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第五节 向量的坐标表示
▍知识点1:平面向量的正交分解及坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
（2）平面向量的坐标产生过程:
①建系选底:在平面直角坐标系中,设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为、,取作为基底.
②线性表示:对于平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,,使得.
③定义坐标:有序数对叫做向量的坐标.
▍知识点2:点坐标与向量坐标的区别与联系
（1）表示形式不同
向量中间用等号连接,而点中间没有等号
（2）意义不同
点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置,的坐标既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外,既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点或向量
（3）联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
［对应练习:基础1］
▍知识点3:平面上向量的运算与坐标的关系
（1）向量的运算
已知平面上的两个向量,满足, .
①且.即平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等.
②.
③.
④.
重要结论:
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减区起点的坐标;即已知向量的起点,终点,则.
［对应练习:基础2］
▍知识点4:向量共线的坐标表示
设,其中.向量共线的充要条件是存在唯一的实数,使得.用坐标表示为,即消去,得.这就是说,向量共线的充要条件是.
［对应练习:题型1］
▍知识点5:中点坐标公式
设,为平面直角坐标系中的两点.
中点坐标公式:设线段中点为,则,.
拓展:线段定比分点
（1）设点是线段上不同于的点,且满足,即叫做点分有向线段所成的比,点叫做有向线段的以为定比的定比分点.
（2）定比分点的坐标表示:设,
则
即
当时,解得则点的坐标为.
特别地:（1）当时,点的坐标为,,这就是线段的中点坐标公式;
（2）若,则点在的延长线上或其反向延长线上,由向量共线的坐标表示及共线向量定理同样可得点的坐标为,
［对应练习:题型2］
▍知识点6:向量数量积的坐标表示
设两个非零向量,,则,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
［对应练习:题型3］
▍知识点7:向量的模
设,为平面直角坐标系中的两点.
则.
如果向量,则.
［对应练习:题型4］
▍知识点8:投影与投影向量的坐标表示
设两个非零向量,
投影（数量）:向量在向量方向上的投影为
投影向量:向量在向量上的投影向量为.
［对应练习:题型5］
▍知识点9:向量夹角的坐标表示
设,都是非零向量,,,是,的夹角,则
若,垂直,则,即.
［对应练习:题型6］
向量的正交分解及坐标表示
【典例 1】如图,设为一组标准正交基,用这组标准正交基分别表示向量,,,,并求出它们的坐标.

【典例 2】（多选）已知向量,对坐标平面内的任一向量,下列说法错误的是（ ）
A.存在唯一的一对实数,使得
B.若,则,且
C.若x,y∈R,,且,则的起点是原点O
D.若x,y∈R,,且的终点坐标是,则
【练习 3】平面直角坐标系中,的坐标（ ）
A.与点的坐标相同
B.与点的坐标不相同
C.当与原点重合时,与点的坐标相同
D.当与原点重合时,与点的坐标相同
【练习 4】在平面直角坐标系内,已知 、分别是x轴与y轴正方向上的单位向量,若,则的坐标为 .
【练习 5】已知,且的坐标表示的点在第四象限,则x的取值范围是 .
【练习 6】（2024·高一课时练习）若为正交基底,设（其中x∈R）,则向量对应的坐标位于（ ）
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三象限 D.第四象限
【练习 7】在平面直角坐标系中,向量,的方向如图所示,且,,求与的坐标.
向量线性运算的坐标表示
角度1:向量加减法的坐标表示
【典例 8】已知,两点的坐标,求,的坐标.
（1）,; （2）,;
（3）,; （4）,.
【变式 9】（2024·河南郑州高一）已知平面上三点,,,则的坐标是 .
【练习 10】若,则向量 ,向量 .
【练习 11】（2024·全国高一）在中,AC为一条对角线.若,,则的坐标是多少？
【练习 12】如图,已知平行四边形的三个顶点 的坐标分别是 ,
（1）求向量;
（2）求顶点的坐标.
角度2:向量数乘运算的坐标表示
【典例 13】（2024·云南大理高二统考期末）已知向量,则 .
【典例 14】已知,,则 .
【变式 15】已知,,试用表示.
【练习 16】已知,,为坐标原点, .点在轴上,则的值为 .
【练习 17】（2024·全国）设为一组标准正交基,已知,,.若,求在基下的坐标.
【练习 18】已知,,,设,,.
（1）求;
（2）求满足的实数,.
重点题型专练
向量共线的坐标表示
【典例 19】（2024·辽宁高一校联考）已知, ,若,则（ ）
A. B. C. D.
【变式 20】已知,,且三点共线,则（ ）
A. B. C. D.
【变式 21】（多选）在下列各组向量中,不能作为基底的是（ ）
A., B.,
C., D.,
【练习 22】已知向量,,,若与共线,则 .
【练习 23】已知向量,,点.
（1）求线段BD的中点M的坐标;（中点坐标公式见知识点5）
（2）若点满足点P,B,D三点共线,求y的值.
【练习 24】已知平面内给定三个向量, ,.
（1）设,求m,n的值;
（2）若,求实数k的值.
向量的定比分点
【典例 25】已知,,且,则的坐标为 .
【变式 26】已知与,点在直线上,且,则点坐标为 .
【练习 27】（2023·上海长宁高一）已知平面上、两点的坐标分别是、,是直线上一点,且,则点的坐标是 .
【练习 28】（2024·全国高三专题）在中,已知点,, 与交于点,求点的坐标.
【练习 29】（2024·全国高三专题）已知点, ,,O为坐标原点,求AC与OB的交点P的坐标.
向量数量积的坐标运算
【典例 30】已知,,,求下列各式的值
（1）; （2）;
（3）; （4）.
【练习 31】已知长方形中,,, 是的中点,是的中点,则 .
【练习 32】如图,在直角梯形中,, ,,,点在边上,且,则（ ）
A.1 B.2 C. D.
【练习 33】在边长为2的正三角形ABC中,, ,则 .
【练习 34】在平行四边形中,, ,点为线段的中点,求的值.
向量的模的坐标运算
【典例 35】已知平面向量,则 .
【变式 36】（2024·山西高三）已知向量, ,若,则k= .
【练习 37】已知向量,且,则 .
【练习 38】已知向量,,若,方向相反,则 .
【练习 39】（2024·四川雅安统考）正方形的边长为4,E为的中点,为边上一点,若,则（ ）
A. B. C. D.5
【练习 40】（2024·四川）已知点,,则与向量的方向相反的单位向量是 .
【练习 41】（2024·高一课时）若向量,则与其平行的单位向量为_________.
【练习 42】已知,,.
（1）试用、表示;
（2）若,求的值,说明此时与是同向还是反向,并求.
投影的坐标运算与表示
【典例 43】已知向量,则向量在向量上的投影的数量为（ ）
A. B. C. D.1
【变式 44】向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【练习 45】设,,则在方向上的数量投影为 .
【练习 46】已知向量,,则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【练习 47】已知向量 ,则向量在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
向量的夹角与垂直问题
【典例 48】已知向量,,,则（ ）
A.6 B. C. D.
【变式 49】（2024·内蒙古统考）已知向量, ,若,则（ ）
A.2 B.4 C. D.
【变式 50】（2024·四川绵阳）已知, ,则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【练习 51】若向量,满足,,且,则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【练习 52】（2023·北京顺义高一）如图,在中,,,,,边上的两条中线,相交于点,则（ ）
A. B. C. D.
【练习 53】在中,已知,, ,,边上的两条中线,相交于点,则的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【练习 54】已知向量.
（1）设,求的最小值;
（2）若向量与向量的夹角为钝角,求实数的取值范围.
利用坐标法求取值范围
【典例 55】已知中,,,点为的中点,点为边上一动点,则的最小值为________.
【练习 56】已知点是边长为2的正内一点,且,若,则的最小值为_________.
【练习 57】（2023·全国）在平面直角坐标系中,若,,,则的最小值为 .
【练习 58】△ABC中,AC = BC,∠BAC = ,D为BC中点,E为AB中点,M为线段CE上动点, = 4,则| AC | = ; 的最小值为 .
【练习 59】平面直角坐标系中,,为坐标原点.
（1）令,若向量,求实数的值;
（2）若点,求的最小值.
【练习 60】在直角中,角为直角,点是边的中点,点满足,点是边上的动点.
（1）若点是边上靠近的三等分点,设,求的值;
（2）若,求的取值范围.
【练习 61】如图,梯形ABCD中,,, ,且,E是线段AB上一点,且,F为线段BC上一动点.
（1）求的大小;
（2）若F为线段BC的中点,直线AF与DE相交于点M,求;
（3）求的取值范围.
综合巩固提升
一、单选题
1.已知向量 ,.那么“”是“ ”的（　　）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.（2024·贵州）已知 ,若,则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量,,若向量在向量上的投影向量,则（ ）
A. B. C.3 D.7
4.已知向量,,若是直角三角形,则的取值是（ ）
A.2 B. C.2或7 D.2或5
5.（2024·陕西安康高三统考）已知向量, ,,,则（ ）
A. B. C. D.
6.已知平面向量、、满足,, ,,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.（2024·山东济宁高三校考开学考试）已知为坐标原点,向量是线段的三等分点,则的坐标可能为（ ）
A. B.
C. D.
8.（2024·海南校联考）已知向量, ,则（ ）
A.若,则
B.在方向上的投影向量为
C.存在,使得在方向上投影向量的模为1
D.的取值范围为
9.在边长为1的正六边形中,为边上的动点,为边上的一个动点,则的值可以为（ ）
A. B.1 C. D.2
三、填空题
10.已知向量, ,若与所成的角为钝角,则实数的取值范围为 .
11.已知,,为,的夹角,且,则在上的投影向量的坐标为 .
12.已知向量, ,若非零向量与,的夹角均相等,则的坐标为 .（写出一个符合要求的答案即可）
四、解答题
13.（2023·天津滨海新高一校考期中）已知向量
（1）求;
（2）若,求的值;
（3）若与的夹角为锐角,求的取值范围.
14.（2022·全国高三专题练习）已知平面上三点,,且,.
（1）若三点,,不能构成三角形,求的值;
（2）若为直角三角形,求的取值集合.
15.（2024·洛阳）已知向量, .
（1）求证:;
（2）若存在不为0的实数和,使,满足,试求此时的最小值.
16.（2024·东莞高一校考）如图,在梯形ABCD中, ,,,且, E是线段AB上一点,且,F为线段BC上一动点.
（1）求的大小;
（2）若F为线段BC的中点,直线AF与DE相交于点M,求;
（3）求的取值范围.第五节 向量的坐标表示 【9】 18,18
解析:根据题意, A 2, 4 , B 0,6 , C 8,10 ,
核心基础导学 AC 10,14 , BC 8,4 ,
【1】答案见解析 AC BC 8,4 10,14 18,18 ;
解析:由图可知:

a 2i 3 j ,对应坐标为 2,3 故答案为: 18,18 .;
【10】 (1, 1) ; ( 4, 3)
b 2i 3 j ,对应坐标为 2,3 ;
解析:由 a b ( 3, 4)①, a b (5,2) ②.
c 2i 3 j ,对应坐标为 2, 3 ;
1 ①+②,得 a ( 3, 4) (5,2) (1, 1) ;d 2i 3 j ,对应坐标为 2, 3 . 2

【2】BCD 1①-②,得 b ( 3, 4) (5,2) ( 4, 3) .
解析:由平面向量基本定理,可知 A正确; 2

例如, a (1,0) (1,3) ,但 1＝1,故 B错误; 故答案为: (1, 1) , ( 4, 3)
【11】 ( 3, 5)
因为向量可以平移,所以 a (x, y) 与 a 的起点是不是原点无关,故 C 错
误;

当 a 的终点坐标是 (x, y)

时, a (x, y) 是以 a 的始点是原点为前提的,故 解析:
D错误.故选:BCD.
【3】C

解析:A:仅当 A 点与原点重合时,向量与点 B 的坐标相同,错误; AC (1,3) , AB (2,4) ,
B:只有当 A 点不与原点重合时,向量与点 B 的坐标不相同,错误;
C A AD BC AC AB ( 1, 1) ,:如 中描述,正确;

D:当 B 与原点 O 重合时, AB的坐标值与 A 的对应坐标值互为相反数, BD AD AB ( 3, 5) .
错误.故选:C. 【12】（1） (4,1) （2） ( 2,1)
【4】 (2, 3) 解析:（1） 四边形 ABCD 是平行四边形,

解析:由题意可得 a 2i 3 j ,则 a 的坐标为 (2, 3) .故答案为: (2, 3) . 且顶点 B C 的坐标分别是 ( 1,3) (3,4) ,
【5】 (1,2) BC 3,4 1,3 4,1 ;

解析:由题可得 AB 2 x,1 x ,因为 AB的坐标所表示的点在第四象 （2）设 A(x, y) ,又 D(2,2) ,
2 x 0 AD 2 x,2 y ,
限,所以 解得 1 x 2 .所以范围是 (1,2)
1 x 0 又 AD BC ,
【6】D 2 x,2 y 4,1 ,
解析: x2 x 1 (x
1 )2 3 0 x2 x 1 1 3 , (x )2 0 , 2 x 4 2 4 2 4
x 2
即 ,解得 , 2 y 1

y 1
因此 a 对应的坐标满足 x2 x 1 0 , (x2 x 1) 0 ,
顶点 A 的坐标为 ( 2,1) .
所以向量 a 对应的坐标位于第四象限.故选:D
【13】 4,5
3 3 3
7 2, 2 , 【 】 ; 2 2 解析: a 1,1 , b 2,3 ,
2a b 2,2 2,3 4,5
解析:设点 A x, y , B x , y , .故答案为: 4,5 .0 0

a 2 【14】 1,8∵ ,且 AOx 45 ,
解析:因为 a 2,1 ,b 1,2 ,所以 2a 3b 2 2,1 3 1,2 1,8 .故答
∴ x 2cos45 2 , y 2sin 45 2 .
案为: 1,8 .
∵ b 3 , xOB 90 30 120 ,
【15】 c 2a 2b .
x 3cos120 3 y 3sin120 3 3

∴ 0 , 0 . 解析:设 c xa yb ,2 2
则 10, 4 x 2,3 y 3,1 2x 3y,3x y ,
故 a OA 2, 2 , b OB 3 , 3 3 .
2 2
10 2x 3y
∴
4 3x y
3 3 3 故答案为: 2, 2 ; , 解得 x 2, y 2 ,
2 2
∴ c 2a 2b .
【8】（1） AB 1, 4 , BA 1,4 【16】1

（2） AB 9, 1 , BA 9,1 解析:设点 P a,0

（3） AB 0,2 , BA 0, 2 OP a,0 , OA 3, 1 , OB 3,2

（4） AB 1,0 , BA 1,0 则 a,0 6, 2 3 ,2
解析:（1）因为 A 5,3 , B 4, 1 , a 6 3 1
则有 解得
所以 AB 4, 1 5,3 1, 4 , BA 5,3 4, 1 1,4 . 0 2 2 a 9
15 5
（2）因为 A 3,4 , B 6,3 , 【17】 , .
4 2
所以 AB 6,3 3,4 9, 1 , BA 3,4 6,3 9,1 . 解析:因为 AD AB BC CD 3i 2 j 4i j 8i 9 j 15i 10 j ,
（3）因为 A 0,3 , B 0,5 ,
15 5
所以 AB 0,5 0,3 0,2 , BA 0,3 0,5 0, 2 又 AD 4a ,所以 a i j .. 4 2
（4）因为 A 3,0 , B 2,0 , i, j 15 5 因此 a 在基 下的坐标为 , .
所以 AB 4 22,0 3,0 1,0 , BA 3,0 2,0 1,0 .
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【18】（1） 6, 42 ;（2） m 1 , n 1 .
【25】 2, 2
解析: a (5， 5) , b ( 6， 3) , c (1，8) ,

则:（1） 3a C(x, y) b 3c (6， 42) ; 解析:设 ,因为 A 0,1 ,B 3, 2 ,所以

（2） mb nc ( 6m n， 3m 8n) (5， 5) ,解得 m 1 , n 1 . AC (x, y 1) , CB (3 x, 2 y) ,
x 2(3 x)
重点题型专练 又因为 AC 2CB ,所以 , y 1 2( 2 y)
【19】B x 2
解得 ,所以 AC (x, y 1) (2, 2) .故答案为: 2, 2
解析:因为 y 1
kb a (3k, k) (1,2) (3k 1, k 2) , 2a b (2,4) (3, 1) (5,3) , 5 8
【26】 , 或 (1,0)
且 (kb a)//(2a b) ,所以 3k 1 3 5 k 2 0 ,即 14k 7 , 3 3

AP 2 PB 1
解得 k B 解析:由点 P在直线 AB上,且 ,可得.故选: AP 2PB 或
2
20 A AP 2PB
,
【 】
当 AP 2PB 时,设 P(a,b) ,有 (a 3,b 4) 2( 1 a,2 b) ,解得
解析:由 A m,0 ,B 0,1 ,C 3, 1 ,得 AB m,1 ,BC 3, 2 ,
5 8
因为 A,B,C 三点共线,所以 AB / /BC ,即 m 2 1 3 0 a , b ,, 3 3
3 3 5 8
解得 m .所以 m .故选:A. 点 P 坐标为 ( , ) .
2 2 3 3
【21】AC 当 AP 2PB时,设 P(m,n) ,有 (m 3,n 4) 2( 1 m,2 n) ,解得

解析:对 A, e ∥ ,不能作为基底; 5 81 e2 m 1 , n 0 ,点 P 坐标为 (1,0) .故答案为: ( , ) 或 (1,0) .3 3
1 7 2 5 0 对 B, , e 与 e 不平行,可以作为基底;1 2 【27】 (3,2)
C 对 , e 2e , e ∥ e ,不能作为基底; 解析:设点 P 的坐标是 x, y ,又 A(2,3)、 B(5,0) ,所以2 1 1 2
对 D, 2 2+3 3 0 , 与 不平行,可以作为基底.故选:AC. AP x 2, y 3 ,AB 3, 3e ,1 e2
3 1 x 2 1【22】 因为 AP AB ,所以 x 2, y
1
3 3, 3 1, 1 ,所以
3 3
,
2 y 3 1

解析: a 1,3 , b 1,2 , c 2,m , 解得 x 3, y 2 ,所以点 P 的坐标是 (3,2) .故答案为: (3,2) .

b c 1,2 m a c 3,3 m 12 , , 【28】 ,2
7


b c与 a c 共线, 1 1
3 3 解析:因为点
O(0,0),A(0,5),B(4,3) , OC OA,OD OB ,
1 3 m 3 2 m 0 ,得 m .故答案为: . 4 2
2 2
C 0, 5 D 2, 3 1 所以 , .
【23】（1） M ,

1 3 ;（2） 4 2


2 7
M (x, y) AD 7 解析:（1）设 B(x , y ) , AB 4,3 , A 1, 2 , 设 ,则 AM (x, y 5) ,而 2, 1 1 2 ,
x1 1, y1 2 4,3 , 因为 A,M ,D 三点共线,所以 AM 与 AD 共线,
x1 1 4 x1 3 7 , , 所以 x 2(y 5) 0 ,即 7x 4y 20 .
y1 2 3 y 21 1
5
B 3,1 ,同理可得 D 4, 3 , 而 CM x, y , CB (4 0,3 5 ) 7 4 3 4, , 4
设 BD的中点 M x , y , C,M ,B 2 2 因为 三点共线,所以 CM 与 CB 共线,
3 4 1 1 3
则 x2 , y2 1 , 72 2 2 所以 x 4
y 5 04 4 ,即
7x 16y 20 .

M 1 , 1 . 12
2 7x 4y 20 x 12 ,2 由 ,得 7 ,所以点 M的坐标为 7 .2 PB 3,1 2, y 1,1 y BD 4, 3 3,1 7, 4 7x 16y 20（ ） , , y 2
P,B,D 三点共线, PB//BD , 【29】（3,3）
4 7 1 3 解析:法一:由 O,P,B三点共线,可设 OP OB (4 ,4 ) , y 0 ,解得 y .
7 则 AP OP OA (4 4,4 ) ,
5
m 又 AC OC OA ( 2,6) , 9 k 16【24 】（1） ;（2） 8 13 由 AP,AC 共线,得 (4 4) 6 4 ( 2) 0 ,
n 9 3
解得 ,所以 OP
3
OB (3,3) ,
解析:（1）解:因为向量 a (3,2) , b ( 1,2) , c (4,1) 4 4,且 a mb nc ,
所以点 P的坐标为 (3,3) ,
所以 3,2 m 1,2 n 4,1 , 故答案为: (3,3)
5 m 法二:设点 P（x,y）,则 OP (x，y) ,因为 OB (4,4) ,且 OP 与 OB共 3 m 4n 9
所以 ,解得 ; 线,所以 4x 4y 0 ,即 x y .
2 2m n n 8 9 又 AP (x 4，y) , AC ( 2，6) ,且 AP,AC 共线,
所以 (x 4) 6 y ( 2) 0 ,解得 x y 3
（2）因为向量 a (3,2) ,, b ( 1,2) , c (4,1) ,
所以点 P的坐标为 (3,3) ,故答案为: (3,3)
所以 a kc 3 4k,2 k , 2b a 5,2 ,
【30】 a b 8 ; a b a b 7 ; a
2b c 0 ; a b 49
因为 (a kc)∥2b a ,
16 解析:因为 a 2,3 , b 2,4 ,
所以 2 3 4k 5 2 k k .
13
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所以 a b 2 2 3 4 8 2 2a 22 2 ,且 32 13,b 2 42 20 , ka b (k 2)2则 (2k 1)2 5k 2 5 10 ,
所以 2 2a b a b a b 13 20 7 , 解得 k 1 .故答案为: 1.
【37】 5 2 2 2a b a 2a b b 13 2 8 20 49 , 3a b 3 1,3 t 2,4 5,3t 5
解析: ,
因为 c 1, 2 ,所以 b c 3,2 ,
因为 3a b // a ,所以 1 3t 5 5 3 t 0 ,解得 t 5 ,
则 a b c 2 3 3 2 0 . 所以 a 1, 2 , a 12 ( 2)2 5 .故答案为: 5 .
【31】7
【38】
解析:如图以 A 为坐标原点建立如图平面直角坐标系,则 2 2

A 0,0 , D 0,2 , C 4,2 , E 0,1 , F 2,0 ,故 EC 4,1 ,EF 2, 1 ,故 解析:因为 a 2, t , b 1 2t,3 ,且 a , b方向相反,

EC EF 4 2 1 1 7 . 所以可设 b a 0 ,
t 2 3
1 2t 2 t
则 ,解得 3 或 2 （舍去）,
3 t 2 2

所以 a 2, 2 , a 22 2 2 2 2 .故答案为: 2 2 .
【32】C
B 【39】D解析:以 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
解析:如图,建立平面直角坐标系,设 DF a 0,4 ,
则 C 2,0 ,D 1,2 ,

设 E 0, x ,则 CE 2, x , CD 1,2 , 则 A 0,0 ,E 4,2 ,F a,4 ,可得 AF a,4 ,AE 4,2 ,
1 1 因为 AF AE | AE |2CD CE 2 2x 3 x BE C ,即 4a 8 20 a 3则 ,解得 ,即 .故选: . ,解得 ,
2 2 2 2
3 即 AF 3,4 ,所以 AF AF 3 4 5 .故选:D.
【33】
2 3
, 4
解析:由题知, D为 AB中点, E 为 BC 中点,连接 CD ,以 D为坐标原点, 【40】 5 5


分别以 AD , DC 所在的直线为 x 轴, y 轴建立如图所示的平面直角坐
标系, 解析: AB 3, 4 , AB 5 ,


则 A( 1,0) , B(1,0) , C(0, 3) , D(0,0)
1 3 AB 3 4
, E , ,2 2 与向量 AB的方向相反的单位向量为
,
AB 5 5

.
3 3 1 3
所以 AE , DE ,
3 5 12
,2 2 2 2
,故 AE DE . 【41】 ,
2 13 13



解析:由题意,向量 AB 5, 12 ,可得 AB 52 ( 12)2 13 ,

AB ( 5 12所以与已知向量 AB 5, 12 平行的单位向量为 , )AB 13 13 .
242
41
【 】（1） c 3a 2b ;（2） k ,反向, | a kb | .
15 3 3
【34】
4 1

解析:（ ）设 c xa yb ,依题意, ( 5, 4) x(1,2) y( 1,1) (x y,2x y) ,
解析: BD DC ,以 D为原点, DC 为 x 轴, DB 为 y 轴,建立如图所示
x y 5 x 3
的平面直角坐标系, 从而 ,解得 ,
2x y 4 y 2

所以 c 3a 2b .
2

（ ）依题意, a kb (1 k，2 k) ,而 c ( 5, 4) ,由 (a kb) / /c ,
1 k 2 k 2 5 4
得 ,解得 k ,此时 a kb ( , )

与 c 反向,
5 4 3 3 3
AD 2AB 2 ,则 BD AD2 AB2 4 1 3 ,
所以 | a
5 4
kb | ( ) 2 ( ) 2 41 .
1 3 1 3 3 3有 M ,0 , B 0, 3 , A 1, 3 , MA 2 , 32 , MB , 3 , 2 【43】D
3 15 15 解析:由题意可得, b 3,a b 4 1 3MA MB 3 , .故答案为:
4 4 4
35 2 3
a b 3
【 】 故向量 a 在向量 b上的投影的数量为 1
b 3
.故选:D.

解析:因为 a 2,0 , b 1, 3 ,

【44】C

所以 a 2b 2,0 2 1, 3 0, 2 3 , 解析:因为 a 2 3,2 , b 1, 3 ,则 a b 2 3 2 3 4 3 ,

所以 a 2b 2 3 .故答案为: 2 3 . 所以 a 在 b方向上的投影向量为

【36 】 1 a cos a,b b a b
4 3
2 b 1, 3 3,3b 1 3
.故选:C
解析:因为向量 a 1,2 , b 2,1 , b

所以 ka b k 2,2k 1 , 2
【45】
2
{#{QQABQQUp4wCwkkRACR6bQw16CksQkIOSLaoOQUCQuAQKyANIBCA=}#}

解析:因为 a 2,1 , b 1,1 , MPN APB MA,NB ,


MA NB
所以 a b 2 1 1 , b 2 , 所以 cos MPN cosMA,NB
1 7
.故选:B
MA NB 7 2 14
所以 a 向量在 b方向的数量投影为:

a cos a,b a b 1 2 2
b 2 2 .故答案为: .2
【46】D

解析:由已知 a b 4,3 ,
3 5 21

, 1 1, 5 21


a
【54】（1） ;（2） a b a b 4 6 4,3 8 6 2 2 2
则 a 在 a b 上的投影向量为 ,
a b a b 5 5
5 5 . 解析:（1）由题意得 a kb 1,0 k 1, 3 1 k, 3k ,
故选:D. 2
【47】A 所以 a kb (1 k )2 ( 3k )2 4k 2 2k

1 4 k
1 3
,
4 4
解析: a b 1, 3 ,又 c 1, 3 , c在向量 a b 上的投影向量为 1 3
所以当 k 时, a kb 取得最小值为 ;
c a b 4
2
2 a b 1

1, 3 1 3 , .故选:A. （2）由于
a b 2 2 2 ta b t 1,0 1, 3 t 1, 3 ,a tb 1,0 t 1, 3 1 t, 3t ,
【48】D
向量 ta b 与向量 a tb 的夹角为钝角,
解析:∵ a b ,∴ a b 0 ,即 2x 3 1 0 x
3
,解得 ,故选:D. 2 所以 ta b a tb 0 ,且向量 ta b 与向量 a tb 不能反向,
【49】C
2 2 所以 t 1 1 t 3 3t t2 5t 1 0 且 3t t 1 3 t 1 0 ,
解析:由 (m n) (m n) ,得 (m n) (m n) m n 0 ,
5 21 5 21
而向量 m (4,a) , n (2,4) ,则 (42 a2 ) (22 42 ) 0 ,解得 a 2 , 解得 t 且 t 1 ,2 2
所以 a 2 .故选:C 5 21 5 21
【50】A 故实数 t 的取值范围为 , 1 1, .
1 2

2
解析:由 | a b | 3 ,得 2 2

a 2a b b 3 ,而 | a | 1,| b | 1 ,则 a b ,2 9
【55】
2 3

a (a b) a a b cos a,a b a (a b) 3
16
于是 ,则 ,而 y
2 | a || a b | 2 解析:以 BC 所在直线为
x 轴,线段 BC 的中垂线为 轴建立平面

直角坐标系,如图所示 ,
0 a,a b π ,所以 a 与 a b 的夹角为 a,a
π
b .故选:A
6
【51】C

解析: a 1,1 ,则 a 2 ,
由 2a b b ,有 2a b b 2a b b 2 0 ,得 a b 2 ,
3

cos a,b a b 2
由题意可知, A 0,4 , C 3,0 , D ,2 ,
由
3π
a
a b 2 ,则 与 b 的夹角为 .故选:C
2
4 3
52 D 设 M t,0 ,其中 t 3,3 ,则 MD t,2 , MC 2 3 t,0 ,【 】
解析:因为 AC 1 , AB 2 , BAC 60 , 2
MD 3 9 9 9 9由余弦定理得, 故 MC t 3 t t 2 t t ,
BC 2 AB2
2 2 2 4
AC 2 2AB ACcos BAC 4 1 2 2 1 cos60 3
16
,
9 9
得到 BC 3 ,又 BC 2 AC 2 AB2 ,所以 ABC 为直角三角形, 所以当 t 时, MD MC 有最小值 .4 16
建立如图所示的平面直角坐标系, 1
【56】
4
解析:取 BC 的中点 O ,以点 O 为坐标原点, OC 、 OA所在直线分别为
x 、 y 轴建立平面直角坐标系 xOy ,则点 A 0, 3 、 B 1,0 、C 1,0 ,
则有 A(1,0),B(0, 3),C(0,0) ,又 D,E 分别为 BC,AB中点,
3 1 3
所以 D(0, ),E( , ) ,故 AD ( 1, 3 ),CE ( 1 , 3 ) ,
2 2 2 2 2 2 设点 M x, y , AM x, y 3 , AB 1, 3 , AC 1, 3 ,
1 3

所以 cos DPE cosAD,CE
AD CE 7
2 4 x
AD CE 1 3 1 3
14 ,
1
4 4 4 AM AB AC 且

,则 y 3 3 ,可得2
D 1故选: .
53 B 【 】 2
解析:由余弦定理得 BC 4 16 2 2 4 cos60 2 3 , x 1 2
2 2 2 0 1所以 AB BC AC 2 ,所以三角形 ABC 是直角三角形,且 ABC 90 , ,由于点 M 在正 ABC

内,则 ,可得 0 ,则
3 0 4
以 B 为原点建立如图所示平面直角坐标系, y
2
A 0,2 ,M 3,0 ,C 2 3,0 ,N 3,1 ,
1 1 3 3 x , ,可得 MB 1 x, , MC 1 x,
MA 3,2 ,NB 3, 1 , 2 2 2 2 ,
{#{QQABQQUp4wCwkkRACR6bQw16CksQkIOSLaoOQUCQuAQKyANIBCA=}#}

2 3 2 1 MB MC x 1 1 x 10 ,所以当 x 0 时, MB MC 取最小值 . 所以 MQ PQ ,34 4 4 13
.

【57】 2 5

解析:由题意得 OA (1,0) , OB (3,4) ,则 OC xOA yOB (x 3y,4y) ,

所以 AC OC OA (x 3y,4y) (1,0) (x 3y 1,4y) ,又 x y 6 ,

所以 AC (5 2y,4y) ,
2
于是 AC (5 2y)2 (4y)2 20y 2 20y 25 20 y
1
20 ,
2

π
61 1 ; 2 93
95 ,15
1 【 】（ ） （ ） ;（3）
由于 y R
13
,故当 y 时, AC 的最小值是 2 5 .故答案为: 2 5 3 62
2 解析:（1）连接 AC , BD ,
11
【58】4; 由 AB CD, AB 5 , DC 2 ,
4 5
解析:空 1:由题可知△ABC为等边三角 则 AB DC , AB= DC ,
2
形, BD BA
1
BC BA cos60 4 ,
2 所以 AD与 AB的夹角和 AD与 DC的夹角相同,并设为 , 0, π ,
解得 BA 4 ,因此 BA BC AC 4 ; 则 AC BD AD DC AD AB AD DC AD 5 DC
2


空 2:如图,设 A 2,0 , D 1, 3 , M 0, y ,其中 0 y 2 3 , 2 3 5 2 2 3 2 AD AD DC 5 DC AD AD DC cos DC ,
2 2 2 2AM 2, y , DM 1, y 3 , AM DM 2 y2 3 y ,
16 3 4 2cos 5 4 0 cos 1
3
又 AC BD 0 ,即 ,得 ,
y AM DM 2 y2
11 2 2 2
当 时, 3y ,即为 的最小值.
2 4
AM DM π π
又 0, π ,则 ,即 DAB .
3 3
11
故答案为:4; .
4
（2）如图,过点 D作 DO AB 于 O ,
【59】（1） t 2 或 t 1 ;（2）5 则 AO AD cos DAB 2 , DO ADsin DAB 2 3 ,

解析:（1） a OA (1,1),b OB (0, 1) , 故以 O 为原点,以 AB , D O 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立平面直
角坐标系,
所以 ta b t 1,1 0, 1 t ,t 1 ,
则 A 2, 0 , D 0,2 3 , E 2, 0 , B 3,0 , C 2,2 3 ,
由 ta b 5 得 t 2 + (t -1)2 = 5 ,
F 5 , 3 又 F为线段 BC的中点,则 ,
解得: t 2 或 t 1 . 2
（2）因为 OC OA AC ( x 1, x 2) ,
所以 AF
9 , 3 DE 2, 2 3
2 2
, ,

所以 OC OA | AC |2 ( x 1)2 ( x 2)2 2x 2 x 5 ,
9
因为 x 0
2 2 3 3
, y 2x 5, y 2 x 均为单调递增函数, cos AF DE 93所以
2 .
所以当 x 0 时, (2x 2 x 5)min 5 , AF DE 81
62
3 4 12
2 4
即 OC OA 的最小值为 5.
1 10
【60】（1） （2） ,3
3 13
2 1
解析:（1）因为 AP AB ,所以 BP BA ,
3 3
1 （3）结合（2）,得
BC 1,2 3 ,
若点 Q是 BC
2
边上靠近 C 的三等分点,则 CQ CB ,即 BQ BC ,
3 3 设 BF BC , 0,1 ,则 F 3 ,2 3 , 2 1 2 1 2 所以 PQ BQ BP BC BA AC 1 AB AB AC AB , 3 3 3 3 3 3 所以 AF 5 ,2 3 , DF 3 ,2 3 2 3 ,
1
所以
AF DF 5 3 2 3 2 3 2 3 13 2 20 151
又 PQ AB AC

AC 3, AB、 不共线,所以 ,所以 .
2 3 13 10
2 95
3

,
13

13
（2）如图以 A 点为坐标原点建立平面直角坐标系,则 10 95
B 3,0 , C 0,2 P 2,0 0, , M 0,1 , 又 0,1 ,则当 时, AF DF ;当min
13 13
Q CQ CB 3 , 2 0,1 因为 在 CB 上,设 （ ）, 时, AF DF 15 ,
max
所以 MQ MC CQ 0,1 3 , 2 3 , 2 1 , 95
所以 AF DF 的取值范围为 ,15
PQ PC CQ 2,2 3 , 2 3 2,2 2 , 13
.

所以 综合巩固提升
2
MQ PQ 3 3 2 6 10 2 1 2 2 13 2 12 2 13
13 13 1.【答案】A
6 10 解析:向量 a 4,x , b x,1 , a / /b ,则 x2 4 解之得 x 2 ,
因为 0,1 ,所以当 时, MQ PQ ,13 min 13 则“ x 2 ”是“ x 2 ”的充分而不必要条件.

1 6 6

0 1 MQ PQ 3 即向量 a 4, x

, b x,1 .那么“ x 2 ” “ 是 a / /b ”的充分而不必要条
又 13 13 ,所以当 时, ,max 件.故选:A.
{#{QQABQQUp4wCwkkRACR6bQw16CksQkIOSLaoOQUCQuAQKyANIBCA=}#}
2.【答案】D

2 2

a b sin 1 cos 3 5 2sin 2 3 cos
解析:向量 a 3sin cos ,sin 5cos ,b 3sin ,cos

,由 a b ,

得 a b 3sin (3sin cos ) cos (sin 5cos ) 0 , 5 4sin π ,
3


变形得 (9sin 5cos )(sin cos ) 0 ,而 (0,
π ) ,即 sin 0,cos 0 ,
2
所以 sin
π


1,1 ,则 a b 1,3 3 ,故 D正确.故选:BCD.5
因此 9sin 5cos 0 ,所以 tan .故选:D
9 9.【答案】ABC
3.【答案】B
解析:正六边形
ABCD EF 中,每个内角都是 ,
120 FEA FAE 30
,
解析:由已知可得, b 在 a 上的投影向量为 有 EA AB ,

a b a 2sin 以 A 为原点, AB 为 x 轴, AE 为 y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示:
(2,0) (sin ,0) ,
| a | | a | 2 2
1 1
又 b 在 a 上的投影向量 c ,0 ,所以 sin
2
,
2

b ( 1 3

, ) a b ( 5 , 3所以 ,所以 ) ,
2 2 2 2

所以 | a b | ( 5)2 ( 3 )2 7 .故选:B.
2 2
4.【答案】C 因为 AB AF 1 , cos120
1 1 3 , sin120 3 ,则有 F , ,
2 2 2 2
解析: AB 1,k , AC 2,1 ,则 BC AC AB 3,1 k ,

A A(0,0) B(1,0) E 0, 3
3 3
当 是直角顶点时: AB AC 1,k 2,1 2 k 0 , k 2 ; 所以 , , , C , ,

2 2
当 B 是直角顶点时: AB BC 1,k 3,1 k 3 k k 2 0 ,无解;
P
设
3
x1 , y1 , Q x2 , y2 , y1, y2 0, ,
当 C 是直角顶点时: AC BC 3,1 k 2,1 6 1 k 0 , k 7 ; 2
k 2 k 7 综上所述: 或 .故选:C. AE (0, 3) , PQ x2 x1 , y2 y1 ,
5.【答案】C

由平面向量数量积的运算可得 AE PQ 3(y2 y1) ,
解析: c ta b 2t 6,8 , a c 4t 12 , b c 12t 100 ,
3 3 3 3 y y 3 , 3 a c b c 因为 y1, y2 0, ,可得 y2 y1 , ,有 2 1 ,
a,c b ,c 4t 12 12t 100
2 2 2 2 2
由 得: a c , t 5

b ,解得: . c 2 10 3 3
所以 AE PQ的取值范围是 ,2 2 .故选:ABC.故选:C.
6.【答案】C 1 10.【答案】 , 1 1,
解析:不失一般性,在平面直角坐标系 xOy 中,设 5

a 1,0 , b x1, y1 , c x2 , y , 解析: a 与 b 所成的角为钝角即 a b 0且 a 与 b 不平行,2

因为 a b x1 1 , a c x2 1 , b c x1x2 y1y2 y1y2 1 0 , 3t 1 2t 0
t 1
即
5 ,
2 2 1 3t 1 t 2 2
所以, b c 1 1 y y y y y 3t t 2 01 2 1 2 1 y1
1
1 1 所以 t , 1 1,
y 2 y 2 b c 5
.
y 1 1 y 1 y ,当且仅当 1 时,等号成立.因此,1 1
故答案为: , 1 1, 1 .
的最小值为 2 .故选:C. 5
7.【答案】AC 9 6
11.【答案】 ,
解析:因为 OA 2,3 , OB 6, 3 ,可得 AB OB OA 4, 6 , 10 5
2

8 sin a,b
又因为点 P 是线段 AB的三等分点,则 AP AB , 43 3 或

3
解析:由 tan a ,b 3 ,则 cos a,b ,
1 4

AP AB , 2 ,所以 OP OA AP
14
, 1


3 3 3 或

sin
2 a,b cos2 a,b 1


OP OA AP 10 14 10 ,1 P , 1 ,1

AC cos a,b 1 3 ,即 点的坐标为 3 或 3 .故选: . 解得 , 2
8.【答案】BCD
则 b cos a,b
a 3 1 1 9 6 (3,4) ,
A 3
.
解析:对于 ,若 a / / b ,则 3 sin cos 0 ,则 tan ,所以 A错 a 2 5 10 5
3
误;
12.【答案】（1,1）,答案不唯一,只需满足横纵坐标相等即可.
B 对于 , b 在 c 方向上的投影向量为 解析:设 c x, y ,因为 a 1,2 , b 4,2 ,

b c

c 1 3 3 3 c 1 c a c x 2y c 2 2 ,故 B正确; 所以 cos a,c , c 32 3 32 3 2 a c 5 x2 y2

对于 C, c b 2,0 ,所以 a 在 c b方向上投影向量的模为: cos b,c b c 4x 2y
2 2 ,
b c 2 5 x y
a c b a c b
a cos a,c b a 2sin sin

,
a c b c b 2 因为 c 与 a , b 的夹角均相等,所以
cos a,c =cos b,c ,
x 2y 4x 2y
π 所以 当 时, sin 1 ,所以存在 ,使得 a 在 c b方向上投影向量的模 5 ,2 x
2 y2 2 5 x2 y2

为 1,故 C正确; 化简得 x y ,所以 c (x, x) ,

对于 D,向量 a sin ,cos ,b 1, 3 , 因为 c 为非零向量,可取 x 1 ,此时 c (1,1) .
故答案为:（1,1）,答案不唯一,只需满足横纵坐标相等即可.
{#{QQABQQUp4wCwkkRACR6bQw16CksQkIOSLaoOQUCQuAQKyANIBCA=}#}
13.【答案】（1） 2 ; （2） 1;（3） , 1 1, 17 12 .

解析:（1）由题意可得 a 2b 1, 1 ,

所以 a 2b 2 ;
（2）如图,过点 D作
DO AB 于 O ,

（2）由题意得 a b 2,5 ,a kb k 1,3 2k 则 AO AD cos DAB 2 , DO ADsin DAB 2 3 ,
故以
O 为原点,以 AB , D O 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立平面直因为 a b // a kb ,所以 2 3 2k 5 k 1 0 ,解得 k 1 ; 角坐标系,

（3）因为 a b 与 a kb 的夹角为锐角,所以 a b a kb 0 且 则 A 2, 0 , D 0,2 3 , E 2, 0 , B 3,0 , C 2,2 3 ,

a b ,a kb 0 F 5 , 3 , 又 F为线段 BC的中点,则
2
,

2 k 1 5 3 2k 0 k 17 9 即 ,解得 ,
12 所以 AF , 3 , DE 2, 2 32 ,



由（2）可知当 k 1 时, a b ,此时 a b ,a kb 0 , 9
17 cos AF DE
2 2 3 3 93
2
所以 k 的取值范围为 , 1 1, . 所以 81 62 . 12 AF DE 3 4 12
4
14.【答案】（1） k
1
;（2） 2, 1,3,8 .
2
解析:（1）因为三点 A,B,C不能构成三角形,所以 A , B , C 在同一条直
线上,
1
BC AC , 4 2 k 3 2 0 ,解得 k .
2

（2）由题意得, AB AC BC k ,1 . （3）结合（2）,得 BC 1,2 3 ,

A 当 是直角时, AB AC , AB AC 0 , 2 k 4 0 ,解得 k 2 ;
设 BF BC ,
0,1 ,则 F 3 ,2 3 ,
当 B 是直角时, AB BC , AB BC 0 , k2 2k 3 0 ,解得 k 1 或
所以 AF 5 ,2 3 , DF 3 ,2 3 2 3 ,k 3 ;

当 C 是直角时, AC BC , AC BC 0 , 16 2k 0 ,解得 k 8 . 所以 AF DF 5 3 2 3 2 3 2 3 13 2 20 15
综上所述, k 的取值集合为: 2, 1,3,8 .
13 10
2
95
11 ,
15.【答案】（1）证明见解析;（2） . 13 13
4 10 95 π π 又 0,1 ,则当 时, AF DF ;当 0
解析:（1） a cos ,sin ,b cos ,sin . 13 min 13 2 2
时, AF DF 15 ,max
a cos , sin ,b sin ,cos 95
所以 的取值范围为 ,15 .
a b cos sin sin cos 0
AF DF , 13

故 a b .

（2）显然 a b cos2 sin2 1 ,

x y x y a t
2 3 b ka tb 0 ,
2 2
故可得 k a t t 2 3 b t k t 2 3 a b 0 ,
即 k t t2 3 0 k t t2, 3 ,
k t2 t2 t 3 t 1
2
11
,t 2 4
t 1
2 11
所以当
k t
时, 取得最小值 .
2 t 4
π 95
16.【答案】（1 93） ;（2） ;（3） ,15
3 13 62
解析:（1）连接 AC , BD ,
由 AB CD, AB 5 , DC 2 ,

则 AB DC , AB=
5DC ,
2

所以 AD与 AB的夹角和 AD与 DC的夹角相同,并设为 , 0, π ,
AC BD AD DC AD AB AD DC AD 5 则 DC
2


2 2 2 2
AD 3 AD DC 5 DC AD 3 AD DC cos 5 DC ,
2 2 2 2

又 AC BD 0 ,即16
3
4 2cos 5 1 4 0 ,得 cos ,
2 2 2
又 0, π π,则 ,即 DAB π .
3 3
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