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(共64张PPT)
11.1 空间几何体
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
探究点一 对平面概念的理解
探究点二 文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化
探究点三 空间中点、线、面的位置关系的判断
探究点四 空间中的距离
【学习目标】
1.以长方体的构成为例,认识构成几何体的基本元素,体会空间中
的点、线、面与几何体之间的关系；
2.能用符号语言和图形语言描述空间点、直线、平面之间的位置
关系；
3.理解直线与平面垂直的含义,了解点面距、线面距、面面距的定义；
4.通过认识和理解空间点、直线、平面的位置关系，培养数学抽
象思维，提升直观想象能力．
知识点一 空间中的点、线、面
1.空间几何体的基本元素：____、____、____.
点
线
面
2.点、线、面运动的轨迹：点运动的轨迹可以是____,线运动的轨迹
可以是____,面运动的轨迹可以是____.构成空间几何体的基本元素可
以借助点来表示.
线
面
体
3.点、线、面的表示方法
（1）点用大写英文字母表示，如点，点，点， ；
（2）直线用该直线上的两个点表示，如直线，直线， ，
也可以用小写英文字母表示，如直线，直线， ；
（3）平面用该平面内不共线的3个或3个以上的点表示，如长方形
所在的平面可记作平面，也可以记作平面 ，或平面
.习惯上，用小写希腊字母 ， ， ， 表示平面.
在如图所示的长方体中,顶点表示为___,___等,
棱表示为____,____等,面表示为_______,
________等.
知识点二 空间中点与直线、直线与直线的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言
点线 _____________________________________
______________________________________
线线 两条直线平行 ______________________ ______
两条直线异面 ______________________________________ ___________________
___________
两条直线相交 __________________________ __________
且与不
平行
【诊断分析】
为何点与直线、平面的关系用“ ”或“ ”表示
解：因为直线与平面都可以看作是点构成的集合,而点是元素,
因此点与直线、平面的关系就是元素与集合间的关系,所以用“ ”
或“ ”表示.
知识点三 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
位置 关系 定义 图形语言 符号
语言
直线 在平 面内 _____________________________________________
所有点
位置 关系 定义 图形语言 符号
语言
直线 在平 面外
__________________________________________
至少有一个点
有且只有一个公共点
续表
位置 关系 定义 图形语言 符号
语言
直线 在平 面外 ___________________________________________
续表
位置关系 定义 图形语言 符号语言
平面与平 面相交 _________________________________________
平面与平 面平行 _______________________________________
续表
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若直线上有无数个点不在平面 内,则 .( )
×
（2）若 ，则直线与平面 有公共点.( )
√
（3）若直线在平面 外，则直线与平面 平行.( )
×
（4）若 ，则平面 与平面 相交，且交于一个点.( )
×
（5）如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么
这两个平面平行.( )
×
2.（1）“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的概
念吗
解：不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,
而后者仅指直线与平面平行.
（2）如何根据直线与平面公共点的个数将直线与平面的位置关系分类
解：当直线与平面公共点的个数为0时,直线与平面平行;
当直线与平面公共点的个数为1时,直线与平面相交;
当直线与平面有无数个公共点时,直线在平面内.
知识点四 空间中直线与平面的垂直关系
基本概念 定义 图形语言 符号语言
直线与平 面垂直 __________________________________________
垂直
垂足
基本概念 定义 图形语言 符号语言
点到平面 的距离 __________________________________________
射影
续表
基本概念 定义 图形语言 符号语言
直线到平 面的距离 当直线与平面平行时,直线上 任意一点到平面的距离称为 这条直线到这个平面的距离 __________________________________________
续表
基本概念 定义 图形语言 符号语言
两平行平 面之间的 距离 当平面与平面平行时,一个平 面上任意一点到另一个平面 的距离称为这两平行平面之 间的距离 __________________________________________
续表
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若， ，则 .( )
×
（2）若直线是平面 的一条垂线，则对平面 内任意一条过与
的公共点的直线，都有 .( )
√
（3）若与平面 不垂直，则平面 内一定没有直线与 垂直.( )
×
2.（1）在什么条件下,才能求直线与平面间的距离
解：当直线与平面平行时,才能求直线与平面间的距离.
（2）在什么条件下,才能求平面与平面间的距离
解：当两个平面平行时,才能求平面与平面间的距离.
（3）直线与平面垂直的定义中的“任意一条过点 的直线”是否可以
换成“过点 的所有直线”
解：“任意一条过点的直线”与“过点 的所有直线”是等价的,
故可以换成“过点 的所有直线”.
探究点一 对平面概念的理解
［探索］ 平面与平面图形有什么区别吗
解：平面是无限延伸的，平面图形有大小之分.
例1 下列说法中正确的是( )
A.任何一个平面图形都是一个平面
B.平静的太平洋海面是平面
C.平面就是平行四边形
D.在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
√
[解析] 对于A，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平
面，故A不正确；
对于B，平静的太平洋海面是个有边界的图形，不是平面，故B不正确；
对于C，平面可以用平行四边形表示，但平面
不是平行四边形，故C不正确；
对于D，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一
个平面，故D正确.故选D.
［素养小结］
在几何中，把点运动的轨迹看成线，线运动的轨迹看成面．如果点
运动的方向不改变，那么它的轨迹为一条直线或线段；如果点运动
的方向时刻在变化，那么它的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，
一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹（经过的空间部分）
可以形成一个几何体.
探究点二 文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化
例2 如图，用符号语言表示下列点、直线、平面之间的关系.
（1）点与直线 ；
解： .
（2）点与直线 ；
解： .
（3）点与平面 ；
解：平面 .
（4）点与平面 ；
解： 平面 .
（5）直线与直线 ；
解： .
（6）直线与平面 ；
解： 平面 .
（7）平面与平面 .
解：平面 平面 .
变式（1） 如图所示，用符号语言可表述为( )
A.， ，
B.， ，
C.， ，，
D.， ，，
[解析] 由题图可知，， ，(或 ，
，故A正确.故选A.
√
（2）下列图形中，满足， ， ， ，
的是( )
A. B. C. D.
[解析] A中，不满足 ， ，故A错误；
B中，不满足 ，，故B错误；
C中，满足, ， ，,，故C正确；
D中，不满足， ，故D错误.故选C.
√
［素养小结］
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个
平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，
再用符号语言表示．
2.要注意符号语言的意义，如点与直线（或平面）的位置关系只能用
“ ”或“ ”；直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
探究点三 空间中点、线、面的位置关系的判断
例3 在如图所示的长方体 中.
（1）点 在哪几条棱上？
解：点在棱，， 上.
（2）与直线 平行的直线有哪些？
解：与直线平行的直线有直线，， .
（3）写出所有与直线 平行的平面，并用合适的符号表示.
解：平面，平面 .
（4）写出所有的面与直线 的位置关系，并用
合适的符号表示.
解： 平面， 平面 ，
平面，平面，
平面， 平面 .
（5）写出与平面 平行的平面，并用合适的符号表示.
解：平面平面 .
（6）判断平面与平面 的位置关
系，并用合适的符号表示.
解：平面与平面 相交，
即平面 平面直线 .
变式（1） 已知 , 是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是
( )
A.若平面 内有两条直线,都与平面 平行,则
B.若平面 内有无数条直线平行于平面 ,则
C.若直线与平面 和平面 都平行,则
D.若平面 内所有的直线都与平面 平行,则
√
[解析] 如图①所示，直线, 平面 ，且 , ,但 与
不平行，故A错误;
若 , 相交，则平面 内平行于交线的直线都与 平行，故B错误；
当 , 时, 与 可能相交,如图②所示,故C错误；
若 内所有的直线都与平面 平行，则 ，故D正确.
故选D.
（2）若直线不平行于平面 ,则下列结论成立的是( )
A. 内的所有直线都与直线 异面
B. 内不存在与 平行的直线
C. 内的直线都与 相交
D.直线与平面 有公共点
[解析] 直线不平行于平面 ,则与平面 相交或 .故选D.
√
［素养小结］
1.解决几何体点、线、面位置关系问题的关键在于要先识好图，然后
由概念结合图形进行解答．根据图形识别直线与平面平行、垂直，
平面与平面平行是解答此类问题的关键.
2.判断直线、平面间的位置关系，抓住直线与直线、直线与平面、平
面与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常
用分类讨论的方法解决.另外，借助模型（如正方体、长方体等）也
是解决这类问题的有效方法.
拓展 如图，已知正方体 的棱
长为1，，分别是棱， 上的动点，设
，.若棱与平面 有公共
点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 若，则棱与平面 交于点D，符合题意，
此时，且为的最大值；
若，，则棱 在平面内，符合题意，
此时 .排除B，C，D选项，故选A.
√
探究点四 空间中的距离
［探索］ 空间中有哪几种距离关系
解：点点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距.
例4 已知长方体中，， .
（1）写出点到平面 的距离；
解：点到平面的距离 .
（2）写出直线到平面 的距离；
解：平面 ，
到平面的距离 .
（3）写出平面与平面 之间的距离.
解： 平面平面 ，
平面与平面之间的距离 .
变式（1） 在长方体中，，分别为，
的中点，，则到平面 的距离为( )
A.4 B. C.2 D.
[解析] 如图，易知平面，所以 到
平面的距离为点到平面 的距离.
点到平面的距离为 ，
所以到平面 的距离为2.故选C.
√
（2）如图,在棱长为的正方体中,点 到平面
的距离是___,直线到平面 的距离是___.
[解析] 在正方体 中,
因为直线 平面,
所以棱的长即为点 到平面的距离,
所以点到平面的距离为 .
因为直线平面,所以直线 上任一
点到平面的距离都是直线到平面的距离,
又点 直线,且点到平面的距离为 ,
所以直线到平面的距离为 .
［素养小结］
1.线面距离是在直线与平面平行的前提下存在的，同理面与面之间的
距离也是建立在两平面平行的基础上，两种距离均可转化为点到平
面的距离．
2.求距离首先要找垂线，即找出平面的垂线，结合长方体中点、线、
面的关系即可求解.
1.点不在直线上,直线在平面 内,点在平面 内用符号语言表
示为( )
A., , B., ,
C., , D., ,
[解析] 点A不在直线上用符号语言表示为,直
线在平面 内用符号语言表示为 ,
点B在平面 内用符号语言表示为 .
故选B.
√
2.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中与 的位置关
系为( )
A.相交 B.平行
C.既不相交也不平行 D.不能确定
√
[解析] 该正方体的直观图如图所示,易知与 既不平行也不相交.
故选C.
3.[2024·浙江鄞州中学高一月考]在正方体 中,与体
对角线 既不相交也不平行的棱有( )
A.3条 B.4条 C.6条 D.8条
[解析] 如图，与既不相交也不平行的棱有 ,
,,,, ,共6条.
√
4.如图,在长方体 中.
（1） ___；
（2）平面 平面 ______；
（3）平面 平面 ____；
（4）平面 平面 _____；
（5）平面 平面 平面 ____；
（6） ____.
5.[2024·北京育才学校高一月考] 线段 的
长为，在水平面上向右平行移动
后记为，将 沿铅垂线方向向下平行移
动后记为，再将 沿水平方向向
左平行移动后记为 ，依次连接各端
点构成长方体 ，如图所示.
4
5
则平面与平面之间的距离为___；点到平面 的
距离为___ .
[解析] 由题可知，在长方体中，
，，，
则平面 与平面之间的距离为，
点 到平面的距离为 .
1.符号语言在立体几何与集合中的差异
（1）用集合语言描述几何关系时,“ , , ”等符号虽来源于集合符
号,但在读法上却用几何语言.例如, 读作“点在平面 内”;
读作“直线在平面 内”;读作“平面 , 相交于直
线 ”.
（2）在“ , ”中，视为平面 （集合）的元素,直线
（集合）视为平面 （集合）的子集.
（3）几何符号的用法原则上与集合符号的用法一致,但个别地方与集
合符号略有差异.例如：不再用直线来表示直线, 交于点
,而简记为,这里的 既是一个点,又可以理解为只含一个元
素（点）的集合.
2.空间中的两条直线， 的位置关系：
3.直线与平面 的位置关系：
4.平面 与平面 的位置关系：
5.线面距、面面距均可转化为点面距.
6.对平面的理解
平面是构成空间几何体的基本要素之一，是一个只进行描述而不加
定义的原始概念．
诠释：①平面与日常生活中见到的平面不同，立体几何中所说的平
面是从生活中常见的平面中抽象出来的，生活中的平面是比较平的，
且是有界的，而立体几何中的平面是平直的面，是无限延展的，是
无大小、无边界、无薄厚的．②平面通常用平行四边形来表示，水
平放置的平面往往把平行四边形的锐角画为 角，横边是邻边的2
倍；平面也可用其他平面图形来表示，如三角形、梯形、圆等，但
不能说平面图形就是平面，平面与平面图形是两个完全不同的概念．
判断直线与平面的位置关系的问题,其解决方式除了定义法外,还可以
借助模型（如长方体）和举反例两种行之有效的方法.
例 若两条异面直线中的一条在平面 内,讨论另一条直线与平面
的位置关系.
解：如图,另一条直线与平面 的位置关
系是与平面 平行或与平面 相交.11.1.2　构成空间几何体的基本元素
【课前预习】
知识点一
1.点　线　面
2.线　面　体
3.(3)A　B　AB　BC　ABCD　ABB1A1
知识点二
a∥b　a∩b= 且a与b不平行　a∩b=P
诊断分析
解:因为直线与平面都可以看作是点构成的集合,而点是元素,因此点与直线、平面的关系就是元素与集合间的关系,所以用“∈”或“ ”表示.
知识点三
所有点　至少有一个点　有且只有一个公共点
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2.解:(1)不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.
(2)当直线与平面公共点的个数为0时,直线与平面平行;当直线与平面公共点的个数为1时,直线与平面相交;当直线与平面有无数个公共点时,直线在平面内.
知识点四
l⊥m　垂直　垂足　射影　AB　
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)×
2.解:(1)当直线与平面平行时,才能求直线与平面间的距离.
(2)当两个平面平行时,才能求平面与平面间的距离.
(3)“任意一条过点A的直线”与“过点A的所有直线”是等价的,故可以换成“过点A的所有直线”.
【课中探究】
探究点一
探索 解:平面是无限延伸的,平面图形有大小之分.
例1　D　[解析] 对于A,平面是无限延展的,所以一个平面图形不是一个平面,故A不正确;对于B,平静的太平洋海面是个有边界的图形,不是平面,故B不正确;对于C,平面可以用平行四边形表示,但平面不是平行四边形,故C不正确;对于D,在几何体的直观图中,平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面,故D正确.故选D.
探究点二
例2　解:(1)P∈AB.　(2)C AB.　(3)M∈平面ABCD.
(4)A1 平面ABCD.　(5)AB∩BC=B.
(6)AB 平面ABCD.
(7)平面A1ABB1∩平面ABCD=AB.
变式　(1)A　(2)C　[解析] (1)由题图可知,α∩β=m,n α,m∩n=A(或A∈m,A∈n),故A正确.故选A.
(2)A中,不满足a α,a∥AB,故A错误;B中,不满足b β,b∥AB,故B错误;C中,满足α∩β=AB,a α,b β,a∥AB,b∥AB,故C正确;D中,不满足a∥AB,b∥AB,故D错误.故选C.
探究点三
例3　解:(1)点A在棱AB,AD,AA1上.
(2)与直线DD1平行的直线有直线AA1,BB1,CC1.
(3)BC∥平面ADD1A1,BC∥平面A1B1C1D1.
(4)AB 平面ABCD,AB 平面ABB1A1,AB∥平面A1B1C1D1,AB∥平面CDD1C1,AB⊥平面ADD1A1,AB⊥平面BCC1B1.
(5)平面A1B1C1D1∥平面ABCD.
(6)平面BCC1B1与平面CDD1C1相交,即平面BCC1B1∩平面CDD1C1=直线CC1.
变式　(1)D　(2)D　[解析] (1)如图①所示,直线a,b 平面α,且a∥β,b∥β,但α与β不平行,故A错误;若α,β相交,则平面α内平行于交线的直线都与β平行,故B错误;当a∥α,a∥β时,α与β可能相交,如图②所示,故C错误;若α内所有的直线都与平面β平行,则α∥β,故D正确.故选D.
(2)直线a不平行于平面α,则a与平面α相交或a α.故选D.
拓展　A　[解析] 若x=y=1,则棱DD1与平面BEF交于点D,符合题意,此时x+y=2,且为x+y的最大值;若x=1,y=0,则棱DD1在平面BEF内,符合题意,此时x+y=1.排除B,C,D选项,故选A.
探究点四
探索 解:点点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距.
例4　解:(1)点A到平面BCC1B1的距离h1=AB=4.
(2)∵AB∥平面A1B1C1D1,
∴AB到平面A1B1C1D1的距离h2=AA1=2.
(3)∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1,
∴平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离h3=AB=4.
变式　(1)C　(2)a　a　[解析] (1)如图,易知MN∥平面BCC1B1,所以MN到平面BCC1B1的距离为点N到平面BCC1B1的距离.点N到平面BCC1B1的距离为NB=AB=2,所以MN到平面BCC1B1的距离为2.故选C.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为直线A1A⊥平面ABCD,所以棱A1A的长即为点A1到平面ABCD的距离,所以点A1到平面ABCD的距离为a.因为直线B1C1∥平面ABCD,所以直线B1C1上任一点到平面ABCD的距离都是直线B1C1到平面ABCD的距离,又点B1∈直线B1C1,且点B1到平面ABCD的距离为a,所以直线B1C1到平面ABCD的距离为a.
【课堂评价】
1.B　[解析] 点A不在直线a上用符号语言表示为A a,直线a在平面α内用符号语言表示为a α,点B在平面α内用符号语言表示为B∈α.故选B.
2.C　[解析] 该正方体的直观图如图所示,易知AB与CD既不平行也不相交.故选C.
3.C　[解析] 如图,与BD1既不相交也不平行的棱有A1B1,B1C1,AD,CD,AA1,CC1,共6条.
4.(1)O　(2)A1B1　(3)AC　(4)OO1　(5)B1　(6)B1
5.4　5　[解析] 由题可知,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=5 cm,BC=4 cm,CC'=3 cm,则平面A'B'BA与平面CDD'C'之间的距离为4 cm,点A到平面BCC'B'的距离为5 cm.11.1.2　构成空间几何体的基本元素
【学习目标】
　　1.以长方体的构成为例,认识构成几何体的基本元素,体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系;
　　2.能用符号语言和图形语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系;
　　3.理解直线与平面垂直的含义,了解点面距、线面距、面面距的定义;
　　4.通过认识和理解空间点、直线、平面的位置关系,培养数学抽象思维,提升直观想象能力.
◆ 知识点一　空间中的点、线、面
1.空间几何体的基本元素:　　　　、　　　　、　　　　.
2.点、线、面运动的轨迹:点运动的轨迹可以是　　　　,线运动的轨迹可以是　　　　,面运动的轨迹可以是　　　　.构成空间几何体的基本元素可以借助点来表示.
3.点、线、面的表示方法
(1)点用大写英文字母表示,如点A,点B,点A1,…;
(2)直线用该直线上的两个点表示,如直线AB,直线A1B1,…,也可以用小写英文字母表示,如直线l,直线m,…;
(3)平面用该平面内不共线的3个或3个以上的点表示,如长方形ABCD所在的平面可记作平面ABC,也可以记作平面ABD,或平面ABCD.习惯上,用小写希腊字母α,β,γ,…表示平面.
在如图所示的长方体中,顶点表示为　　　　,　　　　等,棱表示为　　　　,　　　　等,面表示为　　　　,　　　　等.
◆ 知识点二　空间中点与直线、直线与直线的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言
点 线 点A在直线l上 A∈l
点A不在直线l上 A l
线 线 两条直线平行 　　
两条直线异面 　　　 　　　
两条直线相交 　　　
【诊断分析】 为何点与直线、平面的关系用“∈”或“ ”表示
◆ 知识点三　空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
位置 关系 定义 图形语言 符号 语言
直线 在平 面内 点A,B确定的直线l上的　　　　　都在平面α内,这称为直线l在平面α内(或平面α过直线l) l α
直线 在平 面外 点B,B1确定的直线m上　　　　　　不在平面α内,这称为直线m在平面α外 m α
m与α　　　　　　　　　　(称为直线m与平面α相交) m∩α= B
如果l是空间中的一条直线,α是空间中的一个平面,当l∩α= 时,称直线l与平面α平行 l∥α
平面 与平 面相 交 如果α与β是空间中的两个平面,当α∩β≠ 时,α与β的公共点组成一条直线,称平面α与平面β相交 α∩β=l
(续表)
位置 关系 定义 图形语言 符号 语言
平面 与平 面平 行 如果α与β是空间中的两个平面,当α∩β= 时,称平面α与平面β平行 α∥β
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α. (　 )
(2)若l∩α≠ ,则直线l与平面α有公共点.(　 )
(3)若直线l在平面α外,则直线l与平面α平行. (　 )
(4)若α∩β≠ ,则平面α与平面β相交,且交于一个点. (　 )
(5)如果两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面平行. (　 )
2.(1)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的概念吗
(2)如何根据直线与平面公共点的个数将直线与平面的位置关系分类
◆ 知识点四　空间中直线与平面的垂直关系
基本 概念 定义 图形语言 符号 语言
直线 与平 面垂 直 如果直线l与平面α相交于一点A,且对平面α内任意一条过点A的直线m,都有　　　　,则称直线l与平面α　　　　(或l是平面α的一条垂线,α是直线l的一个垂面),其中点A称为　　　　 l⊥α
点到 平面 的距 离 给定空间中一个平面α及一个点A,过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面α内的　　　　(也称为投影),线段AB为平面α的垂线段,　　　的长为点A到平面α的距离
(续表)
基本 概念 定义 图形语言 符号 语言
直线 到平 面的 距离 当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离
两平 行平 面之 间的 距离 当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若l⊥m,m α,则l⊥α. (　 )
(2)若直线l是平面α的一条垂线,则对平面α内任意一条过l与α的公共点的直线m,都有l⊥m. (　 )
(3)若l与平面α不垂直,则平面α内一定没有直线与l垂直. (　 )
2.(1)在什么条件下,才能求直线与平面间的距离
(2)在什么条件下,才能求平面与平面间的距离
(3)直线与平面垂直的定义中的“任意一条过点A的直线”是否可以换成“过点A的所有直线”
◆ 探究点一　对平面概念的理解
[探索] 平面与平面图形有什么区别吗

例1 下列说法中正确的是 (　 )
A.任何一个平面图形都是一个平面
B.平静的太平洋海面是平面
C.平面就是平行四边形
D.在几何体的直观图中,平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
[素养小结]
在几何中,把点运动的轨迹看成线,线运动的轨迹看成面.如果点运动的方向不改变,那么它的轨迹为一条直线或线段;如果点运动的方向时刻在变化,那么它的轨迹是一条曲线或曲线的一段.同样,一条线运动的轨迹可以是一个面,面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体.
◆ 探究点二　文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化
例2 如图,用符号语言表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB;
(2)点C与直线AB;
(3)点M与平面ABCD;
(4)点A1与平面ABCD;
(5)直线AB与直线BC;
(6)直线AB与平面ABCD;
(7)平面A1ABB1与平面ABCD.
变式 (1)如图所示,用符号语言可表述为 (　 )
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n α,A∈m,A∈n
(2)下列图形中,满足α∩β=AB,a α,b β,a∥AB,b∥AB的是 (　 )
A B C D
[素养小结]
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
2.要注意符号语言的意义,如点与直线(或平面)的位置关系只能用“∈”或“ ”;直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
◆ 探究点三　空间中点、线、面的位置关系的判断
例3 在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)点A在哪几条棱上
(2)与直线DD1平行的直线有哪些
(3)写出所有与直线BC平行的平面,并用合适的符号表示.
(4)写出所有的面与直线AB的位置关系,并用合适的符号表示.
(5)写出与平面ABCD平行的平面,并用合适的符号表示.
(6)判断平面BCC1B1与平面CDD1C1的位置关系,并用合适的符号表示.
变式 (1)已知α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是 (　 )
A.若平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,则α∥β
B.若平面α内有无数条直线平行于平面β,则α∥β
C.若直线a与平面α和平面β都平行,则α∥β
D.若平面α内所有的直线都与平面β平行,则α∥β
(2)若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是 (　 )
A.α内的所有直线都与直线a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线都与a相交
D.直线a与平面α有公共点
[素养小结]
1.解决几何体点、线、面位置关系问题的关键在于要先识好图,然后由概念结合图形进行解答.根据图形识别直线与平面平行、垂直,平面与平面平行是解答此类问题的关键.
2.判断直线、平面间的位置关系,抓住直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的分类是解决问题的突破口,这类判断问题,常用分类讨论的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.
拓展 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AD,B1C1上的动点,设AE=x,B1F=y.若棱DD1与平面BEF有公共点,则x+y的取值范围是 (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.[1,2] B.
C. D.[0,1]
◆ 探究点四　空间中的距离
[探索] 空间中有哪几种距离关系

例4 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=4,AD=3,AA1=2.
(1)写出点A到平面BCC1B1的距离;
(2)写出直线AB到平面A1B1C1D1的距离;
(3)写出平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离.
变式 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为C1D1,AB的中点,AB=4,则MN到平面BCC1B1的距离为 (　 )
A.4 B.2
C.2 D.
(2)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点A1到平面ABCD的距离是　　　　,直线B1C1到平面ABCD的距离是　　　　.
[素养小结]
1.线面距离是在直线与平面平行的前提下存在的,同理面与面之间的距离也是建立在两平面平行的基础上,两种距离均可转化为点到平面的距离.
2.求距离首先要找垂线,即找出平面的垂线,结合长方体中点、线、面的关系即可求解.
1.点A不在直线a上,直线a在平面α内,点B在平面α内用符号语言表示为 (　 )
A.A a,a α,B∈α
B.A a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α
D.A a,a∈α,B∈α
2.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中AB与CD的位置关系为 (　 )
A.相交
B.平行
C.既不相交也不平行
D.不能确定
3.[2024·浙江鄞州中学高一月考] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与体对角线BD1既不相交也不平行的棱有 (　 )
A.3条 B.4条
C.6条 D.8条
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)AC∩BD=　　　　;
(2)平面A1B1BA∩平面A1B1C1D1=　　　　;
(3)平面A1C1CA∩平面ABCD=　　　　;
(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=　　　　;
(5)平面A1B1C1D1∩平面AA1B1B∩平面B1C1CB=　　　　;
(6)A1B1∩B1B∩B1C1=　　　　.
5.[2024·北京育才学校高一月考] 线段AB的长为5 cm,在水平面上向右平行移动4 cm后记为DC,将DC沿铅垂线方向向下平行移动3 cm后记为D'C',再将D'C'沿水平方向向左平行移动4 cm后记为A'B',依次连接各端点构成长方体ABCD-A'B'C'D',如图所示.则平面A'B'BA与平面CDD'C'之间的距离为　　　　cm;点A到平面BCC'B'的距离为　　　　cm. 11.1.2　构成空间几何体的基本元素
1.B　[解析] 点Q在直线b上,则Q∈b,直线b在平面β内,则b β.故选B.
2.C　[解析] 由符号语言知,直线l上有一点在平面α内,另一点在α外,故l与α相交.故选C.
3.C　[解析] 直线CD在平面ABCD内,故CD 平面ABCD.
4.D　[解析] 当A∈b时,a与b相交;当A b时,a与b异面.故选D.
5.C　[解析] 设正方体的棱长为2,连接A1B,则A1B=2,所以EF=A1B=.连接CH,则CH==,所以GH==,所以GH≠2EF.设M,N分别为CC1和A1D1的中点,则六边形EFGMHN是过E,F,G,H四点的平面截正方体所得的截面,所以EF与GH是共面直线,且EF与GH不平行,所以EF与GH是相交直线.故选C.
6.B　[解析] 根据题意画出正方体的直观图,如图所示.由图可知,NC与DE是异面直线,故A不正确;CM与ED平行,故B正确;AF与CN是异面直线,故C不正确;AF与CM相交,故D不正确.故选B.
7.D　[解析] 当l∥α时,直线l上所有的点到平面α的距离都相等;当l α时,直线l上所有的点到平面α的距离都是0;当l⊥α时,直线l上到平面α的距离相等且不为0的点有两个;当l与α相交但不垂直时,直线l上到平面α的距离相等且不为0的点有两个.故选D.
8.BCD　[解析] 对于A,过点P向直线l作垂线,垂足为O,线段PO的长才是点P到直线l的距离,故A错误;由点面距、线面距、面面距的定义可知,B,C,D均正确.故选BCD.
9.AB　[解析] 显然A,B选项正确;对于选项C,若平面外两点所在直线与平面平行,则能作平面与已知平面平行;对于选项D,经过这条直线的平面与已知平面可能相交.故选AB.
10.1　[解析] 设A为长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点.当a为直线AA1,α为平面ABCD时满足A∈a,a α,但此时A∈α,故①是假命题;当a为直线CD,α为平面ABCD时,满足A a,a α,但此时A∈α,故③为假命题;易知②为假命题,④为真命题.故真命题的个数为1.
11.①③④　[解析] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧棱互相平行,故①正确.直线AA1与平面C1D1DC平行,故②不正确.直线AA1与平面A1B1C1D1垂直,故③正确.由A1B1∥平面ABCD,得点A1与点B1到平面ABCD的距离相等,故④正确.故填①③④.
12.平行、相交或异面　[解析] a,b可能平行,如图①所示,a,b可能相交,如图②所示,a,b可能异面,如图③所示.
① ② ③
13.解:(1)①点A在平面α外,点B在平面α内,直线l经过点A,B,直线l与平面α相交于点B.
②平面α与β相交于直线a,直线b经过α内不在直线a上的点P且经过β内不在直线a上的点Q.
(2)①A α,B∈α,A∈l,B∈l,l∩α=B.
②α∩β=a,P a,Q a,P∈α,Q∈β,P∈b,Q∈b,b∩α=P,b∩β=Q.
14.解:(1)与直线A1B既不平行也不相交的棱所在的直线有6条,分别为DD1,DA,DC,C1D1,C1B1,C1C.
(2)与直线A1B平行的平面只有1个,为平面DCC1D1.与直线A1B相交的平面有4个,分别为平面ADD1A1,平面ABCD,平面BCC1B1,平面A1B1C1D1.
15.3,5,6,7　[解析] 连接DA1,BA1,BD,因为顶点B,D,A1到平面α的距离分别为1,2,4,所以DA1的中点到平面α的距离为3,BA1的中点到平面α的距离为,DB的中点到平面α的距离为,又顶点A到平面α的距离为0,所以顶点D1到平面α的距离为6,顶点B1到平面α的距离为5,顶点C到平面α的距离为3.连接B1D1,可得B1D1的中点到平面α的距离为,又顶点A1到平面α的距离为4,所以顶点C1到平面α的距离为7.因为点P为顶点C,C1,B1,D1中的一个,所以点P到平面α的距离可能是3,5,6,7.
16.异面　[解析] 该几何体的直观图如图所示,易知直线BE和直线AJ为异面直线.
[点睛]折叠问题是立体几何中的重点和难点,折叠问题要注意在折叠过程中的变量与不变量,要注意点、线、面之间的关系在折叠前后是否发生变化.11.1.2　构成空间几何体的基本元素
一、选择题
1.[2023·河北保定一中高一月考] 若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作 (　 )
A.Q∈b,b∈β B.Q∈b,b β
C.Q b,b β D.Q b,b∈β
2.已知M,N是不同的两个点,l是一条直线,α是一个平面,若M∈l,N∈l,N α,M∈α,则 (　 )
A.l∥α
B.l α
C.l与α相交
D.以上都有可能
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱CD所在直线与平面ABCD的位置关系的表示正确的是 (　 )
A.CD∈平面ABCD
B.CD∥平面ABCD
C.CD 平面ABCD
D.CD∩平面ABCD=D
4.若平面α和直线a,b满足a∩α=A,b α,则a与b的位置关系是 (　 )
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或异面
5.如图,已知点E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中点,则(　 )
A.GH=2EF,且直线EF,GH是相交直线
B.GH=2EF,且直线EF,GH是异面直线
C.GH≠2EF,且直线EF,GH是相交直线
D.GH≠2EF,且直线EF,GH是异面直线
6.某正方体的平面展开图如图所示,则在这个正方体中 (　 )
A.NC与DE相交
B.CM与ED平行
C.AF与CN平行
D.AF与CM异面
7.一条直线l上有相异的三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是 (　 )
A.l∥α
B.l⊥α
C.l与α相交但不垂直
D.l∥α或l α
8.(多选题)下列说法正确的是 (　 )
A.已知点P l,A∈l,线段PA的长就是点P到直线l的距离
B.已知点P α,过点P作直线l⊥α,垂足为B,线段PB的长就是点P到平面α的距离
C.已知l∥α,P∈l,那么点P到平面α的距离就是直线l到平面α的距离
D.已知α∥β,P为α内任意一点,则点P到平面β的距离就是平面α与平面β之间的距离
9.(多选题)关于直线与平面,下列说法中正确的是 (　 )
A.若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点,则这两个平面平行
B.过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行
C.过平面外两点不能作平面与已知平面平行
D.若一条直线和一个平面平行,则经过这条直线的任何平面都与已知平面平行
二、填空题
10.设A为一个点,a为一条直线,α为一个平面,给出下列命题:
①A∈a,a α A α;②A∈a,a α A α;③A a,a α A α;④A∈a,a α A∈α.
其中真命题的个数为　　　　.
11.在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是　　　　.(填序号)
①直线AA1与直线CC1平行;
②直线AA1与平面C1D1DC相交;
③直线AA1与平面A1B1C1D1垂直;
④点A1与点B1到平面ABCD的距离相等.
12.直线a 平面α,直线b 平面α,则a,b的位置关系是　　　　　　.
三、解答题
13.给出如图点、线、面的图示.
(1)如何用文字语言表述以上点、线、面的位置关系
(2)如何用数学符号语言表述上述关系
14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)与直线A1B既不平行也不相交的棱所在的直线有哪几条
(2)与直线A1B平行的平面有哪几个 与直线A1B相交的平面有哪几个
15.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点A在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点B,D,A1到平面α的距离分别为1,2,4.若点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点C,C1,B1,D1中的一个,则点P到平面α的距离可能是　　　　.
★16.由等边三角形组成的网格如图所示,多边形ABCDEFGHIJ是某几何体的表面展开图,若该几何体顶点的字母用展开图相应字母表示,对于重合的两点,取字母表中靠前的字母表示,则直线BE和直线AJ的位置关系是　　　　.

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