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向量.
第六章 平面向量及其应用
第一节 向量概念及加减法运算
【9】答案见解析
核心基础导学
解析:（1）作 OA a , OB b ,以 OA、 OB为邻边作
1 B 【 】
OACB , a b OA OB OC ,
解析:①正确, AB和 BA 是方向相反、模相等的两个向量;②错误,方向

则 OC 即为所求作的向量.
不同包括反向共线;③错误, 0是一个向量,而 0为数量, 0 0 ;④错误,
向量不能比较大小,故选 B.
【2】B
解析:（1）向量可以用有向线段表示,但不能把两者等同,故错误;
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的,是任意的,故错误; （2）解:作 OA a , OB b ,以 OA、 OB为邻边作
（3）根据对零向量的规定,零向量的方向是任意的,故正确; OACB , a b OA OB OC ,
（4）根据对零向量的规定,零向量的大小为 0,所以零向量的长度为 0,
则 OC 即为所求作的向量.
故正确.故选:B
【3】A
解析:对于①,由共线向量的定义可知:方向相反的两个向量也是共线向
量,故①错误;
对于②,长度相等,方向相同的向量是相等向量,故②正确;
对于③,平行向量的方向相同或相反,不一定方向相同,所以不一定相等, 【10】详见解析

故③错误;对于④,若 a b ,可能只是方向不相同,但模长相等,故④错 解析:解法一:（三角形法则）,如下图所示,作 AB=a , BC=b ,
误.故选:A 则 AC a b ,再作 CD c ,则 AD AC CD=(a b) c ,即
【4】AD AD a b c .
解析:根据单位向量的概念可知,单位向量的模都相等且为 1,故A正确;
根据共线向量的概念可知,长度不等且方向相反的两个向量是共线向量,
故 B 错误;
向量不能够比较大小,故 C 错误;
根据相等的向量的概念可知,两个有共同起点而且相等的向量,其终点
必相同,故 D正确.故选:AD.

【5】（1） FO , OC , ED

（2） BA , OF , CO , DE
解法二:（平行四边形法则）因为向量 a , b , c不共线,
（3） FO , OC , ED , BA , OF , CO , DE , FC , CF
如下图所示,在平面内任取一点 O,作 OA a , OB b ,
（4） BE , CF , DA , EB , FC
以 OA , OB为邻边作平行四边形 OADB ,则对角线 OD a b ,
解析:（1）两向量相等是指两向量方向相同,长度相等,由图可得与 AB
再作 OC c ,以 OC , OD 为邻边作平行四边形 OCED ,则
相等的向量为: FO , OC , ED ;
OE a b c .
（2）AB向量的负向量是指与 AB方向相反,长度相等的向量,由图可得

AB的负向量为: BA , OF , CO , DE ;

（3）两向量平行,是指两向量方向相同或相反,由图可得 AB平行的向

量为: FO , OC , ED , BA , OF , CO , DE , FC , CF .

（4）由图,因图形为正六边形,则 AD BE FC ,故与 AD 长度相等的向

量为: BE , CF , DA , EB , FC .
【6】C 【11】B
解析:对于 A 解析:相反向量是指大小相等,方向相反的向量,故 A正确,B错误;项:零向量的方向是任意的并不是没有方向,故 A项错误;
B 零向量的相反向量是零向量,故 C 正确;对于 项:因为向量的模相等,但向量不一定相等,故 B项错误;
共线向量是指方向相同或相反的向量,互为相反向量的两个向量方向相
对于 C项:因为 a b , b c ,所以可得: a c ,故 C 项正确;
反,故 D正确,故选:B.
对于 D 项:若 b 0 ,则不共线的 a , c 也有 a∥0 , 0∥c ,故 D项错误. 【12】C
故选:C. 解析:由平行向量的定义可知 A 项正确;
【7 ABD 】 因为 a 和 b 的方向相反,所以 a b ,故 B 项正确;
解析:单位向量的方向不确定,所以起点相同的,终点不一定相同,A选 由相反向量的定义可知 a b ,故选 D项正确;
项错误;

四边形ABCD中, AB∥CD ,则 AB//CD AB CD 由相反向量的定义知 ,故 C 项错误;故选:C.且但 不一定与 相等,所以 | a | |b |
四边形 ABCD不一定为平行四边形,B选项错误; 【13】ABC

因为 A,B,C,D是不共线的四点, AB DC ,所以 AB / /CD , AB=CD ,故 解析:由向量的加法交换律及相反向量知: a b b a 、 a a ,即 A、
四边形 ABCD为平行四边形,
B正确,
若四边形 ABCD为平行四边形,则 AB DC ,所以“ AB DC ”是“四边形 由 AB BC CA AC CA 0 ,C正确,
ABCD为平行四边形”的充要条件,C 对,
向量的线性运算（加减、数乘运算）,结果应为向量,D错误.故选:ABC
当 a b 且 a，b 方向相反时, a b ,所以 a b 是 a b 且 a / /b 的充 【14】BCD
解析:对于 A,向量 AB与向量 BA 的长度都为线段 AB长度,所以其长度
分不必要条件,D错,故选:ABD
8 相等,A正确;【 】答案见解析

1 对于 B,当 时,不成立,故 B错误;解析:（ ）解:作 OA a , AB b , a b OA AB OB ,则 OB a 0即为所求
作的向量. 对于 C,当 a 与 b之一为零向量时,不成立,故 C错误;
对于 D, a b 0时, a b 方向是任意的,与 a , b的方向都不相同;
故选:BCD
【15】BD


（2）解:作 OA a , AB b , a b OA AB OB ,则 OB即为所求作的 解析:对于选项 A:若 a = b ,即向量 a 与 b 的模相等,但方向不确定,故
{#{QQABQQWt4wg4gEQACB7bQwl6CUsQkJMSJYoOwUAQuAQKiAFIBCA=}#}
A 错误; 解析:（1） BC CE EA BE EA BA
对于选项 B:相反向量是指大小相等方向相反的两个向量,故 B正确;
（2） OE AB EA (OE EA) AB OA AB OB
对于选项 C:向量 AB与 BA 互为相反向量,故 AB BA ,故 C错误;
（3）易知 FE 为三角形 ABC 的一条中位线,
对于选项 D:若 m n , n p ,则 m , p 方向相同大小相等,故 m p ,若
FE / /BC,FE 1 BC
m , n , p 中有零向量结论也正确,所以 D正确.故选:BD. 2
【16】答案见解析 又∵点 D是 BC 的中点,

解析:（1）作 OA a , OB b ,则 a b OA OB BA ,即 BA 即为所求 BD 1 BC
作的向量. 2
FE BD

AB FE DC AB BD DC AD DC AC .

【21 】（1） d e a ;（2） b c ;（3） e a b ;（4） a b c e

解析:（1） DB DE EA AB d e a .
（2）解:作 OA a , OB b ,则 a b OA OB BA ,即 BA 即为所求作
（2） DB DC CB CD BC b c .
的向量.
（3） EC EA AB BC e a b

（4 ） ED EA AB BC CD a b c e

【22】（1） d b ;（2） b a f c ;（3） c e

解析:（1） AD AB OD OA OB OA d a b a d b
（3）解:作 OA a , OB b ,则 a b OA OB BA ,即 BA 即为所求作
的向量. （2） AB CF OB OA OF OC b a f c
（3） EF CF OF OE OF OC f e f c c e
重点题型专练
（4）解:作 OA a , OB b ,则 a b OA OB BA ,即 BA 即为所求作
的向量. 【23】A
解析:在矩形 ABCD 中,由 AB 2 , BC 1 可得 AC 5 ,

【17】答案见详解. 又因为
AB AD AC
,故 AB AD AC 2AC ,故 AB AD AC 2 5 .

解析:（1）由向量加法的三角形法则, a + b + c 如图, 故选:A.
【24】C

解析:因为 OA OB OC OD ,即 BA DC ,又因为 AB//CD ,故四边
形 ABCD 一定为平行四边形.故选:C.
π
【25】
6

2 OA a,OB b 解析:设 OA a , OB b ,以
OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB ,如图所
（ ）如图,作 ,则 BA 即为 a b ,再作 BC c ,则向量 CA
示,
即为 a b c .

则有 BA a b , OC a b ,

由 a b a b
π
,则四边形 OACB为菱形, BOA ,
【18】（1） AB ;（2） 0 ;（3） 0 ;（4） BA ;（5） CB ;（6） 0 ;（7） 3

DA ;（8 0 9

） ;（ ） 0 ; π则有 a 与 a b 的夹角为 COA .6
【详解】（1）
【26】
AB MB BO OM (AB BO) (OM MB) AO OB AB 4 2;

（2） OA OD AD OA AD OD OD OD 0 ; 解析:∵ AB CB AD CD = AB BC AD DC = AC AC = 2AC .

（3）原式 (AB AC) BD CD (CB BD) CD CD CD 0 . ∴ AB CB AD CD 2 AC .
（4）原式 OA OC OB OC BA .
∵正方形 ABCD 的边长为 2,
（5）原式 AB (AD DC) AB AC CB . ∴ AC 2 2

（6）原式 MN NQ QP PM 0 ∴ 2 AC = 4 2 故答案为: 4 2 .

（7） BA BC ED EC BA CB ED CE CA CD CA DC DA 【27】C

（8） (AB CD) (AC BD) AB CD AC BD AB BD DC AC 解析:因为 M是线段 BC的中点,所以 AB AC 2AM ,

AC AC 0 又 AB AC CB, BC 4 ,
（9） AC BO OA DC DO OB AC BA DC OD BO 所以 2 AM AB AC AB AC CB 4 ,
BC DC BD BC BC 0 所以 AM 2 .故选:C

【19】 CA
解析:因为在梯形 ABCD中, AD∥BC ,AC与 BD交于点 O,

故 BA BC OA OD DA

CA AO OD DA CO OD DA CD DA CA .

即 BA BC OA OD DA CA .

【20】（1） BC CE EA BA ;（2） OE AB EA OB ;（3） 【28】A

AB FE DC AC 解析:因为 AC AB AD ,所以四边形
ABCD 为平行四边形,
{#{QQABQQWt4wg4gEQACB7bQwl6CUsQkJMSJYoOwUAQuAQKiAFIBCA=}#}

又 | AB AD | | AB AD | ,所以 | AC | |DB | ,即对角线相等,所以四边形
ABCD 为矩形.故选:A
【29】（1）4;（2） 2 .

解析:（1）设 OA a , OB b ,则 | BA | | a b | ,以 OA与 OB边邻边作平 2.【答案】A
行四边形 OACB ,如图（1）, a c

解析:平面向量 , b , 均为单位向量,则 | a b c | | a | |b | | c | 3 ,
则 |OC | | a b | .
由于 ( 7 1)2 ( 7 1)2 2
当且仅当 a,b, c 同向共线时取等号,
4 ,

即 |OA |2 |OB |2 | BA |2 , 则当 a b c 3 时, a 与 b 共线,反之, a 与 b 共线并且方向相反

所以 OAB是以 AOB 为直角的直角三角形,从而 OA OB ,所以平行 时, a b c 1 ,所以“ a b c 3 ”是“ a 与 b 共线”的充分不必要条
四边形 OACB是矩形.
件,A正确.故选:A
根据矩形的对角线相等,有 |OC | | BA | 4 ,即 180 . 3.【答案】A
解析:

（2）设 OA a , OB b ,以 OA与 OB为邻边作平行四边形 OACB , AB BE AE
,显然当 E 为斜边 BC 中点时, AE BC ,此时 AE 最小
如图（2）因为 | a | | b | ,所以平行四边形 OACB为菱形.又
BC 2 2
| BA | | a b | 2 , | a | | b | 1 ,则 OA OB ,所以菱形 OACB是正方形,所 为 ,即
AB BE 的最小值为 .故选:A.
2 2 2
以 | a b | |OC | | BA | ,所以 | a b | 2 . 14.【答案】
【30】B 2

a,b | a | 3,|b | 5 a b | a | |b | 8

a,b 解析:∵向量 OA , OC , OB , OD 满足等式 OA OC OB OD ,解析:向量 满足 ,则 ,当且仅当 同

OA OB OD OC ,

向时取等号; a b ||b | |a || 2 ,当且仅当 a,b 反向时取等号,所以 即 BA CD ,则四边形 ABCD为平行四边形.

2,8 ∵E为 AC的中点,a b 的取值范围是 .故选:B ∴E为对角线 AC与 BD的交点,
【31】 3,7 ∴ S△EAB S△ECB S△ADE S△DCE ,
S 1 1
解析:由向量模长的三角不等式可得 a b a b 3 ,当且仅当 a 、b △EAB则 S 2 .故答案为: 2
△BCD
的方向相同时,等号成立; a b a b 7 ,当且仅当 a 、 b的方向相 5.【答案】1; 3

反时,等号成立.因此, a b 的取值范围是 3,7 .故答案为: 3,7 . 解析:易知 AB BC AC 1 ,
【32】A 以 AB,AC为邻边作菱形 ABDC,

a b a b 又等边三角形 ABC的边长为 1,解析:由向量模长的三角不等式可得 ,当且仅当 a 、 b的

方向相同时,等号成立,因为 a b a b ,所以 a 与 b方向相同,
故选:A.
【33】C

解析:对 A,当 a,b 0 ,且 a,b同方向时, a b a b ,故 A错误, 则| AB＋ AC | AD 2 AB sin60 2 1
3
3 .故答案为: 1; 3 .
2
对 B,当 a,b 0 ,且 a,b反方向时, a b a b ,故 B 错误, 6.【答案】7
| a b | a b 7
对 C,根据向量加法的平行四边形法则,得 a b a b ,故 C正确, 解析:因为 ,当且仅当 a , b反向时,等号成立,
| a b |
a b a b 所以 的最大值为 7.故答案为:7.对 D,根据向量减法的三角形法则,得 ,故 D错误,
7.【答案】证明见解析
故选:C. 解析:由题意知 AD AC CD , BE BC CE , CF CB BF ,
【34】0或 2
由题意可知 EF CD , BF FA .
解析:

向量 a 与 b 共线,且 a b ,∴ a 与 b 相等或互为相反向量, AD BE CF AC CD BC CE CB BF
当 a 与 b 相等时, a b 2a 2 , AC CD CE BF BC CB

当 a 与 b 互为相反向量时, a b 0 =0 .故答案为:0或 2. AE EC CD CE BF 0
【35】1;5
AE CD BF AE EF FA 0 .
解析:当 a,b反向时, | a b | 有最小值 3 2 1 ;当 a,b反向时, | a b |有
最大值 3 2 5 .故答案为: 1,5
综合巩固提升
1.【答案】C

解析:对于 A, AB BC AC ,故 A错误;

对于 B,因为 AB BC AC ,所以 AB AC 2AB BC ,故 B错误;

对于 C, AC BA BA AC BC AD ,故 C正确;

对于 D,因为 AD DC AC ,所以 AC AD 2AD DC ,故 D错误.
故选:C
{#{QQABQQWt4wg4gEQACB7bQwl6CUsQkJMSJYoOwUAQuAQKiAFIBCA=}#}第一节 向量的概念及加减法运算
一.向量的概念与表示
▍知识点1:向量的定义与概念
既有大小又有方向的量叫做向量.用有向线段表示向量,其箭头表示向量的方向,长度表示向量的大小,也是向量的长度（或模）.
▍知识点2:向量的表示
（1）几何表示
用有向线段表示向量,有向线段的起点为向量的起点,有向线段的终点为向是的终点,有向线段的长度表示向量的大小,即向量的模.
（2）字母表示
用带箭头的小写英文字母表示为;用带箭头的两个大写英文字母表示,如为向量的起点,为向量的终点.在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如,,等来表示向量.
注意:向量在平面中表示为有向线段,是可以自由平移的.
▍知识点3:向量的有关概念
（1）向量的模
向量的大小叫向量的模,或的模记作或.
（2）零向量
若即长度为0的向量为零向量,则称,其方向是任意的.
（3）单位向量
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.
（4）相等向量
长度相等且方向相同的向量.即且与同向.
（5）共线（平行）向量
定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量又叫共线向量,任一组平行向量都可以移到同一条直线上,向量与平行,记作.
规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
▍知识点4:有关概念的辨析
（1）向量与数量的区别
①向量被赋予了几何意义,即向量是具有方向的,而数量没有方向;
②数量可以比较大小,而向量无法比较大小,即使也不能说.
③0与不同,0表示数量,但表示零向量,其中.
（2）共线向量与相等向量
①共线向量的定义指的是非零向量的共线问题.
②共线向量中的向量所在的直线可以平行,也可以重合,与平面几何中的“共线”“平行”不同.
③相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.共线向量仅仅指向量的方向相同或相反;相等向量指大小和方向均相同.
［对应练习:基础1、基础2］
向量及相关概念
向量的判定及相关概念的区别:
（1）向量的判定
判定一个量是不是向量,关键看它是否具有向量的两要素:大小和方向.同时具备这两个要素的量是向量,否则就不是向量.　　
（2）向量与有向线段的关系
如果有向线段表示一个向量,通常我们就说向量,但有向线段只是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.
（3）向量与数量的区别
①向量被赋予了几何意义,即向量是具有方向的,而数量没有方向;
②数量可以比较大小,而向量无法比较大小,即使也不能说.
【典例 1】给出下列命题:
①和的模相等;
②方向不同的两个向量一定不平行;
③;
④.
其中正确命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【典例 2】下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段;
（2）零向量是没有方向的向量;
（3）零向量的方向是任意的;
（4）零向量的长度为0.
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式 3】下列命题:
①方向不同的两个向量不可能是共线向量;
②长度相等、方向相同的向量是相等向量;
③平行且模相等的两个向量是相等向量;
④若,则.
其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式 4】（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.单位向量的模都相等
B.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.方向相同的两个向量,向量的模越大,则向量越大
D.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同
相等向量与共线向量
（1）共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线.
（2）非零向量共线是指方向相同或相反的向量,可分为如下四种情况:①方向相同、模相等;②方向相同、模不等;③方向相反、模相等;④方向相反、模不等.
（3）零向量与任何向量共线（平行）;平行（共线）向量无传递性.
（4）两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念.
【典例 5】如图,多边形ABCDEF为正六边形,在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中:
（1）写出与相等的向量;
（2）写出相反的向量;
（3）写出与平行的向量;
（4）写出与的模相等的向量.
【练习 6】下列命题正确的是（ ）
A.零向量没有方向
B.若,则
C.若,,则
D.若,,则
【练习 7】（多选）下列命题中错误的有（ ）
A.起点相同的单位向量,终点必相同;
B.已知向量,则四边形ABCD为平行四边形;
C.若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;
D.的充要条件是且.
二.向量的加法运算
▍知识点1:向量加法的三角形法则
如图,已知非零向量,在平面内任取一点,作,则向量叫做与的和,记作,即, 这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.
简记为:首尾顺次连接,指向终点.
当与共线时,求它们的和可用如图表示.
注意:零向量与任一向量的和都有.
▍知识点2:向量加法的平行四边形法则
如图,以同一点为起点的两个已知向量,以,为邻边
作,则以为起点的向量是的对角线）
就是向量与的和, 这种作两个向量和的方法叫做向量加法
的平行四边形法则.
注意:向量“共起点”作平行四边形
▍知识点3:多向量相加
为了得到有限个向量的和,只需将这些向量通过平移后依次首尾相接,那么以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点的向量,就是这些向量的和.即:
▍知识点4:向量加法的运算律
交换律:.
结合律:.
［对应练习:基础3］
向量加法的几何表示
运用三角形法则作两个向量和的关键是“作平移,首尾连”;当两向量不共线时,向量的加法也可采用平行四边形法则.
【典例 8】如图,已知向量、,用向量加法的三角形法则作出向量.
（1） （2）
【典例 9】如图,已知向量、,用向量加法的平行四边形法则作出向量.
（1） （2）
【练习 10】如图,已知向量,,不共线,求作向量.
三.向量的减法运算
▍知识点1:相反向量
与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作.
▍知识点2:相反向量的性质
（1）;
（2）;
（3）;
（4）若与互为相反向量,则,, .
注意:相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.
▍知识点3:向量的减法
（1）定义:,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
（2）减法的三角形法则:如图,已知非零向量,在平面内任取一点,作,连接,则.即把两个向量的起点放在一起,则两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量,这是向量减法的三角形法则,即向量减法的几何意义.
［对应练习:基础4—基础6］
相反向量的概念
【典例 11】下列说法中,错误的是（ ）
A.等长且方向相反的两个向量是相反向量
B.方向相反的向量是相反向量
C.零向量的相反向量是零向量
D.互为相反向量的两个向量是共线向量
【典例 12】若非零向量和互为相反向量,则下列说法中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【练习 13】（多选）下列四个等式中,正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 14】（多选）给出下列命题,其中叙述错误的命题为（ ）
A.向量的长度与向量的长度相等
B.向量与平行,则与的方向相同或相反
C.与方向相反
D.若非零向量与非零向量的方向相同或相反,则与,之一的方向相同
【练习 15】（多选）给出下列命题,其中正确的命题是（ ）
A.若,则或
B.若向量是向量的相反向量,则
C.向量与相等
D.若向量,,满足,,则
向量减法的几何表示
作两个向量差的关键是“作平移,共始点;两尾连,指被减”.
【典例 16】如图,已知向量、,求作.
（1） （2）
（3） （4）
【练习 17】如图,已知向量,,不共线.
（1）作向量++; （2）作向量.
向量加减法的综合运算
1.注意满足下列两种形式可以化简
（1）首尾相连且为和.
（2）始点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
2.利用向量加减法基本运算化简向量的一般思路:
将若干个求和（差）的向量最终转化为首尾相接的向量,如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量.
【典例 18】化简下列各式:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）;
（6）;
（7）;
（8）;
（9）;
【典例 19】如图,在梯形ABCD中,,AC与BD交于点O,化简.
【练习 20】如图,在中,为重心,点分别是,,的中点,化简下列各式:
（1）;
（2）;
（3）.
【练习 21】如图,已知向量
（1）用表示;
（2）用表示;
（3）用表示;
（4）用表示
【练习 22】如图所示,已知,,, ,,,试用表示下列各式:
（1）;
（2）;
（3）.
重点题型专练
加减法几何意义的应用
【典例 23】在矩形中,,,则等于（ ）
A. B. C.3 D.4
【变式 24】已知是四边形所在平面上任一点,且.则四边形一定为（ ）
A.菱形 B.梯形
C.平行四边形 D.矩形
【变式 25】已知向量满足,则与的夹角为_______.
【练习 26】（2024·高一课时练习）设正方形的边长为2,则 .
【练习 27】设点M是线段BC中点,点A在直线BC外,,则（ ）
A.8 B.4 C.2 D.1
【练习 28】四边形中,若,且,则（ ）
A.在四边形是矩形
B.在四边形是菱形
C.在四边形是正方形
D.在四边形是平行四边形
【练习 29】已知非零向量.
（1）若,,且,求的值;
（2）若,且,求的值.
向量的三角不等式
1.向量加法的三角形不等式
向量的模与的模之间满足不等式.
当向量与同向时,右侧等号成立,当向量与反向时,左侧等号成立.
2.向量减法的三角不等式
向量的模与的模之间满足不等式.
当向量与反向时,右侧等号成立,当向量与同向时,左侧等号成立.
【典例 30】（2024·辽宁统考）已知向量满足,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【典例 31】已知,,则的取值范围是 .
【练习 32】、为非零向量,且,则（ ）
A.与方向相同 B.
C. D.与方向相反
【练习 33】对于任意两个向量和,下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 34】若向量与共线,且,则 .
【练习 35】已知向量满足,,则的最小值为 ,的最大值为 .
综合巩固提升
一、单选题
1.已知四边形为菱形,则下列等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3.（2023·浙江高三联考）已知向量,,均为单位向量,则“”是“与共线”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知等腰的直角边长为1,为斜边上一动点,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6.已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,,,满足等式.若点E为AC的中点,则的值为 .
7.（2024·高一练习）在边长为1的等边三角形ABC中, , .
8.已知向量,满足,,则的最大值为 .
三、解答题
10.如图,已知D,E,F分别为的三边, ,的中点,求证:.

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