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1.2.1　必要条件与充分条件
第1课时　必要条件与充分条件
基础练
1.(探究点一)设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
2.(探究点二)已知下列不等式:①x<;②03.(探究点二)已知p:-44.(探究点二)探求:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的一个充要条件.
提升练
5.(2025广东佛山高一联考)关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要不充分条件是 (　　)
A.m< B.m≤
C.m<- D.m<
6.命题p:a>b,命题q:a+c>b+c(其中a,b,c∈R),那么p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
7.请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
已知集合A={x|-2≤x≤6},B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.若x∈A是x∈B成立的　　　　　条件,判断实数m是否存在.
创新练
8.求“关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0有两个不相等的正实根”的充要条件.
2.1　必要条件与充分条件
第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用
基础练
1.(探究点三)“(2x-1)x=0”是“x=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
2.(探究点二)若p:x-1≤1,q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是(　　)
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(-2,+∞) D.(-∞,-2)
3.(探究点二)已知集合A={x|a-2A.0≤a≤2 B.-2C.04.(探究点二)已知p:-15.(探究点三)p:两个三角形的三条边对应相等,q:两个三角形的三个角对应相等,r:两个三角形全等,则p是r的　　　　条件;q是r的　　　　条件.
6.(探究点一)求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充要条件是k<-2.
提升练
7.设x,y∈R,则“xA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
8.已知P={x|-2≤x≤10},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为　　　　　　　.
9.(2025天津高一月考)已知“a创新练
10.已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}.
(1)判断8,9,10是否属于集合A;
(2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},求证:“x∈A”的一个充分不必要条件是“x∈B”.
参考答案
1.A　由x≥2且y≥2可得x2+y2≥4.x=1且y=3满足x2+y2≥4但不满足x≥2且y≥2,故“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件.故选A.
2.②③④　由x2<2,得-3.{a|-1≤a≤6}　设A={x|-4∴∴-1≤a≤6,
即a的取值范围是{a|-1≤a≤6}.
4.解 必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点,
所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,b=0.
充分性:如果b=0,那么y=kx,
x=0时y=0,函数图象过原点.
综上可知,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的一个充要条件是b=0.
5.A　关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解,
则Δ=1-4m≥0,解得m≤,
结合选项可知m≤的一个必要不充分条件是m<.
故选A.
6.C　若a>b,则a+c>b+c,所以命题p可以得出命题q成立;若a+c>b+c,则a+c-c>b+c-c,即a>b,所以命题q可以得出命题p成立.所以p是q的充要条件.故选C.
7.解 若选择条件①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,则集合A是集合B的真子集,则有(等号不同时成立),解得m≥5,所以实数m的取值范围是{m|m≥5}.
若选择条件②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,则有(等号不同时成立),解得0若选择条件③,即x∈A是x∈B成立的充要条件,则集合A等于集合B,则有方程组无解,所以不存在满足条件的实数m.
8.解设x1,x2为关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0的两个不相等的正实根,
则
解得所以2因此“关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0有两个不相等的正实根”的充要条件是“2第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用
参考答案
1.B　由(2x-1)x=0得x=0或x=,故(2x-1)x=0是x=0的必要不充分条件.故选B.
2.A　由x-1≤1,得x≤2.设A={x|x≤2},B={x|x≤a},因为p是q的充分不必要条件,所以A是B的真子集.则a>2.故选A.
3.A　由A∩B= ,得故0≤a≤2.
4.(2,+∞)　由题意,命题p:-13,解得m>2,即实数m的取值范围是(2,+∞).
5.充要　必要不充分　p r,r p;q不能推出r,r q,故p是r的充要条件,q是r的必要不充分条件.
6.证明 必要性:
因为方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根,
所以解得k<-2,必要性成立.
充分性:当k<-2时,Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>0.
设方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根为x1,x2,
则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=k2+2k=k(k+2)>0.
又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-(2k-1)-2=-2k-1>0,∴x1-1>0,x2-1>0,
即x1>1,x2>1,充分性成立.
综上可知,方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根的充要条件为k<-2.
7.B　当y=0时,由x8.{m|0≤m≤3}　∵x∈P是x∈S的必要条件,∴S P,∴解得m≤3.又S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0.综上,可知当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.
9.解 若关于x的方程ax2+2(a-1)x+a-1=0至少有一个负根,则
当a=0时,方程-2x-1=0,解得x=-,符合题意.
当a≠0时,由Δ=4(a-1)2-4a(a-1)≥0,解得a≤1且a≠0,设方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=.
①当a=1时,方程x2=0的两根均为零即x1=x2=0,不合题意;
②当0③当a<0时,x1+x2=-<0,x1x2=>0,即方程有两个负根,符合题意.
综上所述,“a<1”是“方程ax2+2(a-1)x+a-1=0至少有一个负根”的充要条件,所以m=1.
10.(1)解 ∵8=32-1,9=52-42,∴8∈A,9∈A.
假设10=m2-n2,m,n∈Z,则(m+n)(m-n)=10.
不妨令m,n>0,∵10=1×10=2×5,
m+n∈Z,m-n∈Z,且m+n>m-n,
∴显然均无整数解,∴10 A.
(2)证明 集合B={x|x=2k+1,k∈Z},
∵2k+1=(k+1)2-k2,
∴2k+1∈A,即一切奇数都属于A.
又8∈A,∴“x∈A”的一个充分不必要条件是“x∈B”.

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