资源简介

滚动习题(三)
1.B　[解析] 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故选B.
2.A　[解析] 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,所以圆锥的底面周长为2πr,侧面积为πrl,底面面积为πr2.因为圆锥的表面积是底面积的4倍,所以πrl+πr2=4πr2,解得l=3r,所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为=.故选A.
3.C　[解析] 如图①,在直观图中,过点B'分别作x'轴和y'轴的平行线,与x'轴和y'轴分别交于点M,N,因为△OAB的直观图是腰长为1的等腰直角三角形,所以O'A'=O'B'=1,A'B'=,则A'的坐标为(1,0),MB'=A'B'=,B'N=O'M=1,还原直观图,如图②所示,则B的坐标为(-1,2),A的坐标为(1,0),故AB==2,故选C.
4.C　[解析] 设侧面三角形底边上的高为h,底边长为a,则ah=,即ah=h2-,化简得4h2-2ah-a2=0,即4-2×-1=0,则=(负值舍去).故选C.
5.C　[解析] 设正方体的棱长为a,则该正方体的体积为a3=8,所以a=2,所以该正方体外接球的直径2R=a=2,所以R=,所以该球的体积为πR3=4π.故选C.
6.A　[解析] 设圆锥的底面半径为r,则圆锥的底面周长L=2πr,∴r=,∴V=πr2h=π··h=.令≈,得π≈.故选A.
7.BD　[解析] 由正方体的对称性可知,截面的形状不可能为三角形和五边形,截面的形状只可能为四边形和六边形,如图.故选BD.
8.ACD　[解析] 设梯形ABCD为圆台的轴截面,则内切圆O为圆台内切球的大圆,如图,设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,圆O的半径为R,则O1,O,O2共线,且O1O2⊥AB,O1O2⊥CD.设圆O与边AD的切点为E,连接OD,OE,OA,则OD,OA分别平分∠ADC,∠DAB,故∠OAD+∠ODA=,所以∠DOA=,又OE⊥AD,所以R2=r1r2=3,解得R=,故圆台的高为2R=2,母线长为r1+r2=4,圆台的表面积为π(12+32)+π(1+3)×4=26π,球O的表面积S=4πR2=12π.故选ACD.
9.2　[解析] 如图,在正三棱锥P-ABC中,D为BC的中点,PA=3,AB=,连接AD,由正三棱锥的性质可知,顶点P在底面的射影O为正三角形ABC的中心,则AO=AD===1,所以PO===2,即此正三棱锥的高为2.
10.40　[解析] 要打磨一个体积最大的球形配件,则球内切于该圆锥,作出圆锥的轴截面,如图所示,O为内切球球心,H为内切球与底面圆的切点,连接AO,CH.设内切球的半径为r,AH=x,则r=x,CH=x,所以V圆锥=×π·x2·x=·x3,V球=r3=××x3=x3,则==,则球形配件的重量为×90=40(克).
11.π　[解析] 如图,连接BD,则AD⊥BD,分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F.因为∠BAD=,所以∠ABD=,因为AB=4,所以AD=AB=2,DF=ADsin=,AF=ADcos=1.同理BC=2,CE=,BE=1,则EF=AB-AF-BE=4-1-1=2.因为DF⊥AB,CE⊥AB,CE=DF,所以四边形CDFE为矩形,故CD=EF=2,所以所求几何体的体积为球的体积减去两个圆锥的体积以及一个圆柱的体积,故所求几何体的体积V=π×23-2××π×()2×1-π×()2×2=π.
12.解:(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,由AB=2,BC=2,AA1=4,E为棱DD1的中点,
可得A1C1=A1E=C1E=2,
则==×2×2=2,=×2×2=2,=×(2)2=2,
所以三棱锥E-A1C1D1的表面积=3×2+2=6+2.
(2)由题可得=·BB1=×2×2×4=8,VE-ACD==·D1E=××2×2×2=,所以=-VE-ACD-=8-2×=.
13.解:(1)由题意,该漏斗的表面积S=5×22+4××22=20+4(平方米).
(2)将漏斗表面展开,如图①所示,
由两点间距离最短可得线段A'P为蚂蚁爬行的最短路径,
过点P作PQ⊥A'A交A'A的延长线于点Q,
则AQ=AP·cos 30°=,PQ=AP·sin 30°=1,在Rt△A'PQ中,A'P=====+,
所以蚂蚁爬过的最短路径的长为+米.
(3)正方形ABB'A'的斜二测画法有以下两种:
在图②中,∠A'AB=45°,在△A'AB中由余弦定理可得A'B==
=;
在图③中,∠A'AB=135°,在△A'AB中由余弦定理可得A'B==
=.
综上所述,直观图中A'B= 米或 米.
14.解:(1)设圆锥的母线长、底面半径分别为l(l>0),r(r>0).
由圆锥的轴截面为等腰直角三角形,得l2+l2=(2r)2,解得l=r.
因为cos∠APB=,所以sin∠APB===,
又因为△PAB的面积为2,所以S△PAB=PA·PB·sin∠APB=l2×=2,得l=4,
又l=r,所以r=2,所以圆锥的侧面积S1=×2πr×l=π×2×4=8π.
(2)作出圆锥的轴截面如图所示,设AC的中点为O,连接PO.
根据圆锥的性质可知内切球球心在PO上,设球心为G,内切球与PA相切于点D,
设内切球半径为R,即GO=GD=R,则△POA∽△PDG,
所以=,由(1)可得,圆锥的高PO=AO=2,PA=4,则=,解得R=4-2,
所以圆锥的内切球的表面积S2=4πR2=4π(4-2)2=96π-64π.
(3)由(1)知圆锥的高h=2.
作圆锥的轴截面,如图所示,其中K,L,E,F为四棱柱的顶点,设正四棱柱的底面边长为a,高为H,PO与KL交于点O1,则KL=a,PO1=h-H,
由=得=,所以a=(2-H),
所以正四棱柱的侧面积S侧=4aH=4(2-H)H≤4=8,当且仅当2-H=H,即H=时等号成立,所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为8.(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.如图所示的图形中有 (　 )
A.圆柱、圆锥、圆台和球
B.圆柱、球和圆锥
C.球、圆柱和圆台
D.棱柱、棱锥、圆锥和球
2.圆锥的表面积是底面积的4倍,那么该圆锥的侧面展开图的圆心角为 (　 )
A.π B.π
C. D.π
3.[2024·昆明云南师范大学附属中学高一期中] 如图是△OAB的斜二测画法的直观图,△O'A'B'是腰长为1的等腰直角三角形,y'轴经过A'B'的中点,则AB= (　 )
A. B.2
C.2 D.
4.如图,埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 (　 )
A. B.
C. D.
5.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为 (　 )
A.π B.12π
C.4π D.16π
6.《算数书》竹简于上世纪八十年代出土在湖北省江陵县张家山,这是我国现存最早的系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的方法:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六合成一.该方法相当于给出了由圆锥底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,该公式是将圆锥体积公式中的圆周率π取近似值3,那么近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π的近似值取为 (　 )
A. B.
C. D.3
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.如图,M,N为正方体中所在棱的中点,过M,N两点作正方体的截面,则截面的形状可能为(　 )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
8.生活中台灯的灯罩、喝水的水杯常常设计成圆台的形状.已知某圆台的上底面半径为1,下底面半径为3,球O与圆台的两个底面和侧面都相切,则下列说法中正确的是 (　 )
A.圆台的母线长为4
B.圆台的高为4
C.圆台的表面积为26π
D.球O的表面积为12π
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.[2024·天津重点学校高一期中] 已知一个正三棱锥的侧棱长为3,其底面是边长为的等边三角形,则此正三棱锥的高为　　　　.
10.[2024·福建福州四中高一期中] 如图为一个圆锥形的金属配件,重90克,其轴截面是一个等边三角形,现将其打磨成一个体积最大的球形配件,则该球形配件的重量为　　克.
11.[2024·山东济宁高一期中] 意大利数学家卡瓦里在《不可分量几何学》中讲解了通过平面图形旋转计算体积的方法.如图,AB为半圆的直径,C,D为半圆弧上的点,AB=4,∠CBA=∠BAD=,阴影部分为弦BC,CD,DA与半圆弧所形成的弓形.将该几何图形绕着直径AB所在直线旋转一周,阴影部分旋转后会形成一个几何体,则该几何体的体积为　　　　.
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,AA1=4,E为棱DD1的中点.
(1)求三棱锥E-A1C1D1的表面积;
(2)求四棱锥E-AA1C1C的体积.
13.(15分)[2024·四川成都七中高一期中] 如图,一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体,下面部分是一个正四棱锥,该几何体所有棱长均为2米.
(1)求该漏斗的表面积;
(2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点A'爬到点P,求它爬过的最短路径的长;
(3)将图中正方形ABB'A'水平放置,在由斜二测画法得到的直观图中,求线段A'B的长.
14.(15分)[2024·山东省实验中学高一期中] 已知圆锥的顶点为P,∠BPA的余弦值为,轴截面PAC为等腰三角形,且△PAC的顶角为90°,△PAB的面积为2.
(1)求该圆锥的侧面积;
(2)求圆锥的内切球的表面积;
(3)求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.

展开更多......

收起↑