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第5章 直角三角形
5.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质定理
【素养目标】
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理. （难点）
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
【复习导入】
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题3：如图，是一个角平分仪，其中，.将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是角平分线.你能说明它的道理吗
【合作探究】
探究点、角平分线的性质
探究 在的平分线上任取一点，作，，垂足分别为点、. 比较线段，的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？
猜想：
验证猜想 如图，，点在上，，，垂足分别为 ，.求证：.
要点归纳
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；(2) 点在该平分线上；(3) 垂直距离.
定理的作用：证明线段相等.
应用格式：
∵ 是 的平分线，
，，
∴ .
(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
注意事项：
证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏.
判一判：(1) 如下左图，因为 平分 (已知)，所以 . ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
(2) 如上右图，因为 ， (已知)，所以 . (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
例1 已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
例2 如图， 是 的平分线，点 在 上，，，垂足分别是 ，，，则
变式：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC = 4，AB = 14.
(1) 则点P到AB的距离为_________；
(2) 求△APB的面积.
课堂练习
1. 如图，，，垂足分别是 ，，，°，则，.
第1题图 第2题图
2. 中，， 平分，且 ，，则点 到 的距离是_______.
3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明 的依据是（ ）
A.SSS B.ASA
C. AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
第3题图 第4题图
4. 如图， 是 的角平分线，，垂足为 ，，，，则 的长是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1) 哪条线段与DE相等？为什么？
(2) 若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.
6.如图，已知AD∥BC， 是 与 的平分线的交点，于，且，求 与 之间的距离.
7. 如图所示， 是 的平分线上的一点.，，垂足分别为 ，. 求证：.
参考答案
复习导入 问题1：用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：不能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线.
问题3：其依据是 SSS，两全等三角形的对应角相等.
探究点、角平分线的性质
验证猜想：证明：，，.
在和中，. .
判一判：(1) × (2) ×
例1 证明：∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF，∠DEB = ∠DFC = 90°.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF (斜边、直角边). ∴EB = FC.
例2 (直接应用存在的两条垂线段)
变式：解：（1）由角平分线的性质知PD = PC = 4，
（2） .
课堂练习
1. ，. 2. 3. 3. 4. D
5. 解：(1) DC = DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2) 在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC = DE，DB = DB，
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE = BC = 8. ∴AE＝AB - BE = 2.
∴△AED的周长 = AE + ED + DA = 2 + 6 = 8.
6.解：过点作于点，交于点.
∵，∴，为与之间的距离
∵平分，，，∴. 同理，.
∴.∴. 即与之间的距离为.
7. 证明：是的平分线，，，
.在和 中，
，.第5章 直角三角形
5.1 直角三角形的性质定理
第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用
【素养目标】
1.理解和掌握含 30°角的直角三角形的性质和应用；（重点）
2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. （难点）
【复习导入】
问题1 如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△的直角边与斜边之间的数量关系吗？（观看配套课件动画）
问题2 剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
【合作探究】
探究点一、含30°角的直角三角形的性质
动手：用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.
结论：____________________________.
合作探究
如图， 是 的轴对称图形
因此 ，30°= 60°，
从而 是一个等边三角形
再由 ，
可得 .
证法1
证明：取线段 的中点 ，连接 CD .
证法2
证明：延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD，
证法3
证明：在 上截取 ，连接 .
知识要点：含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
因为在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，
所以BC = .
想一想 判断下面语句的对错。
(1) 直角三角形中 30°角所对的直角边等于另一直角边的一半. （ ）
(2) 三角形中 30°角所对的边等于最长边的一半.（ ）
(3) 直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.（ ）
(4) 直角三角形的斜边是 30°锐角所对直角边的 2 倍.（ ）
【典例精析】
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3 cm，则AB的长度是( )
A. 3 cm B. 6 cm
C. 9 cm D. 12 cm
例2 已知：等腰三角形的底角为15°，腰长为20. 求腰上的高.
例3 在岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到处时，测得岛在北偏东的方向，且与轮船相距 海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知)
例4 如图，在Rt△ABC中，如果BC = ，求证∠A = 30°.
要点归纳：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°.
应用格式：
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，.
∴ ∠A = 30°
例4 如图所示，在四边形 ACBD 中，AD∥BC，，且 ，求 的度数.
课堂练习
1. 如图，一棵树在一次强台风中，于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成 30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A. 6米 B. 9米 C. 12米 D. 15米
第1题图 第2题图 第4题图
2. 如图，在 中，， 是高，，。则 的长为 _______ .
3. 在 中，，若 ，则 的长为________.
4. 如图， 中，，，则 .
5. 在中，，， 是的垂直平分线，，求 的长．
6. 在 中，，， 是 的中点，于 点，求证：.
参考答案
探究点一、含30°角的直角三角形的性质
合作探究 证法1 证明：取线段 的中点 ，连接 CD .
∵为 斜边 上的中线，∴.
∵，且∴.∴ 为等边三角形.
∴ .
证法2 证明：在中，∵，，∴.
延长到，使，连接 ，则 是等边三角形.
∴.
证法3 证明：在 上截取 ，连接 .∵ ，.
∴ 是等边三角形，∴ ，.∵ ，
∴ .∴ ，
∴ ，∴ . ∴ .
想一想 (1) × (2) × (3) × (4) √
例1 D
例2 解：过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.
∵∠B = ∠ACB = 15° (已知)，∴∠DAC = ∠B+∠ACB
= 15°+15°= 30°，∴CD = AC = ×20 = 10.
例3 解：如图，取轮船航向所在的直线为OB.过点 作 ，垂足为 ，连接.在中， 海里，，
于是 (海里).因为，
所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
例4 (方法一) 解：如图，取线段AB的中点 D ，连接 CD .
∵ CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
∴ CD = = BD = BC，
即 △BDC 为等边三角形.
∴∠B = 60°.∵∠B + ∠A = 90°，∴∠A = 30°.
(方法二)如图，延长 到 ，使，连接
因为，，
所以 垂直平分，于是
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
又 ，，
所以，因此 ，即 是等边三角形.
所以 ，因此 .
例4 解：，.，.
AD∥BC，..
课堂练习
1. B 2. 1. 3. 5. 4. 8 .
5. 解：连接 ，∵ 是 的垂直平分线，∴ ，
∴，∴，∵，
∴．
7. 证明：，，.
是 的中点，.，.
. ，.，.
. .第5章 直角三角形
5.2 勾股定理及其逆定理
第1课时 勾股定理
【素养目标】
1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算.（难点）
【情境导入】
《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”.在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”.
按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五。
你知道为什么吗？
【合作探究】
探究点一、 勾股定理的认识及验证
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形砖铺成的地面（如图）：
问题1 试问正方形 、、 的面积之间有什么样的数量关系？
问题2 图中正方形 、、 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形、、是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位)：
这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
方法一：分割为四个直角三角形和一个小正方形.
方法二：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
方法三：将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
根据的面积填出下表：
的面积 的面积 的面积
左图
右图
问题4 正方形 、、 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
由上面的几个例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 ，，斜边长为 ，
那么 . 两直角边的平方和等于斜边的平方.
下面的动图形象地说明了命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：.
勾股定理：直角三角形两直角边 ， 的平方和，等于斜边 的平方.
.
公式变形：
，
，
.
，，为正数
探究点二、利用勾股定理进行计算
例1 在 中，已知 ，，，.
(1) 若 ，，求 .
(2) 若 ，，求 .
【变式题1】在Rt△ABC中，∠C = 90°.
(1) 若a : b = 1 : 2，c = 5，求a；
(2) 若b = 15，∠A = 30°，求a，c.
【变式题2】在Rt△ ABC 中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
例2 如图，已知在等腰三角形 中，，， 是底边 上的高线，求 的长.
练一练 3.求下列图中未知边长 x，y 的值：
探究点三、勾股数
概念学习：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a 2 + b 2 = c 2，
那么这个三角形是直角三角形.满足 a 2 + b 2 = c 2 的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k (k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
练一练 4.下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
课堂练习
1.下列说法中，正确的是（ ）
A. 已知 ，， 是三角形的三边，则
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 中，，所以
D. 在 中，，所以
2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_______.
3.下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 3，4，7 B. 5，12，13
C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5
4.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
5. 求斜边长 17 cm、一条直角边长 15 cm 的直角三角形的面积.
6. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，∠B = 45°，∠C = 30°，AD = 1，
求 △ABC 的周长．
能力提升：
7. 如图，以 Rt△ ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边
AB＝3，求阴影部分的面积.
8. 已知 S1 = 1，S2 = 3，S3 = 2，S4 = 4，求 S5，S6，S7 的值.
参考答案
探究点一、勾股定理的认识及验证
证法1 证明：∵，，∴.∴.
证法2 毕达哥拉斯证法，
证明：∵ ，
==，∴ .∴ .
证法3 证明：，，.
探究点二、利用勾股定理进行计算
例1 解：(1) 根据勾股定理得，. 因为 ，
所以 .
(2) 根据勾股定理得，. 因为 ，所以.
【变式题1】解：(1)设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得
，解得 ，∴ .
(2) ∠A = 30°，b = 15，∴ c = 2a.
因此设a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得，
解得. ∴，.
【变式题2】解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当 AB为斜边时，如图 ①，BC = ；
当 BC为斜边时，如图 ②，BC = .
例2 解 根据等腰三角形的性质定理得， 也是底边 上的中线，
因此 .在 Rt 中，由勾股定理得，，
因此 . 故 的长为 12 .
练一练 解：由勾股定理可得 ，解得 .
解：由勾股定理可得 ，解得 .
探究点三、勾股数
练一练 4. A
课堂练习
1. C 2. 36. 3. B 4. A
5.解：设另一条直角边长是 cm.由勾股定理得 ，
即 ，所以 （负值舍去），
所以另一直角边长为 8 cm.直角三角形的面积是 ().
6. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB = ∠ADC = 90°.在 Rt △ADB 中，
∵∠B + ∠BAD = 90°，∠B = 45°，∴∠B = ∠BAD = 45°.
∴ BD = AD = 1，∴AB = .
在Rt △ ADC中，∵∠C = 30°，∴ AC = 2AD = 2.∴ CD = ，
∴BC = BD + CD = 1 + . ∴△ABC的周长为AB + AC + BC = .
能力提升：
7. 解：∵，∴. 又∵，
∴.∴；同理可得
又∵， ∴阴影部分的面积为 .
8. ，，.第5章 直角三角形
5.3 直角三角形全等的判定
【素养目标】
1. 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.（难点）
2. 会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等. （重点）
【复习导入】
旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法有哪些？
思考：
如图，Rt△ABC中，∠C = 90°，直角边是____，____，斜边是____.
前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？
口答：
1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3. 两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
想一想
如果这两个三角形都是直角三角形，即，且，
，现在能判定 吗？
【合作探究】
探究点、直角三角形全等的判定
作图探究：任意画一个Rt△ABC，使∠C = 90°. 再画一个Rt△A'B'C'，使
∠C'= 90°，B'C'= BC，A'B'= AB，把画好的Rt△A'B'C' 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
画图思路：(1)先画 ;
(2) 在射线 上截取 ；
(3) 以点 为圆心， 为半径画弧，交射线 于 ；
(4) 连接 .
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
证明猜想：
在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中
，
根据勾股定理，
，
，
要点归纳：“斜边、直角边”定理
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
几何：在Rt 和Rt 中，，“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
∴Rt ≌Rt (斜边、直角边).
判一判：判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
(1) 一个锐角和这个角的对边对应相等；
(2) 一个锐角和这个角的邻边对应相等；
(3) 一个锐角和斜边对应相等；
(4) 两直角边对应相等；
(5) 一条直角边和斜边对应相等.
例1 如图，，，是的高，且. 求证：.
变式1 如图，，要证明 ，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
(1)______________________( )
(2)______________________( )
(3)______________________( )
(4)______________________( )
变式2 如图，，相交于点，，，垂足分别为、，.
求证：.
变式3 如图：，，，判断和的位置关系.
例2 如图，已知 ， 分别是两个钝角 和 的高，如果 ，. 求证：.
例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小有什么关系？
课堂练习
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有 ( )
A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等
2. 如图，在 中， 于点 ， 于点 ，， 交于点 ，已知 ，，则 的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第2题图 第3题图
3. 如图，，，，. 求证：.
变式训练1 如图，，，，. 求证： 平分 .
变式训练2 如图，，，，. 想想： 平分 吗
参考答案
探究点、直角三角形全等的判定
证明猜想：在 Rt△ ABC 和 Rt△ A'B'C' 中，
根据勾股定理，，，
判一判 (1)（AAS） (2)（AAS或ASA） (3)（AAS） (4)（SAS）
(5) 一条直角边和斜边对应相等.（HL）
例1 证明：因为 ， 是 的高，所以.
在和中， ,所以 (HL).
变式1 (1)（） (2)（）
(3)（） (4)（）
变式2 HL Rt△ABD≌Rt△BACAC ＝ BD
变式3 HLRt△ABD≌Rt△CDB∠ADB ＝ ∠CBDAD∥BC
例2 证明：， 分别是两个钝角 和 的高，且 ，， (斜边、直角边)..，，(斜边、直角边).
. 即 .
例3 解：在Rt 和Rt 中， , ∴ Rt≌Rt (HL).
∴ = (全等三角形对应角相等).∵，
∴.
课堂练习
1. D 2. A
3.证明：，.
， 即 .
在 和 中，
. .
变式训练1∵ ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).所以BF ＝ DE，
在Rt△GBF≌Rt△GDE中，∴Rt△GBF≌Rt△GDE (AAS).
∴FG ＝ EG，即BD 平分 EF.
变式训练2
∵ ∴Rt △ ABF ≌Rt △ CDE (HL).所以BF ＝ DE，
在Rt△GBF≌Rt△GDE中，∴Rt△GBF≌Rt△GDE (AAS).
∴ FG＝EG，即BD平分EF.第5章 直角三角形
5.4 角平分线的性质
第2课时 角平分线的性质定理的逆定理
【素养目标】
1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）
2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其解题.（重点）
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
【复习导入】
1. 叙述角平分线的性质定理.
2. 利用下图来解释说明一下角平分线的性质定理.
3. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
那么这个命题的逆命题是什么，它是真命题吗？
【合作探究】
探究点一、角平分线的性质定理的逆定理
探究：刚才我们通过角平分线的性质定理得到了它的逆命题：
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
这个新命题是真命题吗？如何判断这个命题的真假？
已知：如图，，，垂足分别是、，. 求证：点在的平分线上.
要点归纳：
角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
◆应用格式：
∵ ，，.
∴点 在 的平分线上.
例1 如图，，.求证：
(1) 点 在 的平分线上;
(2) 平分.
说一说：如图，在中，，，分别是，，边上的点，若，，则点在的平分线上吗
思考 如图，已知于点，于点，于点，是的中点.需要添加一个什么条件，能让，分别为和 的平分线呢
反思 添加条件可以吗
探究点二、三角形的内角平分线
操作 任意作一个△，在△内部找一点，使其到三边的距离相等.
思考 如何才能在△内部作出到三角形三边的距离都相等的点呢？
作图
① 在中分别作与的平分线，它们交于点 .
② 过点 作，，，垂足分别为点 ，，.
③ 因为 是的平分线，，，所以.因为 是 的平分线，，，所以 . 故 .
想一想：点 在 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
变式：如图，在直角 中，，， 平分 ， 平分 ；， 交于点 ，过点作，若.
(1) 求点 到 三边的距离
(2) 若 △ABC的周长为 32，求 △ABC 的面积.
例2 如图，在的外角的平分线上任取一点，作 ，，垂足分别为点 ，. 试探索 与 的大小关系.
角的平分线的性质与角的平分线的判定
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
已知条件 平分 于 于 于 于
结论 平分
课堂练习
1.如图，某个居民小区 C 附近有三条两两相交的道路 MN，OA，OB，拟在 MN 上建造一个大型超市，使得它到 OA，OB 的距离相等，请确定该超市的位置 P.
2.如图所示，已知 中，PE∥AB交 于点 ，PF∥AC交 于点 ，点 是 上一点，且点 到 的距离与到 的距离相等，判断 是否平分 ，并说明理由.
3.已知：如图， 平分 ，在 ，边上取 ，点 在 上， 于 ， 于 . 求证：.
4.如图，已知 和 的平分线相交于点 ，求证：点 在 的平分线上.
5.如图， 直线 、、 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.
参考答案
复习导入1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2. 利用下图来解释说明一下角平分线的性质定理.
3. 逆命题：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
探究点一、角平分线的性质定理的逆定理
证明：作射线，，，
在和中，.
.点在的平分线上.
例1 证明 (1) 在 中，因为，所以 .又 ，，所以点 在的平分线上，
(2)在 和 中，所以 （HL）
因此 ,从而 平分 .
说一说 由于，，所以点 到， 的距离相等，因而点 在 的平分线上.
思考 添加条件即可.因为，，，
所以点在的平分线上，即是的平分线.又是的中点，则.同理可证是的平分线.
反思 添加条件可以吗
探究点二、三角形的内角平分线
思考 可以先作出到两条边距离相等的点，再证明这个点到第三条边的距离相等.
想一想：点在的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
变式：(1) 12
(2) 解：连接 OC，
例2 解 因为是的平分线，又，
所以.在中,，因此.
课堂练习
1. 作图如下
2. 解： 平分 . 理由如下： 到 的距离与到 的距离相等，
点 在 的平分线上..又 ，.
同理，. ， 平分 .
3. 证明：平分，.在与中，
，，，.
.，，.
4. 证明：过点作于，于，于.
点在的平分线上，，，.
又点在的平分线上，，，，.
点在的平分线上.
5. 作图如下第5章 直角三角形
5.2 勾股定理及其逆定理
第3课时 勾股定理的逆定理
【素养目标】
1. 掌握勾股定理的逆定理及勾股数. (重点)
2. 能证明勾股定理的逆定理, 能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. (难点)
3. 能够运用勾股定理的逆定理解决问题. (难点)
【复习导入】
问题1 勾股定理的内容是什么
问题2 求以线段 为直角边的直角三角形的斜边 的长:
① ，
② ，
③ .
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形,可不可以通过边来判定直角三角形呢 同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
打 13 个等距的结,把一根绳子分成等长的 12 段, 然后以 3 段,4 段,5 段的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角. 探究新知
【合作探究】
探究点一、勾股定理的逆定理
下面有三组数分别是一个三角形的三边长
① 5,12,13； ② 7, 24, 25; ③ 8,15,17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形, 用量角器量一量,它们都是直角三角形吗？
问题1 这三组数在数量关系上有什么相同点
问题2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗
问题3 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子, 我们猜想:
命题2 如果三角形的三边长 满足 , 那么这个三角形是直角三角形.
证一证:已知: 如图, 的三边长 ,满足 . 求证: 是直角三角形.
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长 满足
那么这个三角形是直角三角形.
特别说明:
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理, 即已知三角形的三边长, 且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方,即可判断此三角形为直角三角形,最长边所对应的角为直角.
【典例精析】
例 1 下面以 为边长的三角形是不是直角三角形
(1) .
【变式题】若 的三边 满足 ,试判断 的形状.
例2 如图,在中,已知 , ,求的长.
【练一练】1. 下列各组线段中,能构成直角三角形的是( )
A.2,3,4 B.3,4,6 C.5,12,13 D.4,6,7
2. 一个三角形的三边的长分别是3,4,5,则这个三角形最长边上的高是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 2.4
3. 若 的三边 满足 , 则 是 _____________________.
探究点二、勾股定理的逆定理的应用
例3 如图,某港口 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行 16 海里,“海天”号每小时航行 12 海里. 它们离开港口一个半小时后分别位于点 处,且相距 30 海里. 如果知道 “远航” 号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
问题1 认真审题,弄清已知是什么,要解决的问题是什么？
问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长, 要求角, 由此你联想到了什么
例4 如图,中,是 边上的一点, .
(1)求证: 是直角三角形； (2)求的面积.
课堂练习
1. 已知 是 三边的长,且满足关系式 ,则 的形状是 ________________ .
2. 一个三角形的三边长分别为 , , , 则这个三角形最长边上的高是_____ .
3. 已知 中, ( 为大于 1 的正整数). 试问 是直角三角形吗 若是, 哪一条边所对的角是直角 请说明理由.
参考答案
复习导入
问题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为,斜边为,那么 .
问题2 ① ②
③
探究点一、勾股定理的逆定理
问题1 ① 5,12,13满足 ,② 7,24,25满足 ,
③ 8,15,17满足 .
问题2 满足.
问题3 由上面几个例子, 我们猜想: 如果三角形的三边长 满足
, 那么这个三角形是直角三角形.
证一证:证明: 作 ,使 ,
则
, .
在 和 中,
(SSS).
,即 是直角三角形.
例1 解:(1) 因为 ,所以 . 因此这个三角形是直角三角形.
(2) 因为 ,所以 . 因此这个三角形不是直角三角形.
【变式题】解: 设,
, .
是直角三角形,且 是直角.
例2 解: 在 中, , 因为 ,
即 ,所以 为直角三角形,且 . 所以 . 在 中, , 所以 .
练一练
1. C 2. D 3. 等腰三角形或直角三角形.
探究点二、勾股定理的逆定理的应用
例3 问题1 “远航” 号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角. 问题2 勾股定理的逆定理.
解: 根据题意得 (海里), (海里),
海里. ,即 , . 由“远航”号沿东北方向航行可知 , ,
即“海天”号沿西北方向航行.
例4 (1)证明: , .
是直角三角形.
(2)解:设腰长 ,则 1
在 中, , ,
解得 .
课堂练习
1. 等腰直角三角形 .
2. .
3. 解:
是直角三角形,边 所对的角是直角.第5章 直角三角形
5.2 勾股定理及其逆定理
第2课时 勾股定理的实际应用
【素养目标】
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.（重点）
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.（难点）
【复习导入】
我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数 和 的点 你能在数轴上作出表示 的点吗
【合作探究】
探究点一、勾股定理的简单实际应用
思考：如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图.假设梯子长4 m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5 m. 他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移0.5m？
(已知，)
例1 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
例2 (古代数学问题)“今有池方一丈，葭(jia) 生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面，问水深与芦苇长各为多少？
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
练一练 1. 如图，学校教学楼前有一块长为4米，宽为3米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草.
(1) 求这条“近路”的长；
(2) 他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
探究点二、利用勾股定理求最短距离
问题 在 点的小狗，为了尽快吃到 点的香肠，它选择 路线，而不选择 路线，难道小狗也懂数学？
（两点之间线段最短）
思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 处，恰好一只在 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 处爬向 处，蚂蚁怎么走最近？
例3 有一个圆柱形油罐，要以点环绕油罐建梯子，正好建在点的正上方点处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是，高是，取)
【变式题】看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点处，并在点处放了一滴蜂蜜，你能帮小蚂蚁求出找到蜂蜜的最短路程吗？
练一练 如图是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面爬到B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短路程是多少？
课堂练习
1. 从电线杆上离地面5 m的C处向地面拉一条长为7 m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是( )
A. 24 m B. 12 m C. D.
2. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这支铅笔的长度可能是( )
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
3. 如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵树相距8米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
4. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 55 cm，10 cm 和 6 cm，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物. 这只蚂蚁爬行的最短路程是多少？
参考答案
探究点一、勾股定理的简单实际应用
思考：
解：在Rt △ABC中，AC = 4 m，BC = 1.5 m，
于是，AB = (m).
在Rt△ A'BC'中，A'C = 4 m，BC' = 1 m，
由勾股定理得，A'B = (m).
因此A'A = A'B－AB≈3.87－3.71= 0.16 (m).
即梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m，
而不是向上移动0.5 m.
例1解: 根据题意可以构建直角三角形模型,如图.
在 中, 米, 米,
由勾股定理得 (米).
这棵树在折断之前的高度是 (米).
例2 解：如图，设水深 尺，则 尺，尺.
因为池塘的水面是边长为10尺的正方形，所以尺.
在Rt中，根据勾股定理得，，解得.
故芦苇长为13尺.答：水池的水深12尺.
练一练 1.(1) 在Rt△ ABC中，根据勾股定理得，
∴这条“近路”的长为5米.
(2) 他们仅仅少走了.
探究点二、利用勾股定理求最短距离
问题 解：在 Rt 中，由勾股定理得
.
例3解：油罐的展开图如图，则为梯子的最短距离.，，根据勾股定理得. 即梯子最短需米.
【变式题】
解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得
，，
，.
小蚂蚁找到蜂蜜的最短路程为 ，长为.
练一练 解：由题意得AC = 2，BC = 1.在Rt△ABC中，由勾股定理得
.∴ ，即最短路程为.
课堂练习
1. D 2. D
3. 解：如图，过点A作AC⊥BC于点C.由题意得AC = 8 (米)，
BC = 8 - 2 = 6 (米)，∴AB = = 10(米).
答：小鸟至少飞行10米.
4. 解：台阶的展开图如图，连接 .
在 Rt 中，根据勾股定理得. cm.第5章 直角三角形
5.1 直角三角形的性质定理
第1课时 直角三角形的性质与判定
【素养目标】
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）
2.掌握直角三角形的判定及推论.（难点）
3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）
【复习导入】
1. 根据三角形的分类知识填空.
按角分类
2. 三角形全等的证明方法有哪些？
【合作探究】
探究点一、直角三角形的两个锐角互余
问题1：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度
问题2：如图，在直角 中，，两锐角的和等于多少呢？
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
知识要点：直角三角形的两个锐角互余.
应用格式：
在 中，
因为 ，
所以 .
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号 “” 表示，直角三角形 可以写成 .
【典例精析】
例1（1）如图①，，交于点 ， 与有什么关系？
（2）如图 ②，， 交 于点， 与 有什么关系？请说明理由.
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？
探究点二、直角三角形的判定
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在 △ABC 中，∠A +∠B = 90°，那么 △ABC 是直角三角形吗？
知识要点：有两个角互余的三角形是直角三角形.
应用格式：
在 中，
∵ ，
∴ 是直角三角形.
例2 如图，，， 是直角三角形吗？为什么？
例3 如图，，垂足为 ，， 是直角三角形吗？为什么？
探究点三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，用三角板画一个Rt △ABC，取线段AB的中点D，连接DC.以点D为圆心，DB为半径画圆弧，则所画的弧经过点C吗？DC与AB之间有怎样的数量关系？
猜想：______________________________________.
证明：
由此可得直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
应用格式：
在Rt △ABC中，D为斜边AB上的中点，
所以有CD = AD = BD = .
例4 如图，已知 是 的边 上的中线，且. 求证： 是直角三角形.
例5 如图，在 中， 是高， 分别是 的中点.
(1) 若 ，，求四边形 的周长；
(2)求证： 垂直平分 .
练一练 ：如图，在 中，， 是斜边 上的中线.
(1)若 cm，则 cm；
(2)若 ， cm，则 cm， cm.
体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形
课堂练习
1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.
第1题图 第2题图 第4题图
2.如图，、 相交于点 ，于点，若 ，则
3.在 中，若 ，，则这个三角形是 ______________.
4.如图所示， 为直角三角形，，，与 互余的角有（ ）
A. B. C. 和 D.
5.如图，在Rt△ ABC中，∠ACB = 90°，D是AB上一点，且∠ ACD = ∠ B．
求证：△ ACD是直角三角形.
6.如图，已知 ， 是 不同边上的高，点 ， 分别是 ， 的中点，试说明 .
参考答案
复习导入
1. 按角分类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
2. 边边边 边角边 角边角 角角边
探究点一、直角三角形的两个锐角互余
问题1:
问题2: 在直角 中,由三角形内角和定理,得 ,
因为 ,故 .
思考: 直角三角形的两个锐角互余.
例1(1)方法一(利用平行的判定和性质):
, , .
方法二(利用直角三角形的性质):
, .
.
(2)解: . 理由如下: ,
, .
思考: 基本图形
探究点二、直角三角形的判定
问题: 在 中,因为 ,又 ,
所以 .
于是 是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形.
例2 解: 在 中, . ,
.即 是直角三角形.
例3 解: 是直角三角形. 理由如下: , .
. , . 是直角三角形.
探究点三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
猜想: 该弧经过点 ,且
证明: 如图,在Rt 中, , 是斜边 上的中线.
过点 作 ,分别交 于点
于是 ,
.
在 与 中,
所以 (角角边),
从而 . ①
在 与 中,
所以 (角角边),
从而 .② 由 ① 式和 ② 式得, .
因此,直线 是线段 的垂直平分线.根据线段垂直平分线的性质定理得, .因此
例5 证明: 因为 ,所以 .
因为 ,
所以 ,从而 .
因为 . 所以 是直角三角形.
例6 (1) 解: 是 的高, 分别是 的中
四边形 的周长
(2) 证明: , 在线段 的垂直平分线上.
垂直平分 .
练一练 (1) ；(2) 5 cm.
课堂练习
1. . 2. . 3. 直角三角形 4. C
5. 证明: , . ,
. 是直角三角形.
6. 解: 连接
是 的高, .
点 是 的中点, . .
又 点 是 的中点, .

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