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第六节 向量法求空间距离
重点题型专练
▍知识点1:向量法求空间距离方法总结
向量法求空间距离 点到直线的距离 设为直线上一点,为直线的方向向量, 在向量方向的投影向量模长为,点到直线的距离.
两平行直线,之间的距离 平行直线,之间距离可看成直线上一点到直线的距离,则, 其中是直线的方向向量.
点到平面的距离 设为平面的法向量,是平面的一条斜线,,则点到平面的距离等价于向量在方向上投影向量的模长,即.
直线到平面的距离 直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离,即直线到平面的距离
两平行平面的距离 与平面平行的平面到平面的距离等价于平面上一点到平面的距离,即
异面直线,之间的距离 设,直线,的公共法向量为（公共法向量的求法与平面的法向量求法相同）,则异面直线,之间的距离为向量在方向上投影向量的模长,即,其中,.
求空间两点间距离
【典例 1】在空间直角坐标系中,点到点的距离为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【练习 2】空间两点,间的距离等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.9
【练习 3】空间两点,,点关于平面对称的点为,则两点间的距离为（ ）
A.6 B. C. D.
【练习 4】在空间直角坐标系中,点与两点间的距离为,则（ ）
A.2或4 B.2 C.4 D.
点到直线（平行直线）的距离
【典例 5】已知直线过点,且方向向量为,则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【变式 6】（2024·江苏南通高二）在空间直角坐标系中,已知点,则点到直线的距离为（ ）
A. B.2 C. D.3
【练习 7】（2024·黑龙江）AD为三角形ABC边BC上的高,在空间直角坐标系中,, ,_________.
【练习 8】（2024·郑州高二期中）已知点, ,则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
【练习 9】在三棱锥中,,,两两垂直,且,,,三角形重心为G,则点P到直线的距离为_________.
【练习 10】已知正方体的棱长为是棱的中点,若点在线段上运动,则点到直线的距离的最小值为________.
【练习 11】（2023·江苏高二课后作业）如图,已知正方体的棱长为1,分别是和的中点,求直线和之间的距离.
点到平面的距离
【典例 12】在棱长为1的正方体中, 为线段的中点,则点到平面距离为（ ）
A. B. C. D.1
【变式 13】（2024·北京高二期中）在棱长为1的正方体中,是线段上一点,则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【练习 14】（2024·浙江宁波高二期中）如图,棱长为1的正方体,中M,N点,分别是线段,的中点,记E是线段的中点,则点E到面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【练习 15】如图,四棱锥中,底面BCDE为正方形,,,,两两垂直且相等,点为棱的中点,点在棱上,且,则点到平面的距离为 .
【练习 16】已知点,,, ,则点到平面的距离为 .
【练习 17】在如图的直四棱柱中,底面是正方形,是的中点,点N是棱上的一个动点,求点到平面的距离的最小值.

直线到平面的距离
【典例 18】（2024·湖南高二阶段练习）在棱长为1的正方体中,分别是的中点,则直线到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【练习 19】（2024·上海高二课后作业）如图,在长方体中,.则直线到平面的距离为_________.

【练习 20】（2024·河南高三阶段练习）如图,在棱长为1的正方体中,直线到平面的距离等于 .
【练习 21】如图,棱长为1的正方体中,E为线段的中点,F为线段AB的中点.则直线FC到平面的距离为_________.
平面到平面的距离
【典例 22】（2024·全国）正方体的棱长为1,则平面与平面的距离为________.
【练习 23】（2022·全国高二课后）已知点, ,,,则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为 .
【练习 24】（2022·全国）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点,且两平面的一个法向量为,则两平面间的距离是 .
【练习 25】（2022·湖南高二）在棱长为的正方体中,、分别是、中点,则平面与平面之间的距离为________.
异面直线间的距离
【典例 26】（2024·高三专题）正方体的棱长为分别为的中点,则异面直线与的距离为_________.
【练习 27】在四棱锥中,底面是边长为3的正方形,底面,点在侧棱上,且满足,则异面直线和的距离为_________.
【练习 28】如图,正四棱柱中, ,点E和F分别是线段与上的动点,则间最小距离为_______.
【练习 29】（2024·全国高三专题练习）已知棱长为2的正四面体中,的一条高为,则与间的距离为________.
【练习 30】（2024·江苏高二练习）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC,则异面直线AD与BC的距离为 .
【练习 31】已知正方体的棱长为2,M为棱的中点, P,Q分别为线段,上的动点,则的最小值为 .
空间距离的综合问题
【练习 32】（2024·黑龙江二模）如图所示,已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2,M是BC的中点,N是的中点,P是的中点.
（1）证明:平面;
（2）求点P到直线MN的距离.
【练习 33】（2024·吉林模拟）如图所示,在四棱锥中,平面,
为中点,点在梭上（不包括端点）.
（1）证明:平面平面;
（2）若点为的中点,求直线到平面的距离.
【练习 34】如图,三棱柱所有棱长均为,,侧面与底面垂直, 、分别是线段、的中点.
（1）求证:;
（2）若点为棱上靠近的三等分点,求点到平面的距离.
【练习 35】如图,三棱柱的所有棱长都是平面, 分别是的中点.
（1）求证:平面平面;
（2）在线段（含端点）上是否存在点,使点到平面的距离为？请说明理由.
【练习 36】（2024·广东汕尾高二上期末）如图,正方体的棱长为2,为的中点,平面与棱相交于点.
（1）求点到平面的距离;
（2）求证:是的中点.
【练习 37】（2024·江西萍乡高二期末）如图,是边长为4的正方形,平面,,且.
（1）证明:平面;
（2）线段上是否存在一点,使得点到平面的距离为？若存在,求线段的长;若不存在,请说明理由.
【练习 38】直三棱柱中,D,E分别是, 的中点,,,.
（1）求点E到平面的距离;
（2）取靠近的三等分点P,问线段上是否存在点Q,满足面,若有,求出点Q的位置,若没有,说明理由.
【练习 39】（2024·湖南高三练习）如图,在四棱锥中,,,,, ,平面平面,.
（1）证明:平面;
（2）若点Q是线段的中点,M是直线上的一点,N是直线上的一点,是否存在点M,N使得 请说明理由.

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