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(共58张PPT)
10.3 复数的三角形式及其运算
探究点一 复数三角形式的有关概念
探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化
探究点三 复数乘法运算的三角表示及其几何意义
探究点四 复数除法运算的三角表示
【学习目标】
1.了解复数的三角表示,了解复数的代数表示与三角表示之间的
关系,了解辐角、辐角主值的概念，通过复数的代数形式与三角形式
的互化，提升数学运算素养;
2.了解复数三角形式的乘法法则、除法法则及其几何意义，通过
复数的几何意义，了解复数的三角形式，培养逻辑推理素养，提升
数学抽象素养;
3.从向量的角度理解复数三角形式的乘、除、乘方运算及几何意
义，培养逻辑推理素养，提升数学运算素养.
知识点一 复数的三角形式
1.复数的三角形式：一般地，如果非零复数
在复平面内对应点,且 为
向量的模, 是以轴正半轴为始边、射线 为
终边的一个角,则 ,根据任意角余
弦、正弦的定义可知,.因此_______, _______,如
图所示，从而____________________ ________________，
上式的右边称为非零复数的三角形式（对应地, 称为复
数的代数形式）,其中的 称为 的辐角.
2.辐角主值：在_______内的辐角称为 的辐角主值,记作______.
【诊断分析】
判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）复数的任意两个辐角之间都相差 的整数倍.( )
×
[解析] 复数0的辐角为任意值，0的任意两个辐角之间不一定都相差
的整数倍.
（2） .( )
√
（3） .( )
√
（4） 是复数的三角形式．( )
×
[解析] 中， ，所以
不是复数的三角形式，故错误.
知识点二 复数三角形式的乘法及其几何意义
1.乘法法则：设, ,则
________________
_________________.
文字语言：两个复数,相乘，的模乘以的模等于的模,
的辐角与的辐角之和是 的辐角.
2.两个复数相乘的几何意义：设, 对应的向
量分别为,,将 绕原点旋转___,再将
的模变为原来的___倍,如果所得向量为 ,
则对应的复数即为 ，如图所示.
3.若,则 .
【诊断分析】
判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各
复数的辐角的积.( )
×
[解析] 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于
各复数的辐角的和.
（2）一个复数与 相乘，其几何意义是把这个复数对应的向量绕原
点沿逆时针方向旋转 .( )
√
（3） .( )
×
[解析] .
知识点三 复数三角形式的除法及其几何意义
1.一般地，如果非零复数,那么 是 的一个辐
角,因此 ,而且
,所以 ,即 .
2.除法法则：如果 ,
,那么
_____________________________.
文字语言：两个复数,相除，的模除以的模等于 的
模,的辐角减去的辐角是 的辐角.
3.两个复数相除的几何意义：设, 对应的向
量分别为,,把 绕原点沿顺时针方向旋
转___（,如果,就要把 绕原点沿
逆时针方向旋转_____）,再把 的模变为原来
的___,如果所得向量为,则 对应的复数即为
，如图.
【诊断分析】
判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若, ,则
.( )
√
（2）若,,则 的辐角主值
是 .( )
√
[解析] 的辐角为，又辐角主值的范围为，
所以 的辐角主值是 .
（3）若复数的辐角为，则的辐角主值为 .( )
√
[解析] ,所以的辐角为,
所以 的辐角主值为 .
探究点一 复数三角形式的有关概念
例1（1） 复数 的一个辐角是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 为复数的三角形式，
所以 的一个辐角是 .故选A.
√
（2）复数 的辐角主值是_______．
[解析] 由， ，
得，
所以复数 的辐角主值是 .
变式 [2024·福建泉州高一期中] 复数 的辐角主值
为( )
A. B. C. D.
[解析] ，
因为，所以的辐角主值为 .故选C.
√
［素养小结］
1.判断复数的三角形式与求解复数的辐角主值时要弄清复数的三角形
式的定义.对于不是以复数的三角形式表示的式子,要根据复数三角形
式的定义将其转化为复数的三角形式,再进一步判断求解.
2.判断复数的三角形式的条件
（1） ；
（2）加号连接；
（3）在前， 在后；
（4） 前后一致，可为任意值.
即“模非负，角相同，余正弦，加号连”.
探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化
［探索］ （1）将复数的代数形式化为三角形式时，一定用辐角主
值吗？
解：复数的三角形式中，辐角 可以取辐角主
值，也可以取其他辐角.
如 .
（2）复数的三角形式 中辐角主值的范围是多少？
解：复数的三角形式中， 为任意角，
若 为辐角主值，则 .
例2 将下列复数化为三角形式：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
例3 把下列复数化为三角形式：
（1） ；
解：因为 在复平面内所对应的点在实轴的负半轴上，
所以， ，
所以 .
（2） ．
解：因为 在复平面内所对应的点在第四象限，
所以， ，
所以 .
变式（1） 复数 的代数形式为( )
A. B.
C. D.
[解析] .
故选D.
√
（2）复数 的三角形式是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析]
.故选C.
［素养小结］
（1）将复数化为三角形式
时，要注意：
① .
②，，其中 的终边所在象限与点 所在象限
相同， 的终边所在象限与点 所在象限相同，
当，时， .
（2）将复数的三角形式 化为代数形式
时， ， .
探究点三 复数乘法运算的三角表示及其几何意义
［探索］ 两个用三角形式表示的复数相乘,具体如何运算呢
解：两个用三角形式表示的复数相乘,积的模等于各复数的
模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.
例4 已知复数,,求 ,把
结果化为代数形式,并作出几何解释.
解：
.
设, 对应的向量分别为,,如图，作出,,
把向量绕原点 按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的4倍,得到一个长度为12,辐角为 的向量,即为 所对应的量.
变式（1） 已知复数 ,
,求 ，并把结果化为代数形式.
解： .
（2）已知复数 ,
，，求 ，
并把结果化为代数形式.
解：
.
［素养小结］
对于两个（或多个）复数相乘,一定要注意其表示形式,符合三角形式
时才可以使用复数三角形式的乘法运算法则.对于运算结果,当不要求
把结果化为代数形式时,也可以用三角形式表示.
拓展 已知为复数，，，求证： .
证明：设,其中为的模， 为 的辐角，
则,,
则 ，
又,
所以 .
探究点四 复数除法运算的三角表示
［探索］ 两个用三角形式表示的复数相除,具体如何运算呢
解：两个用三角形式表示的复数相除,商的模等于被除数的模除以除
数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角.
例5（1） 求 的值；
解： .
（2）计算 ,并把结果化
为代数形式.
解： .
变式 写出下列复数的倒数 的模与辐角.
（1） ；
解： ，
则的模为，辐角为 .
（2） .
解： ，
则的模为，辐角为 .
［素养小结］
对于两个复数相除,一定要注意其表示形式,符合三角形式时才可以使
用复数三角形式的除法运算法则.对于运算结果,当不要求把结果化为
代数形式时,也可以用三角形式表示.
1.复数 的一个三角形式是( )
A. B.
C. D.
[解析] .故选B.
√
2.复数 的代数形式是( )
A. B.
C. D.
[解析] ,故选B.
√
3.[2023·河北沧州高一期中]设的辐角主值为 ,则 的
辐角主值是( )
A. B. C. D.
[解析] ,
因为的辐角主值为 ,所以 ,
则的辐角主值是 .故选A.
√
4. ( )
A. B. C.1 D.
[解析] 原式 .故选A.
√
5.复数的一个辐角，则 在复平面内所对应的点位于第
____象限.
一
[解析] 设， ，
则
，
因为，所以，所以, ，
则，所以 在复平面内所对应的点位于第一象限.
1.（1）复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一.
（2）复数三角形式的特点：非负、同角、加号、前余后正.
（3）两个非零复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.
2.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的
整数倍，但辐角主值只有一个.例如复数的辐角是 ，其中
可以取任何整数.几类特殊复数的辐角主值，一定要在理解的基础
上记熟.如：当为正实数时，有,, ,
.
3.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所
以复数0的辐角也是任意的.不讨论它的辐角主值.
4.与代数形式中有序实数对确定复数 一样，复数的三角形
式实质上是用一个有序实数对来确定一个复数 ,
此式即为三角形式.要准确地掌握它，必须注意其下述三个特征：（1）
模；（2）的实部是 ，虚部是 ；（3）它们分别
是同一个角 的余弦与正弦， 与 之间用加号连接.
5.需要注意一些含有正弦或余弦的代数形式，将它们转化为三角形式
时要利用诱导公式，如 ，有
；
；
；
.
6.两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意
义是模的伸缩及对应向量的旋转.当推广到 个复数相乘的时候，就
是 ，
特别地，复数的次幂的模等于这个复数的模的 次幂，它的辐角
等于这个复数的辐角的 倍，这个定理就是棣莫弗定理.
1.求复数的辐角主值
例1（1） 当时,复数 的辐角主值是( )
A. B. C. D.
[解析] ,故选B.
√
（2）[2023·广东实验中学高一期中]复数
的辐角主值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设复数的辐角为 ，
则 ，，因为，
所以当 时，满足要求，，所以的辐角主值为 .故选A.
√
2.将复数化为三角形式
求一个非零复数的三角形式，需先求出这个复数的模，然后再找出
复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.
例2（1） 以下不满足复数 的三角形式的是( )
A. B.
C. D. ．
[解析] ， ，
， .故选C.
√
（2） 广东珠海二中高一期中］ 复数 的三角形
式是( )
A. B.
C. D.
[解析] .故选C.
√
3.复数辐角的性质：
积的辐角等于各复数辐角的和;商的辐角等于被除数的辐角减去除数
的辐角所得的差;一个复数的次幂 的辐角等于这个复数辐角
的 倍.
注意：（1）辐角与辐角主值的区别,特别是解题过程中的不同点.如
下面两个问题：
若 , ,求 的值.
若 , ,求 的值.
（3）两个复数相乘,积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和;两个
复数相除,商的辐角主值不一定等于两辐角主值的差.
例3 将
化成代数形式.
解：
.*10.3　复数的三角形式及其运算
【课前预习】
知识点一
1.rcos θ　rsin θ　(rcos θ)+(rsin θ)i　r(cos θ+isin θ)
2.[0,2π)　arg z
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　　[解析] (1)复数0的辐角为任意值,0的任意两个辐角之间不一定都相差2π的整数倍.
(4)-3(cos 200°+isin 200°)中,-3<0,所以-3(cos 200°+isin 200°)不是复数的三角形式,故错误.
知识点二
1.r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
2.θ2　r2
诊断分析
(1)× 　(2)√　(3)×　[解析] (1)两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.
(3)[r(cos θ+isin θ)]2=r2(cos 2θ+isin 2θ).
知识点三
2.[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]
3.θ2　|θ2|　
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)√　[解析] (2)的辐角为-=-,又辐角主值的范围为[0,2π),所以的辐角主值是.
(3)i=cos+isin ,所以i的辐角为,所以的辐角主值为-=.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)A　(2)+1　[解析] (1)因为z=cos 60°+isin 60°为复数的三角形式,所以z的一个辐角是60°.故选A.
(2)由cos=sin 1,sin=-cos 1,得sin 1-icos 1=cos+isin,所以复数sin 1-icos 1的辐角主值是+1.
变式　C　[解析] z=-sin+icos=cos+isin=cos+isin,因为∈[0,2π),所以z的辐角主值为π.故选C.
探究点二
探索 解:(1)复数的三角形式z=r(cos θ+isin θ)中,辐角θ可以取辐角主值,也可以取其他辐角.如1-i==.
(2)复数的三角形式z=r(cos θ+isin θ)中,θ为任意角,若θ为辐角主值,则θ∈[0,2π).
例2　解:(1)原式=2=2.
(2)原式=-sin 5=-sin 5.
例3　解:(1)因为-3在复平面内所对应的点在实轴的负半轴上,
所以|-3|=3,arg(-3)=π,
所以-3=3(cos π+isin π).
(2)因为-i在复平面内所对应的点在第四象限,所以=1,arg=,
所以-i=cos+isin.
变式　(1)D　(2)C　[解析] (1)z=4=4×+4×i=-2-2i.故选D.
(2)z=1-cos θ-isin θ=2sin2-2isin cos=2sin =2sin=2sin=2sin .故选C.
探究点三
探索 解:两个用三角形式表示的复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.
例4　解:z1z2=3×4=3×4=
12=12i.设z1,z2对应的向量分别为,,如图,作出,,把向量绕原点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的4倍,得到一个长度为12,辐角为的向量,即为z1z2=12i所对应的向量.
变式　解:(1)z1z2=×=×=cos+isin=-i.
(2)z1z2z3=3(cos 18°+isin 18°)×4(cos 108°+isin 108°)×(sin 66°+icos 66°)=3(cos 18°+isin 18°)×4(cos 108°+isin 108°)×(cos 24°+isin 24°)=3×4×[cos(18°+108°+24°)+isin(18°+108°+24°)]=2(cos 150°+isin 150°)=-+i.
拓展　证明:设z=r(cos θ+isin θ),其中r为z的模,θ为z的辐角,则zm=rm[cos(mθ)+isin(mθ)],zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)],则zmzn=rm[cos(mθ)+isin(mθ)]·rn[cos(nθ)+isin(nθ)]=rm+n{cos[(m+n)θ]+isin[(m+n)θ]},又zm+n=rm+n{cos[(m+n)θ]+isin[(m+n)θ]},所以zmzn=zm+n.
探究点四
探索 解:两个用三角形式表示的复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角.
例5　解:(1)i3÷=(cos 270°+isin 270°)÷=2[cos(270°-120°)+isin(270°-120°)]=2(cos 150°+isin 150°)=-+i.
(2)÷=×=4=-4i.
变式　解:(1)==,
则的模为,辐角为2kπ-(k∈Z).
(2)==,
则的模为,辐角为2kπ+(k∈Z).
【课堂评价】
1.B　[解析] 1+i=2=2.故选B.
2.B　[解析] 4=4×+4×i=2-2i,故选B.
3.A　[解析] (3+4i)·i=5(cos θ+isin θ)·=5,因为3+4i的辐角主值为θ,所以θ∈,则(3+4i)·i的辐角主值是+θ.故选A.
4.A　[解析] 原式=cos+isin=cos+isin=i.故选A.
5.一　[解析] 设z=r(cos θ+isin θ)(r>0),θ∈,则-=-·=-·
=-·=-·cos 2θ+·isin 2θ,因为θ∈,所以2θ∈,所以cos 2θ<0,sin 2θ>0,则-cos 2θ>0,所以-在复平面内所对应的点位于第一象限.*10.3　复数的三角形式及其运算
【学习目标】
　　1.了解复数的三角表示,了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,了解辐角、辐角主值的概念,通过复数的代数形式与三角形式的互化,提升数学运算素养;
　　2.了解复数三角形式的乘法法则、除法法则及其几何意义,通过复数的几何意义,了解复数的三角形式,培养逻辑推理素养,提升数学抽象素养;
　　3.从向量的角度理解复数三角形式的乘、除、乘方运算及几何意义,培养逻辑推理素养,提升数学运算素养.
◆ 知识点一　复数的三角形式
1.复数的三角形式:一般地,如果非零复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应点Z(a,b),且r为向量的模,θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角,则r=|z|=,根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ=,sin θ=.因此a=　　　　,b=　　　　,如图所示,从而z=a+bi=　　　　　　　　　　=　　　　　　　,上式的右边称为非零复数z=a+bi的三角形式(对应地,a+bi称为复数的代数形式),其中的θ称为z的辐角.
2.辐角主值:在　　　　内的辐角称为z的辐角主值,记作　　　　.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数z的任意两个辐角之间都相差2π的整数倍. (　 )
(2)-1=cos π+isin π. (　 )
(3)2i=2. (　 )
(4)-3(cos 200°+isin 200°)是复数的三角形式.(　 )
◆ 知识点二　复数三角形式的乘法及其几何意义
1.乘法法则:设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)×r2(cos θ2+isin θ2)=　　　　　　　　　　　　　.
文字语言:两个复数z1,z2相乘,z1的模乘以z2的模等于z1z2的模,z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角.
2.两个复数相乘的几何意义:设z1,z2对应的向量分别为,,将绕原点旋转　　　　,再将的模变为原来的　　　　倍,如果所得向量为,则对应的复数即为z1z2,如图所示.
3.若n∈N,则[r(cos θ+isin θ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)].
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的积. (　 )
(2)一个复数与i相乘,其几何意义是把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转. (　 )
(3)[r(cos θ+isin θ)]2=r2(cos2θ+isin2θ). (　 )
◆ 知识点三　复数三角形式的除法及其几何意义
1.一般地,如果非零复数z=r(cos θ+isin θ),那么-θ是的一个辐角,因此=r[cos(-θ)+isin(-θ)],而且z=r(cos θ+isin θ)×r[cos(-θ)+isin(-θ)]=r2[cos(θ-θ)+isin(θ-θ)]=r2,所以=,即=[cos(-θ)+isin(-θ)].
2.除法法则:如果z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2)(z2≠0),那么==　　　　　　　　　　　.
文字语言:两个复数z1,z2(z2≠0)相除,z1的模除以z2的模等于的模,z1的辐角减去z2的辐角是的辐角.
3.两个复数相除的几何意义:设z1,z2对应的向量分别为,,把绕原点沿顺时针方向旋转　　　　(θ2>0,如果θ2<0,就要把绕原点沿逆时针方向旋转　　　　),再把的模变为原来的　　　,如果所得向量为,则对应的复数即为,如图.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若z1=r1(cos θ1+isin θ1)(z1≠0),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则=[cos(θ2-θ1)+isin(θ2-θ1)]. (　 )
(2)若z1=2,z2=2,则的辐角主值是. (　 )
(3)若复数z的辐角为,则的辐角主值为. (　 )
◆ 探究点一　复数三角形式的有关概念
例1 (1)复数z=cos 60°+isin 60°的一个辐角是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.60° B.120° C.240° D.330°
(2)复数sin 1-icos 1的辐角主值是　　　　.
变式 [2024·福建泉州高一期中] 复数z=-sin+icos的辐角主值为 (　 )
A. B. C. D.
[素养小结]
1.判断复数的三角形式与求解复数的辐角主值时要弄清复数的三角形式的定义.对于不是以复数的三角形式表示的式子,要根据复数三角形式的定义将其转化为复数的三角形式,再进一步判断求解.
2.判断复数的三角形式的条件
(1)r≥0;
(2)加号连接;
(3)cos在前,sin在后;
(4)θ前后一致,可为任意值.
即“模非负,角相同,余正弦,加号连”.
◆ 探究点二　复数的代数形式与三角形式的互化
[探索] (1)将复数的代数形式化为三角形式时,一定用辐角主值吗
(2)复数的三角形式z=r(cos θ+isin θ)中辐角主值的范围是多少


例2 将下列复数化为三角形式:
(1)-2;
(2)sin 5.
例3 把下列复数化为三角形式:
(1)-3;(2)-i.
变式 (1)复数z=4的代数形式为 (　 )
A.z=2+2i
B.z=-2+2i
C.z=2-2i
D.z=-2-2i
(2)复数z=1-cos θ-isin θ(θ∈[0,2π))的三角形式是 (　 )
A.z=2sin
B.z=2sin
C.z=2sin
D.z=2cos
[素养小结]
(1)将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cos θ+isin θ)时,要注意:
①r=.
②cos θ=,sin θ=,其中θ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同.tan θ=(a≠0),θ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同,当a=0,b>0时,arg z=.
(2)将复数的三角形式r(cos θ+isin θ)化为代数形式a+bi(a,b∈R)时,a=rcos θ,b=rsin θ.
◆ 探究点三　复数乘法运算的三角表示及其几
何意义
[探索] 两个用三角形式表示的复数相乘,具体如何运算呢


例4 已知复数z1=3,z2=4,求z1z2,把结果化为代数形式,并作出几何解释.
变式 (1)已知复数z1=,z2=,求z1z2,并把结果化为代数形式.
(2)已知复数z1=3(cos 18°+isin 18°),z2=4(cos 108°+isin 108°),z3=(sin 66°+icos 66°),求z1z2z3,并把结果化为代数形式.
[素养小结]
对于两个(或多个)复数相乘,一定要注意其表示形式,符合三角形式时才可以使用复数三角形式的乘法运算法则.对于运算结果,当不要求把结果化为代数形式时,也可以用三角形式表示.
拓展 已知z为复数,m,n∈N,求证:zmzn=zm+n.
◆ 探究点四　复数除法运算的三角表示
[探索] 两个用三角形式表示的复数相除,具体如何运算呢

例5 (1)求i3÷的值;
(2)计算 ÷,并把结果化为代数形式.
变式 写出下列复数z的倒数的模与辐角.
(1)z=10;
(2)z=2.
[素养小结]
对于两个复数相除,一定要注意其表示形式,符合三角形式时才可以使用复数三角形式的除法运算法则.对于运算结果,当不要求把结果化为代数形式时,也可以用三角形式表示.
1.复数1+i的一个三角形式是 (　 )
A.2
B.2
C.2
D.2
2.复数4的代数形式是 (　 )
A.2+2i
B.2-2i
C.-2-2i
D.-2+2i
3.[2023·河北沧州高一期中] 设3+4i的辐角主值为θ,则(3+4i)·i的辐角主值是 (　 )
A.+θ B.-θ
C.θ- D.-θ
4.= (　 )
A.i B.-i
C.1 D.-1
5.复数z的一个辐角θ∈,则-在复平面内所对应的点位于第　　　　象限. *10.3　复数的三角形式及其运算
1.B　[解析] 因为sin 40°-icos 40°=cos 310°+isin 310°,所以该复数的辐角主值是310°.故选B.
2.C　[解析] 由题可知=-1-i,∴||=2,∴=2=2.故选C.
3.A　[解析] -2=-2×=+i.故选A.
4.D　[解析] 因为z=×=×==,所以arg z=.
5.C　[解析] 4(cos π+isin π)÷2=2=2=-1+i.故选C.
6.C　[解析] 由z=-+i=cos+isin,可得z2024=cos+isin=cos+isin=--i,故z2024的虚部为-.故选C.
7.B　[解析] ===cos+isin.由sin=0,得n=2k(k∈Z),又n为正整数,所以正整数n的最小值为2.
8.BD　[解析] 对于A,=1-i,故A错误;对于B,=1+i,故B正确;对于C,不满足复数的三角形式,故C错误;对于D,=1+i,故D正确.故选BD.
9.ABC　[解析] ∵z=-+i,∴|z|==1,故A正确;=--i=cos+isin ,故B正确;∵z3=cos 2π+isin 2π=1,∴z3-1=0,故C正确;∵-z=-i,∴复数-z的辐角主值为,故D错误.故选ABC.
10.2(答案不唯一)
[解析] --3i=2×=2.
11.　[解析] ∵z1≠0,z2=(1+i)z1,∴=1+i=,∴∠AOB=.
12.-i　[解析] z1=-2+2i=4×=4(cos 120°+isin 120°),根据题意得z2=4×[cos(120°-150°)+isin(120°-150°)]=2[cos(-30°)+isin(-30°)]=-i.
13.解:(1)原式=cos +isin .
(2)原式=2×=2.
(3)原式=6×=6.
(4)原式=5×=5(cos θ+isin θ).
14.解:∵-1+i=,∴向量对应的复数为==-i.
15.A　[解析] 因为eiπ=cos π+isin π=-1,所以eiπ+1=0,故①正确.eix=cos x+isin x,e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cos x-isin x,则eix+e-ix=2cos x,eix-e-ix=2isin x,故③正确,④错误.==()2022=e674πi=cos 674π+isin 674π=1,故②正确.故选A.
16.解:(1)由z2+2z+4=0,得z=-1±i.
∵arg z∈,∴z=-1+i=2.
(2)由题意,表示的复数为z-(-2ω)=z+2ω,表示的复数为ω-(-2ω)=3ω,
∵△ABC为等边三角形,∴||=||,
又∠ACB=,A,B,C三点成逆时针顺序,
∴把绕点C按逆时针方向旋转后与重合,
∴3ω=(z+2ω).
将z=2代入上式,
可得ω=-(2+i),∴tan (arg ω)=.*10.3　复数的三角形式及其运算
一、选择题
1.复数sin 40°-icos 40°的辐角主值是 (　 )
A.-40° B.310°
C.50° D.130°
2.已知复数z=-1+i,则它的共轭复数的三角形式为 (　 )
A.=2
B.=-2
C.=2
D.=2
3.复数-2的代数形式是 (　 )
A.+i B.--i
C.+i D.--i
4.[2024·江苏盐城高一期末] 若z=×,则arg z= (　 )
A. B.
C. D.
5.4(cos π+isin π)÷2= (　 )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
6.[2024·浙江G5联盟高一期中] 法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:设两个复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2)(r1,r2>0),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].设z=-+i,则z2024的虚部为 (　 )
A.- B.-i
C.- D.-i
7.[2024·湖北武汉华中师大附中高一月考] 若复数为实数,则正整数n的最小值是(　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
8.(多选题)下列表示复数1+i的三角形式中,正确的是 (　 )
A.
B.
C.
D.
9.(多选题)已知复数z=cos+isin,则下列关于复数z的结论中正确的是 (　 )
A.|z|=1
B.=cos+isin
C.复数z是方程x3-1=0的一个根
D.复数-z的辐角主值为-
二、填空题
10.复数--3i的一个三角形式是　.
11.在复平面内(O为坐标原点),A,B分别表示复数z1,z2(z1≠0)对应的点,若z2=(1+i)z1,则∠AOB=　　　　.
12.设复数z1=-2+2i在复平面内对应的向量为,将绕点O按顺时针方向旋转150°,并将其模变为原来的,则所得向量对应的复数z2=　　　　.(用代数形式表示)
三、解答题
13.将下列复数表示为三角形式:
(1)+i;
(2)-1-i;
(3)3-3i;
(4)-4+3i.
14.在复平面内(O为坐标原点),向量对应的复数为-1+i,把按逆时针方向旋转得到,求向量对应的复数(用代数形式表示).
15.瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式eix=cos x+isin x,这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,有下列四个结论:①eiπ+1=0;②=1;③2cos x=eix+e-ix;④2sin x=eix-e-ix.其中所有正确结论的编号是 (　 )
A.①②③ B.②④
C.①② D.①③
16.[2023·安徽安庆慧德高级中学高一月考] 已知复数z满足z2+2z+4=0,且arg z∈.
(1)求z的三角形式;
(2)记A,B,C分别表示复数z,ω,-2ω在复平面内对应的点,已知A,B,C三点成逆时针顺序,且△ABC为等边三角形,求ω的辅角主值的正切值.

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