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第四节 专题:直线的对称与最值问题
重点题型专练
▍知识点1:直线与点的对称问题的方法
求线段垂直平分线 已知,求线段的垂直平分线的方程的方法如下: （1）线段的中点的坐标为; （2）当时,求直线的斜率; （3）线段的垂直平分线的斜率; （4）线段的垂直平分线的方程为
点关于直线的对称问题 点关于点的对称点的问题,主要依据两项原则: ①是线段的中点. ②与点所在的直线相互垂直. 设点关于直线的对称点为,则可求
直线关于点的对称问题 求直线关于点对称的直线的步骤: 方法一:回代法 （1）在上任取一点; （2）求关于的对称点; （3）将的坐标代入直线的方程,化简得所求的方程. 方法二: （1）直线与直线的斜率相同,所以只需要求出直线所过一点,即可求出直线的方程; （2）在直线上任取一点; （3）求关于的对称点. （4）将的坐标代入所设直线的方程,化简得所求方程 方法三:在已知直线上找两点,求出这两点关于点的对称点,根据求出的两个对称点求出对称直线. 方法四:直线与直线的斜率相同,根据对称点到两直线距离相等求出对称直线.
直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称有两种类型: （1）若已知直线与对称轴相交于点,则交点必在关于对称的直线上,再求出上除点外任意一个已知点关于对称的点,那么经过交点及点的直线就是. （2）若已知直线与对称轴平行,则关于对称的直线到直线的距离和到直线的距离相等,由平行直线系和两条平行直线间的距离公式即可求出关于对称的直线.
点关于直线对称问题
【典例 1】若点与关于直线对称,求点的坐标.
【练习 2】若点与关于直线对称,求点的坐标.
【练习 3】已知点关于直线对称,则对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【练习 4】已知点、,若、关于直线对称,则实数的值是（ ）
A.3 B.1 C. D.
【练习 5】已知点与点关于直线l对称,则直线l的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 6】（2023·河北）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上,则的最小值是（ ）
A.25 B. C.17 D.
【练习 7】已知直线和点
（1）请写出过点且与直线平行的直线;
（2）求点关于直线的对称点的坐标.
【练习 8】已知直线,试求:
（1）与直线的距离为的直线的方程;
（2）点关于直线的对称点的坐标.
直线关于点的对称问题
方法1:回代法
【典例 9】已知直线的方程为,若直线和直线关于点对称,求直线的方程.
【练习 10】已知点的坐标为,直线的方程为,求直线关于点的对称直线的方程.
【练习 11】已知直线:,点A,求直线关于点A的对称直线的方程.
【练习 12】已知,直线,求直线关于点的对称直线的方程.
方法2:找点对称法
【典例 13】求直线关于点对称的直线的方程.
【练习 14】已知直线,求直线关于点对称的直线方程.
【练习 15】已知直线,试求直线关于点对称的直线方程.
【练习 16】求直线关于点的对称直线的方程.
【练习 17】若直线与关于点对称,求的方程;
【练习 18】求直线,关于点的对称直线的方程.
直线关于直线对称问题
【典例 19】求直线关于直线对称的直线的方程.
【练习 20】（2024·高二专题）求直线关于直线对称的直线方程.
【练习 21】求直线关于直线的对称直线的一般式方程.
【练习 22】（2023·高二专题）求直线关于直线的对称直线的方程.
【练习 23】求直线关于直线对称的直线方程.
【练习 24】如果直线与直线关于直线对称,求的值.
有关角平分线的直线方程
【典例 25】已知的顶点所在直线方程为,角平分线所在直线的方程为,求
（1）点的坐标;
（2）求直线方程.
【练习 26】已知的顶点,,一条角平分线所在直线为,求点A坐标.
【练习 27】已知的顶点,边上的高线所在的方程为,角的角平分线交边于点,所在的直线方程为.
（1）求点的坐标;
（2）求直线的方程.
【练习 28】已知顶点,边上中线所在直线方程是,的角平分线所在直线方程是.
（1）求顶点坐标;
（2）求边所在的直线方程.
【练习 29】中,边上的中线所在直线方程为,的平分线方程为.
（1）求顶点的坐标;
（2）求直线的方程.
利用对称处理最值问题
【典例 30】在平面直角坐标系xOy中,x轴上的动点R到两个定点,的距离之和的最小值为 .
【变式 31】已知,点为轴上一动点,则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【变式 32】已知点在直线上,点, ,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【练习 33】已知两定点,动点P在直线上,则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【练习 34】某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为,一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站,则到两点距离之和的最小值为（ ）
A. B.32 C. D.48
【练习 35】 已知点,点是直线上的动点,则的最大值为 .
【练习 36】直线分别交轴和于点,,为直线上一点,则的最大值是 .
【练习 37】（2024·河南郑州高三）已知点, 和直线,动点在直线上,则的最小值为 .
【练习 38】已知两定点,且点是直线上任意一点,则的最小值是 .
【练习 39】设点,在轴上,在直线上,则的周长的最小值为 .
【练习 40】已知点,点M、N分别是y轴和直线上的两个动点,则的最小值等于 .
【练习 41】（2024·浙江）已知点,,点在直线:上运动,则的最小值为 .
【练习 42】已知,O为坐标原点,点分别在线段上,则周长的最小值为 . n 2 1
第四节 专题:直线的对称与最值问题 1
m 3
（2）设 A m,n m 1 2 5,由题意可得 ,解得 ,
m 1 2 n 2
6
1 0 n
重点题型专练 2 2 5
3 6
【1】 (0,7) . 所以点 A 的坐标为 , .
5 5
解析:设点 N (a,b) , 点 N 与点 M (2,3) 关于直线 x 2y 9 0对称,
a 2 b 3 b 3 1 x 2y 3
2 19
0 x 2y 7 0 ,
2 9 0 1 a 0 b 7 【8】（1） 或 （2） , ,解得 , . 5 5

2 2 a 2 2
点 N 的坐标 (0,7) . 解析:（1）设所求直线的方程为 x 2y C 0 ,
13 21 2 C
【2】 , 由题意,得 5 ,解得 C 3 或 C 7 ,
5 5 12 22
解析:设点 1,3 关于直线 x 2y 2 0 的对称点坐标为 (x, y) ; 所以所求直线的方程为 x 2y 3 0 或 x 2y 7 0 .
y 3 1 （2）设点 P 2, 1 关于直线 l 的对称点为 P x0 , y0 ,可得 1 , ①
x 1 2 1 x0 2 y0 1
( x 1 3 y
已知直线 l 的斜率为 ,且 PP 的中点 , 在直线 l 上,
中点坐标 , )在直线 x 2y 2 0 上, 2

2 2


2 2
x 1 3 y 1 y0 1 2
即 2 2 0 ② 1 x
2 2 2 x0 2
0 5
则 ,解得 ,所以点 P 2, 1 关于直线 l
13 21 x 2 y 1 190
由①②解得解 x , y 2
0 2 0 y0 5 5 2 2 5
(13 21 2 19 故得对称点坐标为 , ) .
5 5 的对称点为
, .
5 5
【3】A 【9】 x 2y 4 0
解析:设对称点坐标 Q a,b ,由题意知直线 QP 与 y x 1垂直, 解析:因为直线 l1 和直线 l2 关于点 0,0 对称,
结合 y x 1的斜率为 1,得直线 QP 的斜率为-1,
在直线 l2 上任取一点 A x, y ,则 A x, y 关于点 0,0 对称的点1 b
所以 1 ,化简得 a b 1 0 ,①
2 a A x, y 在直线 l1 上,将点 A x, y 代入直线 l1 可得 x 2y 4 0 ,
QP 1 b a 2 l x 2y 4 0再由 的中点在直线 y x 1 上, 1 , 所以直线 2 的方程为 .
2 2 【10】 3x y 18 0
化简得 a b 1 0 ,②
解析:在直线 l 上任取一点 P x, y ,设 P x, y 关于点 A 的对称点为
联立①②,可得 a 0,b 1 ,所以对称点 Q 的坐标为 0, 1 .故选:A.
x
【4】A 0
x
4
2 x0 8 x
解析:由题意得; MN 的中点在直线 x 2y 2 0 上,且直线 P x0 , y0 ,则 ,解得 y 8 y ,由于 P 8 x,8 y 在直y y 0
x 2y 2 0 0 与直线 MN 垂直, 4 2
1 m 2 2 2 2 0 线 3x y 2 0 上,则 3 8 x 8 y 2 0 ,即 3x y 18 0 ,
2 2
即 2 2 1 ,解得:
m 3 ,故选:A.
故直线 l 关于点 A 的对称直线 l 的方程为 3x y 18 0 .
m 1
1
2

【11】 2x 3y 9 0
【5】A 解析:在直线 l 上任取一点 P x, y ,设 P x, y 关于点 A的对称点为
解析: 点 P（a,b）与点 Q b 1,a 1 关于直 l对称 x0 x
1
a x 2 xk 1 b 1 P x0 , y0
2 0
,则 ,可得 ,由于 P 2 x, 4 y, 在直PQ b 1 a y0 y y0 4 y

2
k 1 2l ,
l y x C 线 l : 2x 3y 1 0故设直线 的方程为 上,则 2 2 x 3 4 y 1 0 ,即 2x 3y 9 0 ,
a b 1 a b 1 故直线 l 关于点 A的对称直线 l 的方程为 2x 3y 9 0 .
又 PQ 的中点坐标为 ,2 2 ,代入直线方程 【12】 x y 11 0 ;
a b 1 a b 1 解析:设 lC C 1 y x 1 1
上任一点的坐标为 (x, y) ,
,解得 所以直线 l的方程为 .
2 2 则 (x, y) 关于点 A(2, 3)的对称点的坐标为 (4 x, 6 y) ,
【6】B 而点 (4 x, 6 y) 在 l 上,所以 (4 x) ( 6 y) 1 0 ,
解析:设 m,n 关于直线 x y 2 0 的对称点为 x1, y1 ,依据题意可得: 化简可得对称直线 l1 的方程为 x y 11 0 .
y1 n 1 【13】
x 2y 3 0
x1 m
x1 2 n x m y n ,解方程组得 ,又 对称点在直线 解析:由题意得 l / /l ,故设 l
: x 2y c 0 (c 1) ,在 l上取点 A(1,0)
1 1 2 0 y1 2
,
m

2 2 则点 A(1,0)关于点 (1, 1) 的对称点是 A (1, 2) ,所以 1 2 ( 2) c 0 ,即
2x y 3 0 上,代入可得 c 3 ,故直线 l 的方程为 x 2y 3 0 .故选:C
2n m 9 ,且 m,n 在第一象限,则 m 0,n 0 ,则 【14】 3x y 27 0
l : y 3x 7
1 8 2n m 2n 8m 1 16 16 17 25 解析:在直线 上任意取出两个点 C 0,7 ,D 1,4 ,( )( ) 2 ,当且仅当
m n 9 9 9m 9n 9 9 81 9 9 求出这两个点关于点 A 4,2 对称点分别为 Q 8, 3 ,H 9,0
2n 8m 9
时,即 m ，n
18
时,等号成立.故选:B 由题意可得 Q 8, 3 ,H 9,0 ,是所求直线上的两个点,
9m 9n 5 5
3 6 则直线斜率为 3,则所求直线方程为 y 3 x 9 ,即 3x y 27 0 .
【7】（1） x 2y 5 0 （2） ,
5 5

【15】 2x y 3 0
1 A l x 2y C 0 C 1 解析:设直线 2x y 3 0 关于点 M 的对称直线方程为: 2x y b 0 ,解析:（ ）设过点 且与直线 平行的直线为 ,
则
M 1,2 到直线 2x y 3 0 与 2x y b 0 的距离相等,
将 A 1,2 代入,可得 C 5 ,所以直线方程为 x 2y 5 0 .
2 2 3 2 2 b
所以 ,解得: b 3 ,即 b 3（舍去）或 b 3 .
5 5
{#{QQABCQWtwwCwklQACB7bUwFqCUgQsJGSJQoOBVAYqAQKiQNAFCA=}#}
故直线 2x y 3 0 关于点 M 的对称直线方程为: 2x y 3 0 . a 2 b 0
【16】 3x y 19 0 2 3 1 0， 2 2 M 6 , 30
解析:因为直线 l :3x y 3
设对称点为 M (a,b) ,则 解 .
0 与直线 l 关于点 M (3,2) 对称,所以 b 0 2 13 13 1，
kl kl 3 ,在直线 l :3x y 3 0 上取一点 P(1,0) ,因为点 P(1,0)关于
a 2 3
点 M (3,2) 对称的点 P (5,4) ,直线 l 过点 P ,则由点斜式方程可得 2x 3y 1 0，
设 m与 l 的交点为 N ,则由 得 N (4,3) .
y 4 3(x 5) ,即 3x y 19 0 .故直线 l 方程为 3x y 19 0 . 3x 2y 6 0
【17】 4x y 28 0 又∵ m 经过点 N (4,3) ,
解析:易知直线 l 与直线 l 互相平行, ∴由两点式得直线 m 的方程为 9x 46y 102 0 .
设 l 的方程为 4x y 0 ,点 P 到两直线距离相等, 【23】 7x y 13 0
| 4( 2) 3 6 | | 4( 2) 3 |
y 3x 7 x 2有
42
,
12 42 12 解析:由 可得 y x 3
,
y 1
即 28 ,或 6（舍去）, 直线 y x 3与直线 l : y 3x 7 的交点为 E 2,1 ,
故 l 的方程为 4x y 28 0 .
【18】 y 2x 13 再在直线
y x 3
上取一点 M 0,3 ,
解析:由题意知,直线 m的斜率为 k 2 ,设其方程为 y 2x b , 设点 M 0,3 关于直线 l : y 3x 7 的对称点为 N m,n ,
在直线 l 上取一点 0,1 ,它关于点 A 3,0 的对称点为 6, 1 , n 3 m 12 3 1
而该点在直线 m上, m 5 N 12 ,19 则由 解得 ,即 .
所以 1 2 6 b ,解得 b 13 , n 3 m 19 5 5 3 7 n
所以直线 m的方程为 y 2x 13 .
2 2 5
【19】 2x y 4 0 由题意可得 E 、 N 两点是所求直线上的两个点,则直线斜率为 7 ,
解析:设直线 l 与直线 y x B p,q 则直线方程为 y 1 7 x 2 ,化简为 7x y 13 0 .1 的交点为 ,
1
p q 【24】 a ,b 6
所以 ,解得 p q 4 ,则 B 4,4 , 3
p 2q 4 0 解析:在 y ax 2 上取一点 (0,2) ,
在直线 l1 上取点 C 0,2 ,设 C 0,2 关于直线 y x对称的点为 C s,r , 则由题意可得其关于直线 y x的对称点 (2,0) 在 y 3x b 上,
r 2 0 6 b b 6
则 1 1
所以 ,得 ,
①,
s 0 在 y 3x 6 上取一点 (0, 6) ,
0 s 2 r
y x
C 0,2 C s,r 则其关于直线 的对称点
( 6,0) 在 y ax 2 上,
因为 与 的中点坐标为 ,
2 2
,

所以 0 6a 2 a
1
,得 ,综上 a
1
,b 6 .
0 s 2 r 3 3
所以 ②,
2 2
【25】（1） A 6,6 1（2） y x 3
s 2 2
由①②可得 ,所以 C 2,0 ,
r 0 2x y 6 0 x 6解析:（1）联立两直线方程 ,所以 A 6,6
l l x y 0
y 6
因为直线 1 和直线 2 关于直线 y x对称,
所以直线 l2 经过点 B 4,4 和点 C 2,0 , （2）设点 B 4,2 关于直线 x y 0 的对称点为 B a,b ,
4 a 2 b
所以直线 l
y 0 x 2
2 的两点式方程为 , 04 0 4 2 2 2则 ,解得 a 2,b 4 ,
整理得直线 l b 22 的一般式方程为 2x y 4 0 . 1

【20】 2x y 5 0 a 4
x y 1 0 x 4 由于 AD 是角 A 的角平分线,故 B 2,4 在直线 AC 上,
解析:由 ,得 ,所以两直线交于点 C(4,3) ,
x 2y 2 0 y 3 AC y 4 6 4故直线 方程为 x 2 ,即 y 1 x 3
在直线 l2 : x 2y 2 0 上取一点 D(0,1) l
6 2 2
,设其关于直线 1 的对称点为
E(x , y ) 【26】 3,2 0 0 ,则
解析:如图所示,可知点 A在直线 x y 1 0 上,
x0 y0 1
1 0 2 2 x0 2
y 1 ,解得 ,即
E(2, 1) ,
0 1 1 y0 1
x0 0
k 3 ( 1)所以 CE 2 ,4 2
所以直线 CE 为 y 3 2(x 4) ,即 2x y 5 0 ,
所以直线 l2 关于直线 l 2x y 5 0
令点 D xD , yD 为点 C 1, 2 关于直线 x y 1 0 的对称点.
1 的对称直线方程为
【21】 11x 2y 22 0 x y 1 0; 由于直线 CD与直线 垂直,且线段 CD的中点在直线
1 x y 1 0 上,
y x 1
解析:联立 2 ,可得坐标为 (2,0) , yD 2 1
y 2x 4
x 1 xD 1
于是就有 D ,解得 ,因此点 D的坐标为
设对称直线的方程为: y k(x 2) ,即 kx y 2k 0 xD 1 y y 0 D
2
1 0
D
在直线 y 2x 4取点 (3,2) , 2 2
3 1,0 .| 2 1|
2 | 3k 2 2k | 1 11
所以 2 ,解得: k 1 （舍去）,
k . 根据对称性可知点 D 1,0 在直线 AB上,又点 B的坐标为 5, 2 ,
1 k 1 2 2
4 y 0 x 1 于是直线 AB的方程为 2 0 5 1 ,即
x 2y 1 0 .
11
所求对称直线方程为. x y 11 0 ,即 11x 2y 22 0 .
2 x 2y 1 0 x 3
22 9x 46y 102 0 由 ,解得 ,得点 A的坐标为 3,2 .故答案为: 3,2 【 】 x y 1 0 y 2
解析:在直线 m上取一点 M (2,0) ,则 M (2,0) 关于直线 l 的对称点 M 必 【27】（1） B 10, 4 （2） x 7y 18 0
在 m 上.
{#{QQABCQWtwwCwklQACB7bUwFqCUgQsJGSJQoOBVAYqAQKiQNAFCA=}#}
解析:（1）设 B x0 , y0 ,则由题意可知 x0 2y0 2 0 ①,
y0 1
又 AB CH ,所以 kAB kCH 1 1x 5 ②,0
联立①②方程解得 x0 10, y0 4 ,即 B 10, 4 ;
【31】A
解析:由已知点 A 关于 x 轴的对称点为 C(0, 2) ,
（2）
k 1 2 1 BC y 1BC ,直线 方程为 x 2 ,令 y 0 得 x 6 ,3 0 3 3
所以直线 BC 与 x 轴交点为 Q(6,0) ,
2
A BM A a,b AA BM ,AA PA PB PC PB CB (3 0) ( 1 2)
2 10 ,当且仅当 P
设 关于直线 的对称点 ,则有 的中点在直线
BM x Q上, 是 BC 与 轴交点 时等号成立.故选:A.
k k b 1
AA
BM 0.5 1a 5 a 3
即 ,解之得 A 3, 3 ,
a 5 b 1 b 3
2 2 0

2 2
显然直线 BM 为 ABA 的角平分线,即直线 A B 与 BC 重合,
4 3 1
则 k ,所以直线 BC 的方程为 【32】CA B 10 3 7
解析:设点 M 1,3 关于直线 x y 1 01 的对称点为 M x, y ,y 3 x 3 x 7y 18 0 .
7 y 3
1 x 2
【28】（1） B 2, 1 ;（2） x 7y 9 0 . x 1 则 ,解得 ,
1 x 3 y
y 2
4 t 1 0

解析:（1）解:由题意可设 B t,3 2t ,则边 AB的中点 M ,2 t 2 2
2
,

∴ M 2,2 ,又 N 3, 1 ,
代入 2x y 6 0有 t 4 2 t 6 2t 4 0 ,解得 t 2 ,
∴ RM RN RM RN M N 10 .故选:C.
所以顶点 B 坐标是 B 2, 1 .
【33】C
（2）解:由题意知,点 A 关于直线 2x y 3 0 的对称点 A 在直线 BC 解析:如图,显然点 A,B 在直线 x y 1 0 的同侧,设点 B 关于直线
上,
x y 1 0 的对称点为点 B a,b ,
m 4 n 1 4
2 3 0 2 2
m
5 A 4 , 7 a 2 b 4可设 A m,n 得: 得: , ,n 1 1 7 5 5
1 0
n
2 2
则 ,解得 a 3 , b 3 ,即点 B 3,3 ,
m 4 2 5 b 4 1

7 a 2
1
2 2
得直线 BC 的斜率 k 5
1
, 由对称性知 PA PB PA PB AB 3 3 5 3 2 10 ,
2 4 7
5 当且仅当点 P 为线段 AB 与直线 x y 1 0 的交点 P 时取等号,
所以边 BC 所在的直线方程是 y
1
1 x 2 ,即 x 7y 9 0 .
7
【29】（1） 10,5 （2） 2x 9y 65 0.
x 3 y 1
解析:（1）设 B x0 , y0 ,则 AB的中点 M 0 , 0 在直线 CM 上.
2 2
x0 3 y0 1 6 10 59 0 , 3x 5y 4 59 0 ,
2 2 0 0 所以 PA PB 的最小值是 2 10 .故选:C
即 3x0 5y0 55 0 ① , 【34】A
又点 B 在直线 BT 上,则 x0 4y0 10 0 ② ,
由 ①② 可得 x0 10 , y0 5 ,即 B 点的坐标为 10,5 .
解析:
（2）设点 A 3, 1 关于直线 BT 的对称点 D的坐标为 a,b ,
则点 D在直线 BC 上.
b 1 1
1 a 3 4 a 1 D 1,7 . 如图,设 A 关于直线
x 2y 5 0对称的点为 A (a,b) ,
由题知 ,得a 3 b 1
,
b 7
4 10 0
a b
2 2 2 5 0, 2 2 a 2,
k k 7 5 2
则 b 1 得 即
A 2,4 ,
BC BD ,

1 10 9 1,
b 4,
a 2
直线 BC
2
的方程为 y 5 x 10 ,即 2x 9y 65 0.
9 易知 AP A
P ,
【30】5 当 A ,P,B 三点共线时,
解析:如图,设点 A 0,1 关于 x 轴的对称点为 A' (0, 1) ,则 AR A'R , PA PB PA PB 取得最小值,
所以 AR BR A 'R BR A 'B , 最小值为 A B (2 2)2 (4 0)2 4 2 .故选:A
所以动点 R到两个定点 A 0,1 , B 3,3 的距离之和的最小值为 A'B 的长, 【35】 10
A'B 32 42因为 5 , 解析:设点 A(1, 1) 关于 l : y x 的对称点为 C m,n ,
所以 x轴上的动点 R到两个定点 A 0,1 , B 3,3 的距离之和的最小值为 n 1
15,故答案为:5 m 1 m 1则 ,解得 ,故 C 1,1 ,
n 1 m 1 n 1


2 2
{#{QQABCQWtwwCwklQACB7bUwFqCUgQsJGSJQoOBVAYqAQKiQNAFCA=}#}
由对称性可知, PA PC , 连接 AB交 y 轴于点 Q ,交直线 y x 1于点 R ,连接 PQ,PR ,
当 B,C,P 可组成三角形时,根据三角形三边关系得到 PB PC BC , 则 PQ BQ , AR PR ,
2 2
连接 BC 并延长,交 l : y x 于点 P ,则此时 P B P A BC , 此时 PQR 的周长最小,最小值为 AB 3 5 4 2 2 17 .
即当 B,C,P 三点共线时, PB PA 取得最大值,
最大值为 BC 2 2 2 1 4 1 10 .
故答案为: 10
故答案为: 2 17
【40】 2 5
36 5 解析:如图,由已知得 AM MN 的最小值即为 A 2,1 到直线【 】 .
x 2y 6 0
解析:由直线 3x 4y 12 0 分别交 x 轴和 y 于点 A,B ,可得 的距离,
A(4,0),B(0,3) , 又直线 x 2y 6 0与 y 轴的交点为 N 0, 3 ,
如图所示,设点 B(0,3)关于直线 y x 1 的对称点为 C(m,n) , 1 3此时 kAN 2 ,
n 3 2 0
1 1 m 1
则 ,解得 m 2,n 1,即 C(2,1) , 又直线
x 2y 6 0斜率为 ,其与 AN 垂直,
n 3 m
2
1 2 2 即当 M ,N 均为直线 x 2y 6 0与 y 轴的交点时, AM MN 最小,
又由 PB PC ,即 PA PB PA PC ,则 PA PC AC , 2 2 6
最小值为 2 5 .故答案为: 2 5 .
当且仅当 A,C,P 三点共线时,等号成立, 1 4
即 PA PC 的最大值为 AC (4 2)2 (0 1)2 5 ,即 PA PB 的
最大值为 5 .故答案为: 5 .
【41】7
解析:如图:
【37】 65
解析:
设 A 4, 1 关于 l : x y 1 0 的对称点为 A m,n 设点 A 2, 2 ,关于直线 l 的对称点为 A (x, y) ,1
4 m n 1 1 0 k n 1
x 2 y 2
则 , AA 1 4 02 2 1 m 4 2 2则 ,解得 x 6, y 2, 则 A (6,2) ,y ( 2)
解之得 m 0,n 3故 A1 0,3 1 x 2
连接 BA1 交直线 l 于点 P ,如图所示
则 A B (6 1)2 (2 2)2 7,
则此时 PA PB 取得最小值为 BA1 8
2 1 65 故答案为: 65
3 QA QB QA
QB A B 7 ,
【38】
解析:设点 A 关于直线 x y 1 0 故答案为:
7.
的对称点为 A1 x0 , y0 ,
【42】 10
解析:如图:
y0 2
1 x x0 0 1 'A 1,1 "则 ,解得 y 1 ,即 1 ,
作点 P关于直线 AB对称点 P x, y 和关于 y轴对称点 P ,则
x0 y 2 0 1 0 0 ' 2 2 PP AB
,并且 P,P ' 的中点在 AB上,
直线 AB的方程为: y x 2 ,即
PA PB PA1 PB A1B 3 ,当且仅当 A1,P,B 共线时等号成立. y
故答案为: 3 . k kPP' AB 1, 1 1, y x 1…① ,x 1
【39】 2 17
' x 1 , y
解析:设 P(3,4)关于 y x
P,P
1 的中点坐标为 ,代入直线 AB的方程的对称点为 A m,n ,关于 y 轴的对称点为 2 2
B 3,4 , y x 1得: 2, y x 3 …②,
2 2
n 4 m 3 '
1 2 2 m 5
联立①②解得 x 2, y 1 ,即 P 2,1 ,显然 P 1,0 ,
则 ,解得 ,故 A 5,2 ,
n 4 n 2 PMN 的周长 PM MN PN P
"N MN P 'M P 'P " ,
1 1
m 3 P 'P" 2 22 1 1 0 10 ,故答案为: 10
{#{QQABCQWtwwCwklQACB7bUwFqCUgQsJGSJQoOBVAYqAQKiQNAFCA=}#}

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