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(共46张PPT)
10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
探究点一 复数的加、减运算
探究点二 复数加、减法的几何意义
探究点三 几何意义的应用
【学习目标】
1.掌握复数代数表示式的加法运算法则,了解加法的向量表示及
几何意义;
2.掌握复数代数表示式的减法运算法则,了解减法的向量表示及
几何意义；
3.通过复数代数形式的加、减运算，培养逻辑推理素养，通过对
复数加、减法运算的几何意义的理解，培养数学抽象素养.
知识点一 复数的加法运算及其几何意义
1.复数和的定义：一般地，设, ,
称为与的和,并规定
（______）（______） .
2.复数的加法运算满足的运算律：对任意复数,, ,有
交换律： ;
结合律： .
3.复数加法的几何意义：如果复数， 所对应的向量
分别为与，则当与不共线时，以 和
为两条邻边作平行四边形，则 所对应
的向量就是____，如图所示.
4.复数和的模的三角不等式：___________ __________.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）复数的加法运算满足交换律、结合律,即对任意复数,, ,都
有, .( )
√
（2）若复数，，所对应的向量分别为，， ，
则 .( )
√
（3）如果复数，分别所对应的向量， 共线，那么
.( )
×
[解析] 若,分别所对应的向量， 反向，
则 .
2.两个共轭复数的和一定是实数吗？
解：是.对任意的复数, ,
则 ,故两个共轭复数的和一定是实数.
知识点二 复数的减法运算及其几何意义
1.复数的相反数：一般地，复数 的相反数记作
____,并规定________________________.
2.复数差的定义：复数减去的差记作 ,并规定
.
3.复数减法的代数表示：一般地，如果 ,
,则
（______）（______） .
4.复数减法的几何意义：如果复数，所对应的向量分别为 与
，设点满足，则 所对应的向量就是____，如
图所示.
5.复数差的模的三角不等式：___________ __________.
【诊断分析】
判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）两个共轭复数的差一定是纯虚数.( )
×
[解析] 若，，则 .
（2）若复数,满足,则 .( )
×
[解析] 复数不能比较大小.
（3）两个复数的差一般不满足交换律,即一般来说，
.( )
√
探究点一 复数的加、减运算
［探索］ 两个实数可随意相加,那么两个或两个以上的复数相加,具
体怎么运算呢
解：两个或两个以上的复数相加在运算时只需把实部与实部、虚部
与虚部分别相加即可.
例1（1） 计算： ( )
A. B. C. D.
[解析] ，故选A.
√
（2） _ ________.
[解析] .
（3）若,,则 _____________.
[解析] .
变式（1） 已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则 ．
由，得，则
所以所以 ．故选B.
√
（2）[2024·郑州外国语学校高一月考]已知复数 ，
，其中，为实数，若为实数， 为纯虚数，
则 ( )
A. B. C.6 D.7
[解析] 因为为实数，所以 ，
解得.
因为为纯虚数，所以 ，解得，
所以 .故选A.
√
［素养小结］
复数代数形式的加、减法运算技巧：
（1）复数代数形式的加、减法运算的实质就是将实部与实部相加减、
虚部与虚部相加减并分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提
取复数的实部与虚部.
（2）算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实
部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
（3）复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算.若有括号，括
号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.
拓展 复数,,其中 .
（1）若，求 的模;
解：若，则，则 ，
故的模为 .
（2）若是实数，求实数 的值.
解：由题知 ，
则，
是实数，，解得或，
故实数的值为 或3.
探究点二 复数加、减法的几何意义
例2 如图所示,在复平面内,平行四边形 的
顶点,,分别对应复数0,, .求：
（1） 对应的复数;
解：因为,所以 对应的复数为
.
（2） 对应的复数;
解：因为,所以 对应的复数为
.
（3） 对应的复数.
解：因为,所以 对应的复数为
.
变式 如图所示，已知复数 ，
所对应的向量
， ，它们的和为向量
． 请根据两个向量相加的运算写出对应复数
相加的运算过程．
解： ，
对应的两个复数相加的运算过程为
.
［素养小结］
（1）根据复数的几何意义可知,复数的加、减运算可以转化为点的坐
标运算或向量的加、减运算.
（2）复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应
用提供了可能.对于一些较复杂的复数运算问题,特别是与模有关的问
题,将复数与点及向量加以转化,可有助于问题的解决.
（3）在复平面内,,对应的点分别为,,对应的点为, 为
坐标原点,当四边形 为平行四边形时：
①若,则四边形 为矩形;
②若,则四边形 为菱形;
③若且,则四边形 为正方形.
探究点三 几何意义的应用
［探索］ 复数 的几何意义是什么？
解：复数表示复数，在复平面内对应的两点与 之间
的距离.
例3（1） 已知复数,满足,，则 的最大值
为( )
A. B. C.4 D.
[解析] 因为，所以 ，
所以，所以的最大值为 ．故选B.
√
（2）[2023·贵州黔西南州金成实验学校高一月考] 已知， ，
若，求 .
解：方法一：设， ，
，
①， ，
由①②得 ，
.
方法二：设为坐标原点，，， 在复平面内对应的点分别
为，， .
，
是边长为1的正三角形，
四边形是一个边长为1，其中一个内角为 的菱形，且
是菱形的较长的对角线 的长，
.
变式 已知复数满足，其中为虚数单位，则 的
最大值是( )
A. B.5 C.6 D.7
[解析] 因为，所以复数在复平面内对应的点 在以
为圆心，1为半径的圆上及其内部，
表示点到点 的距离，其最大值为
.故选C.
√
［素养小结］
（1）两个复数差的模的几何意义：
①表示复数与 对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对
值号内变为两复数差的形式；
②表示以对应的点为圆心， 为半径的圆.
（2）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可
从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几
何方法进行求解.求最值也可直接用
求解.
1.若复数满足，则 在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为，所以，
所以 在复平面内所对应的点的坐标为 ,位于第四象限.故选D.
√
2.[2023·河北定州二中高一月考]若复数满足，则 等
于( )
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
√
3.[2024·成都高一期末]已知复数, 是虚数单位，
若，则复数 的虚部为( )
A. B. C. D.
[解析] ，
则解得则复数的虚部为 .故选A.
√
4.已知，， ，则
___， ____.
6
11
[解析] 由题意知 ，
则解得
5.已知，则 的最小值是___.
1
[解析] 因为，所以复数在复平面内所对应的点在以原点
为圆心，1为半径的圆上.
表示点 到复数所对应的
点的距离，
因为 ，所以 .
1.两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如
.
2.把复数的代数形式看成关于“ ”的多项式，则复数的加、减法类似
于多项式的加、减，只需要“合并同类项”就可以了.
3.根据复数的几何意义，复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算
或向量的加、减运算，复数的加、减运算用向量进行时，同样满足
平行四边形法则和三角形法则.
4.几何意义：的几何意义为复数， 在复平面内对应的点
之间的距离;中 在复平面内所对应的点为以复
数所对应的点为圆心, 为半径的圆上的点.
5.复数与平行四边形
在复平面内，若，对应的点分别为，， 对应的点为
，为坐标原点，则四边形 为平行四边形；
若，则四边形 为矩形；
若，则四边形 为菱形；
若且，则四边形 为正方形.
1.复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加、减，虚
部与虚部相加、减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地
提取复数的实部与虚部.
例1 [2024·南京宇通实验学校高一月考] 若定义一种运算：
.已知为复数，且 .
（1）求复数 ；
解：设复数, )，则 ，
因为 ，
所以，，所以 ．
（2）设,为实数，若为纯虚数，求
的最大值.
解： ，
由题意可得,则 ，
当时，取得最大值 .
2.根据复数加、减法的几何意义知，两个复数对应向量的和、差所对
应的复数就是这两个复数的和、差.
例2 在复平面内,,,三点所对应的复数分别为1,,,其中
为虚数单位.
（1）求,, 对应的复数;
解：在复平面内,对应的复数为, 对应的复数为
,对应的复数为 .
（2）判断 的形状;
解：由（1）可得,,, ,
, 为直角三角形.
（3）求 的面积.
解：由（2）得,的面积为 .
3.涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点
间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进
行求解．求最值也可直接用 求解．
例3（1） [2024·重庆十八中高一月考]已知复数满足 ，
则 的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.
[解析] 设复数在复平面内对应的点为，
因为复数 满足，所以由复数的几何意义可知，
点到点 和的距离相等，所以在复平面内点 的轨迹为实轴.
因为表示点到点 的距离，所以问题转化为实轴上的
动点到定点距离的最小值，所以 的最小值为2.
故选B.
√
（2）[2024·南京高一期末]著名的费马问题是法国数学家皮埃
尔·德·费马 提出的平面几何极值问题：“已知一个三角
形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问
题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯
一的费马点，当的三个内角均小于 时，则使得
的点 即为费马点．根据以上材料，
若，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，则 表示点
到的三个顶点，， 的距离之和.
依题意结合对称性可知的费马点 位于虚轴的负半轴上，且
，则 ，
此时 .故选B.10.2　复数的运算
10.2.1　复数的加法与减法
【课前预习】
知识点一
1.a+c　b+d　3.　4.||z1|-|z2||　|z1|+|z2|
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　[解析] (3)若z1,z2分别所对应的向量,反向,则|z1+z2|=||z1|-|z2||.
2.解:是.对任意的复数z=a+bi(a,b∈R),=a-bi,则z+=(a+a)+(b-b)i=2a,故两个共轭复数的和一定是实数.
知识点二
1.-z　-z=-(a+bi)=-a-bi
3.a-c　b-d　4.
5.||z1|-|z2||　|z1|+|z2|
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)若z=-2,=-2,则z-=0.
(2)复数不能比较大小.
【课中探究】
探究点一
探索 解:两个或两个以上的复数相加在运算时只需把实部与实部、虚部与虚部分别相加即可.
例1　(1)A　(2)+i　(3)2+(2b-3)i　[解析] (1)(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i,故选A.
(2)--=+i=+i.
(3)(2-3i)-(a-b)i+(a+b)i=2-3i+[-(a-b)+(a+b)]i=2+(2b-3)i.
变式　(1)B　(2)A　[解析] (1)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.由3(a-bi)-2(a+bi)=2-5i,得a-5bi=2-5i,则所以所以z=2+i.故选B.
(2)因为z1+z2=a-4+(3+b)i为实数,所以3+b=0,解得b=-3.因为z1-z2=a+4+6i为纯虚数,所以a+4=0,解得a=-4,所以a+b=-7.故选A.
拓展　解:(1)若a=-2,则z1=3+6i,则|z1|===3,故z1的模为3.
(2)由题知=a+5+(a2-10)i,则+z2=a+5+(a2-10)i+1-2a+(2a-5)i=6-a+[(a2-10)+(2a-5)]i=6-a+(a2+2a-15)i,∵+z2是实数,∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3,故实数a的值为-5或3.
探究点二
例2　解:(1)因为=-,所以对应的复数为-3-2i.
(2)因为=-,所以对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为=+,所以对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
变式　解:=+=(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2),对应的两个复数相加的运算过程为z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.
探究点三
探索 解:复数|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的两点Z1与Z2之间的距离.
例3　(1)B　[解析] 因为|z|-|z0|≤|z-z0|=,所以|z|-≤,所以|z|≤2,所以|z|的最大值为2.故选B.
(2)解:方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,
∴a2+b2=c2+d2=1①,(a-c)2+(b-d)2=1②,
由①②得2ac+2bd=1,
∴|z1+z2|==
=.
方法二:设O为坐标原点,z1,z2,z1+z2在复平面内对应的点分别为A,B,C.
∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,
∴△OAB是边长为1的正三角形,
∴四边形OACB是一个边长为1,其中一个内角为60°的菱形,且|z1+z2|是菱形的较长的对角线OC的长,
∴|z1+z2|=|OC|==.
变式　C　[解析] 因为|z+3-3i|≤1,所以复数z在复平面内对应的点Z在以(-3,3)为圆心,1为半径的圆上及其内部,|z+i|表示点Z到点(0,-1)的距离,其最大值为1+=6.故选C.
【课堂评价】
1.D　[解析] 因为z+i=1+i,所以z=1+i-i=1-i,所以z在复平面内所对应的点的坐标为,位于第四象限.故选D.
2.A　[解析] z=2i+(1-i)=1+i.故选A.
3.A　[解析] z-2=a+bi-2(a-bi)=-a+3bi=2+3i,则解得则复数z的虚部为.故选A.
4.6　11　[解析] 由题意知x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,则解得
5.1　[解析] 因为|z|=1,所以复数z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心,1为半径的圆上.|z-1+i|=|z-(1-i)|表示点Z到复数1-i所对应的点P(1,-)的距离,因为|OP|==2,所以|PZ| min=|OP|-1=1.10.2　复数的运算
10.2.1　复数的加法与减法
【学习目标】
　　1.掌握复数代数表示式的加法运算法则,了解加法的向量表示及几何意义;
　　2.掌握复数代数表示式的减法运算法则,了解减法的向量表示及几何意义;
　　3.通过复数代数形式的加、减运算,培养逻辑推理素养,通过对复数加、减法运算的几何意义的理解,培养数学抽象素养.
◆ 知识点一　复数的加法运算及其几何意义
1.复数和的定义:一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1+z2为z1与z2的和,并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(　　　　)+(　　　　)i.
2.复数的加法运算满足的运算律:对任意复数z1,z2,z3,有
交换律:z1+z2=z2+z1;
结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
3.复数加法的几何意义:如果复数z1,z2所对应的向量分别为与,则当与不共线时,以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则z1+z2所对应的向量就是　　　,如图所示.
4.复数和的模的三角不等式:　　　　≤|z1+z2|≤　　　　.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数的加法运算满足交换律、结合律,即对任意复数z1,z2,z3,都有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (　 )
(2)若复数z1,z2,z1+z2所对应的向量分别为,,,则=+. (　 )
(3)如果复数z1,z2分别所对应的向量,共线,那么|z1+z2|=|z1|+|z2|. (　 )
2.两个共轭复数的和一定是实数吗
◆ 知识点二　复数的减法运算及其几何意义
1.复数的相反数:一般地,复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作　　　　,并规定　　　　　　　　　　　　.
2.复数差的定义:复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2).
3.复数减法的代数表示:一般地,如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(　　　　)+(　　　　)i.
4.复数减法的几何意义:如果复数z1,z2所对应的向量分别为与,设点Z满足=,则z1-z2所对应的向量就是　　　　,如图所示.
5.复数差的模的三角不等式:　　　　≤|z1-z2|≤　　　　.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个共轭复数的差一定是纯虚数. (　 )
(2)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2.(　 )
(3)两个复数的差一般不满足交换律,即一般来说,z1-z2≠z2-z1. (　 )
◆ 探究点一　复数的加、减运算
[探索] 两个实数可随意相加,那么两个或两个以上的复数相加,具体怎么运算呢


例1 (1)计算:(1-i)-(2+i)+3i= (　 )
A.-1+i B.1-i
C.i D.-i
(2)--=　　　　.
(3)若a,b∈R,则(2-3i)-(a-b)i+(a+b)i=　　　　.
变式 (1)已知3-2z=2-5i,则z= (　 )
A.2-i B.2+i
C.-2-i D.-2+i
(2)[2024·郑州外国语学校高一月考] 已知复数z1=a+3i,z2=-4+bi,其中a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b= (　 )
A.-7 B.-6
C.6 D.7
[素养小结]
复数代数形式的加、减法运算技巧:
(1)复数代数形式的加、减法运算的实质就是将实部与实部相加减、虚部与虚部相加减并分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.
(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
(3)复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算.若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.
拓展 复数z1=a+5+(10-a2)i,z2=1-2a+(2a-5)i,其中a∈R.
(1)若a=-2,求z1的模;
(2)若+z2是实数,求实数a的值.
◆ 探究点二　复数加、减法的几何意义
例2 如图所示,在复平面内,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)对应的复数;
(2)对应的复数;
(3)对应的复数.
变式 如图所示,已知复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R)所对应的向量=(a1,b1),=(a2,b2),它们的和为向量.请根据两个向量相加的运算写出对应复数相加的运算过程.
[素养小结]
(1)根据复数的几何意义可知,复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量的加、减运算.
(2)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能.对于一些较复杂的复数运算问题,特别是与模有关的问题,将复数与点及向量加以转化,可有助于问题的解决.
(3)在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,当四边形OACB为平行四边形时:
①若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;
②若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;
③若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
◆ 探究点三　|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用
[探索] 复数|z1-z2|的几何意义是什么
例3 (1)已知复数z,z0满足|z-z0|=,|z0|=,则|z|的最大值为 (　 )
A. B.2 C.4 D.3
(2)[2023·贵州黔西南州金成实验学校高一月考] 已知z1,z2∈C,若|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.
变式 已知复数z满足|z+3-3i|≤1,其中i为虚数单位,则|z+i|的最大值是 (　 )
A.+1 B.5
C.6 D.7
[素养小结]
(1)两个复数差的模的几何意义:
①|z-z0|表示复数z与z0对应的点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式;
②|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆.
(2)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.求最值也可直接用||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|求解.
1.若复数z满足z+i=1+i,则z在复平面内所对应的点位于(　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.[2023·河北定州二中高一月考] 若复数z满足z-(1-i)=2i,则z等于 (　 )
A.1+i B.-1-i
C.-1+i D.1-i
3.[2024·成都高一期末] 已知复数z=a+bi(a,b∈R),i是虚数单位,若z-2=2+3i,则复数z的虚部为 (　 )
A. B.2
C.i D.2i
4.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x=　　　　,y=　　　　.
5.已知|z|=1,则|z-1+i|的最小值是　　　　.10.2　复数的运算
10.2.1　复数的加法与减法
1.A　[解析] z1+z2=-i++i=1.
2.D　[解析] 在复平面内,向量=-对应的复数为-2+4i-(3-5i)=-5+9i,所以向量对应的复数的虚部是9.故选D.
3.D　[解析] ∵+=,∴z1+z2-z3=0.
4.B　[解析] ∵x=3+4i,∴|x|==5,∴z=3+4i-5-(1-i)=-3+5i,∴复数z在复平面内对应的点为(-3,5),位于第二象限.故选B.
5.B　[解析] 因为|z-i|≤1,所以复数z在复平面内对应的点Z在以(0,1)为圆心,1为半径的圆上及其内部,则z在复平面内对应的点组成的图形的面积为π×12=π.故选B.
6.C　[解析] 因为z1=2+i,所以z1在复平面内对应的点为(2,1),点(2,1)关于直线y=x对称的点为(1,2),则z2=1+2i,所以|z2+1-3i|=|1+2i+1-3i|=|2-i|==.故选C.
7.A　[解析] 设z1=a+bi(a,b∈R),z2=m+ni(m,n∈R),因为|z1|=2,|z2|=2,所以a2+b2=4,m2+n2=4,因为|z1-z2|=2,所以(a-m)2+(b-n)2=8,即2am+2bn=0,所以|z1+z2|===2.故选A.
8.AC　[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由题意可得解得或所以z=1-7i或z=-1-7i.故选AC.
9.BD　[解析] 对于A,由题知,当z=0时,D(z)=0,故A错误;对于B,=a-bi,由题知D()=D(z),故B正确;对于C,两个复数的实部与虚部的绝对值的和相等,并不能得到实部与虚部分别相等,所以两个复数也不一定相等,故C错误;D显然正确.故选BD.
10.5　[解析] |(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|==5.
11.-4　[解析] 由题可知,在复平面内向量,,所对应的复数分别为2+i,-2a+3i,-b+ai,因为在平行四边形OABC中,+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i,即解得所以a-b=-4.
12.-1-i　　[解析] 因为|z+z0|=,所以复数z在复平面内对应的点Z组成的集合是以点C(-2,-2)为圆心,为半径的圆,如图所示.由几何图形知|z|的最小值为-=,此时点Z是线段OC与圆的交点,易知交点的坐标为(-1,-1),所以复数z=-1-i.
13.解:(1)因为z=1+3i-(-2+2i)=3+i,所以|z|==.
(2)由题意得=3-i,
所以mz+n=(3m+3n)+(m-n)i=12+8i,
所以解得所以2m+n=10.
14.解:(1)由|z|2+2a+2bi-2i=0,得a2+b2+2a+2bi-2i=0,即a2+b2+2a+(2b-2)i=0,
所以解得所以z=-1+i.
(2)|z|+|z+3i|=|-1+i|+|-1+4i|=+,
|z-1+4i|=|-2+5i|=,
因为(+)2-()2=19+2-29=-10>0,所以+>,
所以|z|+|z+3i|>|z-1+4i|.
15.D　[解析] 由复数的几何意义可知,z=cos θ+isin θ在复平面内表示的点在单位圆上,而|z-2-2i|表示该单位圆上的点到复数2+2i表示的点Z的距离.由图可知,|z-2-2i|的最小值应为点A到点Z的距离,而|OZ|==2,圆的半径为1,故|z-2-2i|的最小值为2-1,故选D.
16.解:(1)因为,对应的复数分别为3+2i,1+4i,所以=(3,2),=(1,4),
因为四边形ABCD是平行四边形,所以=+,则=-=(1,4)-(3,2)=(-2,2),
所以对应的复数是-2+2i.
(2)=-=(3,2)-(-2,2)=(5,0),所以对应的复数是5.
(3)因为==-=,==,
所以·=-,且||=,||=,所以××cos∠AOB=-,解得cos∠AOB=-,所以sin ∠AOB=,所以S△AOB=||||sin ∠AOB=×××=.10.2　复数的运算
10.2.1　复数的加法与减法
一、选择题
1.已知复数z1=-i,z2=+i,则z1+z2= (　 )
A.1 B.-1
C.-i D.+i
2.已知在复平面内,O为坐标原点,向量,对应的复数分别为3-5i,-2+4i,那么向量对应的复数的虚部是 (　 )
A.9i B.-1
C.-i D.9
3.若复平面内的向量,,对应的复数分别为z1,z2,z3,则 (　 )
A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0
C.z1-z2+z3=0 D.z1+z2-z3=0
4.[2023·湖南常德临澧一中高一月考] 已知x=3+4i,则复数z=x-|x|-(1-i)在复平面内对应的点位于 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.已知复数z满足|z-i|≤1(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点组成的图形的面积为(　 )
A. B.π
C.1 D.2
6.[2024·辽宁东北育才学校高一期末] 在复平面内,复数z1,z2对应的点关于直线y=x对称,若z1=2+i,则|z2+1-3i|= (　 )
A. B.5
C. D.1
7.[2024·哈尔滨六中高一期末] 已知z1,z2∈C,|z1-z2|=2,|z1|=2,|z2|=2,则|z1+z2|= (　 )
A.2 B.2
C.1 D.
8.(多选题)若z-=-14i,||=5,则z可能为 (　 )
A.1-7i B.1+7i
C.-1-7i D.-1+7i
9.(多选题)[2023·河南商丘高一期中] 已知z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),z1,z2∈C,定义:D(z)=||z||=|a|+|b|,D(z1,z2)=||z1-z2||.则下列说法中正确的是 (　 )
A.对任意z∈C,都有D(z)>0
B.若是复数z的共轭复数,则D()=D(z)
C.若D(z1)=D(z2),则z1=z2
D.对任意z1,z2∈C,D(z1,z2)=D(z2,z1)恒成立
二、填空题
10.|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=　　　　.
11.在复平面内,平行四边形OABC的各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,其中a∈R,b∈R,则a-b=　　　　.
12.[2023·山西晋中高一期末] 已知z0=2+2i,|z+z0|=,当z=　　　　时,|z|有最小值,最小值为　　　　.
三、解答题
13.已知复数z=1+3i-(-2+2i).
(1)求|z|的值;
(2)若mz+n=12+8i(m,n∈R),求2m+n的值.
14.已知复数z=a+bi(a,b∈R),且|z|2+2a+2bi-2i=0.
(1)求z;
(2)比较|z|+|z+3i|与|z-1+4i|的大小.
15.若z=cos θ+isin θ(θ∈R,i是虚数单位),则|z-2-2i|的最小值是 (　 )
A.2 B.
C.2+1 D.2-1
16. 在平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于点O.
(1)求对应的复数;
(2)求对应的复数;
(3)求△AOB的面积.

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