资源简介

详解:∵ AB BC 2 ,向量 AB与 BC 的夹角为 120°,
第三节 向量的数量积 1
∴ AB BC AB BC cos120 2 2 22 .
核心基础导学
【8】 2 2
【1】C
详解:如下图所示: 详解:由数量积的定义可知: a·e a e cos a,e 4 1
2
2 2 .
2
故答案为: 2 2 .
【9】 3
详解:因为 ABC , BDE 都是边长为 1的等边三角形,
所以 DBE BDE 60 , ABE 120 ,
DAE 30 AED 90
对于 A选项, AB与 BC 的夹角为 ABC A
在 ABE 中, AB BE 1 ,所以 , ,
,为钝角, 错;
3
对于 B选项, AC 与 BA 的夹角为 BAC ,为钝角,B错; 所以 AE 3 ,所以 AD·AE AD · AE ·cos DAE 2 3 3 .
2
对于 CD选项, AC 与 BC 的夹角等于 ACB ,为锐角,C对 D错; 故答案为: 3 .
故选:C. 【10】 2
【2】C
详解:因为
a 4 , b 2 , a 和 b的夹角为 120°,
详解:对于任意得两个非零向量 a,b , a b= a b cos a,b ,
所以 a 在 b方向上的投影数量为 a cosa,b 4 cos120 2 .
其中 a,b 0,π .

【11】 3b

若两个非零向量同向共线,则 a,b 0 , cos a,b 1 , a b= a b 0 5π,故 详解:因为 a 2 3 b , a,b ,
6
A正确;
所以 a 在 b 上的投影向量为
若两个非零向量反向共线,则 a,b π , cos a,b 1 , a b a b 0 , b a 5π
故 B 正确; a cos a,b cos a,b b 2 3 cos b 3bb b 6
.
π
若这两个非零向量的数量积是负的,则 cos a,b 0 , a,b , π2 ,故 【12

】 2e
C 错误; 详解:依题意, a e | a | cos
3π
2 ,所以向量 a 在向量 上的投影向

e
π 4
若两个非零向量的数量积是 0,则 cos a,b 0 , a,b , a,b 互相垂
2 量为 (a e)e 2 e .
直,故 D正确.故选: C. 【13】钝角三角形

【3】B
详解:因为 AB在 BC 方向上的数量投影为正,即 AB与 BC 的夹角为锐
详解:由数量积的定义知 a b | a || b | cos , 角,所以 ABC 为钝角,所以三角形为钝角三角形;

对于①,若 a∥b ,则 a b | a ||b |或 a b | a || b | , a b 0不一定成立,①
错误

对于②, a b b a 成立,②正确
对于③, a b c 与 a 共线, a b c 与 c共线,两向量不一定相等,③错 故答案为:钝角三角形
1
误 【14】
2
对于④, a b | a ||b | cos a b ,④正确故选:B 1
详解:根据题意: a , b为两单位向量,且 a b ,所以 a 在 b上的数
【4】C 2

详解:因为 a 、 b是单位向量, 1
a b

2 1 1
所以 a b 1 , a b a b cos a,b cos a,b
量投影为 a cos .故答案为: .,因为向量 a 与向量 b的 b 1 2 2
夹角未知,故 A、B 均错误,
【15】（1）12;（2）0.
若 a / /b ,则向量 a b 或 a b ,故 D错误;
详解:（1）因为 a 4 , b 2 , a 与 b的夹角为 120 ,
根据平面向量的运算律可知 a b b a ,故 C正确;故选:C
【5】D 1
所以 a b a b cos120 4 2 4
详解:对 A, 0 c 0 ,故 A错误; 2

对 B,由于向量的数量积为数,所以向量不满足乘法的结合律,故 B错 2 2所以 a b a 2b a a b 2b 16 ( 4) 2 4 12 .
误;

对 C, a 0 0 ,故 C错误, （2）因为 a 4 , b 2 , a 与 b的夹角为 120 ,

对 D,向量的数量积为数,故 0 b 0 正确.故选:D. a b a b cos120 4 2 1 所以 4 ,
【6】（1） 20 ;（2） 0 ;（3） 10 3 ;（4） 10 2 . 2
1

详解:（ ）当 a∥b 时,若 a 与 b 同向,则 0
2 2
, 所以 2a b a 3b 2a 5a b 3b 2 4 2 5 4 3 2 2 0 .

a b a b cos0 4 5 20 . 1
【16】
5
若 a 与 b 反向,则 180 , a b a b cos180 4 5 1 20 . 2 2 4

详解:因为 a 2b a b a 2b a b 1 2 a b ,所以 5
（2） a b 时, 90 , a b a b cos90 0 . 1
a b .
5
（3）当 a 与 b 的夹角为 30 时, a b a b cos30 4 5
3
10 3 .
2 【17】2

（4）当 a 与 b 的夹角为 135 时, 2详解:由已知 a b a a b a 10 ,

a b a b cos135 2 4 5 10 2 .
得 a b 6 ,故向量 a 在向量 b 上的投影为
2
【7】 2
{#{QQABQQWpwwAwkkQACR6bQwlaC0gQsJCSJSoOwUAQqAQKSAFABCA=}#}

1 2
a cos a,b a b a b 6 a 2 2 详解:（1）因为 BP BC ,所以 CP CB ,
a b b 3 ,故答案为: . 3 3 2 2
由题得 AP CP CA CB CA a b ;
【18】 7b 3 3
2 2 （2）由已知得
详解:因为 2a b a b ,所以 2a b a b 2a a b b 0 , 2 2 2 1 2 1
CQ CA AQ CA AB CA CB CA CB CA a b ,
又 a 2 , b 1 ,所以 a b 7 , 3 3 3 3 3 3
2 2 1 4 2 4 2
AP CQ a b a b a a b
1
b

3
a b
3 3 9 9 3
则 a 在 b 上的投影向量为 2 b 7b . 4
b 4
2 4 4 3 cos60 1 32 13 .
9 9 3 9
1 3
【19】 【25】 k
4 4

详解:依题意 2a 3b 4c ,两边同时平方得 2 2 216c 4a 12a b 9b , 详解:当向量 a kb 与 a kb 垂直时,
1 有 (a kb) (a kb) 0 ,
所以 16 13 12a b ,可得 a b .
4 2 2 2 2即 a k b |a |2 k 2 |b | 0 ,

重点题型专练 又 a 3 , b 4 ,
1 2 1 17 所以 9 16k 2 0 ,
【20】（1） AM a b,AN a b ;（2）
6 3 2 4 3 3
解得 k ,所以当 k 时,4 4 a kb
与 a kb 垂直.
详解:（1） AM AD DM AD
1
DC AD 1 1 AB a b ,
2 6 6 【26】B
1 1 详解:由题意,AN AB BN AB BC AB BA AD DC 2 2 向量 a , b的夹角为 60°,且 a 2 |b | ,
2
AB 1 AD 2 a 1 b ; 2 2
3 2 3 2 a b a b cos a,b 2 b cos60 b
（2）由题意可得 DC 1 ,过 D作 AB的垂线 DE ,则由 2 A项, a· b a a·b a 5 |b |2 0 ,故 A不正确;
DAE 45 1 DE AE AB DC 1 , 2 2 2 2B项,因为 b· b a b b·a b b 0 ,

∴ b b a ,故 B正确;
2 2C项, b· b a b a·b 2 b 0 ,故 C不正确;
2 2 D项, a· b a a·b a 3 b 0 ,故 D不正确.故选:B. b 2,a b 3 2 cos45 3 ,
4

AM AN 1
2 1 1 2 3 1 2 17 【27】
a b a b a a b b 5
6 3 2 9 4 2 4
.

详解:因为 | a | 5,|b | 4,a 与 b 的夹角为 120 ,
【21】4
1
详解: EF BD CF CE CD CB 所以 a b a b cos120 5 4 102 .

CF CD CE CD CF CB CE CB 由 ka 2b a b ,
2 2 1 2 2 1
CD CB 4 4 4 . 3 3 3 3 所以 ka 2b a b ka 2 2b 2 k 2 a b
【22】1
1 25k 2 16 10 k 2 15k 12 0 ,
详解: AE AC AD AC AB AD2 4 4
1
解得 k ,故答案为:
5 5
AD AB AD AB AD
2 3
1
【28】
4
2AD AB AB AD
2 详解:由题意知 a 4 , b 1 ,
1 2 2 AB 2AD 3AB AD 22 又因为 2a 3b b 2a b 3b 2 2 a b cos a,b 3 b 3 ,
1 2
2
2 2 2 3 2 2 cos 3π 12 4 . 解之得: cos a,b 3 .4
1
【29】
5

详解:因为 a,b为单位向量, a 2b 3a b ,
2 2
所以 a 2b 3a b 3a 5a b 2b 1 5a b 0 1 ,则 a b ,5
【23】0
a b 1
详解: AC BC BA , 所以 cos a,b .

a b 5
2
AB AC AB· BC BA AB BC AB BA BA BC AB ,
5
2 2 【30】
又 BA BC 36 , AB 6 即 AB AB 36 , 6
详解:因为 a (3a b) ,
AB AC 36 36 0 .故答案为:0.
22 13 所以 a (3a b) 3 | a | a b 0 ,
【24】（1） AP a b ;（2）
3 9 设 a 与 b 的夹角为 ,
{#{QQABQQWpwwAwkkQACR6bQwlaC0gQsJCSJSoOwUAQqAQKSAFABCA=}#}
2
cos a b 3 | a | 3 5π 【36】
1 3, 1 3
所以 ,所以 .
| a || b | | a | 2 3 | a | 2 6
详解:因为向量 a b 与 a 2b 的夹角为钝角,
31 3 【 】 2 所以 a b
a 2b 0, 且 a b 与 2b a 不共线,

详解:因为 a b 1 , c 3 且 a b c 0 , 因为 a b 1 ,
2

a2

2 2 a b 2 b 2 0 2
所以 b a c ,所以 b 2 a c a2 2a c c 2 , 所以 ,即 2 2 0 ,
2 3 解得 1 3 1 3 ①;即 12 12 2a c 3 ,所以 a c ,2
当 a b 与 a 2b 平行时,则存在实数 k,使得 a b k a 2b ,
3
所以 cos a,c a c 3 2 . 即 k 1 a 2k b ,
a c 1 3 2
因为 a 、 b 不平行,
【32】0
k 1 0, 2
2 5
所以 即 2 ,则 ②.
2 2k 0, 7a 16a b 15b 2 0
a a b

7
详解:由题意可得: ,化简得
7a2 33a b 20b 2 0 2 7 1 3, 1 3 b a b 由①②得,实数 的取值范围是 .
5
1 5 1 1
【37】（1） ;（2） , ,
因此 cos a,b
a b
1 3 3 3 3
a b ,所以 a 与 b的夹角为 0.


详解:（1）因为 a b 1 , a 2b a b 2 ,
1 1 AM 4 1 2
3
【33】（1） b a , BM b a , CM a b 2 34;（ ）
3 3 3 3 3 68 2
2 2 2 1
所以 a a b 2b ,即 1 a b 2 ,则 a b ,3 3 3
详解:（1）因为 AB=a , AC b ,且 ABCD 是平行四边形,
a b 1
所以 BC AC AB b a , 则 cos a,b
1
3 ,即 a 与 b 夹角的余弦值 .
AM 1

BC 1
a b 3
所以 b a ,3 3 （2）因为 ka b 与 a 3b 的夹角为锐角,

所以 BM AM AB
1
b a 1 4 a b a , 3 3 3 所以 ka b a 3b 0 且 ka b 与 a 3b 不共线,

CM BM BC 1
4 1 2
所以 b a b a a b . 当3 3 3 3 ka b 与 a 3b 共线时,有 ka b a 3b ,即 ka b a 3 b ,
1 AM b a ,BM 1 4 b a k 2 1 1（ ）由（ ）知 ,3 3 3 由（1）知 a 与 b 不共线,所以 ,解得 k ,1 3
3
又 AC b,AC BM 10,AB AM 2 , 1
所以当 ka b 与 a 3b 不共线时,
k ,
1 4 1 3
所以 b b a3 3
10, b a 2, a 23 , 2 由 ka b a 3b 0 ,得 ka 3k 1 a b 3b 2 0 ,
2 2 2
即 b 4a b 30,b a 2a b 36 ,
即 k 3k
1 5
1 3 0 ,解得 k ,
解得 a b 1, b 34 , 3 3
5 1 5 1 1 a b 34 所以 k 且 k ,即实数 k 的取值范围为 , ,

.
所以 cos a,b 3 3
3 3
.
3
a b 68 【38】C

1 1 π
【34】 3, , 详解:由向量 a 、 b的夹角为 ,
a 2 , b 1 ,
2 2 4
π1 得出 a b 2 1 sin 1
详解:由题意知, a b a b cos60 1 2 1
.
, 4
2
2 2∵ c与 d 的夹角为锐角,∴ c d 0 且 c , d 不共线, 则 | 3a b | 3a 6a b b 18 6 1 5 .故选:C
假设 c , d 共线,则存在实数 k ,使得 a b ka 2kb , 【39】A
k 1 2
由题知, a , b不共线,∴ ,∴ k , 详解:因为 b 2a 3 ,所以 b 2a b 2 4a b 4a2 9 ①.
1 2k 2
1 a b a 2b
∴若 c , d 不共线,则 . 又因为 ,
2
2 2c d 0 a b a 2b 0 所以 a b a 2b a 2 1 a b 2 b 0

2b 2 a b a 2 0 ②.
,即 ,∴ ,

2 b 1
即 2 1 8 0 ,得 3 . 由①－②×4,得 b 1 ,所以 .故选:A.
1 【40】C
综上, 3且 ,
2 详解:因为 a 1 , b 2 , a b 1 ,
3, 1 1 ∴ , 2 的取值范围为 2 . 2 所以 2a b 4a
2 4a b b 2 4 4 4 4 ,所以 2a b 2 .故选:C
1 1 7
【35】 ( , ) ( , ) 【41】A
3 3 5 2
详解:由 a b 3 2 2可得, a b a b 2a b 3 ,
详解:向量 a b与向量 a 3b 所成角为钝角

则 ( a b) (a 3b) 0 a 且 b与 a 3b 不共线 1 a b 1
所以
a b ,所以 cos a b
2 2 2 a b 2
,
( a b) (a 3b) a (1 3 )a b 3b 4 2(1 3 ) 12 0

7 1 1 0 a b 180
, 又因为 ,所以
a b 120 ,故选:A.
得 ,又
5 1 3 3
【42】B
1 1 7
故 的取值范围是 ( , ) ( , )

3 3 5 详解:由 a b a b ,平方得
2 2 2 2
a 2a b b a 2a b b ,
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B 即 a b 0 ,则 a b .故选: . 又 AD AB 1,AB AD 0 ,
【43】D

详解:由题意得在 ABC 中, BC AC AB AP BD 1 2 1 , 所以 ,又 0≤ ≤1,

AB 4 AC 3 AB AC BC 所以 AP BD 1,1 .故选:C.故由 , , ,
2 2
得 AB AC AC AB ,
2 2 2 2
AB 2AB AC AC AB 2AB AC AC ,

即 16 9 2AB AC 16 9 2AC AB ,
2
即 AB AC 0 ,故 AC BC AC AC AB AC AC AB 9 D 【51】 1, 3.故选: .
【44 】A 2 解析: a b a b a2 b 2 2a b 2 2cos , 2 2 2 2 2
详解:结合题意: a b a b 2a b 10 , a b 14 ,
π , 2π 因为 ,所以 cos
1 1
, ,所以 2 2cos 1,3 2 3 3 2 2 , 2 2 a b a b 2 a b 4 , a b 5 ,
所以
a b 1, 3

,故答案为:
1, 3
a b 2
.
cos a,b
a b 5 .故选:A. 2π 【52】 , π
3


【45】B
1 解析:由 a 2b 2a b 4 ,
详解:因为向量 a 在向量 b 上的投影向量为 b ,所以2 1 1 得 a 2b

2a b 2 2a a b 4a b 2b 2 9 3 3 4cos 2 16 4 ,
a b b b b 2 .
2 2 1
即 cos ,又 0 π ,
因为 3a b a b ,所以 9a2 6a b b 2 a2 2a b b 2 ,即 a2 a b , 2
2π 2π
1 2 ∴ π .故答案为: , π . 3
2
b 3
故 a b ,所以 cos a,b
a b 2

2 .
2 a b 2 2 2 2 b 【53】 ,3 3 2

因为 0 a,b π ,所以 a,b
π
B 解析:因为 a 2b 2,2 3.故选: . ,
4
【46】2 所以 a 2b 2 4,12 ,
2 2
详解:由 (a
1
b) b 0 a b 1 ,得 b ,即 a b cos30
1
b ,得 2 2
2 2 2 即 a 4b 4a b 4 4 8cos 4,12 ,

3 a b , 1 1 2 所以 cos , ,故 ,
2 2 3 3
.

2
又 a b
2 2
2 ,所以 a b 22 ,即 a 2 a b cos30 b 4 , 2
故答案为: ,
所以 a 2
3 3
.故答案为:2
【54】3 ; 2 5
【47】 2 3
解析:设向量 a,b的夹角为 , 0,π ,因为 a =1, b =22 2 ,
详解:因为 b a 2 ,所以 b 2a b a 4 ,
所以 a b (a b)2 12 22 2 1 2cos 5 4cos 1,3 ,
所以 4 2a b 4 4 ,所以 a b 2 ,
2 2 a b所以 2a b 2a b 2 4 a 4a b b 16 8 4 2 3 故 的最大值是 3; ,
同理 a b 5 4cos 2 3 ,所以故答案为: .

3 21 y a b a b48 1 2 5 4cos 5 4cos 7 ,【 】（ ） ;（ ）
14 2
则 y
2 10 2 25 16cos2 ,因为 0,π ,所以 cos 0,1 ,故
详解:（1 ） a b a b cos a,b cos 5π 3 , y26 2 16,20 .
2
2 3a b 12a2 4 3a b b 2 12 6 1 7 , 2 3a b 7 . 因为 y 0 ,所以 y 4,2 5

,故 a b a b 最大值是 2 5 .
故答案为:3; 2 5 .
（2） a 2 3a 3 3 3 b 2 3a2 a b 2 3 ,2 2 【55】 4,12
3 3
a 2 3a b 解析:设 a 与 b的夹角为 （ [0,π] ）,
cos a,2 3a b 3 21
2 .
a 2 3a b 7 14 因为 a 4 , b 8 ,
2
【49】B 2 2所以 a b a b a 2a b b 80 64cos ,


详解: a tb (a tb )2 a 2 2a bt t 2b 2 因为 [0,π] ,所以 1 cos 1 ,
4 2t t 2 = (t 1)2 3 3 所以 64 64cos 64 ,
所以 16 80 64cos 144 ,
当 t 1时取等号,所以本题答案为 B.
50 C 所以 4 80 64cos 12 ,【 】

解析:设 BP BD ,则 0≤ ≤1, 所以 4 a b 12 ,

AP AB BP AB BD AB AD AB 1 AB AD , 即 a b 的取值范围为 4,12 ,故答案为: 4,12
BD AD AB ,

【56】9
所以 AP BD 1 AB AD AD AB

, 解析:根据平面向量数量积的几何意义得:当点 E 在点 B 时, DE DC 值
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3 DC =3 1 的最大,此时 DE 在 DC 方向上的投影为 ,又 （2） EG EA AD DG
1
AB AD AB AB AD ,
3 3
所以 DE DC 的最大值为 9.故答案为:9. 1 1
1 又 EF EA AF AB AD ,
【57】 ,3 3 2
16


1 1 1
解析:设 PC mAC , 0 m 1 ,则 PB PA AB m 1 AC AB EG EF AB AD AB AD, 3 3 2
2
故 PB PC m 1 AC AB mAC m m 1 AC mAB AC 1 1 2 1 2AB AD 1

9 3 2
AB AD
2 2


4m m 1 m AB AC cos BAC 4m2 4m 3m
1 1 1
2 2
1 1 3 3
2 9 3
3 2
2 2 2
3 2
2 2 2 , 1 1
4m2 m 4 m 8
,
16 3 3 3
又 0,1 ,则 0,2 2 , 2
3
EG EF 0, 2 .
3 0, 9 【62】（1） ;（2）
2 4
1 1 7 解析:（1）因为 D为 BC 中点,
因为 0 m 1 ,所以 m , 1 1 8 8 8 所以 AD AB AC .
2
1 1 1
2 2
1 1
故 4 m 3 , PB PC ,316 .故答案为:
,3 因为 E 为 AC 中点,
16 8 16 16


BE 1

BA 1

所以 BC
1
AB 1 1 AC AB AC AB
,【58】 21, 9 2 2 2 2 2
解析:依题意, 1 所以 AD
1
BE AB AC
1
AC AB 1 2 2

2
因为在菱形 ABCD中, BE BC , CF 2FD ,
2 1 2 1 2 1 3
1 2
AC AB AB AC
2 .BE EC AD CF CD AB 4 2 4 2所以 ,
2 3 3 （2）因为等边三角形 ABC ,边长为 2, D为 BC 中点

AE EF AB BE EC CF 1 1 2 所以 AB AD 所以 AD 为 3 ,2 AD AB 2 3 因为 E 关于 D的对称点为 F ,
2 2 1 1 2

AB AB AD AD 24 9 6cos AB,AD 所以 DE DF ,
3 6 4
故 AE AF AD DE AD DF AD DE
2 2
AD DE AD DE
6cos AB, AD 15 ,
2 2 2
cos AB,AD 1,1 6cos AB,AD 15 21, 9 AD DE 3 DE ,因为 ,所以 .
因为动点 E 在 AC 上,
故答案为: 21, 9 .
所以当 DE AC 3 时,
DE 取最小值,即 ,
【59】（1） 37 ;（2） ,
1

2
3
1,

当 E 与 A 重合时, DE 取最大值,即 3 ,
2 2 2
解析:（1）解: a b a b a b 2 a b cos60 37 . 3 2
所以 DE 3 ,
2 4
（2）解: ka b 13 ,则 ka b 13 ,即 2 0, 9 所以 3 DE 的取值范围为 .
k 2
2 2 4
a 2k a b cos60 b 13 0 ,
1 1
1 【63】（1） ,（2） 3,
整理可得 3k 2 4k 1 0 ,解得 k 或 k 1 . 3 16
3 1 1
1 解析:（1）因为 BD DC ,所以 AD AB (AC AD) ,因此,实数 k 的取值范围是 , 3 1, . 2 2 2 1
【60】（1）证明见解析;（2） k 1 或 k 0 . 得 AD AB AC ,

3 3
解析: 向量 a , b , c 均为单位向量,它们相互之间的夹角为 120 , 2 1 1
因为
AD xAB yAC ,所以 x , y ,所以 x y ,
1 a b c 1 , a b a b cos120 , a c a c cos120
1 3 3 3
,
2 2
ABC AB 2,AC 1, ACD （2）因为在三角形 中, ,1
b c b c cos120 2 ,
2
所以 CAB ,BC 3 , 1 1 3
（1）证明: (a b) c a c b c 0 , (a b) c ; 2 2 所以 CF FA CA AF FA CA FA AF FA ,

（2 ） | ka b | |b c | , AF x x [0,2]
,由题意得 , 2 2 ka b b c 即 k 2 2 a b 2 2ka b b 2 c 2 2b c , 2
所以 CF FA CA FA AF FA CA FA cos CAB AF ,
k 2 1 k 1 1 1 即 k 2 k 0 ,解得 k 1 或 k 0 .
2
实数 k 的取值范围为 k 1 或 k 0 . 1 x x2 1 1 x ,
1 2 4 16
【61】（1） EG AB AD ;（2） EG EF

0,
3
6 2 2 x [0,2] 1 1 1
1
因为 ,所以 x 4 16
3, ,
16
解析:（1）由题知, EG EA AD DG AB AD
1
DC
3 2 1
1 1 1 所以 CF FA的取值范围为 3,
AB AD AB AB AD . 16
3 2 6
{#{QQABQQWpwwAwkkQACR6bQwlaC0gQsJCSJSoOwUAQqAQKSAFABCA=}#}
2
综合巩固提升 解析:对于A,因为 b a b a b b 1 1 0 ,所以 b a b ,故A正
确;
1.【答案】B
2 2 2
解析:结合题意可得:因为 | a | 1,|b | 2,a b 1 , 对于 B,因为 a 2b a 2b a 4a b 2b 12 2 3 ,
2
b 2a b 2a b 2 4a b 4a2 4 4 4 2 . 所以 B错误;
a
故选:B. 对于 C,因为 a , b 都是单位向量,由平行四边形法则和菱形性质知 c
2.【答案】D


2 2 a b 1 对应有向线段平分 , 的夹角,由题设知解析:由 | a b | 1 ,可得 a 2a b b 1 ,所以
a b
,
2
c a cos a b 1 a,b , c,a cos
3
,所以 C 正确;
则 a 在 b 上的投影向量为 b b .故选:D 3 c a 6 2
b 2 2 2 2
3.【答案】C a b a b a b a b
对于 D, 恒成立,则 ,
解析:以向量 a,b为邻边的平行四边形的对角线为 a b 与 a b . 2 2 即 a 2 2 a b 2b 2 a 2a b b 2 ,整理得 ( 1) 0 ,此式恒成立,
3
则 a b a 2 2a b b 2 12 2 2 3 2 4 28 2 7 ,
2 所以 R , a b a b 恒成立,所以 D正确,故选 ACD.
1
a b a 2

2a b b 2 3 12 2 2 3 2 4 2 , 8.【答案】
2 12

所以以向量 a,b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为 2 7 或 2. 解析:由 e1 , e2 是单位向量,可得 e1 e2 1 ,
故选:C. 2 2 2e 3e 14 2因为 1 2 ,可得 2e1 3e2 4e1 12e1 e2 9e2 14 ,

1 e e
解得 e e ,所以解得 cos e1,e
1
2
1 2 1
1 2 12 .故答案为: .
4.【答案】A 12 e1 e2 12
2 2 3
解析:因为点 E 是 AB的中点, AF AD,BG BC ,
3 3 9.【答案】 4
2 1 1 EF AF AE AD 2 AB a b 1

所以 ,
3 2 2 3 解析:由条件可得 AD (AB AC) ,2
1 2 1 2 EG EB BG AB BC a b 2 1 2
2
;
2 3 2 3 则 AD (AB AC 2AB
1
AC) = (b2 c2 bc)
4 4
2
1
[(b c)2 3bc] 9 3 bc 9 3 b c 9
4 4 4 4 4
,
2 16
则 AD
3 3 3
,当且仅当 b c 时取等号,即 AD 的最小值 .
4 2 4
因为 EF EG , 3故答案为: .

EF EG 1
2 a b 1
2 1 2 4 2 4
所以 a b a b
2 3 2 3 4 9 10.【答案】2或 5
1 2 4 2 3 解析:由题意,平面向量 a , b , c两两的夹角相等,包括两种情况,
a b 0 ,则 b a ,故 A正确.故选:A.
4 9 4 可得两两夹角为 0 或两两夹角为 120 ,
5.【答案】C 当两两夹角为 0 时,可得 a b 1,a c 3,b c 3 ,

解析:设 BE BC 0 1 ,可得 DF DC , 2 2 2 则 a b c a b c 2a b 2a c 2b c 5 ;

有 AE AB BC AB AD , AF AD DC AD AB ,
当两两夹角为 120
1 3 3
时,可得 a b ,a c ,b c ,
故 AE AF AB AD AB AD 2 2 2
2
2 2 2
2
AB 2 1 AB AD AD 4 2 2 1 4 2 2 8 2 则 a b c a b c 2a b 2a c 2b c 2 . ,

AE AF 13 13 1 9
故答案为:2或 5.
2又由 ,有 2 8 2 ,解得 , （舍）,
2 2 2 2 11.【答案】（1） AM 39 , BN 21 ;（2） cos MGN 4 91
故 E,F 为边 CB , CD 的中点,所以△CEF 为等边三角形,故 EF 1 . 91
解析:（1）解:因为 M BC 的中点,则
故选:C. 1 1 1 6 1.【答案】AD AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC , 2 2 2 2
解析:将 a b a

两边平方并整理,得 2b 2a b 0 ,即 b b 2a 0 , 所以, 2AM AB AC ,

a,b 2 因为 不共线,所以 b b 2a ,A正确. 2 2 2所以, 4AM AB AC AB AC 2AB AC

将 2a c a
2 两边平方并整理,得 2 ,即 2 2 3a 4a c c 0 AB AC 2 AB AC cos60

(a c) (3a c) 0 ,
42 102 2 4 10 1 156 ,
所以 a c 与 3a c 的夹角为直角,B错误. 2

a c 所以, AM 39 ,
由 a 2a c a c a ,得 2 a a c ,所以 2 ,C错误, 1
a 因为 N 为 AC 的中点,所以, BN AN AB AC AB ,
2
因为 a,b不共线,所以 a b与 b不共线, 2 1
2
2 1 2 则 BN AC AB AB AC AB AC
则 a b与 b的夹角为钝角的充要条件是 2 4
2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 (a b) b a b b b b b 0 ,即 ,D正确. AB AC AB AC cos60 2 2 2 4
故选:AD. 42 1 1 102 4 10 21 ,故 BN 21 .
7.【答案】ACD 4 2
{#{QQABQQWpwwAwkkQACR6bQwlaC0gQsJCSJSoOwUAQqAQKSAFABCA=}#}
（2）解:因为 1 1 2
1 1 1
所以 a b a b cos (x ) 1 ,可得 x 4x 1 0 ,
2 2
AM BN AB AC AC 2AB AC AB AC 2AB 4 x
2 2 4 解得 x 2 3 或 x 2 3 .
1 2 2 1 1 AC AB AC cos60
2 AB 10
2 4 10 2 42 124 4 2 ,
AM BN
所以, cos MGN cos AGB cos AM ,BN AM BN
12 4 91

39 21 91
3 1 1 π
12.【答案】（1） DE b a ;（2） ;（3） .
2 2 4 6
3 1 3 1
解析:（1） DE CE CD CB CA b a .
2 2 2 2
（2） CM CB BM CB BA CB CA CB
2 1
CA 1 CB 2 CD CE
3
2 1 1
（3 ）因为 E,M ,D三点共线,所以 2 1 ,解得 .
3 4
3 1
（3） AB b a ,由（1）可知 DE b a,AB DE ,2 2
3 2 1
所以 AB DE 0 ,得 b a2 2a b ,
2 2
2 2
1 2 3
1 3
2
则 a b a b ,所以 cos ACB a b
a b 3
4 4
4 4 ,
| a | | b | | a | | b | 2
所以 ACB
π
的最大值为 .
6
5π
13.【答案】（1） ;（2）3
6

解析:（1）因为 e1 与 e2 均为单位向量, e1 e2 0 ,
2所以 e1 3e2 e2 e1 e2 3e2 3 ,
2 2 2又 e1 3e2 e1 3e2 e1 2 3e1 e 2 3e 2 1 3 2 ,

e1 3e2 e2
cos e 3 3所以 1 3e2 ,e2 ,
e 3e e 2 1 21 2 2

又 0 e1 3e2 ,e
5π
2 π ,所以 e1 3e2 ,e2 .6
π
（2）因为 c xe1 ye2 , e1 与 e2 的夹角为 , e1 与 e2 均为单位向量,3
2
所以 c xe1 ye2 x 2 2xye1 e y22 x2 xy y2 3 ,
即 x2 xy y2 9 ,因为 x2 y2 2xy ,
所以 9 x2 xy y2 3xy ,即 xy 3 ,当且仅当 x y 3 时,等号成立,
即 xy 的最大值为 3.
1 1 π
14.【答案】（1） f x (x ),(x 0) ;（2） ;（3）2 3 或 2 3 .
4 x 3

解析:（1）解:由题意知 xa b 3 a xb ,
2 2 2 可得 2 2x a 2xa b b 3a 6xa b 3x2b ,
2
因为 a b 1
x 1
,所以 8xa b 2x 2 2 ,所以 a b (x 0) ,
4x
1 1
所以 f x a b (x ),(x 0) ;
4 x

（2）设向量 a 与 b的夹角为 ,则

cos a b x
2 1 1 1
f x (x )
a b 4x 4 x ,
1 1 1
因为 x 0 ,可得 x 2 x 2 ,当且仅当 x 时,即 x 1 时,等号
x x x
1
成立,所以 cos 的最小值为 ,
2
又因为 [0,π]
π
,所以 的最大值为 ;
3

（3）解:由向量 a 与 b平行,且方向相同,且 a b 1 ,所以 a b ,
{#{QQABQQWpwwAwkkQACR6bQwlaC0gQsJCSJSoOwUAQqAQKSAFABCA=}#}第三节 向量的数量积
▍知识点1:向量的夹角
是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角;范围是.
与的夹角为时,向量与垂直,记作.
▍知识点2:向量的数量积
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积（或内积）,记作,即.
规定:零向量与任一向量的数量积为0 .
▍知识点3:夹角与数量积的关系
已知非零向量为,的夹角.
的范围
正数 0 负数
▍知识点4:向量数量积的性质
（1）当是单位向量时,因为,所以.
（2）.
（3）当与同向时,;当与反向时,;
（4）或.
（5）,当同向时,等号成立.
［对应练习:基础1、基础2］
▍知识点5:投影
向量在向量方向上的投影为;
向量在向量方向上的投影为.
可以简记为:在向量上的投影,就用数量积除以向量的模长,在向量上的投影,就用数量积除以向量的模长.
▍知识点6:投影向量
对于向量和,向量在向量上的投影向量为,为向量方向上的单位向量.
对于向量和,向量在向量上的投影向量为,为向量方向上的单位向量.
▍知识点7:数量积的几何意义
两个非零向量和的数量积,等于在向量上的投影的数量与的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义.
［对应练习:基础3］
▍知识点8:向量数量积的运算律
（1）;
（2）;
（3）.
▍知识点9:向量数量积运算的常用公式
（1）.
（2）.
（3）.
（4）（题目出现向量和与差的模要平方）
［对应练习:基础4］
向量数量积的概念
【典例 1】在锐角中,关于向量夹角的说法,正确的是（ ）
A.与的夹角是锐角
B.与的夹角是锐角
C.与的夹角是锐角
D.与的夹角是钝角
【典例 2】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中,错误的是（ ）
A.两个向量同向共线,则他们的数量积是正的
B.两个向量反向共线,则他们的数量积是负的
C.两个向量的数量积是负的,则他们夹角为钝角
D.两个向量的数量积是0,则他们互相垂直
【变式 3】给出以下结论,其中正确结论的个数是（ ）
① ②
③ ④
A.1 B.2 C.3 D.4
【练习 4】已知、是单位向量,以下命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.若,则
【练习 5】下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
求向量的数量积
【典例 6】已知,,与的夹角为,分别求与的数量积.
（1）; （2）;
（3）; （4）.
【变式 7】（2024·河南）在边长为2的等边中, .
【练习 8】已知,为单位向量,,则 .
【练习 9】如图,,都是边长为1的等边三角形,,,三点共线,则 .
投影与投影向量
【典例 10】若,,和的夹角为,则在方向上的投影为 .
【典例 11】已知,且满足,则在上的投影向量为 .
【变式 12】已知,为单位向量,向量与向量的夹角为,则向量在向量上的投影向量为 .
【练习 13】在中,若在方向上的数量投影为正,则的形状是 .
【练习 14】已知平面上两单位向量,,,则在上的数量投影为 .
数量积的运算律
【典例 15】（2024·高一课时）已知向量与的夹角为,且,求:
（1）; （2）.
【练习 16】（2024·河北高三）已知单位向量满足,则 .
【练习 17】已知,,且,则向量在向量上的投影为 .
【练习 18】（2024·全国）向量满足, ,则在上的投影向量为 .
【练习 19】（2024·全国模拟）已知单位向量满足,则 .
重点题型专练
利用线性运算分解求数量积
【典例 20】如图,在底角为的等腰梯形中,,,分别为, 的中点.设
（1）用,表示,;
（2）若,求.
【练习 21】正方形边长为2,且, ,则 .
【练习 22】（2024·徐州高三）在平行四边形中,是线段的中点,则 .
【练习 23】在中,,若,则 .
【练习 24】在中,已知,在线段上,且,设, .
（1）用向量表示;
（2）若,求.
数量积与向量的垂直
【典例 25】设为实数,已知向量与不共线, ,,当为何值时,向量与垂直？
【练习 26】（2024·全国高三专题）若平面向量,的夹角为60°,且,则（ ）
A. B. C. D.
【练习 27】（2023·陕西高三）已知向量满足,,若,则 .
向量的夹角
【典例 28】（2024·陕西西安校联考）向量,满足,,,则向量,夹角的余弦值为 .
【变式 29】（2023·河北高三联考）已知为单位向量,若,则 .
【练习 30】已知非零向量满足,且,则与的夹角为 .
【练习 31】向量,且,则 .
【练习 32】（2024·陕西高二）若,且,求与的夹角.
【练习 33】（2023·陕西高三校联考）如图,在平行四边形中,,令,.
（1）用表示,,;
（2）若,,求.
已知夹角求参数取值范围
【典例 34】已知,,与的夹角为,若与的夹角为锐角,求实数的取值范围.
【变式 35】已知且向量与向量的夹角为,若向量与所成角为钝角,求的取值范围.
【练习 36】已知空间向量、满足,, ,若向量与的夹角为钝角,求实数的取值范围.
【练习 37】（2024·宁波高一校考期末）单位向量,满足.
（1）求与夹角的余弦值:
（2）若与的夹角为锐角,求实数的取值范围.
向量的模
【典例 38】已知向量、的夹角为,, ,则（ ）
A.4 B. C.5 D.
【变式 39】（2024·全国模拟预测）已知向量,满足,,则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【练习 40】已知平面向量,满足,, ,则的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.4
【练习 41】已知,且,则向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【练习 42】设非零向量,满足,则（ ）
A. B.
C. D.
【练习 43】（2024·广西高一）在中,, ,,则（ ）
A. B.16 C. D.9
【练习 44】已知向量,满足, ,则（ ）
A. B. C. D.
【练习 35】已知向量在向量上的投影向量为,且,则（ ）
A. B. C. D.
【练习 46】（2024·安徽高三）已知非零向量,夹角为,,,则 .
【练习 47】（2024·河北邯郸高三校考）已知向量满足,则 .
【练习 48】（2023·河北邢台高一统考期中）已知是两个单位向量,且与的夹角为.
（1）求;
（2）求与的夹角的余弦值.
数量积有关的取值范围问题
【典例 49】（2024·北京）设向量,满足, ,,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【变式 50】已知正方形的边长为1,点P是对角线上任意一点,则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【变式 51】已知单位向量的夹角为,若,则的取值范围是 .
【练习 52】（2024·高一测试）已知,,且,则与的夹角的取值范围是 .
【练习 53】（2019·成都外国语学校校考）向量,满足,,且,则,的夹角的取值范围是 .
【练习 54】已知向量满足,则的最大值是 ,最大值是 .
【练习 55】已知,,则的取值范围为 .
【练习 56】已知正方形边长为3,点是边上的动点,则的最大值为 .
【练习 57】中,,,, 为线段上任意一点,则的取值范围是 .
【练习 58】菱形ABCD中,,,若菱形的边长为6,则的取值范围为 .
【练习 59】已知向量和的夹角为,且, .
（1）求;
（2）若,求实数的取值范围.
【练习 60】已知平面上的三个单位向量,,,它们相互之间的夹角为.
（1）求证:;
（2）若,求实数的取值范围.
【练习 61】如图,在平行四边形中,, ,,点,,分别在边, ,上,且,, .
（1）若,用,表示;
（2）求的取值范围.
【练习 62】等边三角形,边长为2,为的中点,动点在边上,关于的对称点为.
（1）若为的中点,求.
（2）求的取值范围.
【练习 63】（2024·浙江高一校考）在三角形中, ,D是线段上一点,且,F为线段上一点.
（1）若,求的值;
（2）求的取值范围;
综合巩固提升
一、单选题
1.已知为平面向量,其中,则（ ）
A.1 B.2 C. D.4
2.己知均为单位向量.若,则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3.已知,向量的夹角为,则以向量为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为（ ）
A.10 B. C.2 D.22
4.在平行四边形中,点是的中点,点分别满足,设, ,若,则（ ）
A. B.
C. D.
5.在边长为2的菱形中,,点E,F分别在边,上,且,若,则（ ）
A. B. C.1 D.
二、多选题
6.（2024·全国模拟预测）已知不共线的平面向量,满足,则（ ）
A.
B.与的夹角为锐角
C.
D.与的夹角为钝角的充要条件是
7.已知平面向量,满足,,, ,则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.,恒成立
三、填空题
8.已知,是单位向量,若,则,夹角的余弦值为 .
9.在中,,,,若,则边中线的最小值为 .
10.（2024·广西）若平面向量,,两两的夹角相等,且,,则 .
四、解答题
11.在中,,,, 、边上的两条中线、相交于点.
（1）求、的长;
（2）求的余弦值.
12.如图,中,是的中点,与交于点.
（1）用表示;
（2）设,求的值;
（3）若,求的最大值.
13.设与均为单位向量.
（1）若,求向量与的夹角;
（2）若与的夹角为,设（其中）,若,求的最大值;
14.已知向量满足 .
（1）求关于的解析式;
（2）求向量与夹角的最大值;
（3）若与平行,且方向相同,试求的值.

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