1)复数的实部、虚部分别对应复平面内相应点的横坐标和纵坐标,在复平面内复数所对应的点所处的位置,决定了复数实部、虚部的取值特征.
(2)由复平面内满足某种条件的点的集合求参数的取值(或取值范围)时,通常是根据对应关系,列出方程(组)或不等式(组)求解.
◆ 探究点二　复数与复平面内向量的关系
例2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中,点A,B,C对应的复数分别是2+3i,3+2i,-2-3i,求点D对应的复数.
变式 在复平面内,O为坐标原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是 (　 )
A.-5+5i B.5-5i
C.5+5i D.-5-5i
[素养小结]
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
拓展 (1)在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数是-1+i,将绕点O按逆时针方向旋转,则所得向量对应的复数为 (　 )
A.- B.-i
C.-1 D.-i
(2)[2023·北京丰台区高一期末] 在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数是2-i,向量对应的复数是a-2i(a∈R),若⊥,则a=　　　　.
◆ 探究点三　共轭复数
例3 (1)[2024·四川岳池中学高一月考] 在复平面内,复数z=-1+i,则对应的点位于 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)[2024·陕西汉中高一期末] 已知复数z=(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,m∈R,且z=,则m=(　 )
A.-1或3 B.-1或-2
C.3 D.-2
变式 (多选题)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,则下列说法正确的是(　 )
A.z不可能为纯虚数
B.若z=,则z是实数
C.若z=|z|,则z是实数
D.|z|可以等于
[素养小结]
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地,实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合,且在实轴上.
◆ 探究点四　复数的模
例4 已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|;
(2)设z∈C,则满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的复数z对应的点Z组成的集合是什么图形
变式 (1)已知复数z满足关系式2|z|2-7|z|+3=0,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是(　 )
A.两条直线 B.一条直线和一个圆
C.两个圆 D.一个圆
(2)[2024·福建厦门双十中学高一月考] 设z为复数,若|z+2i|≤1,则|z|的最大值为　　　　.
[素养小结]
解决复数模的几何意义的问题,应根据复数模的定义|z|=||(O为坐标原点),依据|z|满足的条件,判断点Z的集合表示的图形,把复数模的问题转化为几何问题来解决.
拓展 在复平面内,复数z1=1+2i,z2=2-i,z3=-+i,z4=--i对应的点分别为Z1,Z2,Z3,Z4.判断这4个点是否在同一个圆上,并证明你的结论.
1.若复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上,则 (　 )
A.a≠2或a≠1 B.a≠2且a≠1
C.a=0 D.a=2或a=0
2.若|-i|=|1-2i|,则x= (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.[2024·广东江门一中高一月考] 已知a,b∈R,若a+i与-1+bi互为共轭复数,则 (　 )
A.a=-1,b=1 B.a=-1,b=-1
C.a=1,b=1 D.a=1,b=-1
4.(多选题)下面是关于复数z=1+i(i为虚数单位)的四个命题,其中是真命题的是 (　 )
A.|z|=
B.z在复平面内对应的点在第一象限
C.z的虚部为i
D.z的共轭复数为-1+i
5.复数z在复平面内对应的向量与a=(3,4)共线,复数z在复平面内对应的点在第三象限,且|z|=10,则=　　　　. 10.1.2　复数的几何意义
1.D　[解析] ∵00,-12.B　[解析] 因为复数z在复平面内对应的点的坐标是(1,),所以z=1+i,所以=1-i.故选B.
3.D　[解析] 在复平面内,平行于虚轴的非零向量所对应的复数的实部为0,虚部不为0,故为纯虚数.故选D.
4.D　[解析] 任意复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=≥0恒成立,故A中说法正确;由z=a+bi=0(a,b∈R),得∴|z|=0,反之亦成立,故B中说法正确;设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),若z1=z2,则有a1=a2,b1=b2,∴|z1|=|z2|,反之,由|z1|=|z2|推不出z1=z2,如当z1=1+3i,z2=1-3i时,|z1|=|z2|,但z1≠z2,故C中说法正确;两个复数不一定能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,故D中说法错误.故选D.
5.A　[解析] 由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=-1(舍去),所以复数z在复平面内对应的点组成的集合是以原点为圆心,3为半径的圆.故选A.
6.C　[解析] 设z=a+bi,a,b∈N,由2≤|z|≤3,得4≤a2+b2≤9.当a=0时,b=2或b=3;当a=1时,b=2;当a=2时,b=0或b=1或b=2;当a=3时,b=0.综上所述,共有7个点满足条件.故选C.
7.C　[解析] 设z1=a+bi(a,b∈R),因为|z1|=2,所以a2+b2=4,所以-2≤b≤2.因为复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,z2=3i,所以Z1(a,b),Z2(0,3),所以|Z1Z2|==,所以当b=-2时,|Z1Z2|取得最大值=5.故选C.
8.BCD　[解析] ①假设在复平面内平行四边形ABCD的顶点A,B,C三点对应的三个复数分别为1+2i,-2+i,0,点O为坐标原点,∵=,∴=+=(1,2)+(2,-1)=(3,1),则点D对应的复数可以是3+i;②假设在复平面内平行四边形ABCD的顶点A,B,D三点对应的三个复数分别为1+2i,0,-2+i,点O为坐标原点,∵=,∴=+=(0,0)+(-3,-1)=(-3,-1),则点C对应的复数可以是-3-i;③假设在复平面内平行四边形ABCD的顶点A,C,D三点对应的三个复数分别为1+2i,-2+i,0,点O为坐标原点,∵=,∴=+=(1,2)+(-2,1)=(-1,3),则点B对应的复数可以是-1+3i.故选BCD.
9.BD　[解析] 对于A,若z=+i,满足|z|==1,所以A错误;对于B,因为点Z的坐标为(-1,1),所以z=-1+i,所以z+1=i是纯虚数,所以B正确;对于C,因为z=-2i,所以z的虚部为-2,所以C错误;对于D,设z=a+bi,a,b∈R,则|z|=,因为1≤|z|≤,所以1≤≤,所以点Z的集合所构成的图形的面积为π()2-π·12=π,所以D正确.故选BD.
10.-1+i　[解析] 因为z在复平面内对应的点位于第二象限,所以a<0.由|z|=2知,=2,可得a=-1,所以z=-1+i.
11.必要不充分　[解析] 设z1=3+4i,z2=4+3i,此时|z1|=|z2|,但z1与z2不互为共轭复数,故充分性不成立;若z1与z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|,故必要性成立.所以“|z1|=|z2|”是“z1与z2互为共轭复数”的必要不充分条件.
12.12　[解析] 复数z=4+3i的共轭复数=4-3i,所以A(4,3),B(4,-3),O(0,0),所以AB⊥实轴,所以S△OAB=×4×6=12.
13.解:(1)由题意得m2+m-2=0,且m-1≠0,解得m=-2.
(2)由题意得m2+m-2-5(m-1)+1=0,整理得m2-4m+4=0,解得m=2,所以z=4+i,|z|=.
14.解:(1)由|x|>2得x>2或x<-2,又y<0,所以点Z所在的区域如图①中阴影部分所示.
(2)由|x|≤1得-1≤x≤1,由|y|≤1得-1≤y≤1,所以点Z所在的区域如图②中阴影部分所示.
(3)由|z|<2可得点Z所在的区域是以原点O为圆心,2为半径的圆的内部,如图③中阴影部分所示.
(4)由1≤|z|<3得点Z所在的区域是以原点O为圆心,分别以1,3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括以原点O为圆心,以3为半径的圆的边界,如图④中阴影部分所示.
15.B　[解析] 由题意知=cos +isin =cos +isin =-+i,所以在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.故选B.
16.解:(1)设复数z=a+bi(a,b∈R),
由题意得+a+bi=8-4i,
则 解得所以z=3-4i.
(2)由题知A(3,-4),B(2,2),
则=(3,-4),=(2,2),
所以cos∠AOB===-,
所以sin∠AOB=,所以S△AOB=||·||sin∠AOB=×5×2×=7.10.1.2　复数的几何意义
一、选择题
1.[2023·浙江温州卫城中学高一月考] 当0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.[2024·北京顺义区一中高一月考] 在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,),则z的共轭复数= (　 )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
3.[2024·陕西咸阳实验中学高一月考] 在复平面内,平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是 (　 )
A.正数 B.负数
C.实部不为零的虚数 D.纯虚数
4.下列说法中错误的是 (　 )
A.复数的模是非负实数
B.“复数等于零”的充要条件是“复数的模等于零”
C.“两个复数的模相等”是“这两个复数相等”的必要条件
D.“复数z1>z2”的充要条件是“|z1|>|z2|”
5.[2023·江苏无锡太湖高级中学高一期末] 已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应的点组成的集合是 (　 )
A.1个圆 B.1条线段
C.2个点 D.2个圆
6.已知复数z的实部和虚部均为自然数,在复平面内z对应的点为Z,那么满足2≤|z|≤3的点Z的个数为 (　 )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.[2023·北京延庆区高一期末] 设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,|z1|=2,z2=3i,则Z1,Z2两点之间距离的最大值为 (　 )
A.1 B.3 C.5 D.7
8.(多选题)在复平面内,一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,则第四个顶点对应的复数可以是 (　 )
A.3-i B.-1+3i
C.3+i D.-3-i
9.(多选题)设复数z在复平面内对应的点为Z,i为虚数单位,则下列说法正确的是 (　 )
A.若|z|=1,则z=±1或z=±i
B.若点Z的坐标为(-1,1),则z+1是纯虚数
C.若z=-2i,则z的虚部为-2i
D.若1≤|z|≤,则点Z的集合所构成的图形的面积为π
二、填空题
10.已知复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z=　　　　.
11.“|z1|=|z2|”是“z1与z2互为共轭复数”的　　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”中的一个)
12.已知复数z=4+3i与它的共轭复数在复平面内对应的点分别为A,B,O为复平面原点,则△OAB的面积为　　　　.
三、解答题
13.已知复数z=m2+m-2+(m-1)i(m∈R).
(1)若z为纯虚数,求实数m的值;
(2)若z在复平面内对应的点在直线x-5y+1=0上,求|z|.
14.设复数z=x+yi(x,y∈R)在复平面内对应的点为Z(x,y),请在复平面内画出分别满足下列条件的点Z所在的区域(用阴影部分表示).
(1)|x|>2,y<0;
(2)|x|≤1,|y|≤1;
(3)|z|<2;
(4)1≤|z|<3.
15.欧拉公式eix=cos x+isin x(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和复指数函数之间的关系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式,复数在复平面内对应的点所在的象限为 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
16.已知复数z满足|z|+z=8-4i,i为虚数单位.
(1)求复数z;
(2)若复数z,2+2i在复平面内对应的点分别为A,B,且O为坐标原点,求△OAB的面积.

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