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第二节 向量的数乘运算
▍知识点1:数乘向量的定义
一般地,给定一个实数λ与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量,记作,其中:
（1）当且时,的模为,而且的方向如下:
①当时,与的方向相同;
②当时,与的方向相反.
（2）当或时,.
上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量.
▍知识点2:数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.
▍知识点3:数乘向量的运算律
设,为实数,那么
（1）
（2）
（3）
推广形式:对于任意向量,以及任意实数,, ,恒有
▍知识点4:向量平行于三点共线
（1）如果存在实数,使得,则,即
（2）一般地,如果存在实数,使得,则与平行且有公共点,从而,,三点一定共线.
▍知识点5:向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算.
拓展:单位向量:给定一个非零向量,与同方向且长度等于1的向量记作,则且.
［对应练习:基础1、基础2］
数乘向量的概念
是实数,是向量,它们的积仍然是向量,的符号与的方向有关,的大小与的模有关.
【典例 1】（多选）下列各式中,表示向量的是（ ）
A. B. C. D.
【典例 2】设是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是（ ）
A.与的方向相反 B.与的方向相同
C. D.
【典例 3】已知向量,说出下列向量与的关系.
（1）;
（2）;
（3）.
数乘向量的运算
向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中均可使用.
【典例 4】计算:
（1）;
（2）;
（3）;
方程法求解向量
向量也可以通过列方程来解把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
【典例 5】把满足,的向量,用,表示出来.
【练习 6】把满足,的向量,用,表示出来.
【练习 7】把满足,的向量,用,表示出来.
【练习 8】把满足,的向量,用,表示出来.
重点题型专练
用已知向量表示其他向量
方法1:直接法
第一步:结合图形的特征,把待求向量放在三角形或者平行四边形中;
第二步:结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量的共线定理用已知量表示未知向量.
【典例 9】在中,,则（ ）
A. B.
C. D.
【变式 10】在平行四边形中,对角线与交于点,,则（ ）
A. B.
C. D.
【变式 11】在中,在射线上,且满足,则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【练习 12】在梯形ABCD中,且,已知,,则（ ）
A. B.
C. D.
【练习 13】在中,,,
,,则（ ）
A. B.
C. D.
【练习 14】如图,在四边形ABCD中,, ,设,,则等于（ ）
A. B.
C. D.
【练习 15】在中,,且,则（ ）
A. B.
C. D.
【练习 16】已知的重心为,则向量（ ）
A. B.
C. D.
【练习 17】在中,点是的中点,点是的中点,点在线段上并且,则（ ）
A. B.
C. D.
【练习 18】如图,平行四边形中,是的中点,和相交于点.记,,则（ ）

A. B.
C. D.
【练习 19】在平面四边形中,E,F分别为和的中点,那么（ ）
A. B.
C. D.
【练习 20】在中,点满足为重心,设,则可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【练习 21】如图,平行四边形中,, ,,若,则下列关系正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【练习 22】已知平行四边形中,, ,,则=（ ）
A. B.
C. D.
【练习 23】是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形,若,,且,则（ ）
A. B. C. D.
方法2:方程法
当用直接法表示比较困难时,可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
【典例 24】已知分别为的边上的中线,设,,试用与表示.

【变式 25】如图,已知平行四边形ABCD的边BC, CD的中点分别是E,F,且,,试用,表示.
【练习 26】在中,为的中点,为边上靠近点的三等分点,记,用表示为（ ）
A. B.
C. D.
【练习 27】在中,点为边中点,点在线段上,且,若,,则为（ ）
A. B.
C. D.
【练习 28】平行四边形ABCD中,,点F为线段AE的中点,则=（ ）
A. B.
C. D.
【练习 29】如图所示,在梯形ABCD中,, ,,分别为,的中点,试用与表示.

向量共线定理
角度1:证明或判断三点共线
解决三点共线问题的思路:
先将三点共线问题转化为两个向量共线,再利用结论:“如果存在实数,使得,则”求解,最后再由两个向量共线且有公共点,得出三点共线.
【典例 30】已知不共线的向量,且, ,,则一定共线的三点是（ ）
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
【练习 31】已知空间向量,,且, ,,则一定共线的三点是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 32】（2024·青岛）已知,是不共线的向量,且,,,则（ ）
A.B,C,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线 D.A,B,D三点共线
角度2:根据向量共线求参数
【典例 33】设是不共线的两个非零向量.若与共线,求实数的值.
【变式 34】设两向量与不共线,若, ,,则为何值时,
三点共线？
【练习 35】已知向量不共线,且向量与共线,则实数的值为（ ）
A.或 B.或1
C.或2 D.1或2
【练习 36】（2024·江苏）设与是两个不共线向量,,,,若,,三点共线,则（ ）
A. B. C. D.3
综合巩固提升
一、单选题
1.在中,在上,且在上,且.若,则（ ）
A. B. C. D.
2.在中,若,则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
3.如图,直角梯形中,,, ,是线段的中点,线段与线段交于,则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
4.设是内部一点,且,则 .
四、解答题
5.（2024·全国高一专题练习）如图,在平行四边形中,为中点,为上靠近点的三等分点,求证:三点共线.
6.如图所示,在中,,.过点的直线与边,分别交于点,.设,,其中,.
（1）试用与表示,;
（2）证明为定值,并求此定值. 3 4
第二节 向量的数乘运算 3x 4y a x a b 17 17
解析: 解之得
2x 3y b 2
y a
3
b
核心基础导学 17 17
2 3
【8】 x a b , y
3 2
a b
【1】ABD 13 13 13 13

解析:对于选项 A、D:由向量的数乘可知: a R 的结果为向量,则 A、 2x 3y a 2 3
解析:由方程组 ,解得 x a b , y
3
a 2 b .
D正确; 3x 2y b 13 13 13 13
B

对于选项 :由向量的加法可知: a b 的结果为向量,则 B正确;
重点题型专练
对于选项 C:由向量的模长可知: b 为数量,则 3 b 的结果为数量,则 C
【9】A
错误;故选:ABD.
【2】B 解析: AD AB BD AB
3 3 1 3
BC AB AC AB AB AC ,
4 4 4 4
解析:对于 A,当 0时, a 与 a 的方向相同,当 0时, a 与 a 的方 故选:A
向相反,故 A不正确;对于 B,显然 2 0 ,即 B正确;

对于 C, a a ,由于 与 1的大小不确定,故 a 与 a 的大小
关系不确定,故 C 不正确;

对于D, a 是向量,而 a 表示长度,两者不能比较大小,故D不正确.
故选:B 【10】A

【3】（1） AB与 a 的方向相同,模为 a 的模的 2 倍;（2） EF 与 a 的方
2 7
向相反,模为 a 的模的 倍;（3）OP与 a 的方向相同,模为 a 的模的 解析:
3 6
倍

解析:（1）由 AB 2a ,得 AB与 a 的方向相同,模为 a 的模的 2 倍; 由已知对角线 AC 与 BD 交于点 O , AO 2AE ,
2 EF a 22 a a 1 1 （ ）由 ,得 EF 与 的方向相反,模为 的模的 倍;3 3 则 AE AC AB AD 1

AB 1

AD ,
4 4 4 4

OP 2 a 2a 1 a 7

（3）由 a ,得 OP 与 a 的方向相同,模为 a 的模
3 6 6 所以 BE AE AB
1
AB 1 3 1 AD AB AB AD ,故选:A.
4 4 4 4
7
的 倍. 【11】D
6 1 2
7 2 解析:由于 AE AB,AF AC ,P 在射线 EF 上,设 EP kEF ,(k 0) ,
【4】（1） 2b a ;（2） a b ;（3） 3 312 3 0
1
解析:（1）原式 a 4b 4a
1
2b
3 3

3a 6b 2b a
1 1
（2） a 2b 3a 2b 1 a b3 4 2
1 2 3
a b a 1 b 1 a 1 b 1 1 3 3 4 2 2 2 则 AP AE EP AB kEF AB k (AF AE)
1 3 1 2 1 1 3 3
3 4 2
a b 1 2 1 1 2 k
3 2 2 AB k( AC AB) (1 k)AB AC
3 3 3 3 3
7 2
a b ; 1 (1 k)AB 2k (AB BC) 1 (1 k)AB 2k

12 3 BC ,3 3 3 3
1 2 3a 2b a b 7 1 3 7 （3） a b a 12 3 6 2 7 6 (1 k) 1
因为 AP AB mBC
3
,故 ,解得 k 2,m
4
,故选:D
1 7 7 3 2k 3
a b

2 3 6
a b m
7 3
7 a 1
7 【12】A
b a 1 b 0 ;
6 2 6 2 1
解析:如图, CD a , BC AC AB b a ,
【5】 x = 5a + 6b , y = 4a + 5b 2
1 3
5x 6y = a ① 所以 BD BC CD b a a b a .故选:A.2 2
解析:由已知得
4x 5y = b ②

①×4＋②×5得 y = 4a + 5b ,

①×5＋②×6得 x = 5a + 6b ,

所以 x = 5a + 6b , y = 4a + 5b .

【6】 x 3a 2b , y 4a 3b 【13】A.

3x 2y a,①
解析:
4x 3y b,② 解析:
① 4 ② 3 ,得 12x 8y 12x 9y 4a 3b ,
1 1

即 y 4a 3b ,代入①式,得 x a 2y a 8a 6b 3a 2b 因为, AC 2DC,CB 2BE,CA a,CB b ,3 3
3 1
x 3a 2b y 4a 3b 所以 CE CB , CD CA∴ , . .2 2
3 4 2 3 3 1 3 1
【7】 x a b , y a b 所以 DE CE CD CB CA b a .故选:A
17 17 17 17 2 2 2 2
【14】C
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解析:因为 DC 2AB,BE 2EC ,
1 1 所以 DE DC CE DC CB DC DB DC3 3

DC 1 DA AB DC3
2 1 1 2 1 1 DC DA 5 1

AB DC DA DC a b .故选:C
3 3 3 3 3 6 6 3 【21】A
【15】C
解析:由 AM MB ,得 AB AM MB 1 MB
1
,所以 MB AB .
解析:因为 BD 3DC , 1
3 3 1 3 1
所以 AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC , 由 DN NC ,得 DC DN NC 1 NC ,所以 NC DC 1 .4 4 4 4

AE 1 AD 1 1 AB 3
1
又 AD 3AE ,所以 AC , 因为 DC AB ,所以 NC AB .3 3 4 4 1
1 1 3 BE AE AB AB AC 1 11
所以
所以 AB AC AB3 4 4 4 12 .故选:C MN MB BC CN 1 AB AD 1 AB 1 1 AB AD 1 1 , 1 1
1 1 1 1 1 1
所以 1 1 3 ,即

1 1 3 .故选:A.
【22】C
解析:如图所示,
【16】B
解析:设 E,F ,D 分别是 AC,AB,BC 的中点,

由题意,得 EC 2DE , FC 2BF ,
2 2 2 2
所以 FE FC CE BC DC AD AB ,又 FG 2GE ,
3 3 3 3
由于 O 是三角形 ABC 的重心, AG AB BF FG AB 1 2 1 2 2 2 AD FE AB AD AD AB
2 2 2 1 2 1
3 3 3 3 3 3
所以 BO BE AE AB AC AB AB AC3 3 3 . 2 3 3 5 AB 7

AD 故选:C.
故选:B. 9 9
【17】D 【23】A
2 解析:由题设
解析:因为 AN 2ND ,所以 AN AD , 2 2 2 3 AF 2 AB BF AB BD AB (BC CD ) AB (BC CE )
1 BC AC 1
3 3 3 3
又点 D是 的中点,点 M 是 的中点,所以 AM AC ,BD BC , 2 4 2 2 2 AB BC (CA AE ) 4 8 AB BC CA AF
2 1 2 1 1 3 9 3 9 27
故 MN AN AM AD AC AB BC 3 2 3 2 2 AB BC AB 2 (AC AB) 4 8 1 2 AC AF AB AC 8 AF ,
3 9 27 3 9 271
AB 1 BC .故选:D. 19 1 2 9 6
6 6 所以 AF AB AC ,即 AF AB AC ,27 3 9 19 19
15
又 AF= AB AC ,故 .故选:A
19
2 4
【24】 BC a b
3 3
【18】A 解析: AD,BE 分别为 ABC 的边 BC,AC 上的中线,
解析:在平行四边形 ABCD 中 AB//CD , AE 和 BD 相交于点 F ,
则 AD BD
1
BA BC BA ,
所以 ABF ∽ EDF ,又 E 是 CD 的中点, 2
DF DE 1 1 1 1 1 1
所以 ,所以 DF DB
BF AB 2 3 3 AB AD , BE BA AE BA AC BA AB BC BA BC2 2 2 ,
1 2 1 2 1 1 1 1
所以 CF CD DF AB AB AD AB AD a b . 由于 AD a , BE b ,所以 a BC BA,b BA BC ,3 3 3 3 3 2 2 2
故选:A 2
故解得 BC a
4
b
【19】C 3 3
1 1 2 4 4 2
解析:因为 FE FA AB BE CA BD AB 【25】 BC e1 e2 , CD e e .2 2 3 3 3 1 3 2
1 (CD DA) 1 (BC CD) AB 1
1 DA BC CD AB
1 1
解析:设 BC ＝ x , CD y ,则 BK x,DL y .
2 2 2 2 2 2

又 DA AB BC CD 0 , 由 AB BK AK ,AD DL AL ,
1 1 1 1
所以 FE
1
( AB CD) CD AB AB CD AB DC , y 1

2 2 2 2 2 x e 2 1 2 4 4 2
1 1 得 ,整理可得 x e1 e2 , y e1 e2 ,
即 EF AB DC
1 3 3 3 3
,故选:C
x y e2 2 2 2
【20】C 2 4 4 2
2 1 1 2 1 1
所以 BC e1 e2 , CD e1 e2 .
解析: AE AC CE AC CD CB AC CB CA CB 3 3 3 33 2 3 3 3 3 【26】D
2 n 1

m n 1 m 5 8 m n .故选:C
9 9 3 9 9
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C选项, BD BC CD 3a 8b 4a 10b a 2b ,
n 1
设 AB nBD ,即 a 3b n a 2b ,故 ,无解,
解析: 2n 3
A,B,D三点不共线,C错误;

D选项, AC AB BC a 3b 3a 8b 2a 5b ,

1 由于 CD 2AC ,故 A,C,D 三点共线,D正确.故选:D
由题知 a AB BC ①,
2 【32】C

b BA 2 AC BA 2 BC BA 1 BA 2 BC ②, 解析:因为 AB 2a 8b ,BC 3a 3b ,CD a 5b ,3 3 3 3 所以
5 2 6
①＋3×②得 a 3b BC ,故 BC a b .故选:D.
2 5 5 AD AB BC CD 2a 10b
, AC AB BC a 5b ,

【27】A BD BC CD 4a 2b ,
解析:因为点 D为 BC 边中点, 2AE EC , 3 4
若 B,C,D三点共线,则 BC BD ,即 ,无解,故 A错误;
3 2
2
若 A,B,C 三点共线,则 AB AC ,即 ,无解,故 B错误;
8 5
1 2m 1
若 A,C,D三点共线,则 AC mAD ,即 ,解得 m ,故 C正确;
1
5 10m 2
AD AB AC 2 2 2n
所以 1
,消去 AC 得 2AD 3BE 4AB , A 若 ,B,D三点共线,则 AB nAD ,即 ,无解,故 D错误.
BE AE AB AC AB 8 10n
3 故选:C.
1 AB AD 3 BE 1

即 a
3
b .故选:A. 【33】k＝±4.
2 4 2 4
解析:由
28 A a,b
不共线可知 k a 2b 为非零向量,而【 】 8a k b
与 k a 2b 共线,
解析: 点 F 为线段 AE 的中点,
1 1 3 1
所以存在唯一实数 ,使得 8a k b k a 2b k a 2 b ,即3
BF BA BC BA (AC AB ) 7 3 AB AC ,
2 2 4 2 8 8 8
8 k 0 k 4
即 8BF 7AB 3AC ①, 8 k a 2 k b .因为 a,b不共线,所以 . 2 k 0
BE 3EC , 【34】 m 7

AE AB 3 BC AB 3 (AC AB ) 1 AB 3 AC , 解析: BD BC CD a mb 3 a b 4a m 3 b ,
4 4 4 4

即 4AE AB 3AC 若 A,B,D②, 三点共线,则存在实数 ,使 BD AB ,
7 1 7 1 即 4a m 3 b a bAC AE BF AE FB A ,由①②得, ,故选: .
6 3 6 3
4
所以 ,解得 m 7 .
m 3
故当 m 7 时, A,B,D三点共线.
【35】C

4 2 解析:若向量 a b与 1 a 2b 共线,则存在实数 k ,使得
【29】 AC AE AF
5 5 1 a 2b k a b ka k b ,
解析: E , F 分别为 DC , CB 的中点, AB / /DC , AB 2DC ,
1 1 1 1 k,
EC DC AB , AF (AC AB) , 又因为向量 a , b不共线,所以 ,解得 2 或 1 .故选:C.
2 4 2 2 k
1 【36】B
而 AC AE EC AE AB ,
4 解析:若 A , B , D三点共线,则存在实数 ,使 BD AB ,
1
AC AB AE ①, AC AB 2AF ②, BD CD CB 2k 1 e1 3 k e2 ,
4
4 2 ∴ 2k 1 e1 3 k e2 e1 2e2 ,
联立①②得 AC AE AF .
5 5 ∵ e1 与 e2 是两个不共线向量,
【30】A
1
解析:对 A, AD AB BC CD 3a 6b , ∴ 2k 1 ,且 3 k 2 ,解得 k ,故选:B.
5
所以 AD 3AB ,则 A,B,D三点共线,A正确;

对 B, AC AB BC 4a 8b , 综合巩固提升

则不存在任何 R ,使得 AC AB ,所以 A,B,C 不共线,B错误; 1.【答案】C

对 C BD BC CD 2a 4b 2 2 1 , , 2
解析:因为 AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ,3 3 3 3
则不存在任何 R ,使得 BD BC ,所以 B,C,D 不共线,C错误;
1 1 1 11 1
对 D, AC AB BC 4a 8b , 所以 AE AD AB AC ,则 BE AE AB AB AC .
4 12 6 12 6
则不存在任何 t R ,使得 CD t AC ,所以 A,C,D 不共线,D错误; x 11 1 11 1 3
A 因为
BE xAB yAC ,所以 , y ,则 x y .
故选: . 12 6 12 6 4
【31】D 故选:C
3k 1
解析:A选项,设 AB kBC ,即 a 3b k 3a 8b ,故 ,
8k 3
无解, A,B,C 三点不共线,A错误;
4m 3B 选项,设 BC mCD ,即 3a 8b m 4a 10b ,故 ,无解,
10m 8 2.【答案】A
B,C,D 三点不共线,B错误;
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1 m 1 1
解析:由 AD mDB ,则 AB AD DB 1 AD ,则 AD AB , 因为 DB AD,EC AE ,则 AD AB,AE AC ,
m m 1 1 1

CD CA AD CA m
m 1 DE AE AD AC 1

AB CA CB CA AB
m 1 m 1 1 1
,
1 m 1 1
CA CB CA CB , DF AF AD AC (
1 1
)AB ,
m 1 m 1 3 2 4 1
1 1 m 2 又点 D,F ,E 共线,即 DE / /DF ,即有 DE tDF ,t R ,显然 t 0
故 、 ,故 .故选:A.
m 1 3 m 1 3 1 1 t 1 1
3 ACD 于是 AC AB AC ( )t AB.【答案】 1 1 2 4 1 ,而向量 AB,AC 不共
解析:对于选项 A ,由已知条件可知 AD 2BC ,则 A 正确;
线,
对于选项 B , DB AB AD ,则 B 错误; 1 t

对于选项 C ,连接 AC ,因为 E 是线段 CD 的中点, 1 2 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1
因此 ,则 ( ) ,整理得 2 1 ,
所以 AE AC AD AB BC AD AB AD
1
AD 1 1 1 1 1 4 1
2 2 2 2 2 4 2 ( )t 1 1 4
1 3
AB AD ,则 C 正确; 所以 2 为定值,此定值为 1.
2 4

对于选项 D ,设 AF AE ,点 B,F ,D 三点共线,则存在 m ,

使得 BD mBF ,
1 1 1 AF AB BF AB BD AB AD AB 1 AB 1 ADm m m ,m
1 3 AE AB AD 1 AB 3

AD ,
2 4 2 4
1 1 1 m 2
所以 ,消去 m得 1
3 1 4 4
,解得 = ,所以 AF AE ,
1 3

4 2 5 5
m 4
则 D 正确;故选: ACD .
4.【答案】 1:1: 2

解析:设 D为 AC 的中点,如图所示,连接 OD ,则 OA OC 2OD .

又 OA OC 2OB ,所以 OD OB ,即 O 为 BD 的中点,
则 S AOC 2S AOD 2S△AOB , S△ AOB S△ BOC ,即 S△AOB :S△BOC :S△AOC 1:1: 2 .
故答案为: 1:1: 2 .
5.【答案】证明见解析

解析:∵ AB a,AD b ,

∴ BD AD AB b a .
∵ N 是 BD 上靠近点 B 的三等分点,
1 1
∴ BN BD (b a) .
3 3

∵在平行四边形中, BC AD b ,

∴ CN BN BC
1
(b a ) b 1 2 a b .①
3 3 3
∵ M 为 AB的中
1
点,∴ MB a, CM
1
MC (MB BC) a b
1
a b
2 .② 2 2
3
由①②可得 CM CN .由向量共线定理知 CM //CN .又∵ CM 与 CN
2
有公共点 C ,∴ M ,N ,C 三点共线.
2 1
6.【答案】（1） AB AG BC ,AC AG BC ;（2）1.
3 3

解析:（1）因为 BG 2GC ,则
2 2 1 BG BC , AG AB BG AB (AC AB ) AB
2
AC ,
3 3 3 3

即 AB 2AC 3AG ,又 AC AB BC ,
2
所以 AB AG BC ,AC AG
1
BC .
3 3
3 3 1 2 1 1
（2）由（1）及已知得 AF AG ( AB AC ) AB AC ,
4 4 3 3 4 2
{#{QQABSQWp4wg4kFYACR6bQwl6C0sQkJGSJQoOQUAcuAQKCAFABCA=}#}

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