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第八节 专题:圆的轨迹与曲线方程
重点题型专练
▍知识点1:曲线的方程与方程的曲线
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线与方程之间具有如下关系:
（1）曲线上的点的坐标都是方程的解;
（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上.
则称曲线为方程的曲线,方程为曲线的方程.
▍知识点2:两曲线的交点
已知两条曲线和的方程分别为,,求两条曲线和的交点坐标,只要联立两个方程得方程组求方程组的实数解就可以得到.
［对应练习:题型1—题型3］
▍知识点3:点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
▍知识点4:轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程.
（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时,常采用直接法;当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时,常采用定义法;当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时,可采用代入法（或称相关点法）.
（2）求轨迹方程时,一要区分“轨迹”与“轨迹方程”;二要注意检验,去掉不合题设条件的点或线等.
（3）求轨迹方程的步骤:
①建立适当的直角坐标系,用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标;
②列出关于的方程;
③把方程化为最简形式;
④除去方程中的假点（即不符合题意的点）;
⑤作答.
▍知识点5:求动点轨迹方程常见的方法
（1）直接法
当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的坐标为后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）的数学语言,从而得到轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质.
（2）定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义,可以设出其标准方程,然后用待定系数法求解,这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.
（3）代入法
若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系,可把点的坐标用点的坐标表示出来,然后代入已知曲线的方程,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）.
（4）参数法（椭圆,双曲线,抛物线部分再做研究）
如果所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到,也没有相关信息可用时,可先考虑将,用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.
（5）交轨法（椭圆,双曲线,抛物线部分再做研究）
交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程.若动点是由两动曲线相交所得,其过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程.
［对应练习:题型4］
曲线与方程的概念
【典例 1】已知命题“方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是真命题,则下列命题正确的是（ ）
A.曲线C上的点的坐标都是方程的解
B.坐标不满足方程的点不在曲线上
C.曲线C是方程的曲线
D.不是曲线C上点的坐标,一定不满方程
【变式 2】“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【练习 3】若点在方程的曲线上,则 .
【练习 4】（2024·全国）曲线与曲线的公共点的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【练习 5】曲线与的交点是（ ）
A. B.
C.或 D.或
【练习 6】曲线与曲线的交点个数是 .
【练习 7】判断直线与曲线是否相交,如果相交,求出交点的坐标.
由方程研究曲线的类型与性质
【典例 8】方程y＝表示的曲线是（ ）
A.一个圆 B.两条射线
C.半个圆 D.一条射线
【练习 9】方程表示的曲线是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 10】方程表示的曲线是（ ）
A.一个圆 B.一个椭圆
C.两个圆 D.半圆
【练习 11】方程所表示的图形是（ ）
A.点 B.点
C.以为圆心的圆 D.以为圆心的圆
【练习 12】方程表示的曲线是（ ）
A.一个圆 B.两个半圆
C.两个圆 D.半圆
【练习 13】方程的对应曲线图形是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 14】方程表示的图形是 .
【练习 15】（2024·全国高三）方程表示的曲线是 .
【练习 16】方程表示的几何图形是 .
【练习 17】（2024·全国高二专题）在直角坐标平面内,画出曲线围成的图形并求其面积.
曲线的交点问题
【典例 18】直线与曲线有两个交点,则实数取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【变式 19】（2023·连云港）若直线与曲线有两个交点,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 20】（2024·山西）直线与曲线有交点,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 21】直线与曲线有两个公共点,则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 22】若曲线与直线有两个交点,则实数k的取值范围是 .
【练习 23】（2024·北京模拟）已知,, P是曲线上一个动点,则的最大值是（ ）
A.2 B. C. D.
【练习 24】（2024·江苏高二）设曲线上点到直线的距离为,则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【练习 25】已知点是曲线上的动点,则点到直线距离的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【练习 26】已知点是曲线上的动点,则点到直线距离的取值范围是 .
【练习 27】曲线与直线有两个不同的交点,则实数的取值范围是 .
轨迹问题
方法1:定义法
当列出的关系式符合圆的定义时可利用定义写出动点的轨迹方程.
【典例 28】点,动点P满足,则动点P的轨迹方程为______________.
【变式 29】设A为圆上的动点,是圆的切线且,则P点的轨迹方程是_____.
【练习 30】若Rt△ABC的斜边为,, ,则点满足的方程为_____________.
【练习 31】（2024·四川模拟）已知坐标原点在直线上的射影为点,则点满足的轨迹方程为_____________.
方法2:直接法
根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式.
【典例 32】两个定点的距离为6,点到这两个定点的距离的平方和为26,求点的轨迹方程.
【变式 33】在平面内,,,C为动点,若,求点C的轨迹方程.
【变式 34】平面直角坐标系中,,,点满足,求点的轨迹方程.
【练习 35】在平面直角坐标系中,已知点, ,动点P满足,求动点P的轨迹方程.
【练习 36】已知动点与两个定点的距离之比为,求动点的轨迹方程.
【练习 37】在中,的角平分线交边于点,若,求点的轨迹方程.
【练习 38】已知等腰的腰AC上的中线BD的长为3,求点的轨迹方程.
【练习 39】已知平面上的动点到点和的距离之比为,求点的轨迹方程.
方法3:代入法
若动点随着圆上的另一动点运动而运动,且,可用,表示则可将点的坐标代入已知圆的方程,即得动点的轨迹方程.
【典例 40】已知定点为圆的动点,求线段的中点的轨迹方程.
【变式 41】（2024·天津滨海新高二期末）已知为坐标原点,点在圆上运动,求线段的中点的轨迹方程.
【变式 42】（2024·山西高二）如图,已知线段的中点的坐标是,端点在圆上运动,求线段的端点的轨迹方程.
【练习 43】（2024·江苏高二）已知圆上动点,轴上定点,将延长到,使,求动点的轨迹方程.
【练习 44】已知圆,是圆上的动点,点,若动点满足,求点的轨迹方程.
【练习 45】（2024·全国高二专题）如图,已知点的坐标为,是以点为圆心的单位圆上的动点（不与点重合）,的角平分线交直线于点,求点的轨迹方程.解析:由 x 1 y 2 y 1 x2 1 可知, x 1,1 , y 1,1 第八节 专题:圆的轨迹与曲线方程
,
显然 x 0, y 0时方程不成立,排除 C,
又 1 y2 0,1
2
, 1 x 0,1 所以 xy 0 不成立,排除 BD,故选:A重点题型专练
【14】 y x 两条直线
【1】D
解析:由 x2 y2 0 得 x y x y 0 ,
解析:因为方程 F x, y 0 的解为坐标的点都是曲线 C上的点,
即 x y 0 或 x y 0 ,
不妨取方程 x2 y2 1(x 0) ,曲线取双曲线 x2 y2 1 对应的曲线, 方程 x2 y2 0 表示的图形是 y x 两条直线.
则,双曲线的左支上的点的坐标不满足方程 x2 y2 1(x 0) ,故 A错误; 故答案为: y x 两条直线.
双曲线的左支上的点的坐标不满足方程 x2 y2 1(x 0) ,但该点在双曲 【15】直线 x 0 和单位圆 x2 y2 1
线 x2 y2 1 上,故 B错误;由曲线与方程的定义可知,C 选项错误; 解析:由方程 x x2 y2 1 0可得: x 0 或 x2 y2 1 ,
因为以方程 x2 y2 1(x 0) 的解为坐标的点都在曲线上,所以 D选项正
所以方程 x x2 y2 1 0表示的曲线是直线 x 0 和单位圆 x2 y2 1 ,
确.故选:D.
【2】B 故答案为:直线 x 0 和单位圆 x2 y2 1 .
解析:若点 M在曲线 x2 4y 上,则 x 2 y ; 【16】一条射线和一条直线
当点M的坐标满足方程 x 2 y 时,必有 x2 4y ,即点M在曲线 x2 4y x 3 0解析:由方程得 或 x 3 0 ,即 x y 1 0 x 3 或 x 3 .
x y 1 0
上,故“点M在曲线 x2 4y 上”是“点M的坐标满足方程 x 2 y ”的必要
故方程 x 3 x y 1 0 表示的几何图形是一条射线和一条直线.
不充分条件.故选:B.
【3】2或 3 故答案为:一条射线和一条直线.
【17】如图所示,面积为 12解析:将点 a,3 代入方程 x y 1 x y 0 得 a 3 1 a 3 0
解析:当 x 1时, | y | 4 2x ;
解得: a 2 或 a 3 故答案为:2或 3 .
当 1 x<1 时, | y | 4 ;
【4】D
当 x 1时, | y | 4 2x ,
解析: 2y2 3x 3 0 与 x2 y2 4x 5 0 联立得:
作出图形如图:
2 3 3 2 11 13 x 13 x x 4x 5 0 ,整理得: x x 0 ,即 x 1 0
2 2 2 2 2
当 x
13
时,方程组无解,当 x 1时, y 0 ,故两曲线有 1个公共点.
2
【5】B
1
y x2 x 2 x 2
解析:由 4 ,可得 或 ,故选:B.
2 x y
2 5 y 1 y 1 1所以曲线围成的图像的面积为: 2 (2 4) 2 12 .
2
【6】 2
【18】C
2
x y2 2x 0 x 0 x 12 2 2 2解析:由 y x 0 可得, x x 0 ,所以 或 ,所以交
解析:由曲线 y 1 x 得 x y 1 y 0 ,表示以原点为圆心,半径为
y 0 y 1 1的半圆,
点个数是 2 .故答案为: 2 .
5
【7】相交,交点坐标为: (10, 1) 和 ( ,4) .
2
y 10
解析:将直线方程与曲线方程联得: x 2x2 15x 50 0 ,
2x 5y 15 0
解得 x
5 5
10 ,或 x ,当 x 10 时, y 1 ;当 x 时, y 4 , b
2 2 当直线 y x b 与半圆 y 1 x2 相切时, 1 ,则 b 2 ,
2
因此直线 2x 5y 15 0
10
与曲线 y 相交,交点坐标为: (10, 1) 和
x 此时直线为 y x 2 ;
( 5 ,4) . 当直线 y x b 过点 0,1 时, b 1 ,此时直线为 y x 1 ,
2
【8】C 要使直线 y x b 与曲线 y 1 x
2 有两个交点,则 b取值范围为
解析:由 y 36 x 2 得 y2 36 x2 ,即 x2 y2 36(y 0) ,∴曲线表示圆 1, 2 .故选:C.
x2＋y2＝36在 x轴上方的半圆.故选:C. 【19】D
【9】A
解析:由题可知,直线 l 可转化为 x 2 k y 4 0 ,所以直线 l 恒过点
解析:对 y 4 x2 两边平方整理得 x2 y2 4 y 0 ,所以,方程表示
A 2,4 y 4 x2 x2 2,又因为曲线 可转化为 y 4 y 0 ,则其表示
圆心为坐标原点,半径为 2 的圆在 x 轴及下方的部分,A选项满足.故
选:A 圆心为原点,半径为 2 的圆的上半部分,
【10】D 4 2k
当直线 l 与该曲线相切时,点 0,0 到直线的距离 d 2 ,解得
解析: 方程 x 1 1 (y 1)2 等价于 (x 1)2 (y 1)2 1(x 1) , k 2 1
表示的曲线是半个圆.故选:D. k 3 .
【11】A 4
2 2
解析:由方程 x a y b 0得 x a 0且 y b 0 , 设 B 2,0 4 0,则 kAB 1 , 2 2
所以 x a, y b
2 2
,所以方程 x a y b 0所表示的图形是点 由图可得,若要使直线 l : kx y 4 2k 0 与曲线 y 4 x2 有两个交
a, b .故选:A 3
12 A 点,需要 1 k
3
即 k∣ 1 k
【 】 4 4
解析:由方程 x 1 1 (y 1)2 2 2,两边平方得 x 1 ( 1 y 1 ) 2 ,
即 (x 1)2 (y 1)2 1 ,所以方程表示的轨迹为一个圆,故选:A.
【13】A
{#{QQABAQSt4wIQkEZACJ7bU0UeC0sQkJCSLSouRVCUuAQKCQNABCA=}#}
解析:因为 y 1 x2 ,即 x2 y2 1 y 0 ,
则曲线 y 1 x2 表示以坐标原点O为圆心,半径为 1的上半圆,并记为
C ,
故选:D
设点 P x, y ,则 BP x, y 1 ,BA 1,1 ,

所以 BP BA x y 1 ,令 t x y 1 ,则 y x t 1 ,
故直线 y x t 1（斜率为 1 ,纵截距为 t 1）与曲线 C 有公共点,
【20】B 如图所示:
解析: l : kx y 2k 1 0 k x 2 y 1 0 ,所以直线恒过定点
A(2,1) ,且斜率为 k ;
2 2
曲线 C : y 1 x 2 6x 5 ,整理得 x 3 y 1 4 , (y 1)
故该曲线是以 3, 1 为圆心,2为半径的下半圆,
如图所示,令 y 1 2 2,代入 x 3 y 1 4 ,整理得 (x 3)2 4 ,解得
x 1或 5 ;故 B( 1, 1),C(5, 1) ,
直线 l1 : y x m 过点 D 1,0 ,则 0 1 m ,即 m 1 ,
n
直线 l2 : y x n 与曲线 C 相切,则 1 ,解得 n 2 或
12 12
n 2 （舍去）,

所以 1 t 1 2 ,则 0 t 2 1 ,所以 BP BA 的最大值为 2 1 .
故选:D.
【24】B
k 1 1 2 2AB 2,kAC ,所以直线与曲线有交点,只需 k 2 或 k 即 解析:曲线 y x
2 2x ,其中 x2 2x 0 , y 0 ,即 0 x 2 , y 0 ,
2 1 3 3
可,故选:B. 曲线方程可化为 (x 1)
2 y2 1 , 其中 0 x 2 , y 0 ,即曲线的轨迹是
【21】D 一个半圆.
解析:由 x 4 y 2 ,得 x2 y2 4(x 0) , 3 5 8
因为圆心 (1,0) 到直线 3x 4y 5 0 的距离 d ,
32 42 5
3
故半圆上一点到直线的最小距离 mmin d r ,5
如图 6 5
半圆上点 (2,0)
11
到直线的距离最大 mmax ,
32 42 5
3 11
2 2 则
m的取值范围为
l : y x m
, ,故选:B.
当直线 与 x y 4(x 0) 相切时, m 2 2 . 5 5
当直线 l : y x m 过点（0,2）时,有两个交点
若直线 l : y x m 与曲线 x 4 y 2 有两个公共点,则实数 m的取
值范围是 2,2 2 .故选: D .
5 3
【22】 ,
12 4


解析:如图: 【25】D
解析:由 1 x2 y 0可得 y 1 x2 ,则 y 0 ,在等式 y 1 x2 两边
平方并整理得 x2 y2 1 ,
所以,曲线 1 x2 y 0为圆 x2 y2 1 的上半圆,该圆的半径为 r 1 ,
作出曲线 1 x2 y 0 与直线 3x 4y 10 0 的图象如下图所示:
2
化简曲线 y 1 4 x2 ( 2 x 2) 得: x2 y 1 4(y 1) .
曲线表示以 C 0,1 为圆心,半径 r 2 的圆的上半圆.
∵直线 y k(x 2) 4 可化为 y 4 k(x 2) ,
直线经过定点 A 2,4 且斜率为 k .
又∵半圆 y 1 4 x2 ( 2 x 2)与直线 y k(x 2) 4 有两个交点,
设直线与半圆的切线为 AD ,半圆的左端点为 B( 2,1) ,
当直线的斜率 k 大于 AD 的斜率且小于或等于 AB的斜率时, 10
直线与半圆有两个相异的交点, O 3x 4y 10 0 2原点 到直线 的距离为 2 23 , 4
1 2k 4
由点到直线的距离公式,当直线与半圆相切时满足 2 .
k 2 1 设点 P 到直线 3x 4y 10 0 的距离为 d ,
5 5 3 1 4 0 10 7
解之得 k ,即 k 1,0 d dmin
12 AD 12 当点 P 的坐标为 , 取最小值,即 ,32 4 2 5
3
又因为直线 AB的斜率 kAB ,4 由图象可知, dmax 2 r 2 1 3 ,
5 3 5 3 7
所以直线的斜率 k 的范围为 k , .故答案为: , 因此,点 P 到直线 3x 4y 10 0 的距离的取值范围是 ,3 .
12 4 12 4
.
5
【23】D 故选:D.
{#{QQABAQSt4wIQkEZACJ7bU0UeC0sQkJCSLSouRVCUuAQKCQNABCA=}#}
7 的切线且 | PA | 1,3 ,则点 P 到圆心的距离为 2 ,【26】 5
1 x2 y 0 x2 y2解析: 即 1 y 0 ,
所以曲线 1 x2 y 0是圆心为 (0,0) ,半径为 1的圆的上半部分,
如图,点 P 是曲线 1 x2 y 0上的动点,
设 P(x, y) ,则 (x 1)2 y2 2 ,
化简得 (x 1)2 y2 2 .
故答案为: (x 1)2 y2 2
P 2则点 到直线 3x 4y 10 0 距离的最大值为原点到直线距离加上圆的 【30】 x 1 y 2 9 （ y 0）.
10
半径,即 1 32 2 , 解析:设 C x, y ,由于直角三角形斜边上的中点为 M 1,0 ,如图所示,3 4
点 P 为 1,0 时到直线 3x 4y 10 0 的距离最小,最小值为
| 3 10 | 7

32 42 5
.
则点 P 到直线 3x 4y
7
10 0 距离的取值范围是 ,3 .
5


7 1 1 2 ,3 则半径为 AB 4 2
2
0 0 3 ,
故答案为: 5 2 2 2
即得圆的方程为 x 1 y 2 9 .
【27】 ( 1 2 , 2] {0} [2,1 2 )
解析:依题意, 1 y 1 , 0 | x | 1 1 2 x 1 1 x 2 但是顶点
C 不能在直线 AB上,因此 y 0 ,
,即 或 ,
C 2 2 y 0
当 2 x 1时,曲线方程 (x 1)2 y2 1 表示在直线 x= 1及左侧半圆, 因此 点满足的方程为 x 1 y 9 （ ）.
圆心为 ( 1,0)
2
,半径为 1, 故答案为: x 1 y 2 9 （ y 0）.
当 1 x 2 时,曲线方程 (x 1)2 y2 1表示在直线 x 1 及右侧半圆,圆 31 2 2【 】 x 1 y 2 5
心为 (1,0) ,半径为 1, 解析:直线 l :mx 2y 2m 8 ,即 m(x 2) 2(y 4) 0 恒过定点
曲线 1 y2 | x | 1 与直线 y x b 有两个不同的交点, A(2, 4) ,
等价于上述两个半圆组成的图形与直线 y x b 有两个不同的交点, 由原点 O 在直线 l 上的射影点为 P ,得 OP l ,则点 P 在以 OA为直径
在同一坐标系内作出曲线 1 y2 | x | 1 与直线 y x b 的圆上,,如图,
该圆圆心为 (1, 2) ,半径为 r 12 ( 2)2 5 ,
2 2
所以点 P 满足的轨迹方程为 x 1 y 2 5 .
【32】 x2 y2 4
解析:以两个定点的中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
1 b

当直线 y x b
1
与半圆 (x 1)2 y2 1( 2 x 1) 相切时, 2 ,

b 1
解得 b 1 2 ,
当直线 y x b 过点 ( 1,1) 时, b 2 ,由图形得当 2 b 1 2 时,直线 则 A 3,0 , B 3,0 ,设 M x, y ,
y x b 与这个半圆有两个交点, MA 2 MB 2 26 x 3 2 2则 ,∴ y2 x 3 y2 26 ,
当直线 y x b 过点 ( 1, 1) 时, b 0 ,这条直线也过点 (1,1) ,符合题意,
化简得 M 点的轨迹方程为 x2 y2 4 .
1 b

y x b 2 2 1
【33】 (x 1)2 y2 9
当直线 与半圆 (x 1) y 1(1 x 2) 相切时, 2 ,解得
C(x, y)b 1 解析:设 , AC (x 3, y) , BC (x 1, y) ,
AC BC (x 3)(x 1) y2 5 ,得 (x 1)2 y2 9 .
b 1 2 ,
2 2
当直线 y x b 过点 (1, 1) 时, b 2 【34】 (x 4) y 16,由图形得当 1 2 b 2 时,
直线 y x b
|MA |
与这个半圆有两个交点, 解析:∵ 2 ,即 |MA | 2 |MB ||MB |
所以实数 b的取值范围是 ( 1 2 , 2] {0} [2,1 2 ) .
2 2 2 2 2 2
故答案为: ( 1 2 , 2] {0} [2,1 2 ) 设 M x, y ,则 x 4 y 2 x 2 y ,整理得 (x 4) y 16
【28】 (x 1)2 (y 5)2 25 （ x 2 且 x 4 2 2） 【35】 x y 1 y 0
解析:由题意,点 A 2,1 ,B( 4,9) ,动点 P 满足 APB 90 , 解析:设 P x, y ,因为 PA PB ,

所以点 P 落在以 AB 2 2为直径的圆上,其中圆心坐标为 ( 1,5) ,半径为 所以由 PA PB 0 ,得 x 1, y x 1, y x 1 y 0 ,
2 2
r 1 AB 5 , 所以动点 P轨迹方程为 x y 1 y 0 .
2
【36】 x2 y2 3y 0
所以点 P 的轨迹方程为 (x 1)2 (y 5)2 25 ,其中 x 2 且 x 4 .
2 2
【29】 (x 1)2 y2 2 MA解析:设点 M 1
x (y 1)
x, y 1,则 ,即 ,整理得
MB 3 2
x2 y2 2x 0 (1,0) r 1 PA x (y 3)
2 3
解析:由圆 的方程可知,圆心为 ,半径 , 是圆
{#{QQABAQSt4wIQkEZACJ7bU0UeC0sQkJCSLSouRVCUuAQKCQNABCA=}#}
x2 y2 3y 0 ,所以动点 M 的轨迹方程为 x2 y2 3y 0 ,故答案 2 2
即 (x 2)2 y
5
5 ,故答案为: (x 2)
2 y 5 5 .
为: x2 y2 3y 0 . 2 2


【37】3 【42】 x 9 2 y 6 2 4
解析:因为角 A 的平分线交 BC 于点 D ,则 BAD CAD ,故
AB AC AB BD 1 解析:设 B x, y ,由于 C 4,3 是线段 AB的中点,根据中点坐标公式可
,则 .
BD DC AC DC 2 得 A 8 x,6 y ,
以 D为坐标原点建立如图平面直角坐标系,
将 A 点坐标代入圆 x 1 2 y2 4 ,
得 9 x 2 6 y 2 4 ,
2 2
所以 B 点的轨迹方程为 x 9 y 6 4 .
【43】 x 4 2 y2 8
解析:设 A x1, y1 , M x, y ,∵ AM BA ,且 M 在 BA 的延长线上,
BD 1 ∴ A 为线段 MB的中点,
因为 BC 3, ,故 B 1,0 ,C 2,0 ,设 A x, y ,
DC 2 x x 2
2
1
x 1 y2 1 22 2 2 2 由中点坐标公式得 ,则 2 ,化简可得 x 4x y 0 ,即 (x 2) y 4 y x 2 y2 4 y1 2
（ y 0）. ∵ A 在圆上运动,将点 A 的坐标代入圆的方程,可得
38 2 2 2【 】 x 4 y2 4 y 0 x 2 y
1 2 ,
解析:以 B 为原点,以 BD 所在的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,如 2 2
图所示, 化简得 x 4 2 y2 8 ,∴点 M 的轨迹方程为 x 4 2 y2 8 .
因为 BD 3 ,可得 B(0,0),D(3,0) ,
【44】 (x 1)2 (y 8)2 9
AD 1 (x 3)2 y2A(x, y) 1设 ,因为 ,可得 ,可得 M (x, y) D(a,b) x a 4 2aAB 2 x2 y2 2 解析:设 , ,由 DM 2DE ,得 ,所以 y b 8 2b
x 4 2 y2 4 y 0 , a 4 x
,
b 8 y
又因为点 D在圆 C : (x 3)2 y 2 9 上,
所以 (4 x 3)2 (8 y)2 9 ,即 (x 1)2 (y 8)2 9 .
【45】 (x
2
)2 y2 4 (y 0)
3 9
BQ OB
39 2 2 解析:由三角形的角平分线的性质,可得
2 ,所以
【 】 (x 6) y 48 QP OP

解析:设 P(x, y) ,因为动点 P 到点 O(0,0) 3和 A(2,0) 的距离之比为 , BQ 2QP ,
2 设点 Q(x, y),P(x0 , y0)(y0 0) ,则 (x 2, y) 2(x0 x, y0 y) ,
(x 0)2 (y 0)2 3 x2 y2 3
x 2 2x0 2x所以 , 3x 2 3y
(x 2)2 (y 0)2 2 (x 2)
2 y2 4 , 所以 y 2y 2y ,所以
x0 , y0 ,
0 2 2
即: 4x2 4y2 3(x2 4x 4) 3y2 , 因为 y0 0 ,所以 y 0 ,
所以 x2 y2 12x 12 ,即 (x 6)2 y 2 48 , 3x 2 3y又因为点 P 在圆 O 上,所以 ( )2 ( )2 1 ,即
所以点 P 的轨迹方程是 (x 6)2 y2 48 2 2.
2 2 2 4
故答案为: (x 6)2 y 2 48 (x ) y (y 0) ,3 9
2
40 x 1
2 2 2 4
【 】 2 y 1 即点 Q 的轨迹方程为 (x ) y (y 0) .
2 3 9
解析:设线段 AP中点 M 的坐标为 x, y ,且点 P x1, y1 ,
x1 1
x 2 x1 2x 1
又由 A 1,0 ,可得 ,解得 ,
y

y 1
y1 2y
2
2
又由 x2 y2 4 ,可得 2x 2 2 1 1 2y 4 ,即 x y 2 1 .
2
2
【41】 (x 2)2 y 5 5
2


解析:设点 M (x, y) ,点 P(x0 , y0 ) ,
x 0
x
0 ,
2 x0 2x,
则 所以y 0 0 y0 2y.y ,
2
因为点 P(x0 , y0 ) 在圆 C : x2 y2 8x 10y 21 0 上,
所以 x2 y20 0 8x0 10y0 21 0 ,
所以 (2x)2 (2y)2 8 (2x) 10 (2y) 21 0 ,
21
所以点 M的轨迹方程为 x2 y2 4x 5y 0
4
{#{QQABAQSt4wIQkEZACJ7bU0UeC0sQkJCSLSouRVCUuAQKCQNABCA=}#}

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