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第三节 空间向量及其运算的坐标表示
▍知识点1:空间直角坐标系及空间向量的坐标表示
（1）空间直角坐标系
在空间选定一点和一个单位正交基底（如图）,以点为原点,分别以,,的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫做原点,,,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面,平面,平面,它们把空间分成八个部分.
（2）空间向量的坐标表示
①在空间直角坐标系中,,,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.
在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标.
②在空间直角坐标系中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作.
［对应练习:基础1、题型1］
▍知识点2:空间向量运算的坐标表示
设,则
（1）两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和,即.
（2）两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差,即.
（3）数乘向量所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标,即.
（4）两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和,即.
［对应练习:基础2—基础4］
▍知识点3:空间向量的平行或垂直的坐标表示
（1）空间向量平行（共线）的充要条件
设,
则.
（2）空间向量垂直的充要条件
设非零向量,
则
［对应练习:题型2、题型3］
▍知识点4:空间向量的模长公式及夹角的坐标表示
（1）空间向量长度公式的坐标表示:
若,则.
（2）空间两点的距离公式:
若,则
①
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
②或.
注意:两点间距离公式是模长公式的推广,首先根据向量的减法推出向量的坐标表示,然后再用模长公式推出.
（3）向量的夹角坐标公式
设非零向量,则.夹角公式是根据向量数量积的定义推出的.注意的范围是,当时,两向量的位置关系分别是同向共线,垂直,反向共线.
［对应练习:题型4—题型6］
▍知识点5:中点坐标公式及三角形重心坐标公式
（1）中点坐标公式
空间中有两点,则线段的中点C的坐标为
（2）重心坐标公式
已知的三个顶点, ,则的重心的坐标为.
空间向量的坐标表示
【典例 1】已知是空间的一个单位正交基底,向量用坐标形式可表示为 .
【变式 2】已知是单位正交基底,则空间向量的坐标是_______.
【练习 3】设是空间中的一个单位正交基底,已知向量,其中,, ,则向量在基底下的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 4】（2024·高二专题）直三棱柱中,,,D为的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,的坐标分别为 .
空间向量的坐标运算
【典例 5】已知,求.
【练习 6】已知向量,,则_________.
【练习 7】已知,,,则__________.
【练习 8】（2024·上海高二期中）已知, ,则 .
【练习 9】向量,,,若,则实数 .
点坐标与向量坐标的关系
若,则
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
【典例 10】在空间直角坐标系中,若, ,则点的坐标为_________.
【变式 11】（2023·高二课时练习）已知平行四边形,且,,,则顶点的坐标为__________.
【练习 12】（2024·全国高二专题）空间直角坐标系中,已知,,点满足,则点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 13】已知点,点,若点C满足,则点C的坐标为__________.
找坐标系下点的坐标
【典例 14】建立合适的空间直角坐标系,在所建立的坐标系中:
（1）写出棱长为1的正四面体各顶点的坐标;
（2）写出底面边长为1,高为2的正三棱柱各顶点的坐标.
【练习 15】如图,△ABC是一个正三角形,平面ABC,,且CE＝CA＝2BD=2,M为AE的中点.请建立适当空间直角坐标系,并求各个点的坐标.
【练习 16】如图,点,四面体中,平面,,,, ,分别是,的中点,求点的坐标.
【练习 17】如图,四棱锥的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=,E是CD的中点, PA⊥底面ABCD,PA=2.试建立适当的空间直角坐标系,求出的坐标.
【练习 18】如图所示,在三棱柱中,平面平面,,且,,请建立适当空间直角坐标系,并求各个点的坐标.
【练习 19】平行六面体中,底面是矩形,,,平行六面体高为,顶点在底面的射影是中点,建立适当空间直角坐标系并写出的坐标.
【练习 20】三棱柱中,侧面是边长为的菱形,,交于点, 侧面,且为等腰直角三角形,若建立如图所示的空间直角坐标系,求点的坐标.
【练习 21】如图,四棱锥中,底面, ,,,为的中点.请建立适当空间直角坐标系,并求各个点的坐标.
【练习 22】已知点,求:
（1）点关于各坐标平面对称的点的坐标;
（2）点关于各坐标轴对称的点的坐标;
（3）点关于坐标原点对称的点的坐标.
重点题型专练
坐标系变换下的坐标变化
【典例 23】若向量在空间的的一组基底下的坐标是,则在基底下的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【典例 24】已知向量在基底下的坐标为,则在基底下的坐标为___________.
【典例 25】已知是空间向量的单位正交基底, 是空间向量的另一个基底,若向量在基底下的坐标是,则向量在基底下的坐标是 .
【典例 26】（2024·江苏连云港高二）已知是空间的一个基底,是空间的另一个基底,一向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标是________.
向量平行与垂直的坐标表示
角度1:已知平行垂直关系求参数
【典例 27】已知,,若向量与平行,则 .
【典例 28】空间向量,且,则实数 .
【练习 29】已知空间向量,且与垂直,则等于 .
【练习 30】已知向量,,且与互相垂直,则的值是 .
【练习 31】已知,.
（1）求;
（2）当时,求实数的值.
角度2:证明平行垂直关系
【典例 32】（2024·全国）如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面, ,是的中点,作交于点.
（1）证明:平面;
（2）证明:平面;
【练习 33】在正方体中,已知、、、分别是、、和的中点.
（1）证明:,;
（2）证明:平面.
【练习 34】如图,在四棱锥,底面为菱形,底面, ,,是上的一点,.证明平面.
向量共线与共面的坐标表示
【典例 35】已知向量,,若与共线,则实数的值为 .
【典例 36】向量,,,若共面,则 .
【变式 37】（2024·上海高二）若空间中三点、 、共线,则 .
【练习 38】已知,,, 共线且方向相反,则 .
【练习 39】已知空间向量,, ,若,,共面,则 .
【练习 40】（2023·高二专题）在空间直角坐标系中,已知点,,,,若四点共面,则 .
向量模长与距离的坐标表示
【典例 41】已知空间向量,,则 .
【变式 42】（2023·高二专题）设,向量,则 .
【练习 43】设空间向量,,若,则 .
【练习 44】（2024·福建三明高二校考）若, ,,则的形状是 .（选填:锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）
【练习 45】（2024·甘肃定西高二校考练习）已知,若,,那么的最小值为 .
【练习 46】如图,直三棱柱中,, ,点分别是、、的中点,点是上的动点.若,则线段长度为 .

【练习 47】如图所示,在正四棱柱中,E,F,P分别是,,BD的中点,且,AB＝AD＝2, Q是平面内一点,若,则 .
空间向量夹角的坐标表示
【典例 48】已知,,,夹角为,则 .
【变式 49】已知,,,则 .
【变式 50】已知,若夹角为钝角,则实数的取值范围是 .
【练习 51】已知向量,, ,若向量与所成角为锐角,则实数的范围是 .
【练习 52】如图,直三棱柱中,, ,,是,的中点.
（1）求的距离;
（2）求的值.
【练习 53】（2024·广西河池高二）已知, ,,,.
（1）若、共线,求实数;
（2）若向量与所成角为锐角,求实数的范围.
坐标法求取值范围问题
【典例 54】如图所示,在长方体中,,,点P为线段上一点,则的最小值为 .

【变式 55】（24-25高二·四川）如图,在直三棱柱中,,,已知与分别为和的中点,与分别为线段和上的动点（不包括端点）,若,则线段的长度的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【练习 56】（23-24高二·山西吕梁练习）在棱长为4的正方体中,点,分别为棱,的中点,,分别为线段,上的动点（不包括端点）,且,则线段的长度的最小值为 .
【练习 57】（24-25高二·江西南昌练习）是被长为1的正方体的底面上一点,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【练习 58】（23-24高二·河北衡水练习）如图,在四棱锥中,底面为正方形,, 底面,点、分别为、的中点,若线段上存在点,使得,则线段的长度最小值为 .
【练习 59】如图,棱长为1的正方体中,点在上,点在上,则的最小值为（ ）

A.1 B. C. D.
【练习 60】（24-25高二·上海例题）如图,正方体的棱长为1,动点M在线段上,动点P在平面上,且平面.
（1）当点M与点C重合时,求线段AP的长度;
（2）求线段AP长度的最小值.
综合巩固提升
一、单选题
1.在空间直角坐标系中,P（2,3,4）、Q（ 2, 3, 4）两点的位置关系是（ ）
A.关于轴对称 B.关于平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
2.已知向量且,则等于（　　）
A.5 B.4 C.3 D.2
3.空间直角坐标系中,已知点, ,则一定是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.已知在空间单位正交基底下,是空间的一组单位正交基底,是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
5.已知向量,,则（ ）
A.
B.
C.向量,的夹角的余弦值为
D.若向量（,为实数）,则
三、填空题
6.已知向量,,且与垂直,则等于 .
四、解答题
7.（2023·全国高二作业）已知向量, ,点,.
（1）求;
（2）在直线上,是否存在一点,使⊥？（为原点）
8.如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,P为上的点.且求:
（1）λ的值;
（2）异面直线PC与所成角的余弦值.
9.（2024高二·全国·专题练习）如图所示,在直三棱柱中,,,棱,M,N分别为的中点.
（1）求BN的长;
（2）求与所成角的余弦值;
（3）求证:平面. x 1 6
第三节 空间向量及其运算的坐标表示 所以 y 1 0 ,解得: x 7 , y 1 , z 2 .所以点 B 的坐标为 (7， 1， 2) .

z 2
核心基础导学 【11】 5,13, 3
【1】 2,8,3 解析:设 D x, y, z ,


解析:由向量坐标的定义可知, i, j,k 是空间的一个单位正交基 则 AB 2, 5,1 4,1,3 2, 6, 2 , DC 3 x,7 y, 5 z ,
3 x 2 x 5底, a 2i 8 j 3k 2,8,3 .
由题意得: AB DC ,即 7 y 6 ,解得: y 13 ,故顶点 D的坐标为
故答案为: 2,8,3 5 z 2 z 3
【2】 2,2, 6 5,13, 3 .
解析:根据空间向量的坐标表示的定义可知
【12】C 2e1 2 e2 3e3 2e1 2e2 6e3 ,因为 e1,e2 ,e3 是单位正交基底, 解析:设 D x, y, z ,则 AD x, y 1, z ,AB 3,1,2 ,由 AD 2AB 得
所以空间向量 2e1 2 e2 3e3 的坐标是 2,2, 6 . x 6
y 1 2 即 D 6,3,4 ,故选:C.
【3】A
z 4
解析:因为 p 8a 6b 4 c ,
【13】 6,2,7
又 a i j , b j k , c k i , 解析:设点 C x, y, z ,则 AC x 2, y,z 1 , BC x 10, y 4,z 13 ,

p 8( i j) 6( j k ) 4(k i ) 因为 AC BC ,

12 i 14 j 10 k (12 ,14, 10) ,故选:A. 所以 x 2, y, z 1 x 10, y 4, z 13 ,
【4】 2, 1, 4 , 4,2, 4 x 2 10 x
即 y 4 y ,解得: x 6, y 2, z 7 ,所以 C的坐标为 6,2,7 .
解析:设 OA,OB,OO1 同方向的单位方向向量分别为 i, j,k , z 1 13 z
1

因为 DO OD OO1 O1D OO1 O2 1
A1 O1B1 故答案为: 6,2,7
1 1 1 【14】答案见解析 OO1 OA OB OO OA OB 2i j 4k ,2 1 2 2 解析:（1）如图建立空间直角坐标系,

所以 DO 2, 1, 4 ,

因为 A1B OB OA1 OB OA AA1 OB OA AA1 4i 2 j 4k ,

所以 A1B 4,2, 4 ,
故答案为: 2, 1, 4 , 4,2, 4 .
5

【 】 a b (2, 2,2) , a b (2,0, 6) , a b 7 , (2a) b 14 ,
a b a b 8
解析:由题意, 1 A(0,0,0),B( 3 , 1 ,0),C(0,1,0),D( 3 , 1 6 则由棱长为 的正四面体知, , ).
a b 2, 1, 2 0, 1,4 2, 2,2 2 2 6 2 3,
（2）如图建立空间直角坐标系,
a b 2, 1, 2 0, 1,4 2,0, 6 ,

a b 2, 1, 2 0, 1,4 2 0 1 1 2 4 7 ,

2a b 2a b 2 7 14 ,
a b a b 2, 2,2 2,0, 6 2 2 2 0 2 6 8 .
【6】 8, 1,3

解析:因为 a 3,0, 1 , 所以 2a 6,0, 2 , 所以 b 2a 8, 1,3 ..
【7】 1,3,1
则由底面边长为 1,高为 2 的正三棱柱可得
解析:易知 AB 0,3,2 ,BC 2,0,2 1,所以 BC 1,0,1 ;因此可得
2 O(0,0,0),B(0,1,0),A( 3 , 1 ,0) , E(0,0,2),D(0,1,2),C( 3 , 1 ,2).
1 2 2 2 2AB BC 1,3,1 .
2 【15】答案见解析
ABC EC ABC
【8】 7 解析: 是一个正三角形, 平面 ABC,以 C为原点,平面
内过 C点垂直于 BC的直线为 x轴,CB为 y轴,CE为 z轴,建立如图所
解析:因为 a 1,2,0 , b 2,0,1 , 示的空间直角坐标系 Cxyz．

所以 2a 3b 2 1,2,0 3 2,0,1 4,4,3 ,

a b 1,2,0 2,0,1 3,2, 1 ,

所以 2a 3b a b 4 3 4 2 3 1 7 .故答案为: 7
5
【9】
2

解析:由 a 1,1,x , c 1, 1,1 可得 a c 2,0,x 1 ,

5 5
所以 a c b 1 2 1 0 2 x 1 1 ,解得 x .故答案为: 2 2 3 1
(7 1 2) 则有 C 0,0,0 ,A 3,1,0 ,B 0,2,0 ,E 0,0,2 ,D 0,2,1 , M , ,1 【10】 ，， ．2 2

解析:设 B(x， y， z) ,则 AB (x 1， y 1， z) (6， 0， 2) ,
{#{QQABBQQAggAAABAAARhCQwGaCgCQkBCCCSoORFAYMAAAyRNABCA=}#}

D 0, 3a,0 C 3 a, 3 a,0 E 3 3 a 3 a 到 x 轴投影对应数值为 2 ,则 x 2 ,即 A 2, 2,0 ,【16】 , , a, a,
1
2 2 4 4 2
, F 0, a, 2 2 设点 B1 x, y, z ,点 B1 在平面 xoy 上则 z 0 ,
AB y y 2
解析:如图坐标系所示,因为 ADB 30 ,所以 tan30 ,所以 由图可知它到 轴投影对应数值 2 ,则 ,
BD
到 x 轴投影对应数值为 2 ,则 x 2 ,即 B1 2,2,0 ,
BD 3a ,所以 D 0, 3a,0 ;又因为 BC CD且 BCD 90 ,所以
设点 A x, y, z ,点 A 在平面 xoz 上则 y 0 ,
△BCD 是等腰直角三角形,则 C 在 y 轴投影点为 BD 中点,所以
由图可知它到 x 轴投影对应数值 2 ,则 x 2 ,
3 3 3 3 C a, a,0 ;又因为 E 是 AC 中点,且 A 0,0,a 、 C a, a,0 , 到 z轴投影对应数值为 2 3 ,则 z 2 3 ,即 A 2,0,2 3 ,
2 2 2 2
且点 D 在 y1 轴上,则 D1 0, 2,0 . 3 3 a
由中点坐标公式可知: E a, a, ;又因为 F 是 AD 中点,且

4 4 2 令 Ox,Oy,Oz轴方向上的单位向量分别为 i , j , k
OD1 2 j , OB3 a 1
2i 2 j ,则 D1B1 OB1 OD1 2i 4 j
A 0,0,a 、 D 0, 3a,0 ,由中点坐标公式可知: F 0, a, . 2 2 OD 2 3k ,所以 OD OD DB OD D1B1 2i 4 j 2 3k
【17】详见解析 点 B坐标为 2,4,2 3 .
解析:如图所示,以A为原点,以AB所在直线为 x 轴,AP所在直线为 z轴,
A xAz 【20】 ( 3,1,1)过点 与 平面垂直的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系．
则相关各点的坐标分别是: 解析:由侧面 BB1C1C 是边长为 2 的菱形, CBB1 60
,可得
A 3 3 1 3 OB 1,OC 3 ,（0,0,0）,B（1,0,0）,C（ ， ,0）,D（ ， ,0）, 1 1
2 2 2 2 又由 AO 侧面 BB1C1C ,且△AB1C 为等腰直角三角形,可得 OA 1 ,
P（0,0,2）,E 1 3（ , ,0）． 如图所示,过点 A1 作 A1E 平面 BCC1B1 ,垂足为 E ,连接 B1E,C1E ,
2
则 B1E / /OC1,C1E / /OB1,A1E / /AO ,
所以 A1 的坐标为 ( 3,1,1) .
【21】答案见解析
【18】答案见解析 解析:如图,连接 BD 交 AC 于 O ,
解析:已知平面 OBB1O1 平面 OAB , O1OB 60
, BC CD , △BCD 为等腰三角形,又 AC 平分 BCD , AC BD ;

在平面 OBB1O1 取一向量 z OB ,由于平面 OBB1O1 平面 OAB OB , 以 O 为坐标原点, OB,OC 正方向为 x, y 轴,作 z轴 //PA ,可建立如图所

所以 z 平面 OAB ,又 AOB 90 ,所以 z ,OA,OB两两垂直, 示空间直角坐标系,

以O 为原点, OA , OB , z 的方向为 x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标
系 Oxyz,
如图所示
OC CD cos π 1 , AC 4 , AO AC OC 3 ,
3
OB OD CD sin π又 3 ,
因为 OO1 2 , O1OB 60
,所以 O1 到 z轴的距离为 3
1 则 A 0, 3,0 , B 3,0,0 , C 0,1,0 , D 3,0,0 , P 0, 3,2 , O 0,0,0 ,OO1 cos60 2 1 ,2 F 0, 1,1 .
3
三棱柱 OAB O1A1B1 的高为 OO1 sin 60
2 3 ,
2 【22】（1）
(2,3,1) ; ( 2,3, 1) ; (2, 3, 1)
（2） (2, 3,1) ; ( 2,3,1) , ( 2, 3, 1)
则 O 0,0,0 , O1 0,1, 3 , A 3,0,0 , A1 3,1, 3 , B 0,2,0 , （3） ( 2, 3,1)
B 0,3, 3 . 解析:（1）设点 P xOy1 关于 坐标平面的对称点为 P ,
则点 P 在 x 轴上的坐标及在 y 轴上的坐标与点 P 的坐标相同,而点 P
【19】 A1 2, 2,0 , B1 2,2,0 , A1 2,0,2 3 , D1 0, 2,0 , B 2,4,2 3 在 z轴上的坐标与点 P 在 z轴上的坐标互为相反数．
所以,点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点 P 的坐标为 (2,3,1) ．
同理,点 P 关于 yOz , zOx坐标平面的对称点的坐标分别为
( 2,3, 1) , (2, 3, 1) ．
解析: （2）设点 P 关于 x 轴的对称点为 Q ,
则点 Q 在 x 轴上的坐标与点 P 的坐标相同,而点 Q 在 y 轴上的坐标及
在 z轴上的坐标与点 P 在 y 轴上的坐标及在 z轴上的坐标互为相反数．
所以,点 P 关于 x 轴的对称点 Q 的坐标为 (2, 3,1) ．
如图,以 O 为坐标原点,分别以 OC、OD 所在直线为 y，z1 轴,以过点 O 同理,点 P 关于 y 轴、 z轴的对称点的坐标分别为 ( 2,3,1) , ( 2, 3, 1) ．
作 B1C1 的平行线为 x 轴建立空间直角坐标系. （3）点 P(2,3, 1) 关于坐标原点的对称点的坐标为 ( 2, 3,1) ．
设点 A xoy1 x, y, z ,点 A1 在平面 上则 z 0 , 重点题型专练
由图可知它到 y 轴投影对应数值 2 ,则 y= 2 ,
{#{QQABBQQAggAAABAAARhCQwGaCgCQkBCCCSoORFAYMAAAyRNABCA=}#}
【23】C 3 2
解得 k 或 .
解析:因为 p 在基底 {a， b， c} 下的坐标是 (1， 3， 2) ,所以 p a 3b 2c , 2 3

设 p 在基底 {a b， a b， c} 下的坐标为 (x， y， z) 【32】（1）证明见解析;（2）证明见解析,
解析:（1）证明:如图所示 D为坐标原点, DA为 x 轴, DC 为 y 轴, DP
则 p x(a b) y(a b) zc (x y)a (x y)b zc , z
为 轴,建立空间直角坐标系,
因此 a 3b 2c (x y)a (x y)b zc ,所以 x y 1，x y 3，z 2 ,
即 x 2，y 1，z 2 ,

即向量 p 在基底 {a b， a b， c} 下的坐标为 (2， 1， 2) .故选:C.
【24】 2,1,3
解析:因为向量 p 在基底 a b ,b c,c a 下的坐标为 0,1,2 ,

可得 p 0 a b 1 b c 2 c a 2a b 3c ,
设 DC＝a .所以向量 p 在基底 a,b ,c 下的坐标为 2,1,3 . 连接 AC , AC 交 BD 于 G ,连接 EG .
【25】 3, 1,6 依题意得. A(a,0,0) , P(0,0,a) a a, E(0, , ) ,
2 2
解析: 向量 p 在基底 a b ,a b ,3c 下的坐标是 1,2,2 , 因为底面 ABCD 是正方形,所以 G 是此正方形的中心,
a a
a a
p a b 2 a b 2 3c 3a b 6c , 故点 G 的坐标为 ( , ,0) 且. PA (a,0, a) , EG ( ,0, ) ,2 2 2 2

所以向量 p 在基底 a,b ,c 下的坐标是 3, 1,6 .故答案为: 3, 1,6 所以 PA 2EG ,这表明 PA / /EG .
而 EG 平面 EDB 且 PA 平面 EDB ,所以 PA / / 平面 EDB .
【26】 3,1,3 （2）证明:依题意得 B(a,a,0) , PB (a,a, a)

,
解析:设向量 p 在基底 a b,a b,c 下的坐标为 x, y, z ,则 a a a2 a2
又 DE (0, , ) ,故 PB DE 0 0 ,2 2
p x(a b) y(a b) zc 2 2 ,

所以 PB DE ,
又向量 p 在基底 a,b,c 下的坐标为 4,2,3 ,则 p 4a 2b 3c , 由已知 EF PB ,且 EF DE＝E , EF ,DE 面 EFD ,所以 PB 平面

4a 2b 3c x(a b) y(a b) zc EFD .所以 ,即
【33】（1）证明见解析（2）证明见解析
4a 2b 3c (x y)a (x y)b zc , 解析:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,则
x y 4, x 3, A 0,0,0 、B 1,0,0 、C 1,1,0 、D 0,1,0 、A1 0,0,1 、B1 1,0,1 、C1 1,1,1 、
所以 x y 2,

解得 y 1,
E 1,1, 1 F 1, 1 z 3, z 3, D1 0,1,1 ,由中点性质得 、 ,0
1
, G ,1,0
H 1 , 1 ,1
2 2 2 , 2 2 .

所以向量 p 在基底 a b,a b,c 下的坐标为 3,1,3 . GE 1 ,0, 1 EH 1 1 1 （1）则 AB1 1,0,1 , , , , ,
【27】 1 或 1 2 2 2 2 2

解析:由 a 1,1,0 , b 1,0,2 , AB EH 1 1 1 1 0
因为 AB1 2GE , 1 ,
则 ka b k 1,k ,2 , a kb 2 21 k,1,2k ,
所以 AB / /GE , AB EH ,
又向量 ka b 与 a kb 平行,即存在 使得 k 1,k ,2 1 k ,1,2k 1 1成
即 AB1 / /GE , AB1 EH .
k 1 1 k
1 1
立,则有 k ,解得 k 1 或 k 1 .故答案为: 1 或 1 . （2）因为 A1G ,1, 1 , DF 1, ,0 DE

1,0, 1
2 2 , 2 ,
2 2 k
28 2 ∴ A1G DF
1 1
0 0
【 】 ,
2 2
解析:由空间向量 m 3, 6,3 ,n 1, , 1 , A1G DE
1 0 1 0 ,
3 2 2
∴ AG DF , AG DE .
因为 m / /n ,可得 m n ,即 6 ,解得 2 .故答案为: 2 . 1 1

3 又 DF DE D ,所以 A1G 平面 EFD .
【29】4

解析:因为 a ( 3,2,5),b (1,x, 1) ,且 a 与 b垂直,

所以 a b 3 2x 5 0 ,解得 x 4 ,故答案为:4
7
【30】
5

解析: ka b=k 1,1,0 1,0,2 k 1,k,2 ,
【34】证明见解析2a b= 2 1,1,0 1,0,2 = 3,2, 2 , A A xyz
解析:证明:以 为坐标原点,建立如图空间直角坐标系 ,
因为 ka b 与 2a b 互相垂直,所以 ka b 2a b 0 ,
设 D 2 ,b,0 ,则 C 2 2 ,0,0 4 2 2 , P 0,0,2 , E B 2 , b,0 ,0, , ,
即 k 1,k,2 3,2, 2 =5k 7=0 7 7,解得: k= .故答案为: 3 3
5 5
31 PC 2 2 ,0, 2 BE 2 ,b, 2 2 2 【 】详见解析 可得 , , DE ， b, ,
3 3 3 3
解析:（1）已知 a 3,2, 1 , b 2,1,2 ,
4 4 4 4
则 a2 14 , b 2 9 , a b 6 , 则 PC BE 0 且 PC DE 0 ,3 3 3 3
所以 a b a 2b a 2 a b 2b 2 14 6 2 9 10 ; 所以 PC BE , PC DE ,且 BE DE E , BE,DE 平面 BED ,
所以 PC 平面 BED .
（2）因为 ka b a kb ,
所以 ka b a kb ka 2 1 k 2 a b kb 2 14k 6 1 k 2 9k 0 ,
{#{QQABBQQAggAAABAAARhCQwGaCgCQkBCCCSoORFAYMAAAyRNABCA=}#}
即 2,n, 4 1,2,m ,
2

可得 n 2 ,解得 m 2 , n 4 ,

4 m

所以 a 1,2,2 , b 2, 4, 4

则 a b 3,6,6 2,所以 a b 3 62 62 9 .故答案为:9
【35】2 【44】锐角三角形

解析:因为 a 与 b共线,所以存在 ,使得 b a , 解析:因为 A 6, 1,4 , B 1, 2,1 , C 4,2,3 ,

4 2 则 AB 5, 1, 3 , AC 2,3, 1 BC 3,4,2
2
, ,
即 4, 2, x 2,1, 1 ,故 2 ,解得 .故答案为:2
x 2x 所以,
AB 25 1 9 35 , AC 4 9 1 14 ,

【36】2 BC 9 16 4 29 ,
2 1
所以, ABC 中, AB边最长,内角 C 最大,
解析:由题意设 a b c ,所以 2 x ,解得 1, x 2 .故答
所以, CA CB 2, 3,1 3, 4, 2 6 12 2 4 0 ,
2 2
显然 CA 、 CB 不共线,故 C 为锐角,故 ABC 为锐角三角形.
案为:2.
【37】 3 【45 3 5】
5
解析:∵ A 1,5,2 、 B 2,4,1 、 C m,3,n 三点共线,
解析:因为 a 1 x,1,x , b 0,2x,x ,所以 a b 1 x,1 2x,0 ,
∴ AB∥AC ,即 AC AB ,
2
AB 1, 1, 1 , AC m 1, 2,n 2 2 2a b 1 x 1 1 9所以 2x 5x 2 2x 2 5 x 5 ,

5
∴ m 1, 2,n 2 1, 1, 1 , ,
3 5 3 5
m 1 2 所以 a b 的最小值为 .故答案为: .
5 5
∴ 2

,解得 m 3 ,

n 2
n 0 【46】 5
m n 3 解析:如图,以点 A 为原点,以 AB,AC,AA 为
x, y, z 轴建立空间直角坐标
∴ .故答案为: 3 . 1
【38】 8 系,

解析:因为 a , b共线且方向相反,所以设 b a, 0 , E 0,4,2 , F 2,0,0 , G 2,0,4 , D 0, y,0 ,
x GD 2, y, 4 , EF 2, 4, 2 ,
x2 y 2 2 即 可得 2 2 0 解得 2 或 1（舍）, 因为 GD EF ,所以 GD EF 2 2 4y 4 2 0 ,得 y 1 ,

y 3
D
x y 3 4 8 即 0,1,0
2 2
,所以
8 FD 2 0 0 1 5所以 ,故答案为: .
【39】 6

解析:若 a , b , c共面,则存在实数 x, y ,使 c xa yb ,
即 ( 1,2, t) x( 2,1,m) y(1, 1,2) ( 2x y, x y,mx 2y)
2x y 1

所以 x y 2 ,解得 x= 1 , y= 3 , t m 6 .

mx 2y t
所以 m t 6 .故答案为: 6
【40】1 47 3 5【 】
解析:∵ A 2,3,1 ,B 1,1, 1 ,C 0, 1,1 ,D 1,1, x , 4
解析:建立如图所示空间直角坐标系,
∴ AB 3, 2, 2 , AC 2, 4,0 , AD 1, 2,x 1 ,
E 2,0, 3 ,F 0,1,3 ,EF A,B,C,D 2,1,
3
, P 1,1,0又∵ 四点共面, ,
2 2
∴由平面向量基本定理可知存在实数 , 使 AD AB AC 成立, Q 平面 CDD1C1 ,故可设 Q 0,a,b ,则 PQ 1,a 1,b ,
∴ 1, 2, x 1 3, 2, 2 2, 4,0 , 由于 EF∥PQ ,所以 EF 2PQ ,

1 3 2 1 2 a 1 x 1 3 3
所以 3 ,解得 a ,b ,
∴ 2 2 4 ,解得 0 ,故答案为:1 2b 2 4
x 1 2
2
1
2 Q 0, 3 , 3 所以 , DQ
9 9 3 5
3 5.故答案为:
41 2 4 4 16 4【 】 2 4

解析:因为空间向量 a 2,1,2 , b 1,2,2 ,则

b a 1,2,2 2,1,2 1,1,0 ,
2
因此, b a 1 12 02 2 .故答案为: 2 .
【42】 5

解析:由 A 3,2,1 1,B 3, 1,7 ,得 AB 0, 3,6 ,则 AC AB 0, 1,2 ,
3

所以 AC 02 ( 1)2 22 5 .故答案为: 5 . 【48】 3

【43】9 解析:由 a 2, 2,0 , b k ,0,3 ,得 | a | 2 2 ,| b | k 2 9 , a b 2k ,

解析:因为空间向量 a 1,2,m , b 2,n, 4 ,且 a / /b , 2π 2π a b 2k 1
由 a , b 夹角为 ,得 cos ,解得 k 3 ,2
所以 b a , 3 3 | a || b | 2 2 k 9 2
{#{QQABBQQAggAAABAAARhCQwGaCgCQkBCCCSoORFAYMAAAyRNABCA=}#}
所以 k 3 .故答案为: 3 3
【54】
2 4
【49】
5 解析:以 C1 为坐标原点,分别以 C1D x, y, z 1
,C1B1 ,C1C 为 轴,建立空间直角
解析:由题意得 OA (0,1,2),OB (2,0, 1) ,则 坐标系,
OA OB 2 2 2 则 C1 0,0,0 ,D1 3,0,0 ,P 0,m, 3 3m , 0 m 1cos OA,OB ,.故答案为:
|OA ||OB | 5 5 5 5
【50】 5 且 1

解析:因为 a 与 b的夹角为钝角,所以 a b 0 且 a 与 b不共线,

因为 a 1, 2, ,b 1,2, 1 ,所以 a b 1 4 0 ,解得 5 ,
1 k

当 a 与 b共线时, a kb ,即 1, 2, k 1,2, 1 ,则 2 2k ,解得

k 2
k 1, 1 ,所以 5 且 1 .故答案为: 5 且 1 . 则 C1P D1P 0,m, 3 3m 3,m, 3 3m m 2 3 3m
( 1, 1 ) ( 1【51】 , ) 2
2 2 4m2 6m 3 4
m 3 3 ,
4 42
解析:由向量 a 1,1,0 , b m,0,2 ,可得 a b m, a 2 , b m 4 , 3 3 3
当 m 时, C4 1
P D1P 的最小值为 .故答案为:
a b m 10 4 4
因为 cos a,b 10 ,可得 2 10 ,解得 m 110 a b 2 m
,
4 【55】C
解析:在直三棱柱 ABC A1B1C1 中, AA1 底面 ABC ,
所以 b 1,0,2 ,所以 a kb (1 k ,1,2k ) 与 2a b (1,2,2) , AC AA
以点 A 为坐标原点, AB , 、 1 所在直线分别为
x 、 y 、 z 轴建立
又因为向量 a kb 与 2a b 所成角为锐角, 如下图所示的空间直角坐标系,
所以 a kb 2a b 1 k 2 4k 0 ,解得 k 1 ,
1 k 1 2k 1
若向量 a kb 与 2a b 共线,则 ,解得 k ,1 2 2 2
1 1 1 1
所以实数 k 的范围是 ( 1, ) ( , ) .故答案为: ( 1, ) ( , ) .
2 2 2 2
【52】详见解析
解析:（1）如图,以 C 为原点,分别以 CA,CB,CC 为 x, y, z1 轴,建立空间
1 1
直角坐标系 C xyz ,依题意得 B 0,1,0 , N 1,0,1 , B1 0,1,2 , C1 0,0,2 . 则 0,0,0 、 E 0,1, G ,0,1 F x,0,0 D 0, y,0 2 、 2 ,设点 、 ,
1
M (0, 1 ,2) ,∴ MN 1, , 1 2 2 GD
1
, y, 1

, EF

x, 1,
1

2 , 2
2 1 3
∴ MN 12 ( 1)
2 .所以 M ,N
3 1 1
的距离为 . 由于 GD EF ,则 GD EF x y 0 ,可得 x 2y 1 0 ,
2 2 2 2 2
y x 1 1 x 0,1 ,则 2 0, , 2
2
DF x2 y 2 21 2y y 2 2 1 5 5y 2 4y 1 5 y ,1
5 5 5
故选:C.
56 4 5【 】
5
（2）依题意得 A1 1,0,2 , B 0,1,0 , C 0,0,0 , B1 0,1,2 ,
解析:以 D为坐标原点, DA , DC , DD1 所在的直线分别为 x 轴、
y 轴、
∴ BA1 1, 1,2 , CB1 0,1,2 , z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

BA CB 3 , BA1 6 , CB1 51 1 ,

BA CB
cos BA ,CB 30∴ 1 1
1 1
BA CB 10 .1 1
1 1 1
【53】（1） k ;（2） 1, ,
2 2 2

解析:（1）解:因为 a x,1,0 , b 1, y,2 , c 2, 2,1 , b 5 , a c ,
BB E 2,0,0 F 4,4,2 因为点 E , F 分别为棱 DA , 1 的中点,所以 , ,
则 b 1 y 2 4 5 ,可得 y 0 , a c 2x 2 0 ,解得 x 1 , 设 M x,0,4 , N 4, y,4 ,其中 0 x 4 , 0 y 4 ,

所以 a 1,1,0 , b 1,0,2 ,所以 a kb 1 k,1,2k , 2a b 1,2,2 , 则 EN 2, y,4 , FM x 4, 4,2 .
1 k 1 2k 1
因为 a kb // 2a b ,所以 ,解得 k . 因为 EN FM ,则 EN FM 2, y,4 x 4, 4,2 2x 4y 0 ,解得1 2 2 2
x 2y ,
（2）解;由（1）知, a kb 1 k ,1,2k , 2a b 1,2,2 , 又因为 0 x 4 , 0 y 4 ,则 0 y 2 ,
因为向量 a kb 与 2a b 所成角为锐角, 2
2MN x 4 y 2 4 4 2 22y 8 16 可得 4 y
2 5 y ,
所以 a kb 2a b 1 k 1 1 2 2 2k 3k 3 0 ,解得 k 1 , 5 5
1 4 5 8 4 5又当 k 时, a kb // 2a b , 所以 MNmin ,此时 y ,即线段 MN 的长度的最小值为 .2 5 5 5
1, 1 1所以实数 k 的范围为 ,

4 5
2 2 .
故答案为: .
5
【57】B
{#{QQABBQQAggAAABAAARhCQwGaCgCQkBCCCSoORFAYMAAAyRNABCA=}#}
解析:如图,以点 D为坐标原点, DA,DC,DD 所在直线分别为 x, y, z1 轴, 解析:（1）如图,以 D为坐标原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、
建立空间直角坐标系, z轴,建立空间直角坐标
则 1,0,0 , C1 0,1,1 ,设 P x, y, z , 0 x 1 , 0 y 1 , z 1 , 系,则 1,0,0 , B 1,1,0 , D1 0,0,1 .

PA 1 x, y, 1 , PC1 x,1 y,0 ,
2 2
PA PC 1 1 11 x 1 x y 1 y x2 x y2 y x y ,
2 2 2
1 x y 1当 时, PA PC1 取得最小值 ,2 2

当 x 0 或 1, y 0 或 1 时, PA PC1 取得最大值 0,
1
所以 PA PC1 的取值范围是 ,02 .故选:B. 设 M 0,1,m , P x, y,1 ,则
AP x 1, y,1 , BD1 1, 1,1 , BM 1,0,m .因为 AP 平面 MBD1 ,

AP BM 0, 1 x m 0,
所以

得
AP BD1 0, 2 x y 0.

当点 M与点 C重合时, m 0 , x y 1 ,此时 AP 0,1,1 ,
则 AP的长度为 12 12 2 .
2
2 2（ ） AP x 1 y 2 1 2y 2 2y 2 2 y 1 3 6 ,
2

2 2
【58】 4 6
解析:以 D为原点,以 DA,DC,DS 所在的直线分别为 x, y, z 轴,建立空间 即线段 AP长度的最小值为 .2
直角坐标系,
如图所示,设 SD a,a 0 , DG ,0 a ,
则 S 0,0,a ,G 0,0, ,E 0,1, a ,F 2,1,0 综合巩固提升
2
,

a
1.【答案】C
则 GE 0,1, ,GF 2,1, , 解析:∵P（2,3,4）、Q（ 2, 3, 4）两点的横坐标、纵坐标、竖坐标均
2 互为相反数,

GE GF 1 a GE GF 0 ∴两点关于坐标原点对称.故选 C.因为 ,所以 ,
2 2.【答案】C
1 1 1 解析:由题设 a b (0, 1,1) (4,1,0) (4,1 , ) ,
则 a 2 2 2 4 ,当且仅当 时,即 1时,等号成
由 | a b | 16 (1 ) 2 2 29 2 6 ( 2)( 3) 0 且
立,所以 a 4 ,即 SD 4 ,所以 SD 长度的最小值为 4 .故答案为: 4 . 0 ,解得 3 .故选:C
3.【答案】C
解析:点 A 1, 2,11 ,B 4,2,3 ,C 6, 1,4 ,则 | AB | 32 42 ( 8)2 89 ,
| BC | 22 ( 3)2 1 14 , | AC | 52 12 ( 7)2 75 ,
而 | AC |2 | BC |2 | AB |2 ,所以 ABC 一定为直角三角形.故选:C
4.【答案】C

解析:设向量 p 在基底 a b,a b,c 下的坐标为 x, y, z ,则
【59】C
解析:以 D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系, p x(a b) y(a b) zc ,

则可设 E a,a,0 ,其中 0 a 1 , F b,1,b ,其中 0 b 1 , 又向量 p 在基底 a,b,c 下的坐标为 4,2,3 ,则 p 4a 2b 3c ,
BD 根据图中可知直线 和直线 B1C 为异面直线, 所以 4a 2b 3c x(a b) y(a b) zc ,即
若能取到两异面直线间的距离,则此时 EF 距离最小, 4a 2b 3c (x y)a (x y)b zc ,
根据异面直线公垂线的定义知 EF BD , EF B1C ,
x y 4, x 3,
EF b a,1 a,b , DB 1,1,0 , B1 1,1,1 , C 0,1,0 ,则 B1C 1,0, 1 ,
所以 x y 2, 解得 y 1, 所以向量 p 在基底 a b,a b,c 下的坐标
则 EF BD b a 1 a 0 , EF B1C b a b 0 , z 3,

z 3,
a 2 为 3,1,3 .故选:C. 3
解得 ,满足 a,b范围,1 5.【答案】BC b 1 1 1
3 解析:解:对于选项 A,由 ,故 A 选项不正确;1 1 1
2 2
则此时 EF a b a 1 b2 1 1 1 3 , 对于选项 B,由 a 3 , b 3 ,故 B 选项正确;
9 9 9 3
3 对于选项 C,由 a b 1 1+1 1 + 1 1 1 ,得
则 EFmin .故选:C.3 cos a,b 1 1
3 3 3 ,故 C 选项正确;
对于 D 选项,由

m 2,0,0 xa yb x, x, x + y, y, y x+y，x y, x y ,得
x+y 2
,解得 x 1 , y 1 ,有 xy 1 ,故 D 选项错误.故选:BC.
x y 0
6.【答案】7

6 解析:试题分析: ka b k 1,0,1 1,2,3 k

1, 2,k 3 ,由 (ka b)
【60】（1） 2 （2） 2 与 b 垂直 (ka b)·b k 1 4 3k 9 0 k 7
{#{QQABBQQAggAAABAAARhCQwGaCgCQkBCCCSoORFAYMAAAyRNABCA=}#}

6 14 2
7 BA CB.【答案】（1） 5 2 ;（2） , , 因此 cos BA1,CB1 1 1
3 30

5 5 5
,
| BA1 ||CB1 | 6 5 10
1

解析:（ ） 2a b (2, 6,4) ( 2,1,1) (0, 5,5) , A 30所以 1B 与 B1C 所成角的余弦值是 .
2 2 2 10故 2a b 0 5 5 5 2 .
2 （3）由（1）得, C1M
1 1
( , ,0),C1N (1,0, 1),BN (1, 1,1)（ ） ,
2 2
OE OA AE OA tAB 3, 1,4 t 1, 1, 2 3 t, 1 t,4 2t . C M BN 1 1 1 1 ( 1) 0 1 0,C1N BN 1 1 0 ( 1) ( 1) 1 0 ,
若 OE ⊥ b ,则 OE ·
2 2
b 0 .
9 即 C1M BN ,C1N BN ,因此 C1M BN ,C1N BN ,
所以－2（－3＋t）＋（－1－t）＋（4－2t）＝0,解得 t .
5 而 C1M C1N C1 ,C1M ,C1N 平面 C1MN ,
6 14 2 所以 BN 平面 C1MN .
因此存在点 E ,使得 OE ⊥ b , E 点坐标为 , ,
5 5 5
.

8.【答案】详见解析
解析:（1）设正三棱柱的棱长为 2,设 AC的中点为 O,连接 BO ,
因为 ABC 为正三角形,故 OB AC ,
以 AC的中点 O为原点, OB,OC 为 x, y 轴,以过点 O和 AA1 平行的直线
为 z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A 0, 1,0 , B 3,0,0 , C(0,1,0) , A1 0, 1,2 ,C1 0,1,2 ,
于是 AB 3,1,0 , CA1 (0, 2,2) , A1B 3,1, 2 ,

因为 A1P A1B ,故 A1P 3,1, 2 ,则 P( 3 , 1, 2 2) ,

故 CP ( 3 , 2, 2 2) ,

因为 PC AB ,所以 CP AB ( 3 , 2, 2 2) 3,1,0 0 ,
1
即 3 2 0, .
2
3 1
（2）由（1）知 P , ,1
3 3
,所以 CP , ,1 , AC (0,2,2) ,
2 2
1
2 2
2 2
|CP | 3 3

所以 2 , 2 2 1 2 | AC1 | 0 2 2 2 2 ,
2 2

CP AC 3 2 2
所以 cos CP, AC1
1 ,
|CP || AC1 | 2 2 2 8
π
由于异面直线所成角的范围为 (0, ] ,
2
2
所以异面直线 PC与 AC1 所成角的余弦值是 .
8
9.【答案】（1） 3 ;（2 30） ;（3）证明见解析.
10
解析:（1）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中, BCA 90 ,以点 C 为原点,直
线 CA,CB,CC 分别为 x, y, z1 轴建立空间直角坐标系,
由 CA CB 1, AA1 2 ,M,N分别为 A1B1,A1A的中点,
1 1
得 B(0,1,0),A1(1,0,2),C1(0,0,2),B1(0,1,2),N (1,0,1),M ( , ,2) , BN (1, 1,1) ,2 2

所以 BN的长为 | BN | 12 ( 1)2 12 3 .

（2）由（1）得, BA1 (1, 1,2),CB1 (0,1,2) ,
{#{QQABBQQAggAAABAAARhCQwGaCgCQkBCCCSoORFAYMAAAyRNABCA=}#}

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